导数在研究函数中的应用
一、自主梳理
1．导数和函数单调性的关系：
(1)若f ′(x )>0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ，b )上是______函数，f ′(x )>0的解集与定义域的交集的对应区间为______区间；
(2)若f ′(x )<0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ，b )上是______函数，f ′(x )<0的解集与定义域的交集的对应区间为______区间；
(3)若在(a ，b )上，f ′(x )≥0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零?f (x )在(a ，b )上为______函数，若在(a ，b )上，f ′(x )≤0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零?f (x )在(a ，b )上为______函数． 2．函数的极值
(1)判断f (x 0)是极值的方法
一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，
①如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x )；
②求方程________的根；
③检查f ′(x )在方程________的根左右值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得________；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得________．
3. 自我检测
1.已知f (x )的定义域为R ，f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则( ) A ．f (x )在x ＝1处取得极小值 B ．f (x )在x ＝1处取得极大值
C ．f (x )是R 上的增函数
D ．f (x )是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数 2．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是 ( )
A ．(－∞，2)
B ．(0,3)
C ．(1,4)
D ．(2，＋∞)
3．已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x ) ( ) A ．在(－∞，0)上为减函数 B ．在x ＝0处取极小值 C ．在(4，＋∞)上为减函数 D ．在x ＝2处取极大值
4．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥4
3，则p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，则f (2)＝________.
二、考点分析
探究点一 函数的单调性
例1 已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；
(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围；
(3)函数f (x )能否为R 上的单调函数，若能，求出a 的取值范围；若不能，请说明理由．
变式迁移1 已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )． (1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a ，b 的值； (2)若函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．
探究点二 函数的极值
例2 若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－4
3
.
(1)求函数f (x )的解析式； (2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围．
变式迁移2 设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点．
(1)试确定常数a 和b 的值； (2)试判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．
探究点三 求闭区间上函数的最值
例3 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝2
3
时，y ＝f (x )
有极值．
(1)求a ，b ，c 的值； (2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．
变式迁移3 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数． (1)求f (x )的表达式； (2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值和最小值．
三、知识扩展
分类讨论求函数的单调区间
例 已知函数f (x )＝1
2
x 2－ax ＋(a －1)ln x ，a >1.
(1)讨论函数f (x )的单调性； (2)证明：若a <5，则对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2，有f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2>－1.
【突破思维障碍】
(1)讨论函数的单调区间的关键是讨论导数大于0或小于0的不等式的解集，一般就是归结为一个一元二次不 等式的解集的讨论，在能够通过因式分解得到导数等于0的根的情况下，根的大小是分类的标准； (2)利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数，通过函数研究函数的性质进而解决不等式问题．
四、课堂小结
1．求可导函数单调区间的一般步骤和方法： (1)确定函数f (x )的定义域；
(2)求f ′(x )，令f ′(x )＝0，求出它在定义域内的一切实根；
(3)把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f (x )的定义区间分成若干个小区间；
(4)确定f ′(x )在各个开区间内的符号，根据f ′(x )的符号判定函数f (x )在每个相应小开区间内的增减性． 2．可导函数极值存在的条件：
(1)可导函数的极值点x 0一定满足f ′(x 0)＝0，但当f ′(x 1)＝0时，x 1不一定是极值点．如f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．
(2)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同． 3．函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的．函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值． 4．求函数的最值以导数为工具，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
五、课堂练习
一、选择题
1．设f (x )，g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )、g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且f ′(x )·g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a
C ．f (x )g (x )>f (b )g (b )
D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )
2.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点 ( ) A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．若函数y ＝a (x 3－x )在区间?
??
?
－
33，
33上为减函数，则a 的取值范围是 ( ) A ．a >0 B ．－11
