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数学课本中阅读材料在课堂教学中的应用举例

数学课本中“阅读材料”在课堂教学中的应用举例

福建省建阳第二中学饶为民

纵观新课程背景下的数学教材，几乎每一本书中都有大量篇幅的“阅读材料”，诸如“观察与猜想”、“阅读与思考”、“探究与发现”、“信息技术应用”乃至章头的插图和导读材料等。那么，如何有效利用好这些素材，将新课程的理念、编者的意图贯穿于教学中，真正的发挥它的教学功能呢？这就要求我们要认真研究这些素材，把握其类型、特点，挖掘其教学功能，探索其使用方法，将其巧妙的融入教学，发挥其教学功效。

一、“阅读材料”的类型与教学功能

1．“阅读材料”的类型

对教材中的素材进行阅读分析，不难发现，这些材料大致有四种类型：一是数学历史类；二是正文知识进行拓展类；三是正文知识在实际中的应用类；四是渗透数学思想方法类。这些材料有些是正文内容的横向扩展，有些是纵向深入，有些联系社会生活实际，有些渗透研究性学习。它们根据正文内容的特点，对正文内容进行了不同方位的补充、延伸，丰富了教材内容，为学生提供了数学活动的空间，也为教师提供了丰富的教学素材。

2．“阅读材料”的教学功能

新课程要求老师要把握教材，用好教材。那么，面对如此丰富的素材，除了知道它的特点外，我们更要认真的分析这些素材在我们的教学中到底能发挥怎样的教学功能呢？我把它归为这么几种功能：一是激发学生的学习兴趣；二是渗透数学文化，培养学生的爱国情操和良好的个性品质；三是渗透辩证唯物主义思想；四是可以进一步的完善学生的认知结构，培养学生的数学能力。

二、“阅读材料”在课堂教学中的使用方法

教学是一种面对人的教育活动，教材资源在丰富，功能再强大，如果没有一个好的方法将其传授给学生，那一切都是空谈。为此，只有积极探索“阅读材料”在教学中的使用方法，将其贯穿与教学活动中，才能最大限度地发挥出其教学功能。下面以案例的形式谈谈“阅读材料”在课堂教学中常见的几种使用方法：

1.课堂引入时，来创设问题情境

案例1 必修3中三份阅读材料“一个著名的案例”、“广告中的数据的可靠性”及“如何得到敏感性问题的诚实反应”的使用。

在学习必修 3 第二章统计中的“随机抽样”这部分内容时，教师可以先出示这三份材料让学生阅读，然后让学生思考、并回答下列问题：①三个案例中所得到的结论是否可以信任？②为什么不可以信任？它们的问题出在哪里？③那么我们如何解决这样的问题呢？

接下来我们要学习的知识“随机抽样”将能很好地解决这些问题，从而自然地揭示了课题。

评析：这样导课，在充分利用了教材中的素材，避免教师花费大量时间绞尽脑汁地去另外寻找素材的同时，更重要的是可以培养学生的阅读能力；其次，贴近生活的实例能让学生感受到数学的亲切感、真实感，感受到数学是丰富多彩的、有趣的，而且是非常实用的（并非是枯燥无味的），明白数学源于生活又应用于生活；再次，能激发学生的学习兴趣，点燃他们的求知欲望，使导入新课显得自然而贴切，取得最好的效果。

2.作为课堂教学中的例题或习题

案例2：必须5中的阅读材料“解三角形的进一步讨论”的使用

在学习完正、余弦定理解三角形后，可以安排一节习作课，以对所学知识的巩固加深，就可以利用这份素材，教学设计如下：

先出示素材中的题目：已知：在ABC ?中， 133,25,22===A cm b cm a ，解三角形。

由学生自主完成解答，发现出现负角。师：为什么会出现这样的问题？是已知条件有问题吗？

生：因为 133,=>A a b ，则有 133>B ，与三角形的性质矛盾，这样的三角形不存在。师：很好！由此，我们发现并非所有的解三角形的问题都有解。那么，到底在三角形的6要素中，至少要知道哪些元素这个三角形才有可能可以解，而这些元素要满足什么样的条件该三角形才有解呢？是一解还是多解呢？下面我们将对三角形的解的问题作进一步的讨论：在三角形中，至少要知道3个元素（如：三个角、两角一边、一角两边、三边），才有可能解这个三角形。根据初中学习的三角形相似和全等的有关知识很容易判定：已知“三个角”这样的三角形无法确定，不能解；已知“两角一边”的这种情形的三角形是可以解的，而且解是唯一的；已知“三边”的，只需满足“两边之和大于第三边”则这样的三角形存在且唯一。

