【附录一】常见分布汇总
一、二项分布
二项分布(BinOmial DiStribUtion ),即重复n 次的伯努利试验 (Bernoulli EXPeriment ), 用ξ表示随机试验的结果，如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重复试验中发生K次的概率是。
p(x=k)=
(? = Oil) , " V ff) r
、泊松poissOn 分布
1、概念
当二项分布的n很大而P很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中
2、特点-- 期望和方差均为λ。
3、应用(固定速率出现的事物。)一一在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客，以固定的平均瞬时速率λ(或称密度)随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间(面积或体积)内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布
三、均匀分布Uniform
设连续型随机变量X的分布函数F(X)=(X-a)∕(b-a) , a≤x≤b
则称随机变量X服从［a,b］上的均匀分布，记为X~U［a,b］。
四、指数分布EXPonen tial DiStribUtiOn
1、概念
λ为np。通常/(*) ?
x>0
X <0
当n± 10,p W 0.1时，就可以用泊松公式近似得计算。
2、特点一一无记忆性
(1)这种分布表现为均值越小，分布偏斜的越厉害。
E[X]=扌D[X]=壬
(2)无记忆性
当s,t ≥0时有P(T>s+t∣T>t)=P(T>s) 即，如果T是某一元件的寿命，已知元件使用了t 小时，它总共使用至少s+t小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少S小时的概率相等。
3、应用
在电子元器件的可靠性研究中，通常用于描述对发生的缺陷数或系统故障数的测量结果五、正态分布Normal distributi On
1、概念
2、中心极限定理与正态分布(说明了正态分布的广泛存在，是统计分析的基础)
中心极限定理：设从均值为μ、方差为σ^2;(有限)的任意一个总体中抽取样本量为n 的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ^2∕n的正态分布。
3、特点一一在总体的随机抽样中广泛存在。
4、应用一一正态分布是假设检验以及极大似然估计法ML的理论基础
定理一：设X1, X2, X3. co Xn是来自正态总体N (μ, δ2)的样本，则有样本均值X~N ( μ, δ
2/n )――总体方差常常未知，用t分布较多
六、X 2卡方分布(与方差有关) Chi-SqUare distribution
1、概念
若n个相互独立的随机变量ξ?、ξ?、……、ξn ,均服从标准正态分布(也称独立同
分布于标准正态分布)，则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布(Chi-SqUare distribution ),其中参数n
称为自由度
【注意】假设随机干扰项呈正态分布。因此，卡方分布可以和RSS残差平方和联系起来。用RSS/δ2,所得的变量就是标准正态分布，就服从卡方分布。
□.∣?
f(x t k) = ^ 2vir(∑) * i
O, otherwise.
2、卡方分布的特点
2 2
(1)分布的均值为自由度n ,记为E( ) = n。(这个容易证明)
2 2
(2)分布的方差为2倍的自由度(2n),记为D( ) = 2n。
X姬吐i.：J沁】服从分布，自由度-
卅*吐哎曲服从分布，自由度为AiW
3、图形特点
4、应用
定理二，设XI，X2, X3. co Xn是来自正态总体N ( μ, δ2)的样本，则有样本均值X~N ( μ, δ2/n )
(1)正态分布以及卡方分布是F检验的基础。大量的检验用到了F检验：F检验、三大检验。
七、t学生分布(用样本方差S来标准化)----- S tUdent's t-distribution
1、概念(适用于δ2未知)
【理解】把样本标准正态化的U变换前提是方差已知，但总体方差是未知的，所以用样本方差来代替总体方差。根据中心极限定理，抽样服从方差为总体方差除以n的正态分布。由于在实际工作中，往往σ是未知的，常用S作为σ的估计值，为了与U变换区别，称为t变换，统计量t值的分布称为t分布(U变换指把变量转换为标准正态分布)
【思考】为什么样本方差比总体方差要小？因为一个是总体方差，一个是样本均值的方差。不同
2、特点
1)与标准正态分布曲线相比，自由度V越小，t分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线
双侧尾部翘得愈高；自由度V愈大，t分布曲线愈接近正态分布曲线，当自由度v=∞时，t 分布曲线为标准正态分布曲线。
定理三：设X1, X2, X3.。。Xn是来自正态总体N ( μ, δ2)的样本，则有
样本均值X~N ( μ, δ2/n ), S为样本方差
(3)如果胪t沁互相独立，则: (独立可加减)
2
(n -1)S
δ2
~ χ( n -1)
X —μ ~ t (n-1
S/ n
【注意】S是样本方差。中心极限定理说的是样本均值的方差。
X
八、F 分布F-distribution
1、概念
F分布定义为：设X、Y为两个独立的随机变量，X服从自由度为k1的卡方分布，Y服
从自由度为k2的卡方分布，这2个独立的卡方分布被各自的自由度除以后的比率这一统计量的分布
2、特点
(1)它是一种非对称分布；
(2)它有两个自由度，即n1 -1和n2-1 ,相应的分布记为 F ( n1 - 1, n2-1 ) , n1 - 1
通常称为分子自由度，n 2-1通常称为分母自由度；
(3) F分布是一个以自由度和I 为参数的分布族，不冋的自由度决定了F分布的形状。
U 1
(4) F分布的倒数性质：f21dfγ,l-(t
(5)残差平方和之比通常与F分布有关。
九、逻辑分布logistic (分类评定模型)一一最早应用最广的离散选择模型
1、概念
F(L)
1 - F(t)
2、特点
用作增长曲线并为二进制响应建模。在生物统计和经济领域使用。
LOgiStiC 分布由尺度和位置参数描述。LOgiStiC 分布没有形状参数，也就是说其概率密度
函数只有一个形状。
下列图形显示了不同参数值对LOgiStiC 分布的效应。
尺度参数的效应位置参数的效应
LOgiStiC 分布的形状与正态分布的形状相似，但
十、伽马分布
1、概念伽玛分布(GammDiStribUtio n )是统计学的一种连续概率函数。Gamm分布中的参数α称为形状参数(ShaPe Parameter )，β称为尺度参数(scale Parameter )。假设随机变量X为等到第α件事发生所需之等候时间，密度函数为f(x rλf a) = ^-X a~i e~λx f x>Q.
Γ(Λ)
EX = ffλ, Vflr(x) = αλ2?
特征函数为
ψ(O=(i-?λf.
F(t)
1
I e-L
f(t)=
e」
(1 eY
LOgiStiC 分布的尾部更长。
￡布国
LOgi珀“位?=1Lug∣5tkt j円
JSMl
伽马分布的可加性
当两随机变量服从Gamm分布,
数学表达式
若随机变量X具有概率密度其中
α>0, β>0,则称随机变量
九、extreme value distributiOn 极值分布
十、DF分布与ADF分布一一用于时间序列平稳性的单位根检
验。
八、ParetO分布
十、WeibUll 分布
且单位时间内频率相同时，Gamma
X服从参数α, β的伽马分布，记作G(α, β).