初三数学总复习-数与式（补充练习）
数与式这部分内容是是初中数学的基础，内容包括实数、整式、分式和二次根式，是解方程（组）、不等式（组），解决概率和统计等有关计算问题的基础，还是许多图形问题中有关数量表达的基础，也是中考最直接得分的手段。这部分内容的特点是概念多、性质多、运算法则多、技能性强. 常见的考题类型，主要以“易”为主，中档问题主要有配方法和规律归纳。但复习中不要忽视学生的代数分析能力和数学思想方法的培养，这些对综合问题的解决起着关键性作用。 一、主要考点：
1． 求实数的相反数，绝对值等有关的概念； 2． 科学计数法；
3． 分式与二次根式有无意义的条件与分式值为零的条件； 4． 简单的因式分解（提公因式法，公式法，不超过两次）； 5． 绝对值与平方数及二次根式的非负性； 6． 找规律及用代数式表示规律的问题； 7． 二次多项式的配方变形； 8． 实数的运算：含有整数指数幂（0次或负指数次）、特殊三角函数值、二次根式的化简（根
号下仅限于数）绝对值在内的综合运算；
9．化简求值；整式与分式的运算---先化简再求值。 二、复习建议
1. 全面复习基础知识，建构知识网络，做到知识之间的融会贯通。 如（1）对于非负数马上联想到：绝对值、平方、算术平方根。 （2）比较两数马上想到可能的方法：做差法，做商法、平方法、图像法（数轴、函数图象）、函数性质
例：若2m n >>，比较24m m -与2
4n n -的大小
问题可以做差法也可以构建函数，利用函数图象或性质比较大小
设：
2
41y x x =-+ ∵当2x ＞时，y 随x 的增大而增大，
∴当2m n ＞＞时，221
1m m n n ++-4＞-4，即22
m m n n -4＞-4 2.明确复习目标，控制难度，激发学生的复习积极性；科学安排复习时间和内容。 3.强调落实，注重错误问题的思考与纠错。
如：小明同学在“计算：2
32
11x x x -+-+”时，他是这样做的：
小明的解法从 步开始出现错误，错误的原因是 ． 要认识错误中的合理因素，不要全盘否定学生的思考。
4. 教材回归，关注两套教材（人教版，京版）中的习题例题的使用。
如：当 x ，y 为何值时，多项式 x2 + y2 - 4x + 6y + 28 有最小值？求出这个最小值 .（京版七下114页拓展2题）
5.渗透数学思想方法，提高代数条件下的分析推理和解决问题的能力。
结合总复习中专题复习：分类讨论、探究开放问题、阅读理解问题等，渗透数学思想方法。 如（1）关注运算能力的培养。运算能力主要指理解运算的算理；根据法则和运算律正确进行运算；根据特定的问题，观察、分析运算条件，探究、设计和选择合理、简洁的运算途径，解决问题；根据要求进行估算。
运算能力的第一层级指的是有明确的运算对象，直接按算法实施即可。 第二层级指的是没有明确的运算对象，需要根根据题意先确定运算结构，再完成第一层级过程。
如：规定：log a b （a ＞0，a≠1，b ＞0）表示a ，b 之间的一种运算．
现有如下的运算法则：
n
a a og l =n ．log N M=（a ＞0，a≠1，N ＞0，N≠1，M ＞0）．例
如：log 223=3，log 25=.
则log 1001000= ．
（2）关注代数条件的落实，渗透数学思想方法。
例1．已知：抛物线 22
1)2)y a x a a =--- 与x 轴交于点A （x 1，0）、B （x 2，
0），且x 1 < 1 < x 2 .
