2.1.3 函数的单调性
【预习要点及要求】
1.函数单调性的概念；
2.由函数图象写出函数单调区间；
3.函数单调性的证明
4.能运用函数的图象理解函数单调性和最值
5.理解函数的单调性
6.会证明函数的单调性
【知识再现】
1.22a b -=_____________
2.=-33b a _____________
3.=+33b a _____________
【概念探究】
阅读课本44页到例1的上方，完成下列问题
1从直观上看，函数图象从左向右看，在某个区间上，图象是上升的，则此函数是______，若图象是下降的，则此函数是_____________-
2不看课本，能否写出函数单调性的定义？
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3对区间的开闭有何要求？
4如何理解定义中任意两个字？
5一个函数不存在单调性，如何说明？
6完成课后练习A 第1，2题
【例题解析】
阅读课本例1与例2，完成下列问题
1． 不看课本你能否独立完成两个例题的证明
（1） 证明函数()21f x x =+在R 上是增函数
（2） 证明函数1()f x x =
，在区间(,0),(0,)-∞+∞上分别是减函数
2． 根据两个例题的证明，你能否给出证明函数单调性的一般步骤，在这些步骤中你认为最
关键的地方是什么？
3有的同学证明1()f x x =
在(0,)+∞上是减函数时是这样证的，你是否认可其作法，为什么？
证明：设120x x <<，则
1211x x >，即12()()f x f x >，根据定义可得1()f x x =在(0,)+∞上是减函数
4完成课后练习A 第3，4题，习题2-1A 第5题
5证明：x
x f 1)(=
在),0(+∞和)0,(-∞上均为减函数，并说明)(x f 在整个定义域上是否为减函数？
【典例讲解】
例1．求下列函数的增区间与减区间
(1)y ＝|x 2＋2x －3|
例2．已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，
试比较大小：
(1)f(6)与f(4)
例3．利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．
参考答案：
例1.解(1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4．
先作出f(x)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图像翻到x轴就得到y＝|x2＋2x－3|的图像
由图像易得：
递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)
递减区间是(－∞，－3]，[－1，1]
(2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间．
当x－1≥0且x－1≠1时，得x≥1且x≠2，则函数y＝－x．
当x－1＜0且x－1≠－1时，得x＜1且x≠0时，则函数y＝x－2．
∴增区间是(－∞，0)和(0，1)
减区间是[1，2)和(2，＋∞)
(3)解：由－x2－2x＋3≥0，得－3≤x≤1．
令u＝＝g(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4．在x∈[－3，－1]上是在x∈[－1，1]上是．
∴函数y的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．
例2．解(1)∵y＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x＝3，∴x≥3时，f(x)为减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4)
时为减函数．
例3．证明：取任意两个值x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2．
又∵x 1－x 2＜0，∴f(x 2)＜f(x 1)
故f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．
得f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．
【达标练习】
1若函数b mx y +=在),(+∞-∞上是增函数，那么 （ ）
A.b>0
B. b<0
C.m>0
D.m<0
2函数32)(2
+-=mx x x f ，当),2[+∞-∈x 时是增函数，当]2,(--∞∈x 时是减函数，则)1(f 等于 （ ）
A.-3
B.13
C.7
D.由m 而定的常数
3设函数)(x f 在),(+∞-∞上为减函数，则 ( )
)2()(.a f a f A > )()(.2a f a f B < )()(.2a f a a f C <+ )()1(.2a f a f D <+ 4如果函数5)1()(2+--=x a x x f 在区间)1,21(上是增函数，那么)2(f 的取值范围是__________________.
5已知)(x f y =在定义域)1,1(-上是减函数，且),13()1(-<-a f a f 则a 的取值范围是_____________
6证明函数x
x x f 1)(+
=在)1,0(上是减函数
【达标练习答案】
1、C
2、B
3、D
4、7)2(-≥f
5．2