D ．0 4．已知函数f (x )＝1 2x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥3 2 B ．m >32 C ．m ≤32 D ．m <3 2 5．设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则 ( ) A ．a >－3 B ．a <－3 C ．a >－1 3 D ．a <－1 3 二、填空题 6．若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1 在x ＝1处取极值，则a ＝________. 7．已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如右图所示，给出以下结论： ①函数f (x )在(－2，－1)和(1,2)上是单调递增函数； ②函数f (x )在(－2,0)上是单调递增函数，在(0,2)上是单调递减函数； ③函数f (x )在x ＝－1处取得极大值，在x ＝1处取得极小值； ④函数f (x )在x ＝0处取得极大值f (0)． 则正确命题的序号是________．(填上所有正确命题的序号)． 8．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围为________． 三、解答题 9．求函数f (x )＝2x ＋1 x 2＋2的极值． 10．已知a 为实数，且函数f (x )＝(x 2－4)(x －a )． (1)求导函数f ′(x )； (2)若f ′(－1)＝0，求函数f (x )在[－2,2]上的最大值、最小值． 11．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，且函数g (x )＝f ′(x )＋6x 的图象关于y 轴对称． (1)求m ，n 的值及函数y ＝f (x )的单调区间； (2)若a >0，求函数y ＝f (x )在区间(a －1，a ＋1)内的极值． 导数的综合应用 一、自主梳理 1．函数的最值 (1)函数f (x )在[a ，b ]上必有最值的条件 如果函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ]上________，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤： ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的________； ②将函数y ＝f (x )的各极值与________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 2．实际应用问题：首先要充分理解题意，列出适当的函数关系式，再利用导数求出该函数的最大值或最小值，最后回到实际问题中，得出最优解． 3. 自我检测 1．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为 ( ) A ．0≤a <1 B ．0 C ．－1 D ．0 2 2．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 3．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有 ( ) A ．f (0)＋f (2)<2f (1) B ．f (0)＋f (2)≤2f (1) C ．f (0)＋f (2)≥2f (1) D ．f (0)＋f (2)>2f (1) 4．函数f (x )＝1 2e x (sin x ＋cos x )在区间????0，π2上的值域为______________． 5．f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________． 二、考点分析 探究点一 求含参数的函数的最值 例1 已知函数f (x )＝x 2e －ax (a >0)，求函数在[1,2]上的最大值． 变式迁移1 设a >0，函数f (x )＝a ln x x . (1)讨论f (x )的单调性； (2)求f (x )在区间[a,2a ]上的最小值． 探究点二 用导数证明不等式 例2 已知f (x )＝1 2 x 2－a ln x (a ∈R )， (1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <2 3x 3. 变式迁移2 设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值； (2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1. 探究点三 实际生活中的优化问题 例3 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元(3≤a ≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x 元(9≤x ≤11)时，一年的销售量为(12－x )2万件． (1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x 的函数关系式； (2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q (a )． 变式迁移3 甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x (元)与年产量t (吨)满足函数关系x ＝2 000t .若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S 元(以下称S 为赔付价格)． (1)将乙方的年利润ω(元)表示为年产量t (吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量； (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y ＝0.002t 2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提 下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少？ 三、知识扩展 转化与化归思想的应用 例已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1. (1)若xf′(x)≤x2＋ax＋1，求a的取值范围；(2)证明：(x－1)f(x)≥0. 【突破思维障碍】 本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识，通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想．通过转化，本题实质还是利用单调性求最值问题． 四、课堂小结 1．求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要分类讨论参数的范围．若已知函数单调性求参数范围时，隐含恒成立思想． 2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤： (1)分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式y＝f(x)； (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数的区间端点对应的函数值和极值，确定最值； (4)回到实际问题，作出解答． 五、课堂练习 一、选择题 1．已知曲线C：y＝2x2－x3，点P(0，－4)，直线l过点P且与曲线C相切于点Q，则点Q的横坐标为() A．－1 B．1 C．－2 D．2 2．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图所示，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是() 3．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能是( ) 4．函数f (x )＝－x 3＋x 2＋tx ＋t 在(－1,1)上是增函数，则t 的取值范围是 ( ) A ．t >5 B ．t <5 C ．t ≥5 D ．t ≤5 5．若函数f (x )＝sin x x ，且0 x 2，则a ，b 的大小关系是 ( ) A ．