观察条件能否分析到代数式所蕴含的关系：解析式22
1)2)y a x a a =---可
以提公因式后配方成一个顶点式。
例2．已知a ，b ，c 都是非负数，a ＜5，且 2
220a a b c ---=，2230a b c +-+=．
1）分别用含a 的代数式表示4b ，4c ；
2）说明a ，b ，c 之间的大小关系．
四、复习安排： 实数复习 第一课时： 一、知识梳理： 实数分类：
按定义： 按性质：
1．有理数： 2．无理数： 初中阶段常见的几种无理数： 3．平方根，算术平方根：设0a ≥
，称a 的
；叫a 的
a 的
4．实数： 5．实数的运算：
运算顺序： 运算律：加法交换律： 加法结合律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律：
6．数轴：规定了 、 、 的 称为数轴。 数轴三要素： 、 、 数轴上的点与实数的对应关系：
7．相反数：代数定义： 几何定义： 符号表示：实数a 的相反数：
a 和
b 互为相反数? 8．倒数：实数a (0)a ≠的倒数： a 和b 互为倒数?
9．绝对值：代数定义：
(0)(0)(0)
a a a a >??==?
?
几何定义：
图： 性质：
a
10．科学记数法和近似数：设10n N a =?，（其中 ≤a
≤ ，n 为整数）
11.知识结构图：
二、五年外市中考题汇编 2013年 1．（4分）在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2013-2015）》中，北京市提出了总计约3 960亿元的投资计划。将3 960用科学计数法表示应为（ ） A. 39.6×102 B. 3.96×103 C. 3.96×104 D. 3.96×104
2．（4分）43
-
的倒数是（ ）
A. 34
B. 43
C. 43-
D. 34
-
14．（5分）计算：
1
0)41
(45cos 22)31(-+?--+-
2014年 1．（4分）2的相反数是（ ）
A. 2
B. 2-
C.
12-
D. 12
2．（4分）据报道，某小区居民李先生改进用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300 000吨．将300 000用科学记数法表示应为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
14．（5分）计算：（6﹣π）0+（﹣）﹣
1﹣3tan30°+|﹣|
2015年 1．（3分）截止到2015年6月1日，北京市已建成34个地下调蓄设施，蓄水能力达到1 40 000立方平米。将1 40 000用科学记数法表示应为
A ．14×104
B ．1.4×105
C ．1.4×106
D ．0.14×106 2．（3分）实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是
A ．a
B ．b
C ．c
D ．d
17．（5分）计算：201
()(7)324sin 602π---+-+?
2016年 2．（3分）神舟十号飞船是我国“神舟”系列飞船之一，每小时飞行约28000公里，将28000用科学记数法表示应为（ ）
A. 32.810?
B. 3
2810?
C. 42.810?
D. 5
0.2810?
3．（3分）实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A.2a >-
B.3a <-
C.a b >-
D.a b <-
17．（5分）计算：
0(3)4sin 45813
-π+-+-o
2017年
4. （3分）实数a,b,c,d 在数轴上的点的位置如图所示，则正确的结论是
A.4a >-
B. 0ab >
C. a d
> D. 0a c +>
60.310?5310?6310?4
3010?b
a 3
2
10
1
2
3
11. （3分）写出一个比3大且比4小的无理数 .