根据刚刚解题的经验可知，已知“一角两边”的可能有解，也可能无解。那我们如何分析呢？

生：分两类，第一类：根据三角形全等的判定，若是“两边一夹角”的情形，这样的三角形存在且唯一；第二类：若是“两边一对角”的情形，则……（学生不知如何处理了）

此时老师结合阅读材料，对“两边一对角”类型详加分析，并引导学生利用图形加以理解。

评析利用阅读材料对前面学习的内容进行复习的同时，又对知识进行了加深拓展，培养了学生的探究意识和对知识的应用意识，让学生知其然，更知其所以然。

3．作为进行数学探究的素材

案例3：必修1 阅读材料“信息技术探究指数函数的性质”的使用

在学习指数函数及其性质这节内容时，教材在给出指数函数的概念后，通过研究两个具体的函数x x y y ??? ??==212和的图像及其关系来抽象出所有的指数函数)10(≠>=a a a y x 且一般性质，体现了由特殊到一般的思想。由于这一过程过于抽象，教学中部分学生对其性质的得出在理解上存在一定的疑问，为了更好地解决这个问题，教学中老师可以借助阅读材料“信息技术探究指数函数的性质”来突破这一难点，具体过程如下：

借助计算机，利用几何画板作出函数x x y y ??? ??==212和的图像，如下图1，图2.

图（1）图（2）

师：这两个函数的图像有什么特点？它们之间有什么关系？（引导学生从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期等方面观察）

生：

函数

x y 2= x y ??? ??=21

图像上图（1）上图（2）

定义域R R

值域（0,+∞）（0,+∞）

单调性在R上单调递增在R上单调递减

师：这两个函数的底数有什么区别？

生：一个1

a，另一个1

师：是否所有底数1

a，或1

有其它性质吗？

为了更好地理解这个问题，下面我们通过几何画板的动画演示功能来研究一下，请同学们认真观察（图像如下）：

图3 图4 如图3：观察底数a)1

a的变化与图像的变化关系

如图4：观察底数a)1

0(<

综合观察图3、4，你发现什么异同点？

生：

函数)1

y x

y x)1

0(<

图像

定义域R R

值域（0,+∞）（0,+∞）

单调性在R上单调递增在R上单调递减

定点过定点（0，1）过定点（0，1）

特殊的直线一条特殊的分界线1

师：当自变量x取同一个值时，对应的函数值y的大小关系是什么？你能从中发现什么规律吗？函数的底数对函数图像的陡度有怎样的影响？

生：当自变量)0

x（即在第一象限的图像）取同一个值时，有：

若1

a，则有底数a越大，函数值y越大

若1

当自变量)0

x（即在第二象限的图像）取同一个值时，有：

若1

a，则有底数a越大，函数值y越小

若1

师：很好！

事实上，在同一直角坐标系下，两个指数函数的图像，若在y轴右侧的图像更高，则其在y轴左侧的图像就更低；若在y轴右侧的图像更低，则其在y轴左侧的图像就更高。

评析新课标倡导数学学习是一种探究式的学习，旨在让学生围绕某个数学问题,通过观察、分析数学事实,提出有意义的数学问题,猜测、探求适当的数学结论或规律,给出解释或证明的自主探究、学习的过程。这种通过利用多媒体技术和几何画板的动画功能，让学生通过自主观察、分析、探究的方式得到了指数函数的性质，能让学生理解的更透彻，做到重点突出，又很好地化解难点，充分体现了新课程的教学理念。

总之，教材中的阅读材料在教学中所能发挥的作用是多方面的。除了作为课堂教学中的素材外，也可以让学生在课外自学，培养学生阅读能力，开阔学生的视野；还可以作为数学建模的教学素材，培养学生的探究能力，激发学生的创新思维；或是设计成数学实验、数学文化、数学活动等的材料，提高学生的数学学习兴趣，动手能力，培养学生的数学素养和人文品质等，这一切都有待于我们广大教师深入研究，不断实践、总结，从多角度挖掘“阅读材料”的教学功能，让其更好地服务于我们的教学，彰显其超凡的魅力。

