河北省衡水中学2021届高三第一学期二调考试数学试卷
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合{}
2
|20A x x x =-≤，{}|1381x B x =<<，{}|2,C x x n n N ==∈，则
()A B C ??=（ ）
A. {}2
B. {}0,2
C. {}0,2,4
D. {}2,4
【答案】B 【解析】
∵集合{
}
2
|20A x x x =-≤ ∴{}02A x x =≤≤ ∵集合{
}
|1381x
B x =<< ∴{
}
04A x x =<< ∴{}
04A B x x ?=≤< ∵集合{}|2,C x x n n N ==∈ ∴{}()0,2A B C ??= 故选B.
2. 要得到函数2y x =
的图象，只需将函数24y x π?
?=+ ??
?的图象（ ）
A 向左平移
4π
个单位 B. 向右平移
4π
个单位 C. 向上平移4
π
个单位 D. 向下平移
4
π
个单位 【答案】A 【解析】 【分析】
先变形：22)2y x x π
=+，再根据左加右减原理即可得解.
【详解】因为22)2y x x π
==+，
所以由函数24y x π??=
+ ???的图象得到函数22y x π?
?=+ ??
?的图象，
根据左加右减，只需向左平移4
π
个单位. 故选：A.
3. 已知函数()()f x x x a b =-+，若函数(1)y f x =+为偶函数，且()10f =，则b 的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
【答案】C 【解析】 【分析】
由(1)y f x =+为偶函数，所以()y f x =的对称轴为1x =-，再结合()10f =，即可求得,a b 的值.
【详解】因为(1)y f x =+为偶函数， 所以()y f x =的对称轴为1x =.
又因为()10f =，所以()y f x =的顶点坐标为(1,0). 由2
22
()24a a f x x ax b x b ?
?=-+=-+- ???
，
得12(1)10
a
f a b ?=???=-+=?， 解得2
1
a b =??
=?，
故选：C.
4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2
121a a +=，2a 与4a 的等差中项为2，则4S 的值为
（ ）
A. 6
B. -2
C. -2或6
D. 2或6
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题中已知条件及等差数列的性质求得首项a 1和公差d ，再利用等差数列前n 项和公式，求得4S 的值.
【详解】设{}n a 公差为d ，则由2
122414a a a a ?+=?+=?得()()()211111
34
a a d a d a d ?++=??+++=??，
解得101a d =??=?或18
5a d =-??=?
，
10,1a d ==时，401236S =+++=， 18,5a d =-=时，48(3)272S =-+-++=-．
故选：C ．
【点睛】本题主要考查等差数列通项公式基本量的计算以及等差数列前n 项和公式，属于基础题.
5. 已知3sin 3πα?
?+= ???，则cos 23πα??-= ??
?（ ）
3
6 C.
13
D. 13
-
【答案】D 【解析】 【分析】 换元3
x π
α=+，可得出3
x π
α=-
，利用诱导公式以及二倍角余弦公式可求得所求代数式的
值.
【详解】换元3
x π
α=+
，可得3
x π
α=-
，且3sin 3
x =
， 所以，()2
1cos 2cos 2cos 2cos 22sin 13333x x x x πππαπ????
??-
=--=-=-=-=- ? ????
??
???.
故选：D.
6. 已知函数()y f x =的部分图象如图，则()f x 的解析式可能是（ ）
A. ()tan f x x x =+
B. (
)sin 2f x x x =+ C. 1
()sin 22f x x x =- D. 1
()cos 2
f x x x =-
【答案】C 【解析】 【分析】
首先通过函数的定义域排除选项A ，再通过函数的奇偶性排除选项D,再通过函数的单调性排除选出B ，确定答案.
【详解】由图象可知，函数的定义域为R ，而函数()tan f x x x =+的定义域不是R,所以选项A 不符合题意；
由图象可知函数是一个奇函数，选项D 中，存在实数x ， 使得1
()cos ()2
f x x x f x -=--
≠-，所以函数不是奇函数，所以选项D 不符合题意； 由图象可知函数是增函数，选项B ，()12cos 2[1,3]f x x =∈-'+，所以函数是一个非单调函数，所以选项C 不符合题意；
由图象可知函数是增函数，选项C ，()1cos 20f x x =-≥，所以函数是增函数，所以选项C 符合题意. 故选：C
【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7. 已知min{,}m n 表示实数m ，n 中的较小数，若函数124
()min 3log ,log f x x x ??=+???
