开普勒第三定律的推导过程天文单位（英文：Astronomical Unit，简写AU）是一个长度的单位，约等于地球跟太阳的平均距离
万有引力定律是用开普勒第三定律导出的，因此不能再用万有引力定律来推导开普勒第三定律，循环论证是不严谨的。开普勒第三定律是开普勒根据第谷的观测数据来计算出来的，没有见过推导，推导过程只能是与万有引力定律的联系，不能叫推导。
把星球作的运动看成匀速圆周运动。这时，万有引力提供向心力。用质量、角速度、轨道半径表示出向心力，这样就可以写出一个方程.再将方程中的角速度用周期、圆周率表示。再用绕同一中心天体运的星体列一个方程，两式相比就可证明开普勒第三定律：
万有引力
（1）
向心力
（2）
（1）=（2），求出
（3）又
（4）
将（3）代入（4）即可
R为运行轨道半径，
T=行星公转周期，常数
这种方法只局限于匀速圆周运动的轨道模型，但现实中的星体运动的轨道都为椭圆，于是便有以下推导：
利用微元，矢径R在很小的Δt时间内，扫过面积为ΔS，矢径R与椭圆该点的切线方向夹角为α，椭圆的弧长为ΔR。在Δt→0时，扫过面积可以看作为三角形，R为半长轴
面积速度为
各行星绕太阳运行周期为T
设椭圆半长轴为a、半短轴为b、太阳到椭圆中心的距离为c
则行星绕太阳运动的周期
选近日点A和远日点B来研究，由ΔS相等可得
从近日点运动到远日点的过程中，根据机械能守恒定律得：
得：
，由几何关系得：
，
，
所以
整理得
水星0.998 ，金星0.995 ，地球1，火星0.996，木星0.994，土星0.990 ，天王星1.00 ，海王星0.990。
万有引力推导开普勒定律 万有引力定律的阐明： 任意两个质点由通过连心线方向上的力相互吸引。该引力大小与它们质量的乘积成正比，与它们距离的平方成反比，与两物体的化学组成和其间介质种类无关。 开普勒定律的阐明： ①椭圆定律:所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。 ②面积定律:行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过相等的面积。 ③所有行星绕太阳一周的恒星时间()的平方与它们轨道长半轴(ai)的立 方成比例，即 一、开普勒第二定律导引： 由于太阳超重于行星，我们可以假设太阳是固定的。用方程式表示为： ； 其中，是太阳作用于行星的万有引力、是行星的质量、是太阳的质量、是行星相对于太阳的位移向量、是的单位向量。 牛顿第二定律声明：物体受力后所产生的加速度，和其所受的浮力成正比， 和其质量成反比。用方程式表示： 。 合并这两个方程式： (1) 思考位置向量，随时间微分一次可得到速度向量，再微分一次则 可得到加速度向量： 在这里，我们用到了单位向量微分方程式：
， 。（2） 合并方程式 (1) 与 (2) ，可以得到向量运动方程式： 取各个分量，我们得到两个常微分方程式，一个是关于径向加速度，另一个是关于切向加速度： ，(3) 。(4) 导引开普勒第二定律只需切向加速度方程式。试想行星的角动量。 由于行星的质量是常数，角动量随时间的导数为： 。 角动量也是一个运动常数，即使距离与角速度都可能会随时间变化。从 时间到时间扫过的区域： 。 行星太阳连线扫过的区域面积相依于间隔时间。 所以，开普勒第二定律是正确的。 二、开普勒第一定律导引： 设定。这样，角速度是： 。 随时间微分与随角度微分的关系为： 。 随时间微分径向距离：
度(Φ)：弧度（rad）；频率（f）：赫（Hz）；周期（T）：秒（s）；转速（n）：r/s；半径(r):米（m）；线速度（V）：m/s；角速度（ω）：rad/s；向心加速度：m/s2。注：（1）向心力可以由某个具体力提供，也可以由合力提供，还可以由分力提供，方向始终与速度方向垂直，指向圆心；2）做匀速圆周运动的物体，其向心力等于合力，并且向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小，因此物体的动能保持不变，向心力不做功，但动量不断改变。3)万有引力1.开普勒第三定律：T2/R3＝K(＝4π2/GM) ｛R:轨道半径，T:周期，K:常量(与行星质量无关，取决于中心天体的质量)｝2.万有引力定律：F＝Gm1m2/r2 （G ＝6.67×10-11N?m2/kg2，方向在它们的连线上）3.天体上的重力和重力加速度：GMm/R2＝mg；g＝GM/R2 ｛R:天体半径(m)，M：天体质量（kg）｝ 4.卫星绕行速度、角速度、周期：V＝(GM/r)1/2；ω＝(GM/r3)1/2；T＝2π(r3/GM)1/2 ｛M：中心天体质量｝5.第一(二、三)宇宙速度V1＝(g地r地)1/2＝(GM/r地)1/2＝7.9km/s；V2＝11.2km/s；V3＝16.7km/s 6.