a >b B ．a C ．a ＝b D ．a 、b 的大小不能确定 二、填空题 6．在直径为d 的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为________．(强度与bh 2成正比，其中h 为矩形的长，b 为矩形的宽) 7．要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3 m ，长和宽的和为20 m ，则仓库容积的最大值为________m 3. 8．若函数f (x )＝4x x 2＋1在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则实数m 的取值范围为________． 三、解答题 9．已知函数f (x )＝1 2 (1＋x )2－ln(1＋x )． (1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈[1 e －1，e －1]时， f (x ) 10．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k 3x ＋5 (0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元， 设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f (x )的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 11．设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax ＋b x ，函数f (x )的图象与x 轴的交点也在函数g (x )的图象上，且在此点有公共 切线． (1)求a 、b 的值；(2)对任意x >0，试比较f (x )与g (x )的大小． 定积分及其简单的应用 一、自主梳理 1．定积分的几何意义：如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分的几何意义是直线________________________所围成的曲边梯形的________． 2．定积分的性质 (1) ()b a kf x dx ? ＝__________________ (k 为常数)； (2) ()()12b a f x f x dx ±????? ＝_____________________________________； (3) ()b a f x dx ?＝_______________________________________. 3．微积分基本定理 一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么 ()()()b a f x dx F a F b =-?，这个结 论叫做________________________，为了方便，我们常把()()F a F b -记成___________________________，即 ()()()()b b a a f x dx F x F a F b ==-? ． 4．定积分在几何中的应用 (1)当x ∈[a ，b ]且f (x )>0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积S ＝__________. (2)当x ∈[a ，b ]且f (x )<0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积S ＝__________. (3)当x ∈[a ，b ]且f (x )>g (x )>0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积S ＝______________________. (4)若f (x )是偶函数，则 ()()0 2a a a f x dx f x dx -=? ?；若f (x )是奇函数，则()0a a f x dx -=?. 5．定积分在物理中的应用 (1)匀变速运动的路程公式 做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )[v (t )≥0]在时间区间[a ，b ]上的定积分，即_____． (2)变力做功公式 一物体在变力F (x )(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b (a 3xdx ? 的值为 ( ) A.752 B ．75 C.25 2 D ．25 2．定积分()1 2011x x dx ??---???? ?等于( ) A.π－24 B.π 2－1 C.π－14 D.π－1 2 3．如右图所示，阴影部分的面积是( ) A ．2 3 B ．2－ 3 C.32 3 D.353 4． 4 2 1 0dx x =? 等于 ( ) A ．－2ln 2 B ．2ln 2 C ．－ln 2 D ．ln 2 5．若由曲线y ＝x 2＋k 2与直线y ＝2kx 及y 轴所围成的平面图形的面积S ＝9，则k ＝________. 二、考点分析 探究点一 求定积分的值 例1 计算下列定积分： (1)21 11()e x dx x x ++? ； (2)2 0sin 2cos )x x dx π -?（； (3) ()0 2sin 32x x e dx π -+?； (4) 2 20 1x dx -?； 变式迁移1 计算下列定积分： (1) 20 sin xdx π ? ； (2) 20 sin xdx π ?. 探究点二 求曲线围成的面积 例2 计算由抛物线y ＝1 2x 2和y ＝3－(x －1)2所围成的平面图形的面积S . 变式迁移2 计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积． 探究点三 定积分在物理中的应用 例3 一辆汽车的速度－时间曲线如图所示，求此汽车在这1 min 内所行驶的路程． 变式迁移3A、B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B站，电车开出t s后到达途中C点，这一段速度为1.2t m/s，到C点时速度达24 m/s，从C点到B点前的D点以匀速行驶，从D点开始刹车，经t s后，速度为(24－1.2t)m/s，在B点恰好停车，试求： (1)A、C间的距离；(2)B、D间的距离；(3)电车从A站到B站所需的时间． 四、知识扩展 函数思想的应用 例在区间[0,1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值． 【突破思维障碍】 本题既不是直接求曲边梯形面积问题，也不是直接求函数的最小值问题，而是先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值，难点在于把用导数求函数最小值的问题置于先求定积分的题境中，突出考查学生知识的迁移能力和导数的应用意识． 四、课堂小结 1．定积分 ()b a f x dx ?的几何意义就是表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的 面积；反过来，如果知道一个这样的曲边梯形的面积也就知道了相应定积分的值，如2 20 4x dx π-=? (半 径为2的1 4 个圆的面积)， 2 22 42x dx π--=? 。 2．运用定积分的性质可以化简定积分计算，也可以把一个函数的定积分化成几个简单函数定积分的和或差． 3．计算一些简单的定积分问题，解题步骤是：第一步，把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数积的和或差；第二步，把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；第三步，分别用求导公式找到一个相应的使F ′(x )＝f (x )的F (x )；第四步，再分别用牛顿—莱布尼茨公式求各个定积分的值后计算原定积分的值． 五、课堂练习 一、选择题 1．下列值等于1的积分是 ( ) A ． 1 xdx ? B ．()1 1x dx +? C ．1 01 2dx ? D ． 1 1dx ? 2．设函数f (x )＝? ???? x 2 ＋1，0≤x ≤1， 3－x ，1 ()2 f x dx ?等于 ( ) A.1 3 B.17 6 C ．6 D ．17 3．已知f (x )为偶函数且()6 8f x dx =? ，则()6 6 f x dx -?等于 ( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．