小学二年级数学知识小故事11篇

小学二年级数学课外阅读资料森林里的数学故事森林公园有各种各样的植物，有高大的树木，也有矮小花草，还有长长的青藤，一簇一簇的灌木。森林公园里住着一群小朋友。山上有许多可爱的小动物，小鸟在天空中自由自在的飞翔，小猴子在树枝间蹦来跳去，小松鼠拖着一条蓬松的大尾巴在树上玩游戏…… 主要人物：智慧树爷爷：年龄已经一千多岁了，见多识广，受到大家的尊敬。熊猫博士：见多识广，知识渊博，担任森林学校老师。狮王：森林之王。花狐狸、大灰狼：狡猾、贪婪。灰熊琪琪和黑熊贝贝：森林保护神，聪明好学。猫警长卡卡：代表公正法制。熊妈妈：慈祥，和蔼。小猪胖胖：爱学习。小狗汪汪：爱动脑。小猴慧慧：聪明伶俐。

1.倒转数二年级数学上册第一单元灰熊琪琪和黑熊贝贝最近学会了倒转数，小朋友，你知道什么是倒转数吗？把一个两位数十位上的数字和个位上的数字对调位置，得到一个新的两位数（如果十位上的数字与个位上的数字相同，那么得到的两位数还是它本身），那么这两位数就互为倒转数。如：45和54就是一对倒转数，45的倒转数是54，54的倒转数是45。在两位数中，倒转数有很多，如，27和72,35和53……下面有几对倒转数，请你先算出它们的差，然后看看从中能发现什么。（同学们个个都很认真，） 21-12=9 32-23=9 31-13=18 75-57=18 41-14=27 52-25=27 同学们计算很快，可发现迟迟说不出来。你发现了吗？智慧树爷爷：一对倒转数十位上的数字和个位上的数字相差几，这两个数相减得到的差就是几个9相加。亲自试试吧！试一试： 91-19= 95-59= 65-56= 73-37= 72-27= 66-55= 43-34= 42-24= 54-45= 82-28= 76-67= 88-55= 63-36= 94-49= 84-48= 85-58= 53-35= 55-22= 96-69= 87-78= 62-26= 97-79= 81-18= 44-11=

高等数学教材(较完整)

目录一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (3) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (4) 5、复合函数 (4) 6、初等函数 (4) 7、双曲函数及反双曲函数 (5) 8、数列的极限 (6) 9、函数的极限 (6) 10、函数极限的运算规则 (7)

一、函数与极限 1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。 ②补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简称为集合A的补集，记作C U A。即C U A＝｛x|x∈U，且x?A｝。集合中元素的个数 ⑴、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。 ⑵、用card来表示有限集中元素的个数。例如A＝｛a,b,c｝，则card(A)=3。 ⑶、一般地，对任意两个集合A、B，有 card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B) 我的问题：

(完整版)阅读理解型(初中数学中考题汇总49),推荐文档

第45 章阅读理解型 1. (2011 江苏南京，28，11 分) 问题情境已知矩形的面积为a（a 为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？数学模型设该矩形的长为x，周长为y，则y 与x 的函数关系式为y = 2(x +a )(x＞0) ． x 探索研究 ⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y =x +1 (x＞0) 的图象性质．x ① 填写下表，画出函数的图象： ②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质； ③在求二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还 1 可以通过配方得到．请你通过配方求函数y =x + 解决问题(x＞0)的最小值． x ⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．

1 x x x 1 x a a ? ，，，，【答案】解：⑴① 17 ， 10 5 2 5 10 ， 17 ． 1 4 3 2 2 3 4 函数 y = x + (x > 0) 的图象如图． x ②本题答案不唯一，下列解法供参考．当0 < x < 1时， y 随 x 增大而减小；当 x > 1 时, y 随 x 增大而增大；当 x = 1 时函数 y = x + 1 (x > 0) 的最小值为 2． x ③ y = x + 1 x = ( x )2 + ( = ( x )2 + ( 1 ) 2 x 1 ) 2 -2 x x ? + 2 x ? = ( - 1 ) 2 + 2 x 当 - =0，即 x = 1 时，函数 y = x + 1 x (x > 0) 的最小值为 2． ⑵当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值为4 ． 2. （2011 江苏南通，27，12 分）（本小题满分 12 分）已知 A (1，0)， B (0,－1)，C (－1，2)，D (2，－1)，E (4，2)五个点，抛物线 y ＝a (x －1) 2＋k （a ＞0），经过其中三个点. （1）求证：C ，E 两点不可能同时在抛物线 y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0）上；（2）点 A 在抛物线 y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0）上吗？为什么？（3）求 a 和 k 的值. 【答案】（1）证明：将 C ，E 两点的坐标代入 y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0）得， ?4a + k = 2 ? 9a + k = 2 ，解得 a ＝0，这与条件 a ＞0 不符， ∴C ，E 两点不可能同时在抛物线 y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0）上. 1 x

高中数学全套资料

高三数学二轮复习全套资料高中数学第一章-集合考试容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．考试要求：（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义． §01. 集合与简易逻辑知识要点一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：二、知识回顾：（一）集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集；如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 如果C A C B B A ???，那么，.