地球同步卫星GMm/(r地+h)2＝m4π2(r地+h)/T2 ｛h≈36000km，h:距地球表面的高度，r地:地球的半径｝注: (1)天体运动所需的向心力由万有引力提供,F向＝F万；(2)应用万有引力定律可估算天体的质量密度等；(3)地球同步卫星只能运行于赤道上空，运行周期和地球自转周期相同；(4)卫星轨道半径变小时,势能变小、动能变大、速度变大、周期变小（一同三反）；(5)地球卫星的最大环绕速度和最小发射速度均为7.9km/s。 开普勒定律 目录[隐藏] 开普勒定律的意义 发现 影响 开普勒定律的意义 发现 影响 也统称“开普勒三定律”，也叫“行星运动定律”，是指行星在宇宙空间绕太阳公转所遵循的定律。由于是德国天文学家开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过他本人的观测和分析后，于1609～1619年先后早归纳提出的，故行星运动定律即指开普勒三定律。
什么是开普勒三大定律 说到开普勒三大定律，就不能不说丹麦天文学家第谷·布拉赫。正是由于参考了他的大量珍贵、精确的天文观测资料，开普勒才最终研究并发现了行星运动的三大定律，为牛顿万有引力定律的发现打下了基础。 作为一个天文爱好者，第谷从十几岁就开始查看星历表和天文学著作，并进行天文观测。1572年，第谷观测到一颗非常明亮的星星突然出现在了仙后座，他为此进行了连续几个月的观察，最终看到了这颗星星从明亮到消失的过程。后来，人们知道这并非一颗新星的生成，而是一颗暗到几乎看不见的恒星在消失前发生爆炸的过程，这颗被发现的星星也被称为第谷超新星。在1577年，一颗巨大的售星出现在丹麦上空，第谷首次将彗星作为独立天体进行了观测。观测结果显示，彗星的轨道不可能是完美的圆周形，而应该是被拉长的，且由视差判断该彗星与地球的距离比地月的距离更远。 随后，第谷通过精确的星位测量，企图发现由地球运行而引起的恒星方位的改变，但结果一无所得。由此，他开始反对哥白尼的日心说，并在1583年出版的《论彗星》一书中提出一种介于地心说和日心说之间的理论，即地球是静止的中心，太阳围绕地球做圆周运动，除地球外的其他行星则围绕着太阳做圆周运动。这个理论曾一度被人接受，中国明朝就使用了主要依据第谷的观测结果而编制的时宪历。 虽然第谷的行星模型很快就被淘汰了，但他的天文观测对科学革命来说是个重大的贡献。在第谷去世之后，他的助手开普勒利用他多年积累的观测资料，仔细分析研究并提出了行星运动的三大定律，从而揭开了行星运动的秘密。 针对哥白尼的日心说体系，开普勒曾做过这样的设想，即如果行星都在围绕太阳而不是地球运动，同时运行轨道又都是椭圆形的，那么每个行星的轨道就都会是一直向前的，也就不需要再添加什么复杂的本轮来进行调节了。这样一来，行星的运动不但可以用非常简单、优雅的轨道来描述，还可以解释那些不符合圆周运动轨道的行星运动的观测结果。在这个假设的基础上，开普勒参考第谷的大量观测资料，最终提出了行星运动的三大定律。 开普勒第一定律，也叫椭圆定律、轨道定律:每一个行星都沿着各自的椭圆轨道绕太阳运行，而太阳则处在椭圆的一个焦点中。
万有引力及天体运动 一．开普勒行星运动三大定律 1、开普勒第一定律(轨道定律): 所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。 2、开普勒第二定律(面积定律): 对于每一个行星而言，太阳和行星的联线在相等的时间扫过相等的面积。 3、开普勒第三定律(周期定律): 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。 1、如图所示是行星m 绕恒星M 运动的情况示意图，则下面的说确的是： A 、速度最大的点是B 点 B 、速度最小的点是C 点 C 、m 从A 到B 做减速运动 D 、m 从B 到A 做减速运动 二、万有引力定律 1、万有引力定律的建立 ①太阳与行星间引力公式 ②月—地检验 ③卡文迪许的扭秤实验——测定引力常量G 2、万有引力定律 ①容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量1m 和2m 的乘积成正比，与它们之间的距离r 的二次方成反比。即： ②适用条件 （Ⅰ）可看成质点的两物体间，r 为两个物体质心间的距离。 （Ⅱ）质量分布均匀的两球体间，r 为两个球体球心间的距离。 ③运用 地上：忽略地球自转可得： 2）计算重力加速度 地球上空距离地心r=R+h 处 方法： 在质量为M ’，半径为R ’的任意天体表面的重力加速度' 'g 方法： （3）计算天体的质量和密度 利用自身表面的重力加速度： 天上：利用环绕天体的公转： 等等 （注：结合 得到中心天体的密度） （4）双星：两者质量分别为m 1、m 2，两者相距L 特点：距离不变，向心力相等，角速度相等，周期相等。 双星轨道半径之比： 双星的线速度之比： 三、宇宙航行 1、人造卫星的运行规律 2Mm F G r =11226.6710/G N m kg -=??12 2m m F G r =2 R Mm G mg =2' '''' 'R m M G mg =mg R Mm G =2r T m r m r v m r Mm G 222 224πω===33 4 R M πρ?=2 ')(h R Mm G mg +=1 2 2121 m m v v R R ==v Mm 22 24π