16 4．曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π 2所围成的平面区域的面积为( ) A ． ()20 sin cos x x dx π-? B ．()40 2sin cos x x dx π -? C ． ()20 cos sin x x dx π-? D ．()40 2cos sin x x dx π -? 5．函数f (x )＝?x 0t (t －4)d t 在[－1,5]上 ( ) A ．有最大值0，无最小值 B ．有最大值0，最小值－323 C ．有最小值－32 3，无最大值 D ．既无最大值也无最小值 二、填空题 6．若1 N 的力使弹簧伸长2 cm ，则使弹簧伸长12 cm 时克服弹力做的功为__________J. 7． ()1 212k x dx +=?，则k ＝________. 8．若f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3，则()3 f x dx ?＝________. 三、解答题 9．计算以下定积分： (1) 2 21 12x dx x ?? - ???? ； (2) 321x dx x ??+ ?? ??； (3) ()3 sin sin 2x x dx π -?； (4) 2 1 32xdx -? . 10．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x －2. (1)求y ＝f (x )的表达式； (2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积． 11．求曲线y ＝e x －1与直线x ＝－ln 2，y ＝e －1所围成的平面图形的面积． 导数的综合应用 一、教材分析 我们在复习过程中，发现学生对于导数能够运用，但在具体运用过程中，问题比较多的是如何运用导数去解决问题的手段或解决问题的途径不够宽，或解法不是很灵活。因此，我通过本堂课进一步巩固这部分内容，利于学生进一步地掌握导数知识的运用：确定单调性、求极值、求最值、求切线的斜率从而解决恒成立与不等式问题应用。二、学情分析 根据教材结构与内容分析，结合高考考纲要求，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点。 三、教学目标 知识与技能： 通过高考中涉及到导数的常见题型，在学生掌握求曲线斜率，判断函数单调性，及如何求极值，最值的基础上，总结出两种常见题型。 过程与方法： 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力。 通过问题的探究体会数形结合，分离变量，构造函数的数学思想。 情感、态度与价值观： 通过常见题型的常见解决方法，是学生认识到解决有关导数的综合问题并不复杂，从而激发学生的学习兴趣。 四、教学重点、难点 教学重点：利用导数判断函数单调性，极值，最值。 教学难点：以导数为工具处理恒成立问题，及证明不等式。 教学过程 本节课教学过程主要分为：知识回顾，典例示范，知识小结，考点测评，高考赏析五个板块 【知识回顾】（重在对知识的进一步理解和掌握。有利于构建知识网络，回归教材而高于教材） 1.导数定义，判断函数单调性，求极值，最值的方法。 【注】由学生自己来归纳，目的是加强学生的印象。 2.课前热身： （1）已知直线 ax-by-2=0 与曲线 在点（1，1）处的切线互相垂直，则 = ， （2）函数 ， 在 上的最大值和最小值分别为 【注】（1）学生阅读并回顾知识要点，巩固基础。 （2）导数的几何意义，考察函数的单调区间、极值、最值等性质。这是导数运用过程中最常用的。 （3）注意极值不一定是最值，要考虑函数区间的开闭及单调性。 【典例示范】 例一：已知函数 （1）求f(x)的最小值。 （2）若对所有x 1都有 ，求实数a 的取值范围。 解析：需先求出定义域 【注】在求最值之前须讨论函数的定义域，利用分离变量的方法解决恒成立问题。这也是本节课的重点。 【注】当某区间只有一个极大（小）值时，该值就是最大（小)值 例二：已知向量 若函数在区间 上是增函数，求t 的取值范围。 解析： 由f(x)在(-1,1)上单调递增，可知 恒成立，即 移项有 令 只须求g(x)在 的最大值 . 3 y x =a b 32 23125y x x x =--+[]0,3()ln f x x x =≥()1f x ax ≥-'''min 10110,11()()()()()e e e x f e e f x f x f x f ><==- 且=lnx+1,令，则x>,则0 导数综合应用复习题标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N] 导数综合应用复习题 一、知识回顾： 1．导数与函数单调性的关系 设函数()f x 在某个区间内可导，则在此区间内： （1）0)(>'x f ?)(x f ↗，)(x f ↗?()0f x '≥； （2）0)(≠'x f 时，0)(>'x f ?)(x f ↗ （单调递减也类似的结论） 2．单调区间的求解过程：已知)(x f y = （1）分析)(x f y =的定义域； （2）求导数)(x f y '='； （3）解不等式0)(>'x f ，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式0)(<'x f ，解集在定义域内的部分为减区间 3．函数极值的求解步骤： （1）分析)(x f y =的定义域； （2）求导数)(x f y '='并解方程()0f x '=； （3）判断出函数的单调性； （4）在定义域内导数为零且由增变减的地方取极大值； 在定义域内导数为零且由减变增的地方取极小值。 4．函数在区间内的最值的求解步骤： 利用单调性或者在求得极值的基础上再考虑端点值比较即可。 二、例题解析： 例1、已知函数321()13 f x x ax ax =+++ （1）若在R 上单调，求a 的取值范围。 （2）问是否存在a 值，使得()f x 在[]1,1-上单调递减， 若存在，请求a 的取值范围。 解：先求导得2()2f x x ax a '=++ （1 ）()f x 在R 上单调且()f x '是开口向上的二次函数 ∴()0f x '≥恒成立，即0?≤ ∴2 440a a -≤，解得01a ≤≤ （2）要使得()f x 在[]1,1-上单调递减 且()f x '是开口向上的二次函数 ∴()0f x '≤对[]1,1x ∈-恒成立， 即()()11201120 f a a f a a '-=-+≤???'=++≤?? 解得a ∈? ∴不存在a 值，使得()f x 在[]1,1-上单调递减。 例2、已知函数321()313 f x x x x =+-+， 2()2 g x x x a =-++ （1）讨论方程()f x k =（k 为常数）的实根的个数。 a - a (- ),( , +∞) 单调递增， 在 (- （ 2020 年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 含参数的分类讨论 例1 已知函数 f ( x ) = ax 3 - 12 x ，导函数为 f '( x) ， （1）求函数 f ( x ) 的单调区间； （2）若 f '(1)= -6, 求函数f ( x ) 在[—1，3]上的最大值和最小值。 【答案】略 【解析】（I ） f '( x ) = 3ax 2 - 12 = 3(ax 2 - 4) ，（下面要解不等式 3(ax 2 - 4) > 0 ，到了分类讨论的时机，分 类标准是零） 当 a ≤ 0时, f '( x ) < 0, f ( x )在(-∞, +∞) 单调递减； 当 a > 0时,当x 变化时, f '( x ), f ( x ) 的变化如下表： x (-∞, - 2 ) 2 2 2 , ) a a 2 a ( 2 a , +∞) f '( x ) + 0 — + f ( x ) 极大值 极小值 此时， f ( x )在(-∞, - 2 2 6 a 2 2 , ) 单调递减； a a （II ）由 f '(1) = 3a -12 = -6, 得a = 2. 由（I ）知， f ( x )在(-1, 2) 单调递减 ,在( 2 ,3)单调递增。 【易错点】搞不清分类讨论的时机，分类讨论不彻底 【思维点拨】分类讨论的难度是两个， 1）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理， 由于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，要做到不 重复一遗漏。