[注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （注：C A B = ?）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ? ? ?=-=+1323 y x y x 解的集合{(2，1)}. ②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =?） 4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n －1个. ③n 个元素的非空真子集有2n －2个. 5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题. 解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. ② 且21≠≠y x 3≠+y . 解：逆否：x + y =3 x = 1或y = 2. 2 1≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是21≠≠y x 且的既不是充分，又不是必要条件. ⑵小围推出大围；大围推不出小围. 3. 例：若255 x x x 或，?. 4. 集合运算：交、并、补. {|,}{|}{,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?U 交：且并：或补：且C 5. 主要性质和运算律（1）包含关系： ,,,, ,;,;,. U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ?Φ???????????C （2）等价关系：U A B A B A A B B A B U ??=?=?= C （3）集合的运算律：交换律：.;A B B A A B B A == 结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A ==

中考数学阅读理解题及答案

阅读理解题 1．(2019·重庆中考A卷22题)《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数——“纯数”．定义：对于自然数n，在计算n＋(n＋1)＋(n＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n 为“纯数”．例如：32是“纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位； 23不是“纯数”，因为计算23＋24＋25时，个位产生了进位． (1)判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由； (2)求出不大于100的“纯数”的个数．解(1)2019不是“纯数”，2020是“纯数”．理由：当n＝2019时，n＋1＝2020，n＋2＝2021， ∵个位是9＋0＋1＝10，需要进位， ∴2019不是“纯数”；当n＝2020时，n＋1＝2021，n＋2＝2022， ∵个位是0＋1＋2＝3，不需要进位，十位是2＋2＋2＝6，不需要进位，百位为0＋0＋0＝0，不需要进位，千位为2＋2＋2＝6，不需要进位，∴2020是“纯数”． (2)由题意可得，连续的三个自然数个位数字是0,1,2，其他位的数字为0,1,2,3时，不会产生进位，当这个数是一位自然数时，只能是0,1,2，共3个，当这个自然数是两位自然数时，十位数字是1,2,3，个位数字是0,1,2，共9个，当这个数是三位自然数时，只能是100，由上可得，不大于100的“纯数”的个数为3＋9＋1＝13，即不大于100的“纯数”有13个． 2．阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：(5＋3)(5－3)＝－4，(3＋2)(3－2)＝1，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如1 3 ＝ 1×3 3×3