17．（5
分）计算：
04cos302
-o
实数第二课时 一、基础落实：
1、有理数的有关概念及性质 （1）有理数
1.（2015?浙江）小包装火腿，每克以标准克数（450g ）为基准，超过克数记作正数，不足的克数记作负数。以下数据是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的是（ ） A 、+2 B 、﹣3 C 、+3 D 、+4
2.（ 2014?广东）在1，0，2，﹣3这四个数中，最大的数是（ ） A ． 1 B ． 0 C ． 2 D ． ﹣3
3.（ 2014?珠海）比较大小：﹣2 ＞ ﹣3．
（2）数轴
1. （2014?湖北宜昌）如图，M ，N 两点在数轴上表示的数分别是m ，n ，则下列式子中成立的是（ ）
A ． m+n ＜0
B ． ﹣m ＜﹣n
C ． |m|﹣|n|＞0
D ． 2+m ＜2+n
2. 若
a a
=-，则实数a 在数轴上的对应点一定在（ ）
A ． 原点左侧
B ．原点或原点左侧
C ． 原点右侧
D ． 原点或原点右侧（怀2）3.在数轴上，与表示－5的点的距离是2的点表示的数是
A ．-3
B ．-7
C ．±3
D ．-3或-7 （3）相反数
1. 如图1，数轴上两点
表示的数互为相反数，则点表示的（ ）
A ． -6
B ．6
C ． 0
D ．无法确定 2. （ 2014?珠海）﹣的相反数是（ ） A ． 2 B ．
C ． ﹣2
D ．
﹣
（4）倒数 （2016·山东省菏泽市）下列各对数是互为倒数的是（ ） A ．4和﹣4 B ．﹣3和 C ．﹣2和
D ．0和
,A B
B
（5）绝对值
实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，化简a b
-的结果是
A ．0
B ．+a b
C ．a b -
D ．b a -
2、科学记数法
1. 据《天津日报》报道，天津市社会保障制度更加成熟完善，截止2017年4月末，累计发放社会保障卡12630000张．将12630000用科学记数法表示为（ ） A ．0.1263×108 B ．1.263×107 C ．1
2.63×106 D ．126.3×105 2.（2016河南）某种细胞的直径是0.00000095米，将0.00000095米用科学记数法表示为（ ）
A ．9.5×10﹣7
B ．9.5×10﹣8
C ．0.95×10﹣7
D ．95×10﹣
8 3、实数有关概念及性质
（1）平方根，算术平方根，立方根 实数4的算术平方根是
A ． 2±
B ．2
C ．2-
D ．4 （2）无理数，实数
1.下列实数中是无理数的是( )
A ． B.2－
2 c. D.sin450
2.(2016河北3
） A
B ．面积为12
C
D
答案：A
（3）能用有理数估计一个无理数的大致范围 1.（ 2014?安徽省）设n 为正整数，且n ＜
＜n +1，则n 的值为（ ）
A ． 5
B ． 6
C ． 7
D ． 8 2. （2014·台湾）如图数轴上有A 、B 、C 、D 四点，根据图中各点的位置，判断那一点所表示的数与11
﹣239最接近？( )
A ．A
B ．B
C ．C
D ．D
4、实数的有关运算
1.下列运算结果为正数的是（ ） A ．（﹣3）2 B ．﹣3÷2 C ．0×（﹣2017）
D ．2﹣3
722
51.5&&a b
2.
()212
14.331210
2
--+??? ??-+--π 3. ﹣|﹣1|+?cos30°﹣（﹣）﹣
2+（π﹣3.14）0．
4. |－3|
·tan 30°
－(2016－π)0＋(1
2)－
1 5、非负数 1
．若0
x y -=，则3
y x
-=
2.
若
2
(2)0m -+，则m n += ．
二、综合提升：
1. 若a 是有理数，下列说法对吗？若不对，应附加什么条件？ （1）-a 是负数；（2）2a 是偶数；（3）
是正数；（4）3a>2a;（5）a+3>a;(6)a+4>4.
2.已知a 为有理数，比较下列各组数的大小（1）；（2）；（3）（4）
3.(2016河北）
请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：
（1）999×（-15）；
（2）999×
4118
5+999×（15-）-999×
3
118
5.