?
，当
0a b <<时，有()()f a f b =，则a b 的值为（
）
A. 6
B. 8
C. 9
D. 16
【答案】B 【解析】 【分析】
首先画出函数()f x 的图象，由图象确定当有()()f a f b =时，即
214
log log 3a b ++，再根
据对数运算公式化简求值.
【详解】作出函数()f x 的图象，如图中实线所示，由()()f a f b =可知，214
log log 3
a b =+，
所以24log log 3a b +=，即222log log log ()3a b a b +==，所以8a b =.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题一道数形结合分析问题的
典型题型，关键是理解min{,}m n ，并画出函数()f x 的图象，属于中档题型.
8. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，*1
(1),N 2
n n n n S a n =--∈，则12100S S S +++=（ ）
A. 100
11132??
??-?? ?
??
????
B. 98
11132????-?? ???????
C. 50
11132????
-?? ???????
D. 49
11132????
-?? ???????
【答案】A 【解析】 【分析】
由递推式求出数列的首项,当2n ≥时分n 为偶数和奇数求出n a ,代入
*
1(1),2
n n n n S a n N =--
∈后分组,然后利用等比数列的前n 项和公式求解. 【详解】由*1
(1),2
n
n a n S a n =--
∈N ， 当1n =时，1112S a =--
，得114
a =-； 当2n ≥时，1
11111(1)(1)22
----=-=--
--+n
n n n n n n n n a S S a a ，即11
(1)(1)2
n n n n n n a a a -=-+-+
. 当n 为偶数时，11
(2)2n n a n -=-
≥，所以112
n n a +=-（n 为正奇数）， 当n 为奇数时，111111
12(2)2222n n n n n n a a -+-??=-+=--+= ???，所以12
n n a =（n 为正偶数），
所以122211
,22a a -==，所以412342411112,,2222
a a a a -+=?=-==，
所以34991004310010011112,,,2222
a a a a -+=?=?-==，所以991001009911
222a a -+=?=.
因为
123100S S S S ++++()()()()12345699100a a a a a a a a =-++-++-+++-+-
210011
122
2??+++
???35
9911112222=++++
210011122
2??
-+++= ???
501001111112422111142
????
-- ? ?????-=
--10011132??
=- ???
. 故选：A
【点晴】方法点睛：本题考查已知数列n S 与n a 的关系式，求通项公式，分组求和，一般数列求和包含：
1、公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；
2、错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；
3、裂项相消法求和，适用于能变形为(1)()n a f n f n =+-；
4、分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；
5、倒序相加法求和，适用于倒序相加后，对应的两项的和是常数的数列.
二?多选题：本题共4小题，每小题5分共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9. （多选题）等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是（ ） A. 0d >
B. 10a <
C. 当5n =时n S 最小
D. 0n S >时n 的最小值为8
【答案】ABD 【解析】 【分析】
由题设可得基本量1a d ，的关系，再把n S 看成关于n 的二次函数. 【详解】由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，
因为753a a =，可得()11634a d a d +=+，解得13a d =-，
又由等差数列{}n a 是递增数列，可知0d >，则10a <，故,A B 正确； 因为22172222n d d d d S n a n n n ??=
+-=- ???
， 由
7722d n
n d -
=-=
可知，当3n =或4时n S 最小，故C 错误， 令27022
n d d
S n n =-
>，解得0n <或7n >，即0n S >时n 的最小值为8，故D 正确. 故选：ABD
【点睛】数列的函数观，通项n a kn b =+是关于n 的一次函数；前n 项和2
n S An Bn =+是
关于n 的 二次函数.
10. 设函数()y f x =和()y f x =-，若两函数在区间[],m n 上的单调性相同，则把区间[],m n 叫做()y f x =的“稳定区间”，已知区间[]
1,2020为函数12x
y a ??
=+ ???
的“稳定区间”，则实数
a 的可能取值是（ ）
A 32
-
B. 56
-
C. 0
D.
132
【答案】AB 【解析】 【分析】
首先求函数()f x -，根据两个函数同为增函数或同为减函数，确定绝对值里面的正负，根据恒成立求a 的取值范围.
【详解】由题意得1()2x
f x a ??=+ ???
与()2x
f x a -=+在区间[1,2020]上同增或同减.