小学数学阅读材料

阅读材料（一）“韩信点兵多多益善”的故事韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝建立了卓绝的功劳。汉高祖刘邦曾问大将韩信：“你看我能带多少兵？”韩信斜了刘邦一眼说：“你顶多能带十万兵吧！”汉高祖心中有三分不悦，心想：你竟敢小看我！“那你呢？” 韩信傲气十足地说：“我呀，当然是多多益善啰！”刘邦心中又添了三分不高兴，勉强说：“将军如此大才，我很佩服。现在，我有一个小小的问题向将军请教，凭将军的大才，答起来一定不费吹灰之力的。”韩信满不在乎地说：“可以可以。”刘邦狡黠地一笑，传令叫来一小队士兵隔墙站队，刘邦发令：“每三人站成一排。”队站好后，小队长进来报告最后一排的人数。”“刘邦又传令：“每五人站成一排。”小队长再次报告最后一排的人数。刘邦再传令：“每七人站成一排。”小队长又报告最后一排的人数。刘邦转脸问韩信：“敢问将军，这队士兵有多少人？”韩信脱口而出说出答案。 (二）一道古题引发的数学之旅在中国古代数学名著《孙子算经》中，有一条非常有趣的题目。这道古题流传了几千年，广泛应用于天文、历法、军事、工程等领域，在我国几乎家喻户晓，它就是“物不知数”。事情还要从1980年说起。张春荣是长子县大堡头镇老马沟村一位普通农民，一次搬家，他偶然得到了一本小学奥数读物《有趣的数学》，闲来无事翻翻，翻到了一个叫做“物不知数”的古题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩四。问物至少几何？ “物不知数”顿时让张春荣产生了浓厚的兴趣，他自幼爱好数学，做过大队会计，以为这道题目自然不在话下。可是事与愿违，他算出来的答案却与书中不符，经过反复验算，他确定书上的算法有问题。凭着一股子执拗劲，张春荣写信给中国青少年出版社，指出书中的问题所在。信发出后杳无音信，但张春荣对数学的热情却仿佛被什么点燃了，一发不可收拾。命运仿佛安排好在那一天改变张春荣的人生。从那天起，对解法的质疑始终留在他的心里，于是，他把所有的业余时间和精力都拿来对题目进行重新诠释。后来近30年中，他几乎将所有的业余时间都献给了这道著名的数学题，终于在古稀之年，演算出了孙子定理另一种更为简便、容易普及的方法。数学王国的神奇之处在于，表面看似简单的东西，往往都是最复杂的。在哥德巴赫猜想深入人心的今天，人人都明白，1+1的意义远远大于任何一串震撼人心的天文数字。同样的道理还适用于这道题目，这道少年读物上的题目运用的原理其实是数学领域内的专门人才才会接触到的高深理论，但折射在这里，却仅仅是几个简单到不能再简单的数字。（三）“韩信点兵”的秘诀 “韩信点兵”的秘诀是借助了一首歌诀，在我国古代著名的数学书《孙子算经》就有记载。我国古代许多数学家对这样的问题进行了研究，并把它的解法写成歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。这首诗的大体意思是三个人一起行走七十岁的人已经很少了，五棵梅花树一共有二十一枝，七个儿子在正月十五的时候团圆，减去105的倍数就会得到结果。这首诗中出现了很关键的几个数：3对应着70,5对应着21,7对应着15，最后是105。其实歌诀中的每一句话都指出一步解法：“三人同行七十稀”是指除以3所得的余数去乘70。“五树梅花廿一枝”是指除以5所得的余数去乘21。“七子团圆月正半。”是指除以7所得的余数去乘15。“除百零五便得知”是指把上面算得的积相加，和如果超过105则减去105的倍数，就得到答案。按照歌诀的方法，解答刚才那道题列式应是：

数学阅读材料(体积的变化)

巧算不规则物体的体积一天，我与爸爸上街散步，突然，我闻到了一股浓浓的烤山芋的香味。闻到这香味，我的肚子就“咕咕”地叫了起来，“爸爸，我们买个山芋吃吃吧，我饿了。”我拉着爸爸的手央求道，“买一个倒是可以，不过……”“不过什么？”我急忙问，“不过买了以后先回家，算出了山芋的体积，你才能吃。”“行！行！”我满口答应。回到家，我早已把要算山芋体积的事抛到了九霄云外，拿起山芋就要吃，“哎，怎么开始吃了？不是说好要算山芋的体积吗？不能说话不算数！”“啊？”我大吃一惊，“还真要算啊？”“那是当然！”爸爸说，“你要先算出山芋的体积，才能吃！”“哼！有什么了不起的，不就是算个山芋的体积吗？难道能难倒我？”我突然想起书上只有长方体、正方体体积的计算方法，而这山芋是个不规则的立体图形呀，又不能把它揉捏，怎么算呀？我托着下巴苦思冥想。这时，我看到了桌上的一本《数学名人小故事》，我翻开它，读起了第一个小故事，这个故事是讲阿基米德利用等积代换算出了金皇冠的真假。我灵机一动，想道：我们不是也可以用等积代换来求山芋的体积吗？于是，我拿来一个长方体的玻璃容器，量出它底面长是6厘米，宽是4厘米，我往容器中倒了10厘米的水，然后把山芋完全浸没在水中，这时，容器中的水上升了。我又量了一下，

现在的水是15厘米，也就是说，容器中的水上升了5厘米（15-10），按照等积代换，上升水的体积就是山芋的体积，由此，可以算出红薯的体积是：6×4×5=120（立方厘米） “爸爸！我算出来了！我算出来了！是120立方厘米！我算出来了！我能吃山芋了！”我一路小跑来到爸爸跟前，“哦？算出来了？”爸爸放下手中事情微笑地看着我。“嗯，是120立方厘米。”我自豪地说，“那你说说看是怎样算的？”爸爸又问道。我把我实验的过程讲给爸爸听，爸爸听了之后向我翘起了大拇指，还夸我是“数学小博士”。其实，在生活中，许多看似不能求的东西都能通过等积代换来求，只要大家肯动脑，爱动脑，就什么难题也难不倒！体积的变化你知道水结成冰，冰化成水，体积会发生什么变化吗？冬天，随着温度的下降，人们常在自来水管的外面捆扎发泡的塑料，这是为什么呢？因为，冬天自来水管里的水会结成冰水从4℃降到0℃的过程中，不是按照热胀冷缩的原理体积缩小，而是体积膨胀，这样就会使劲的撑胀自来水管，使自来水管破裂。从物理学的角度分析，当气温低于水的凝固温度时，水就会凝固。