解：（1）999×（-15）
=（1000-1）×（-15） =15-15000 =149985
（2）999×
4118
5+999×（15-）-999×3
118
5. =999×（4118
5+（15-）-3
5)
=999×100
a
a a 1
,
a a -,;,a a .,a a -
=99900
解析：根据黑板上面，第一个凑整法，第二个提同数法。
4.在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB=2，BC=1，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p．
（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p
的值；若以C为原点，p又是多少？
（2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，求p．
5.（2014?邵阳）如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动3个单位长度至C点，第3次从C点向右移动6个单位长度至D点，第4次从D点向左移动9个单位长度至E点，…，依此类推，这样至少移动次后该点到原点的距离不小于41．
6．（2014?新疆）规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[3.69]=3．[]=1，按此规
定，[﹣1]= 2 ．
7．（2014?四川）按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（）
A．14 B．16 C．
8+5D．
14+
8.（2014?山东）一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体称为集合．一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的．如一组数1，1，2，3，4就可以构成一个集合，记为A={1，2，3，4}．类比实数有加法运算，集合也可以“相加”．定义：集合A与集合B中的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的和，记为A+B．若A={﹣2，0，1，5，7}，B={﹣3，0，1，3，5}，则A+B={﹣3，﹣2，0，1，3，5，7}．
9．（2014?甘肃）观察下列各式：
13=12
13+23=32
13+23+33=62
13+23+33+43=102
…
猜想13+23+33+…+103=552．
10．（2014?甘肃）为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S=1+2+22+23+…+2100，则2S=2+22+23+24+…+2101，因此2S﹣S=2101﹣1，所以S=2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100=2101﹣1，仿照以上推理计算1+3+32+33+…+32014的值是．
代数式复习
第一课时： 一、考点梳理： 代数式分类：
1、同类项： ，举例：
2、整式的加减：
合并同类项：把同类项的 ， 不变
去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”去掉，括号里各项都 括号前面是“-”号， 把括号和它前面的“-”去掉，括号里各项都 添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里各项都 括号前面是“-”号， 括到括号里各项都 整式的加减实际上就是 3、整式的乘除：
幂的运算：其中m 、n 为正整数
同底数幂的乘法：m
n
a a ?= ； 同底数幂的除法：m n
a a ÷= ；
幂的乘方：()m n a = ； 积的乘方：
()n ab = 乘法公式：
平方差公式：
完全平方公式： 4、因式分解： 因式分解的方法： 、 * 、 因式分解的步骤：
5、分式定义： 最简分式： 分式有意义的条件： 分式值为0的条件： 分式的基本性质：（1） （2）
6、二次根式概念： 最简二次根式： 同类二次根式： 性质：
a
2
= （0a ≥）
a ?
==?
?
=0a ≥，0b ≥）
=（0a ≥，0b >）
7.知识结构图：
二、五年中考题汇编 2013年
9. （4分）因式分解：a ab ab 442
+-=_________________
12．（4分）如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知直线：
1--=x t ，双曲线
x y 1
=
。在上取点A 1，过点A 1作x 轴的垂线交双曲线于点
B 1，过点B 1作y 轴的垂线交于点A 2，请继续操作并探究：过点A 2作x 轴的垂线交双曲线于点B 2，过点B 2作y 轴的垂线交于点A 3，…，这样依次得到上的点A 1，A 2，A 3，…，A n ，…。记点A n 的横坐标为n a ，若21=a ，则2
a =__________，2013a =__________；若要将上述操作无限次地进行下去，则1a 不能取的值是
__________
16．（5分）已知0142=--x x ，求代数式22))(()32(y y x y x x --+--的值。
2014年
9．（4分）分解因式：
429ax ay -= 12．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），我们把点P （﹣y+1，x+1）叫做
点P 的伴随点．已知点A 1的伴随点为A 2，点A 2的伴随点为A 3，点A 3的伴随点为A 4，…，
这样依次得到点A 1，A 2，A 3，…，A n ，…．若点A 1的坐标为（3，1），则点A 3的坐标为 ，点A 2014的坐标为 ；若点A 1的坐标为（a ，b ），对于任意的正整数n ，点A n 均在x 轴上方，则a ，b 应满足的条件为 16．（5分）已知x ﹣y=
，求代数式（x+1）2﹣2x+y （y ﹣2x ）的值．
2015年 11．（3分）分解因式：5x 2-10x 2=5x =_________．
18．（5分）已知
2
2360a a +-=. 求代数式3(21)(21)(21)a a a a +-+-的值。
2016年
6．（3分）果2a b +=，那么代数式2b a a a a b
??- ?-??g
的值是（ ）
A. 2
B.2-
C.12 D .1
2-
11．（3分）如果分式2
1x -有意义，那么x 的取值范围是______________.