若同增，则10,220x x a a ???+? ?????+?
在区间[1,2020]上恒成立，即1,22,a a ?
≤???≥-?所以1
22a --.
若同减，则10,220x x a a ???+? ?????+?在区间[1,2020]上恒成立，即2020
20201,
22,a a ???-? ????
?-?
无解， 所以A ，B 选项符合题意. 故选：AB
【点睛】思路点睛：本题考查指数函数单调性的
综合应用，本题的关键是读懂“稳定区间”的定义，同时讨论函数同为增函数或同为减函数，去绝对值后转化为恒成立问题.
11. 已知函数()sin (03)4f x x πωω?
?=+< ???图象的一条对称轴为直线8x π=，函数
()()2cos 24g x f x x π?
?=++ ??
?，则下列关于函数()g x 的说法错误的是（ ）
A. 直线8
x π
=
是()g x 图象的一条对称轴
B. ()g x 的最小正周期为π
C. 点,08π??
???
是()g x 图象的一个对称中心 D. ()g x 5【答案】AC 【解析】 【分析】 由8
x π
=
为()f x 的一条对称轴，结合ω的取值范围，即可求出ω的值，从而求出()g x 的解
析式，再利用辅助角公式化简，结合余弦函数的性质计算可得；
【详解】解：由8
x π
=为()f x 的一条对称轴，得8
4
2
k π
πωπ
π
+
=
+?
，即28,k k Z ω=+∈.又因
为
(]
0,3ω∈，
所
以
2
ω=，所以
()sin 22cos 244g x x x ππ???
?=+++ ? ????
?3222x x =，()5)g x x ?+其中
1
tan 3
?=.
易知,4
k k π
?π≠
+∈Z ，且3,4
k k π
?π≠
+∈Z ，故A ，C 错误，B ，D 正确. 故选：AC
12. 已知函数()sin()0,||2f x x πω?ω???
=+><
??
?
在区间2,23ππ??
-
????
上至少存在两个不同的12,x x 满足
()()121f x f x =，且()f x 在区间,312ππ??-
????
上具有单调性，点,06π??
- ???和直线
712
x π
=
分别为()f x 图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（ ） A. ()f x 在区间,62ππ??
???
上的单调性无法判断
B. ()f x 图象的一个对称中心为59,06π??
???
C. ()f x 在区间,44ππ??-
????
上的最大值与最小值的和为1
2
D. 将()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移
6
π
个单位得到()y g x =的图象，则()cos g x x =-
【答案】BC 【解析】 【分析】
根据条件求出()sin 23f x x π?
?
=+ ??
?
，然后利用正弦型函数的图象及其性质逐一判断即可. 【详解】由题意得70,
,6
122
x k k ωπ
ωπ
??π-+=+=+∈Z ，即4132k ω??=+ ???
， 又()f x 在区间2,23ππ??-
????上至少存在两个最大值或最小值，且在区间,312ππ??
-????
上具有单调
性，
所以5123122272326
T T ππππωππππ
ω???--=≤= ?????????--=≥= ?????，所以1212
75ω≤≤ 所以只有1k =时满足，此时2,3
π
ω?==
，即()sin 23f x x π?
?
=+
??
?
， 因为
6
2
x π
π
<<
，所以
242333x πππ
<+<，所以()f x 在区间,62ππ?? ???
上单调递减，故A 错误； 由5922063πππ?
+=，所以59,06π??
???为()f x 图象的一个对称中心，故B 正确； 因为44
x ππ-，所以min 52,()6364x f x f ππππ??
-+=- ??? max 1sin ,()sin 162122f x f πππ????
=-=-=== ? ?????，所以最大值与最小值之和为12
，故C 正确；
将()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到sin 3y x π?
?
=+
??
?
的图象，再向左平移6π
个单位，得到sin sin cos 632y x x x πππ????=++=+= ? ????
?的图象，
即()cos g x x =，故D 错误. 综上，BC 正确 故选：BC
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是熟练掌握三角函数的图象与性质，细心计算即可得解.
三?填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知等比数列{}n a 的前n 项和2n n S a b =+?，且52,9,a a 成等差数列，则-a b 的值为___________. 【答案】-2 【解析】 【分析】
根据等比数列{}n a 的前n 项和2n
n S a b =+?，利用11,2
,1
n n n S S n a S n --≥?=?=?，求得n a ，然后再
52,9,a a 成等差数列求解.