初中数学阅读理解题

F E D C B A E D C B A 1、14东城一模22. 阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，∠EAF =45°，连结EF ，则EF =BE +DF ，试说明理由． F E D C B A G F E D C B A 图1 图2 小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB ，AD 是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE 绕着点A 逆时针旋转90°得到△ADG ，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =90°点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF =45°．若 ∠B ，∠D 都不是直角，则当∠B 与∠D 满足_ 关系时，仍有EF =BE +DF ；（2）如图4，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 、E 均在边BC 上，且∠DAE =45°，若BD =1， EC =2，求DE 的长．图3 图4 （本小题满分5分）解： (1)∠B +∠D =180°（或互补）． ………………1分 (2)∵ AB =AC ， ∴ 把△ABD 绕A 点逆时针旋转90°至△ACG ，可使AB 与AC 重合. ………………2分 ∠B =∠ACG , BD=CG , AD=AG ∵ △ABC 中，∠BAC =90°， ∴ ∠ACB +∠ACG =∠ACB +∠B =90°．即∠ECG =90°．

浅谈小学数学阅读的重要性

浅谈小学数学阅读的重要性阅读是人类社会生活的一项重要活动，是人类汲取知识的主要手段和理解世界的重要途径。一谈及阅读，人们联想的往往是语文阅读，不过，随着社会的发展、科学技术的进步及“社会的数学化”，仅具语文阅读水平的社会人已明显地显露出其水平的不足，如他们看不懂某些产品使用说明书，看不懂股市走势图，等等。此即表明，现代及未来社会要求人们具有的阅读水平已不再仅仅语文阅读水平，而是一种以语文阅读水平为基础，包括外语阅读水平、数学阅读水平、科技阅读水平在内的综合阅读水平。所以，在只重视语文阅读水平培养的今天学校教育中，增强学科阅读教育研究，探索学科阅读教学的特殊性及教育功能，理解学科阅读水平培养的重要性，就显得尤为重要。本文想就数学阅读先抒已见，以求教于大方。 1.数学阅读的特殊性所有科学——自然科学、社会科学、管理科学等的工具和语言”。不过，这种语言与日常语言不同，“日常语言是习俗的产物，也是社会和政治运动的产物，而数学语言则是慎重地、有意地而且经常是精心设计的”。所以，美国著名心理学家布龙菲尔德(L.Bloonfield)说：“数学不过是语言所能达到的最高境界”。更有前苏联数学教育家斯托利亚尔言：“数学教学也就是数学语言的教学”。而语言的学习是离不开阅读的，所以，数学的学习不能离开阅读，这便是数学阅读之由来。数学阅读过程同一般阅读过程一样，是一个完整的心理活动过程，包含语言符号(文字、数学符号、术语、公式、图表等)的感知和认读、新概念的同化和顺应、阅读材料的理解和记忆等各种心理活动因素。同时，它也是一个持续假设、证明、想象、推理的积极能动的认知过程。但因为数学语言的符号化、逻辑化及严谨性、抽象性等特点，数学阅读又有不同于一般阅读的特殊性，理解这些特殊性，对指导数学阅读有重要意义。首先，因为数学语言的高度抽象性，数学阅读需要较强的逻辑思维水平。在阅读过程中，读者必须认读感知阅读材料中相关的数学术语和符号，理解每个术语和符号，并能准确依据数学原理分析它们之间的逻辑关系，最后达到对材料的本真理解，形成知识结构，这中间用到的逻辑推理思维特别多。而一般阅读“理解和感知好像融合为一体，因为这种情况下的阅读，主要的是使用已有的知识，把它与新的印象联系起来，从而掌握阅读的对象”，较少使用逻辑推理思维。其次，数学语言的特点也在于它的精确性，每个数学概念、符号、术语都有其精确的含义，没有含糊不清或易产生歧义的词汇，数学中的结论错对分明，不存有似是而非模棱两可的断言，当一个学生试图阅读、理解一段数学材料或一个概念、定理或其证明时，他必须了解其中出现的每个数学术语和每个数学符号的精确含义，不能忽视或略去任何一个不理解的词汇。所以，浏览、快速阅读等阅读方式不太适合数学阅读学习。或浏览无趣味的段落，但数学阅读因为数学教科书编写的逻辑严谨性及数学“言必有据”的特点，要求对每个句子、每个名词术语、每个图表都应细致地阅读分析，领会其内容、含义。对新出现的数学定义、定理一般不能一遍过，要反复仔细阅读，并实行认真分析直至弄懂含义。数学阅读常出现这种情况，理解一段数学材料中每一个字、词或句子，却不能理解其中的推理和数学含义，更难体会到其中的数学思想方法。数学语言形式表述与数学内容之间的这个矛盾决定了数学阅读必须勤思多想。第四，数学阅读过程往往是读写结合过程。一方面，数学阅读要求记忆重要概念、原理、公式，而书写能够加快、增强记忆，数学阅读时，对重要的内容常通过书写或作笔记来增强记忆;另一方面，教材编写为了简约，数学推理的理由常省略，运算证明过程也常简略，阅读时，如果从上一步到下一步跨度较大，常需纸笔演算推理来“架桥铺路”，以便顺利阅读;