还要注意一点的是，最后注意将结果进行合理的整合。 题型二 已知单调性求参数取值范围问题 例 1 已知函数 f ( x) = 1 3 x 3 + x 2 + ax - 5 ， 若函数在[1,+∞) 上是单调增函数，求 a 的取值范围 导数的综合应用题型及 解法 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】 导数的综合应用题型及解法 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 1．已知函数2)()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ； 题型二：利用导数几何意义求切线方程 2．求下列直线的方程： （1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2 x y =过点P(3,5)的切线； 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 3．已知函数 ))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 4．已知三次函数 32()f x x ax bx c =+++在1x =和1x =-时取极值，且(2)4f -=-． (1) 求函数()y f x =的表达式； (2) 求函数()y f x =的单调区间和极值； 5．设函数()()()f x x x a x b =--． （1）若()f x 的图象与直线580x y --=相切，切点横坐标为２，且()f x 在1x =处取极值，求实数,a b 的值； （2）当b=1时，试证明：不论a 取何实数，函数()f x 总有两个不同的极值点． 题型四：利用导数研究函数的图象 6．如右图：是f （x ）的导函数， )(/x f 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ D ） （A ） （B ） （C ） （D ） 7．函数的图像为14313+-=x x y ( A ) x y o 4 -2 4 -2 - -x y o 4 -2 4 -2 --x y y 4 -2 4 -2 --6 6 6 6 y x -4 -2 o 4 2 2 4 §3.4 导数的综合应用 基础知识 自主学习 要点梳理 1.利用导数研究函数单调性的步骤 (1)求导数 )(' x f ； (2)在函数)(x f 的定义域内解不等式)('x f >0或)(' x f <0； (3)根据(2)的结果确定函数)(x f 的单调区间 2．求可导函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域；(2)求导数 )('x f ；(3)解方程)(' x f ＝0，求 出函数定义域内的所有根；(4)列表检验)('x f 在)(' x f ＝0的根x 0 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么)(x f 在x 0 处取极大值，如果左负右正，那么)(x f 在x 0 处取极小值． 3．求函数f (x)在闭区间[a ，b]内的最大值与最小值 (1)确定函数 )(x f 在闭区间[a ，b]内连续、可导； (2)求函数)(x f 在开区间(a ，b)内的极值； (3)求函数)(x f 在[a,b]端点处的函数值f (a)，f (b); (4)比较函数 )(x f 的各极值与f (a)，f (b)的大小，其中最大的一个是最 大值,最小的一个是最小值. 4．利用导数解决实际生活中的优化问题 (1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问 题的数学模型，写出相应的函数关系式y ＝)(x f ； (2)求导数 )(' x f ，解方程)(' x f ＝0； (3)判断使)(' x f ＝0的点是极大值点还是极小值点； (4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中 作答．一般地，对于实际问题，若函数在给定的定 义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点． 基础自测 1．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________． 2．若 )(x f ＝x 3 ＋3ax 2 ＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为 __________________________． 3．若函数 )(x f ＝x ＋asin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为 4.设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) 导数的综合应用 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．（06江西卷）对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1) f ' (x ) ≥0，则必有（ C ） A ． f (0)＋f (2)<2f (1) B. f (0)＋f (2) ≤2f (1) C. f (0)＋f (2) ≥2f (1) D. f (0)＋f (2) >2f (1) 解：依题意，当x ≥1时，f ' (x )≥0，函数f (x )在（1，＋∞）上是增函数；当x <1时，f ' (x )≤0，f (x )在（－∞， 1）上是减函数，故f (x )当x ＝1时取得最小值，即有f (0)≥f (1)，f (2)≥f (1)，故选C 2．（06全国II ）过点（－1，0）作抛物线y=x 2+x +1的切线，则其中一条切线为 （A ）2x+y +2=0 （B ）3x-y +3=0 （C ）x+y+1=0 （D ）x-y+1=0 解：y '=2x +1，设切点坐标为(x 0,y 0)，则切线的斜率为2x 0+1，且y 0=x 02+x 0+1 于是切线方程为y -(x 02+x 0+1)=(2x 0+1)(x-x 0)，因为点（－1，0）在切线上，可解得 x 0＝0或－4，代入可验正D 正确。选D 3.（06四川卷）曲线y =4x-x 3在点(-1,-3)处的切线方程是D （A ）y=7x+4 （B ）y=7x+2 （C ）y=x-4 （D ）y=x-2 解：曲线y =4x-x 3，导数y '=4-3x 2，在点(-1,-3)处的切线的斜率为k=1，所以切线方程是y=x-2，选D. 4.（06天津卷）函数f (x )的定义域为开区间(a,b )，导函数f ' (x )在(a,b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a,b )内有极小值点（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 4个 解析：函数f (x )的定义域为开区间(a,b )，导函数f ' (x )在(a,b )内的图象如图所示，函数f (x )在开区间(a,b )内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A. 5.（浙江卷）f (x )=x 3-3x 2+2在区间[-1,1]上的最大值是 (A)-2 (B)0 (C)2 (D)4 解：f ' (x )=3x 2-6x =3x (x -2)，令f ' (x )=0可得x ＝0或2（2舍去），当－1≤x <0时，f ' (x )>0，当0 导数综合应用复习题经典 RUSER redacted on the night of December 17,2020 导数综合应用复习题 一、知识回顾： 1．导数与函数单调性的关系 设函数()f x 在某个区间内可导，则在此区间内： （1）0)(>'x f ?)(x f ↗，)(x f ↗?()0f x '≥； （2）0)(≠'x f 时，0)(>'x f ?)(x f ↗ （单调递减也类似的结论） 2．单调区间的求解过程：已知)(x f y = （1）分析)(x f y =的定义域； （2）求导数)(x f y '='； （3）解不等式0)(>'x f ，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式0)(<'x f ，解集在定义域内的部分为减区间 3．