【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和2n n S a b =+?，
当2n ≥时；()()
1
1122
2n n n n n n a S S a b a b b ---=-=+?-+?=?； 当1n =时，01122a S a b b ==+=?， 所以0a b +=①， .又52,9,a a 成等差数列，
所以2518a a +=，即42218b b +?=② .由①②解得1,1a b =-=， 所以2a b -=-. 故答案为：-2
14. 已知函数()sin cos (0,0)f x a x x a ωωω=+>>的最大值为2.若函数()f x 在区间[]0,7上至少取得两次最大值，则ω的最小整数值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】
先将函数转化为2()sin cos 1sin()f x a x x a x ωωω?=+=++，根据()f x 的最大值为2，212a +=求得a ，然后根据()f x 在区间[]0,7上至少取得两次最大值确定ω的范围即可. 【详解】因为2()sin cos 1sin()f x a x x a x ωωω?=+=++， 所以()f x 212a +=， 解得3a =
3a =舍去)，
所以()3cos 2sin 6f x x x x πωωω?
?=+=+ ??
?，
当2,6
2
x k k π
π
ωπ+
=
+∈Z 时，函数()f x 取得最大值，
当0x >时，取得前两个最大值时，k 分别为0和1， 当1k =时，由26
2
x π
π
ωπ+
=
+，得773x π
ω
=
，
所以3
π
ω
，
所以ω的最小整数值为2.
【点睛】方法点睛：解决三角函数图象与性质综合问题的方法：先将y ＝f (x )化为y ＝a sin x ＋b cos x 的形式，然后用辅助角公式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式，再借助y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．
15. 记函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，,0,()1,0.kx x g x x x
≥??
=?-
()()f x g x =在区间[]5,5-上有7个不同的实数根，则实数k 的取值范围为___________.
【答案】11,54??
????
【解析】 【分析】
在同一直角坐标系内，画出()f x ，()g x 的图像，结合图形，由题中条件，即可得出结果. 【详解】在同一直角坐标系内，作出函数()f x ，()g x 的图象，如图所示，
由图像可得，函数()y g x =与()y f x =在区间[5,0)-内有3个交点， 即方程()()f x g x =在区间[5,0)-上有3个实根，
故方程()()f x g x =在区间[0,5]上有4个不同实根，即只需()y g x =与()y f x =在区间
[]0,5内有4个交点，
当直线y kx =经过点()4,1时，1
4k =
，经过点()5,1时，15k =. 若在区间[0,5]上有4个根，则11,54k ??
∈????
.
故答案为：11,
54??
????
. 【点睛】方法点睛：
已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)的常用方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
16. 在ABC ?中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22b a ac -=，则
B
A
=__________；cos b A a
a b
+的取值范围为___________. 【答案】 (1). 2 (2). 35,22??
???
【解析】 【分析】
由余弦定理可转化条件为2cos c a B a -=，再由正弦定理及三角恒等变换即可得B
A
；再由正弦定理可得
2cos 1
2cos 2cos b A a A a b A
+=+，换元后结合导数即可得解. 【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2222cos b a c ac B -=-， 所以22cos c ac B ac -?=，即2cos c a B a -=，
由正弦定理得sin 2sin cos sin C A B A -=，即sin()2sin cos sin A B A B A +-=， 所以sin cos cos sin 2sin cos sin A B A B A B A +-=即sin()sin B A A -=， 因为(),0,A B π∈，所以B A A -=或()B A A π-+=(舍去)，所以2B A =，即2B
A
=； 因为3(0,)A B A π+=∈，所以0,3A π??
∈ ??
?
， 所以
cos sin cos sin sin 2cos sin sin sin sin sin 2b A a B A A A A A
a b A B A A +=+=+=212cos 2cos +A A
， 令1cos ,12x A ??=∈ ???
，则2
11()2,,122f x x x x ??=+∈ ???，322181()4022x f x x x x -'=-=
>，
所以()f x 在区间1,12??
???上单调递增，
又135,(1)222f f ??== ???，所以35(),22f x ??
∈ ???
.
故答案为：2；35,22??
???
. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用正弦、余弦定理对条件合理变形，再利用换元、导数确定函数的取值范围.
四?解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
17. 如图，在圆内接ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足
cos cos 2cos a C c A b B +=.