初三数学阅读理解题集

初三数学阅读理解题集 1、请你阅读下列计算，再回答所提出的问题： ()()()()()()()()()()() ()2331133111 313111133126 x x x x A x x x x x B x x x x x x C x -----=-+----=-+-+-=---=-- （1）上面计算过程中，从哪一步开始出现错误？（2）从B 到C 是否正确；（3）请你正确解答此题。 2、如图，AB 是⊙O 的直径，把AB 分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB ＝a ，那么⊙O 的周长l a π=。 A · B A · B A · B 计算：（1）把AB 分成两条相等的线段，每个小圆的周长2l ＝。（2）把AB 分成三条相等的线段，每个小圆的周长3l ＝。（3）把AB 分成四条相等的线段，每个小圆的周长4l ＝。（4）把AB 分成n 条相等的线段，每个小圆的周长n l ＝。结论：把大圆的直径分成n 条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的。找出规律、计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系。 O O O

4、阅读材料，回答问题：为解方程()()22215140x x ---+=，我们可以将2 1x -视为一个整体，然后设21x y -=，则()2 221x y -=，原方程化为 2540y y -+= （1）解得 121,4y y == （1）当1y = 时，2211,2x x x -=∴=∴= （2）当4y = 时，2214,5x x x -=∴=∴= ∴原方程的解为 1234,2,5,5 x x x x =-解答问题：（1）填空：在由原方程得到方程（1）的过程中，利用法达到了降次的目的，体现了的数学思想。（2）解方程 4260x x --= 5、阅读下面材料：在计算3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21时，我们发现，从第一个数开始，以后的每个数与它的前一个数的差都是一个相同的定值，具有这种规律的列数，除了直接相加外，我们还可以用公式()d n n na s 2 1-+=来计算它们的和，（公式中的n 表示数的个数，a 表示第一个数的值，d 表示这个相差的定值）那么3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝10×3＋ ()2211010?-＝120。用上面的知识解决下列问题：为保护长江，减少水土流失，我市某县决定对原有的坡荒地进行退耕还林，从1995年起在坡荒地上植树造林，以后每年又以比上一年多植相同面积的树木改造荒地，由于每年因自然灾害、树木成活率、人为因素的影响，都有相同数量的新坡荒地产生，下表为1995、1996、1997三年的坡荒地面积的植树的面积统计数据，假设坡荒地全部种上树后，不再为水土流失形成新的坡荒地，问到哪一年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木。（2001年重庆市中考题） 5、①以下是一道题目及其解答过程：已知：如图，从菱形ABCD 对角线的交点O 分别向各边引垂线，垂足分别是E 、F 、G 、H 求证：四边形EFGH 是矩形证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AO ＝CO