函数极值的求解步骤： （1）分析)(x f y =的定义域； （2）求导数)(x f y '='并解方程()0f x '=； （3）判断出函数的单调性； （4）在定义域内导数为零且由增变减的地方取极大值； 在定义域内导数为零且由减变增的地方取极小值。 4．函数在区间内的最值的求解步骤： 利用单调性或者在求得极值的基础上再考虑端点值比较即可。 二、例题解析： 例1、已知函数321()13 f x x ax ax =+++ （1）若在R 上单调，求a 的取值范围。 （2）问是否存在a 值，使得()f x 在[]1,1-上单调递减， 若存在，请求a 的取值范围。 解：先求导得2()2f x x ax a '=++ （1 ）()f x 在R 上单调且()f x '是开口向上的二次函数 ∴()0f x '≥恒成立，即0?≤ ∴2 440a a -≤，解得01a ≤≤ （2）要使得()f x 在[]1,1-上单调递减 且()f x '是开口向上的二次函数 ∴()0f x '≤对[]1,1x ∈-恒成立， 即()() 11201120f a a f a a '-=-+≤???'=++≤?? 解得a ∈? ∴不存在a 值，使得()f x 在[]1,1-上单调递减。 例2、已知函数321()313 f x x x x =+-+， 2()2 g x x x a =-++ （1）讨论方程()f x k =（k 为常数）的实根的个数。 （2）若对[]0,2x ∈，恒有()f x a ≥成立，求a 的取值范围。 （3）若对[]0,2x ∈，恒有()()f x g x ≥成立，求a 的取值范围。 （4）若对[]10,2x ∈，[]20,2x ∈，恒有()12()f x g x ≥成立， 2014年12月27日导数综合组卷 一．选择题（共16小题） 1．（2014?郑州一模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（） ． 2．（2014?郑州模拟）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（） ．C D． 3．（2014?西藏一模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（） 4．（2014?陕西）定积分（2x+e x）dx的值为（） 3 6．（2014?江西）若f（x）=x2+2f（x）dx，则f（x）dx=（） D 7．（2014?湖北）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数： ①f（x）=sin x，g（x）=cos x； ②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1； ③f（x）=x，g（x）=x2， 3 2 ．D． 10．（2013?安徽）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af （x）+b=0的不同实根个数是（） 11．（2013?辽宁）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（） ．．．D． 13．（2009?安徽）设函数f（x）=x3+x2+tanθ，其中θ∈[0，]，则导数f′（1）的取值范围是（） [][[ 14．（2009?天津）设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），且2f（x）+xf′（x）＞x2，下面的不等式在R内恒成 15．（2014?上海二模）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有 16．（2013?文昌模拟）设动直线x=m与函数f（x）=x3，g（x）=lnx的图象分别交于点M、N，则|MN|的最小值为．C D 二．填空题（共9小题） 17．（2014?江西）若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是_________．18．（2014?江苏模拟）各项均为正数的等比数列{a n}满足a1a7=4，a6=8，若函数f（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+a10x10的导数为f′（x），则f′（）=_________． 19．（2014?萧山区模拟）设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，若x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，且x0∈（a，a+1）（a∈N*），则实数a=_________． 20．（2014?沈阳二模）已知函数f（x）=x（x﹣a）（x﹣b）的导函数为f′（x），且f′（0）=4，则a2+2b2的最小值为_________． 21．（2014?孝感二模）如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为（1，），那么曲线y=f （x）任一点处的切线的倾斜角α的取值范围是_________． 22．（2014?长葛市三模）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为_________． 第1讲 导数的综合应用 [最新考纲] 1．利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题； 2．会利用导数解决某些简单的实际问题. 知 识 梳 理 1．生活中的优化问题 通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点． 2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 3．导数在研究方程(不等式)中的应用 研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行研究． 辨 析 感 悟 1．函数最值与不等式(方程)的关系 (1)(教材习题改编)对任意x >0，ax 2＋(3a －1)x ＋a ≥0恒成立的充要条件是a ∈???? ?? 15，＋∞.(√) (2)(2011·辽宁卷改编)已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是(－∞，2ln 2－2]．(√) 2．关于实际应用问题 (3)实际问题中函数定义域要由实际问题的意义和函数解析式共同确定．(√) (4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．(×) (5)(2014·鹰潭模拟改编)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单 位：万件)的函数关系式为y＝－1 3x 3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润 的年产量为9万件．(√) [感悟·提升] 1．两个转化 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，如(2)． 2．两点注意 一是注意实际问题中函数定义域，由实际问题的意义和解析式共同确定，如(3)． 二是在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么可直接根据实际意义判定是最大值还是最小值，如(4)；若在开区间内有极值，则一定有最优解. 考点一导数与生活中的优化问题 【例1】(2013·重庆卷)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)． (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． 解(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元． 所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元． 又根据题意得200πrh＋160πr2＝12 000π， 所以h＝1 5r(300－4r 2)， 从而V(r)＝πr2h＝π 5(300r－4r 3)． 导数的综合应用题型及解法 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 x 2 处有极大值，则常数c＝ 6 ； 1.已知函数y f (x ) x(x c)2 个 题型二：利用导数几何意义求切线方程 2.