（1）求B ；
（2）若点D 是劣弧AC 上一点，AB =2，BC =3，AD =1，求四边形ABCD 的面积 【答案】（1）3
B π
=；（2）3【解析】 【分析】
（1）根据正弦定理化简即可．
（2）在ABC ，利用余弦定理求出AC ，已知B ，可得ADC ∠，再余弦定理求出DC ，即可ABC 和ADC 面积，可得四边形ABCD 的面积．
【详解】解：（1）由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=， 得sin 2sin cos B B B =. 因为0,sin 0B B π<<≠，
所以1cos 2
B =
，即3B π=.
（2）在ABC 中AB =2，BC =3，3
B π
=，2222
49cos 3212AB BC AC AC AB BC π
+-+-==?，
解得7AC =.
在ADC 中，7,1AC AD ==，A ，B ，C ，D 在圆上， 因为3
B π
=
，所以23
ADC ∠=
π
， 所以22222171cos 3222
AD DC AC DC AD DC DC π+-+-===-?， 解得2DC =或3DC =-（舍去）， 所以四边形ABCD 的面积121sin sin 232323
ABC
ADC
S S
S
AD DC AB BC ππ
=+=
?+?=. 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
18. 已知数列{}n a 的前n 项和为1,1,0n n S a a =>22
11n n n S a S λ++=-,其中λ为常数.
(1)证明: 12n n S S λ+=+；
(2)是否存在实数λ,使得数列{}n a 为等比数列,若存在,求出λ;若不存在,说明理由. 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】 分析：（1）
11n n n a S S ++=-，2211n n n S a S λ++=-，∴()2
2
11n n n n S S S S λ++=--，整理后即
得结果；（2）由（1）可得()122n n a a n +=≥，检验n=1也适合即可. 详解：（1）
11n n n a S S ++=-，2211n n n S a S λ++=-，
()2
2
11n n n n S S S S λ++∴=--，
()1120n n n S S S λ++∴--=，
10,0n n a S +∴>∴>， 120n n S S λ+∴--=； 12n n S S λ+∴=+，
（2）
12n n S S λ+=+，
()122n n S S n λ+=+≥，
相减得：()122n n a a n +=≥，
{}n a ∴从第二项起成等比数列，
212S S λ=+即2112a a a λ+=+， 210a λ∴=+>得1λ>-，
()21,
12,n n a λ-+?∴=?? ,1
,2
,n n =≥
若使{}n a 是等比数列
则2
132a a a =，
()()2
211λλ∴+=+，
1λ∴=-（舍）或1λ=经检验得符合题意．
点睛：已知n S 求n a 的一般步骤：（1）当1n =时，由11a S =求1a 的值；（2）当2n ≥时，由
1n n n a S S -=-，求得n a 的表达式；（3）检验1a 的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则
分段表示n a ；（4）写出n a 的完整表达式. 19. 在①
3AN
BN
=，②43AMN S =△③AC AM =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解.问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3
B π
=
，
8c =，点M ，N 是BC 边上的两个三等分点，3BC BM =，____________，求AM 的长和ABC 外接圆半径.注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.
【答案】答案见解析 【解析】 【分析】
若选择条件①，BM t =，用余弦定理2222cos AN AB BN AB BN B =+-?，求得t ，再用余弦定理求得AM ，AC ，最后由正弦定理可得外接圆半径；
若选择条件②，由三角形面积求得BC ，得BM ，然后用余弦定理求得AM ，AC ，利用正弦定理求得外接圆半径；
若选择条件③，设BM t =，用余弦定理表示出,AM AC 后解得t ，然后同样由余弦定理求得
,AM AC ，用正弦定理求得外接圆半径．
【详解】若选择条件① 因为
3AN
BN =，所以23AN BM
= 设BM t =，所以23AN t =；又60B =?，8c =， 所以在ABN 中，2222cos AN AB BN AB BN B =+-?， 即222(23)84282cos 60t t t =+-???， 即：2280t t +-=， 所以2t =或-4（舍去）.
在ABM 中，22222cos 84282cos6052AM AB BM AB BM B =+-?=+??-?=， 所以213AM =，
同样222222cos 86286cos6052AC AB BC AB BC B =+-?=+??-?=， 所以213AC =
由正弦定理可得：
213439
2sin sin 6033
2
b AC R B =
===?， 所以外接圆半径为239
R =. 若选择条件②
因为点M ，N 是BC 边上的三等分点，且43AMN S =△， 所以123ABC
S
=
因为60B =?，所以113
123sin 60822ABC S AB BC BC ==??=??△ 所以6BC =，所以2BM =.