15．（3分）百子回归图是由1，2，3，...，100无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的澳门简史，如：中央四位“19 99 12 20”标示澳门回归日期，最后一行中间两位“23 50”标示澳门面积，……，同时它也是十阶幻方，其每行10个数之和、每列10个数之和、每条对角线10个数之和均相等，则这个和为_________.
2017年
2. （3分）若代数式4x
x -有意义，则实数x 的取值范围是
A. x =0
B. x =4
C. 0x ≠
D. 4x ≠
7. （3分）如果2210a a +-=，那么代数式242a a a a ?
?-? ?-?
?的值是 A.-3 B. -1 C. 1 D.3
第二课时：
一、基础落实：
1．代数式的有关概念 （1）列代数式 （2016海南4分）某工厂去年的产值是a 万元，今年比去年增加10%，今年的产值是 （1+10%）a 万元．
（2）分式、二次根式有意义的条件
1．（2014?温州）要使分式有意义，则x 的取值应满足（ ）
A ．
x ≠2 B ． x ≠﹣1
C ．
x =2 D ． x =﹣1
2.（2014?毕节地区）若分式的值为零，则x 的值为（
）
A ． 0
B ．
1 C ． ﹣1
D ．
±1 3.（2014?武汉）若在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ． x ＞0
B ． x ＞3
C ． x ≥3
D ．
x ≤3 4.（2014?四川）要使式子有意义，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ＞﹣1
B ． m ≥﹣1
C ． m ＞﹣1且m ≠1
D ． m ≥﹣1且m ≠1 2. 幂的运算性质
1.（ 2014?珠海）下列计算中，正确的是（ ） A ． 2a +3b =5ab B ． （3a 3）2=6a 6 C ． a 6+a 2=a 3 D ． ﹣3a +2a =﹣a
2.（2013?湖南）下列运算中，正确的是（ ）
A.34x x x +=
B. 236()x x =
C.321x x -=
D. 222()a b a b -=-
3. 式的变形
1.对式子2
241a a --进行配方变形，正确的是
A ．
2
2(1)3a +- B ． 23
(1)2a --
C ．22(1)1a --
D ．
2
2(1)3a -- 2.（2014?无锡）分式可变形为（ ） A ．
B ．
﹣
C ．
D ．
﹣
1．下列四个多项式中，能因式分解的是（ ） A ． a 2+1 B ． a 2﹣6a +9 C ． x 2+5y D ． x 2﹣5y 2.下列因式分解正确的是（ ） A ． 2x 2﹣2=2（x +1）（x ﹣1） B ． x 2+2x ﹣1=（x ﹣1）2 C ． x 2+1=（x +1）2 D ． x 2﹣x +2=x （x ﹣1）+2 3.分解因式： a 3﹣a = a （a +1）（a ﹣1） ． a 3﹣4a 2+4a= a （a ﹣2）2 ． m （x ﹣y ）+n （x ﹣y ）= （x ﹣y ）（m+n ） ． 4x 2﹣9= （2x ﹣3）（2x+3） ． 5. 运算
（1）乘法公式--------能推导平方差完全平方公式并会简单运算 （2015?广西）如图，给出了正方形ABCD 的 面积的四个表达式，其中错误的是（ ）
A.()()x a x a ++
B.
222x a ax ++ C. ()()x a x a -- D. ()()x a a x a x +++
（2）运算 整式运算
1.已知x 2﹣2x ﹣3=0，则2x 2﹣4x 的值为（ ） A ．﹣6 B ． 6 C ．﹣2或6 D ．﹣2或30
2. 若mn =m +3，则2mn +3m -5nm +10=___1___.