求下列直线的方程： （1）曲线y x 3 x 2 1在P(-1,1)处的切线；（2）曲线y x2 过点P(3,5)的切线； 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 f (x) =x3+ax 2+bx +c, 过曲线y = f (x)上的点P(1, f (1)) 的切线方程为 3.已知函数 y=3x+1 f (x)在x =-2 处有极值，求f (x) 的表达式； （Ⅰ）若函数 y =f (x) 在[－3，1]上的最大值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数 y =f (x) 在区间[－2，1]上单调递增，求实数 b 的取值范围（Ⅲ）若函数 4.已知三次函数f (x) =x3+ax2+bx +c 在x =1 和x =-1 时取极值，且f (-2) =-4 ． (1)求函数y =f (x) 的表达式； (2)求函数y =f (x) 的单调区间和极值； 5.设函数f (x) =x(x -a)(x -b) ． f(x)的图象与直线5x -y - 8 = 0 相切，切点横坐标为２，且f(x)在x = 1 处取极值，（1）若 a, b 的值； 求实数 f (x) 总有两个不同的极值 （2）当b=1 时，试证明：不论 a 取何实数，函数 点．题型四：利用导数研究函数的图象 f / ( x) 的图象如右图所示，则 f（x）的图象只可能是（ 6.如右图：是 f（x）的导函数， D ） 3 （A ） （B ） （C ） （D ） y 1 x 3 4x 1个个个个 7. 函数 3 ( A ) 6 4 2 -4 -2 y o 2 4 -2 -4 6 4 2 x -4 -2 y o 2 4 -2 -4 x -4 6 y 6 y 4 4 2 2 y 2 4 x o x -2 -2 -2 2 4 -4 -4 8．方程 2x 3 6x 2 7 0个 (0,2)个个个个个个 ( B ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围 f (x ) = - 1 x 3 + 2ax 2 - 3a 2 x + b ,0 < a < 1. 9. 设函数 3 （1）求函数 f (x ) 的单调区间、极值. （2）若当 x ∈[a + 1, a + 2] 时，恒有| f ' (x ) |≤ a ，试确定 a 的取值范围. 2 10. 已知函数 f （x ）＝x3＋ax2＋bx ＋c 在 x ＝－ 3 与 x ＝1 时都取得极值（1）求 a 、b 的值与函数 f （x ）的单调区间 （2）若对 x ∈〔－1，2〕，不等式 f （x ） 第4讲 导数的综合应用 高考定位 在高考压轴题中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以指数函数、对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题. 真 题 感 悟 1.(2020·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝x 3＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点? ???? 12，f ? ????12处的切线与y 轴垂直. (1)求b ； (2)若f (x )有一个绝对值不大于1的零点，证明：f (x )所有零点的绝对值都不大于1. (1)解 f ′(x )＝3x 2＋b . 依题意得f ′? ?? ?? 12＝0，即34＋b ＝0，故b ＝－34. (2)证明 由(1)知f (x )＝x 3－34x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－34.令f ′(x )＝0，解得x ＝－12或x ＝1 2. f ′(x )与f (x )的情况为： 因为f (1)＝f ? ???? －12＝c ＋14， 所以当c <－1 4时，f (x )只有大于1的零点. 因为f (－1)＝f ? ???? 12＝c －14， 所以当c >1 4时，f (x )只有小于－1的零点. 由题设可知－14≤c ≤1 4. 当c ＝－14时，f (x )只有两个零点－1 2和1. 当c ＝14时，f (x )只有两个零点－1和12. 当－14 11.导数的综合应用（含答案）（高二） 1.（15理科）已知函数()1ln 1x f x x +=-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程； （Ⅱ）求证：当()01x ∈， 时，()323x f x x ?? >+ ?? ?； （Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ?? >+ ??? 对()01x ∈， 恒成立，求k 的最大值． 【答案】（Ⅰ）20x y -=， （Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）k 的最大值为2. 试题解析：（Ⅰ） 2 12 ()ln ,(1,1),(),(0)2,(0)011x f x x f x f f x x +''=∈-===--，曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程为20x y - =； （Ⅱ）当()01x ∈， 时，()323x f x x ?? >+ ??? ，即不等式3 ()2()03x f x x -+>，对(0,1)x ?∈成立，设 33 1()ln 2()ln(1)ln(1)2()133x x x F x x x x x x +=-+=+---+-，则 4 2 2()1x F x x '=-，当()01x ∈，时，()0F x '>，故()F x 在（0，1）上为增函数，则()(0)0F x F >=，因此对(0,1)x ?∈， 3 ()2()3 x f x x >+ 成立； （Ⅲ）使()33x f x k x ?? >+ ??? 成立，()01x ∈， ，等价于3 1()ln ()013x x F x k x x +=-+>-，()01x ∈， ； 42 22 22()(1)11kx k F x k x x x +-'=-+=--， 当[0,2]k ∈时，()0F x '≥，函数在（0，1）上位增函数，()(0)0F x F >=，符合题意； 当2k >时，令4 02 ()0,(0,1)k F x x k -' == ∈， ()(0)F x F <，显然不成立， 综上所述可知：k 的最大值为2. 考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论. 2．（15年理科）设函数2 ()f x x ax b =-+. （1）讨论函数(sin )22 f x ππ 在(-,)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值； （2）记2 0000(),(sin )(sin )f x x a x b f x f x =-+-求函数在22 ππ (-,)上的最大值D ； （3）在（2）中，取2 000,D 14 a a b z b ===- ≤求满足时的最大值。 【答案】（Ⅰ）极小值为2 4 a b -；（Ⅱ）00||||D a a b b =-+-；（Ⅲ）1. 第3讲导数的综合应用 1.(2018·全国Ⅱ卷,理21)已知函数f(x)=e x-ax 2. (1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1; (2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a. (1)证明:当a=1时,f(x)≥1等价于(x2+1)e-x-1≤0. 设函数g(x)=(x2+1)e-x-1, 则g'(x)=-(x2-2x+1)·e-x=-(x-1)2e-x. 当x≠1时,g'(x)<0, 所以g(x)在(0,+∞)上单调递减. 而g(0)=0,故当x≥0时,g(x)≤0, 即f(x)≥1. (2)解:设函数h(x)=1-ax2e-x. f(x)在(0,+∞)上只有一个零点等价于h(x)在(0,+∞)上只有一个零点. (ⅰ)当a≤0时,h(x)>0,h(x)没有零点; (ⅱ)当a>0时,h'(x)=ax(x-2)e-x. 当x∈(0,2)时,h'(x)<0; 当x∈(2,+∞)时,h'(x)>0. 所以h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增. 