大学高等数学教材23599

高等数学教材

一、函数与极限 1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。

高中语文现代文百篇阅读材料斯坦福的趣味数学课素材

一天，美国斯坦福大学商学院的数学教授库珀让同学们把自己的生日写在小纸片上，然后把所有的小纸片都折起来放在讲台上。他拿出一张5美元的钞票，问：“我用5美元打赌，你们中至少有两个人同月同日生。有人敢跟我赌吗？” “我赌！”几个男同学拳起手来，另外七八个同学也掏出5美元扔在桌子上。有的同学暗想：一年365天，我们班只有50个同学，同一天生日的可能性也太小了，库珀这不是白送钱吗？库珀教授打开第一张纸，读出上面写的日期，马上就有3个同学举起手来，表示那是他们的生日。打赌的同学嘟囔了一句：“怎么会这么巧？”周围的同学都大笑起来。接着，库珀用他那明晰的语言，把同学们带入了数学的王国： “解决这个问题最好用反证法，即先证明50个人中没有两个人同一天生日的概率非常之小。 “我们可以把365天看成365个房间，现在要给50个人按照生日安排住房，必须保证没有两个人住在同一间房（也就是没有两个人同一天生日）、对于第一个人来说，他选择房间的概率是365除以365，也就是l，因为所有房间都是空的，他都可以入住一第一个人住进去后，第二个人选择的概率就是364除以365了，因为已经有一间房住了人．他只能住另外364间接下来的第三个人，选择的概率就更小一些，363除以365…… “按照这种算法，只有当每一个人住的房间都不同时，才能满足没有两个人同住一间房的要求。50个人住房的概率依次为365除以365，364除以365……(365-50+1)除以365、由于若干个独立事件的乘积的概率等于每个独立事件概率的乘积，我们可以得出以下公式：365／365×364／365x——x(365-50+1)／365。 “最后的结果等于0.03，也就是说，没有两个人同住一间房的概率是3%。表示在这个问题中，你们50个人中没有两个人是同一天生日的概率只有3%，那么至少有两个人同一天生日的概率就是97%。我赢的把握足足有九成以上。” 说完，库珀扔下粉笔，得意洋洋地收获他的战利品——10多张5美元的钞票。 “各位，你们来商学院就是为了将来能够赚大钱，数学就是商学院传授给你们的一个制胜法宝”库珀补充道。 1

中考数学阅读型试题

中考数学阅读型试题近几年中考试题中，阅读理解型试题题型新颖，形式多样，知识覆盖面较大，它可以是总计课本原文，也可以是设计一个新的数学情境，让学生在阅读的基础上，理解其中的内容、方法、思想，然后把握本质，理解实质的基础上作出回答例1、我国古代数学家秦九韶在《算书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积。用现代式子表示即为： ])2 ([41222222c b a b a s -+-=……①（其中a 、b 、c 为三角形的三边长，s 为面积）。而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式： ))()((c p b p a p p s ---=……②（其中2 c b a p ++= ）。 (1)若已知三角形的三边长分别为5、7、8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积。 (2)你能否由公式①推导出公式②？请试试。分析：这是一道阅读理解题，它要求学生通过阅读理解“三斜求积术”的现在代公式，第（1）小题是检验学生的阅读能力及学以致用的能力，第（2）题是考查学生是创新能力。

1 2 4 3F E D D D C C C B B B A A A 练习 1．阅读下面操作过程，回答后面问题：在一次数学实践探究活动中，小强过A 、C 两点画直线AC 把平行四边形ABCD 分割成两个部分（a ），小刚过AB 、AC 的中点画直线EF ，把平行四边形ABCD 也分割成两个部分（b ）；（a ）（b ）（c ）（1）这两种分割方法中面积之间的关系为：21____S S ，43____S S ；（2）根据这两位同学的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有条，请在图（c ）的平行四边形中画出一种；（3）由上述实验操作过程，你发现了什么规律？（4）经过平行四边形对称中心的任意直线，都可以把平行四边形分成满足条件的图形；

数学阅读材料题目

2、阅读材料：多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形。图（一）给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形。请你按照上述方法将图（二）中的六边形进行分割，并写出得到的小三角形的个数以及求出每个图形中的六边形的内角和.试把这一结论推广至n 边形，并推导出n 边形内角和的计算公式。 (1) 2、探究规律：如图，已知直线∥，A 、B 为直线上的两点，C 、P 为直线上的两点。（1）请写出图中面积相等的各对三角形：______________________________。（2）如果A 、B 、C 为三个定点，点P 在上移动，那么无论P 点移动到任何位置总有：与△ABC 的面积相等；理由是： 4、在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形． ⑴ （5分）请根据下列图形，填写表中空格： m n n m m (1⑵ ⑶ ⑵ ⑶ n m O B A P C

⑵（2分）如果只限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？ ⑶（7分）从正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形、正十二边形中任选两种正多边形镶嵌，请全部写出这两种正多边形。并从其中任选一种探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由。

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一、函数与极限 1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。

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