3.（2014?湖南）先化简，再求值．（a+b ）（a ﹣b ）+b （a+2b ）﹣b 2，其中a=1，b=﹣2． ﹣1．
4.先化简，再求值：
，其中.
7
5.已知4x=3y ，求代数式（x ﹣2y ）2﹣（x ﹣y ）（x+y ）﹣2y 2的值．0 二次根式
1.（2014?济宁）如果ab ＞0，a +b ＜0，那么下面各式：①=，②?=1，③
÷=﹣b ，其中正确的是（ ）
A ．
①② B ． ②③
C ． ①③
D ． ①②③
2.（2016·内蒙古）计算：6﹣（+1）
2= ﹣4 ．
3.下列运算中，错误的是（ ） = B.
= 2= D.2
(3=
()()()2
x 5x 1x 2+-+-x 2=-ax
ax a 2x 2a
x
a x D
C
B
A
1.已知x 2﹣3x ﹣4=0，则代数式的值是（ ）
A ．3
B ．2
C ．
D ． 选D
2. 化简：（a 2+3a ）÷． （a ）
3. 先化简，再求值：（a 2b +ab ）÷，其中a =+1，b =﹣1． （2）
4.先化简，再求值：﹣，其中x =﹣1． （ ）
5.先化简，再求值：（+）÷，其中x=6． （ ﹣）
6.已知2
30x x +-=，求代数式22111
2112x x x x x x -+?+-+++的值.
二、综合提升： （一）代数式应用
1.如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为a 克，再称得剩余电线的质量为b 克，那么原来这卷电线的总长度是 米．
2. 当 x ，y 为何值时，多项式 x2 + y2 - 4x + 6y + 28 有最小值？求出这个最小值 .（京版七下114页拓展2题）
3. 如图．在正方形ABCD 的边长为3，以A 为圆心，2为半径作圆弧．以D 为圆心，3为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分为S1、S2．则S1﹣S2= ． （ ﹣9）
（二）规律归纳
1.观察下列关于自然数的等式： 32﹣4×12=5 ① 52﹣4×22=9 ② 72﹣4×32=13 ③ …
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第四个等式：92﹣4× 4 2= 17 ；
（2）写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并验证其正确性． （2）第n 个等式为：（2n +1）2﹣4n 2=2（2n +1）﹣1，
2. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 1，C 1的坐标分别为（1 ，0），（1，1）. 将△OB 1C 1绕原点O 逆时针旋转90°，再将其各边都扩大为原来的m 倍，使OB 2=OC 1，得到△OB 2C 2；将△OB 2C 2绕原点O 逆时针旋转90°，再将其各边都扩大为原来的m 倍，使OB 3=OC 2，得到△OB 3C 3．如此下去，得到△OB n C n ． （1）m 的值为__________； （2）在△OB 2018C 2018中，点C 2018的纵坐标为_____________．
3.（2017安徽）【阅读理解】
我们知道，
(1)
1232n n n +++++=
L ，那么2222123n ++++L 结果等于多少呢？
在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即2
1；第2行两个圆圈中数的和为22+，即2
2；……；第n 行n 个圆圈中数的和为
n n
n n n
+++L 1442443个，即2
n .这样，该三角形数阵中共有
(1)
2n n +个圆圈，所有圆圈中数的和为2222123n ++++L .
【规律探究】
将桑拿教学数阵经两次旋转可得如图所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第1n -行的第一个圆圈中的数分别为1n -，2，n ），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 .由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：
22223(123)n ++++=L .因此，2222123n ++++L = .
【解决问题】
根据以上发现，计算2222
12320171232017++++++++L L 的结果为 .
【答案】21n +
()()1212
n n n ++?
()()1
1216n n n ++
1345