在ABM 中，22222cos 84282cos6052AM AB BM AB BM B =+-?=+??-?=， 所以213AM =，
同样222222cos 86286cos6052AC AB BC AB BC B =+-?=+??-?=， 所以213AC =，
由正弦定理可得：
213439
2sin sin 6033
2
b AC R B =
===?，
所以外接圆半径为239
R =. 若选择条件③
设BM t =，则3BC t =， 在ABM 中，
2222cos AM AB BM AB BM B =+-?2222828cos6088t t t t =+-?=+-?，
同样在ABC 中，
2222cos AC AB BC AB BC B =+-?22289283cos6064924t t t t =+-???=+-，
因为AC AM =，所以2228864924t t t t +-=+-， 所以2t =，
在ABM 中，2222cos AM AB BM AB BM B =+-?284282cos6052=+??-?=， 所以213AM =，
同样2222cos AC AB BC AB BC B =+-?2286286cos6052=+-??=?， 所以213AC =
由正弦定理可得：
213439
2sin sin 6033
2
b AC R B =
===?， 所以外接圆半径为239
R =
. 【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，掌握两个定理的应用是解题关键．属于中档题．
20. 设函数22
3
2
2
3()3,()33,22a a f x x x ax g x ax x a ??=-+=-++-
∈ ???
R . （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若函数[]()23
()()()0,222
a x f x g x x x ?=
--∈在0x =处取得最大值，求a 的取值范围. 【答案】（1）当3a ≥时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；
当3a <时，()f x 的单调递增区间为93,1a ?--∞- ??和931a
??-++∞ ? ???，单调递减区间为93931a a ?---+ ??；（2）6,5?
?-∞ ???
. 【解析】 【分析】
（1）先对()f x 求导，对导函数分3a ≥和3a <两种情况讨论即可. （2）因为函数()x ?在0x =处取得最大值，所以
[]23223
133(0)()(1)3,0,22222
a x ax a x x a x ??==+--+∈，利用分离参数法转化为不等式恒成
立问题，求函数的最值即可.
【详解】解：（1）()2
2()36313f x x x a x a '=-+=-+-， 当3a ≥时，()0f x '≥，
所以()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间； 当3a <时，令()0f x '>，得9313a x -<-
或9313
a
x ->+， 所以()f x 的单调递增区间为93,1a ?--∞ ??和931a
??-+∞ ? ???
令()0f x '<，得939311a a
x --<<， 所以()f x 的单调递减区间为93931a a ?-- ??
. 综上，当3a ≥时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；
当3a <时，()f x 的单调递增区间为93,1a ?--∞- ??和931a ??-++∞ ? ???，单调递减区间为93931a a ?---+ ??
. （2）由题意得[]32
2133()(1)3,0,2222
x ax a x x a x ?=+--+∈.
因为函数()x ?在0x =处取得最大值，
所以[]232
23133(0)()(1)3,0,22222
a x ax a x x a x ??==+--+∈，
即[]32
13(1)30,0,222
ax a x x x +--∈， 当0x =时，显然成立. 当(]
0,2x ∈时，得
()213
13022
ax a x +--≤， 即
()()
()()()2
232323
2
322221+2
x x a
x x
x x x x ++=
=
++-+-+-
-. 令(]22,4t x =+∈，则2
()1,(2,4]t
h t t t =-
-∈， ()2210h t t '=+
>恒成立，所以 2()1,(2,4]t h t t t =--∈是增函数，5()0,2h t ??
∈ ???
，
所以3
6
25(2)12
x x +--+，即6
5a ， 所以a 的取值范围为6,5
??-∞ ??
?
.
【点睛】思路点睛：对含参数的函数求单调区间，根据导函数分类讨论是解决这类题的一般方法；已知函数的最大值求参数的取值范围，往往转化为不等式恒成立问题，如果能分离参数的话，分离参数是解决这类题的常用方法，然后再求函数的最值即可.
21. 甲?乙两名同学在复习时发现他们曾经做过的一道数列题目因纸张被破坏导致一个条件看不清，具体如下等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知____________， （1）判断123,,S S S 的关系并给出证明.