故h(2)=1-是h(x)在(0,+∞)上的最小值. ①若h(2)>0,即a<,h(x)在(0,+∞)上没有零点. ②若h(2)=0,即a=,h(x)在(0,+∞)上只有一个零点. ③若h(2)<0,即a>, 因为h(0)=1, 所以h(x)在(0,2)上有一个零点; 由(1)知,当x>0时,e x>x2, 所以h(4a)=1-=1->1- =1->0, 故h(x)在(2,4a)上有一个零点. 因此h(x)在(0,+∞)上有两个零点. 综上,当f(x)在(0,+∞)上只有一个零点时,a=. 2.(2017·全国Ⅲ卷,理21)已知函数f(x)=x-1-aln x. (1)若f(x)≥0,求a的值; (2)设m为整数,且对于任意正整数n,1+1+…1+ 专题三 导数及其应用 第八讲 导数的综合应用 2019年 1（2019天津理8）已知a ∈R ，设函数222,1, ()ln ,1,x ax a x f x x a x x ?-+=?->??若关于x 的不等式 ()0f x …在R 上恒成立，则a 的取值范围为 A.[]0,1 B.[]0,2 C.[]0,e D.[]1,e 2.（2019全国Ⅲ理20）已知函数32()2f x x ax b =-+. （1）讨论()f x 的单调性； （2）是否存在 ,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求 出,a b 的所有值；若不存在，说明理由. 3.（2019浙江22）已知实数0a ≠ ，设函数()=ln 0.f x a x x > （1）当3 4 a =- 时，求函数()f x 的单调区间； （2）对任意2 1[ ,)e x ∈+∞ 均有()f x ≤ 求a 的取值范围. 注：e=2.71828…为自然对数的底数. 4.（2019全国Ⅰ理20）已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明： （1）()f x '在区间(1,)2 π -存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点． 5.（2019全国Ⅱ理20）已知函数()1 1 ln x f x x x -=- +. （1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点； （2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e x y =的 切线. 6.（2019江苏19）设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f （x ）的导函数． 专题三导数及其应用 第八讲导数的综合应用 、选择题 （2017新课标n ）若x = —2是函数f （X ）=（x 2 +ax —1）e x /的极值点，则 f （X ）=（x 2 +ax -1）e x 的极小值为 像可能是 AV V x C. （2016全国I ）函数y=2x 2 —e 凶在［22］的图像大致为 1. 2. A . -1 B . （2017浙江）函数 —2/ C. 5e' y = f （X ）的导函数y = f '（X ）的图像如图所示，则函数 y = f （X ）的图 3. O X (2015 四川)如果函数 f (x )=1(m -2)x 2 +(n -8)x +1(m >0, n >0)在区间［g , 2］ 单调递减，那么mn 的最大值为 （2015新课标n ）设函数f'（x ）是奇函数f （x ）（x 亡R ）的导函数，f （-1） = 0,当 x>0时, xf '（X ）— f （X ）cO ，则使得f （X ）>0成立的x 的取值范围是 A .(二,T U(0,1) B. (T ,0)U(1,址) c. c ,_1划(—1,0) D. (0,1U(H （2015新课标I ）设函数f （X ）=eX （2x-1）-ax +a ，其中a v 1，若存在唯一的整数 x 0, 使得f （x 。）€0，则a 的取值范围是 r 3 八 「3 3、 「3 3、 r 3 八 A.［一石1 )B . ^2e , 4) C . ［ 2e ,4) D .［才) （2014新课标n ）若函数 f （x ）=kx —I nx 在区间（1,+处）单调递增，则k 的取值范围是 A .(二,—2】 B .(亠1】 C. 〔2,兄)D . t 1,-^ （2014陕西）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切） 已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为 4. A. 16 B . 18 C. 25 81 D.— 5. 6. 7. 高考数学一轮复习第三章导数及其应用第4讲导数与函数的综合应用教案理（含解析）新人教A版 第4讲导数与函数的综合应用 基础知识整合 01优化问题，一般地，对于实际1．通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为□ 问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点． 2．生活中的优化问题 解决优化问题的基本思路： 3．不等式问题 (1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题． (2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题． 1．把所求问题通过构造函数，转化为可用导数解决的问题，这是用导数解决问题时常用的方法． 2．利用导数解决与方程、函数零点、不等式等问题时，常用到数形结合及转化与化归的数学思想． 1．(2019·四川南充一诊)若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为( ) A．(1,5)B．[1,5) C．(1,5]D．(－∞，1)∪(5，＋∞) 答案 A 解析由题意知f′(x)＝3x2＋2x－a＝0在区间(－1,1)内恰有一根(且在根两侧f′(x)异号)?f′(1)·f′(－1)＝(5－a)(1－a)<0?1 2．(2019·湖北襄阳模拟)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－∞，＋∞) 答案 B 解析 由f (x )>2x ＋4，得f (x )－2x －4>0.设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2.因为f ′(x )>2，所以F ′(x )>0在R 上恒成立，所以F (x )在R 上单调递增，而F (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f (x )－2x －4>0等价于F (x )>F (－1)，所以x >－1.故选B. 3.若函数f (x )＝x 3 －3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．[－2,2] C ．(－∞，－1) D ．(1，＋∞) 答案 A 解析 f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0， ∴x ＝±1.三次方程f (x )＝0有3个根?f (x )极大值>0且f (x )极小值<0. ∵x ＝－1为极大值点，x ＝1为极小值点． ∴??? ?? f －1＝2＋a >0，f 1＝a －2<0， ∴－22f (1) 答案 C 解析 由题设，f (x )为R 上任意可导函数，不妨设f (x )＝(x －1)2 ，则f ′(x )＝2(x －1)，满足(x －1)·f ′(x )＝2(x －1)2 ≥0，且f (0)＝1，f (1)＝0，f (2)＝1，则有f (0)＋ f (2)>2f (1)； 再设f (x )＝1，则f ′(x )＝0，也满足(x －1)·f ′(x )≥0，且有f (0)＋f (2)＝2f (1)，即1＋1＝2×1. 5．(2019·贵阳模拟)若关于x 的不等式x 3 －3x 2 －9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2,2]恒成立，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，7] B ．(－∞，－20] C ．(－∞，0] D ．[－12,7] 答案 B 解析 令f (x )＝x 3 －3x 2 －9x ＋2，则f ′(x )＝3x 2 －6x －9，令f ′(x )＝0，得x ＝－1导数的综合应用教学设计(正式版)
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