关于开普勒的三大定律 例1月球环绕地球运动的轨道半径约为地球半径的60倍，运行周期约为27天。应用开普勒定律计算：在赤道平面内离地面多少高度，人造地球卫星可以随地球一起转动，就像停留在无空中不动一样. 同理设月球轨道半径为 2.'，周期为丄?’，也有: 由以上两式可得: x(60^)3=6.67A tt 在赤道平面内离地面高度： -- 三亠匸「.厂「? ：「一二j < / 1 km 点评：随地球一起转动，就好像停留在天空中的卫星，通常称之为定点卫星?它们离地面的 高度是一个确定的值，不能随意变动。 利用月相求解月球公转周期 例2若近似认为月球绕地球公转与地球绕日公转的轨道在同一平面内，且都为正圆.又知这 两种转动同向，如图所示，月相变化的周期为29.5天(图是相继两次满月，月、地、日相对位 置示意图). 典型例题 分析：月球和人造地球卫星都在环绕地球运动，的三次 方跟圆周运动周期的二次方的比值都是相等的. 根据开普勒第三定律，它们运行轨道的半径解：设人造地球卫星运行半径为R,周期为T,根据开普勒第三定律有:
解：月球公转（2 n + J ）用了 29.5天. 卫星的向心加速度是万有引力作用于卫星上产生的, 而选项C 是错误的. 若使卫星C 速率增大，则必然会导致卫星 C 偏离原轨道，它不可能追上卫星 B,故 D 也是错 误的. 解：本题正确选项为 B o 点评：由于人造地球卫星在轨道上运行时， 所需要的向心力是由万有引力提供的， 故转过2 n 只用 29.5 天. 由地球公转知 365 所以2 =27.3天. 例3如图所示，A 、B C 是在地球大气层外的圆形轨道上运行的三颗人造地球卫星， 下列说 法中正确的是哪个？（ ） A. B 、C 的线速度相等，且大于 A 的线速度 B. B 、C 的周期相等，且大于 A 的周期 C. B 、C 的向心加速度相等，且大于 A 的向心加速度 D. 若C 的速率增大可追上同一轨道上的 B ，因而选项A 是错误的. 故选项B 是正确的. 0M a = ― 由 ?’ ，可若由于某 分析：由卫星线速度公式 由卫星运行周期公式 y ，
3232 万有引力定律应用的12种典型案例 万有引力定律不仅是高考的一个大重点，而且是自然科学的一个重大课题，也是同学们最感兴趣的科学论题之一。 特别是我国“神州五号”载人飞船的发射成功，更激发了同学们研究卫星，探索宇宙的信心。 下面我们就来探讨一下万有引力定律在天文学上应用的12个典型案例： 【案例1】天体的质量与密度的估算 下列哪一组数据能够估算出地球的质量 A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离 B.地球表面的重力加速度与地球的半径 C.绕地球运行卫星的周期与线速度 D.地球表面卫星的周期与地球的密度 解析：人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动。月球也是地球的一颗卫星。 设地球的质量为M ，卫星的质量为m ，卫星的运行周期为T ，轨道半径为r 根据万有引力定律： r T 4m r Mm G 22 2π=……①得： 2 32G T r 4M π=……②可见A 正确 而T r 2v π= ……由②③知C 正确 对地球表面的卫星，轨道半径等于地球的半径，r=R ……④ 由于3 R 4M 3 π= ρ……⑤结合②④⑤得： G 3T 2π = ρ 可见D 错误 地球表面的物体，其重力近似等于地球对物体的引力 由2R Mm G mg =得：G g R M 2=可见B 正确
3333 【探讨评价】根据牛顿定律，只能求出中心天体的质量，不能解决环绕天体的质量；能够根据已知条件和已知的常量，运用物理规律估算物理量，这也是高考对学生的要求。总之，牛顿万有引力定律是解决天体运动问题的关键。 【案例2】普通卫星的运动问题 我国自行研制发射的“风云一号”“风云二号”气象卫星的运行轨道是不同的。“风云一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为12 h ，“风云二号”是同步轨道卫星，其运行轨道就是赤道平面,周期为24 h 。问：哪颗卫星的向心加速度大哪颗卫星的线速度大若某天上午8点，“风云一号”正好通过赤道附近太平洋上一个小岛的上空，那么“风云一号”下次通过该岛上空的时间应该是多少 解析：本题主要考察普通卫星的运动特点及其规律 由开普勒第三定律T 2 ∝r 3 知：“风云二号”卫星的轨道半径较大 又根据牛顿万有引力定律r v m ma r Mm G 22==得： 2r M G a =，可见“风云一号”卫星的向心加速度大， r GM v = ，可见“风云一号”卫星的线速度大， “风云一号”下次通过该岛上空，地球正好自转一周，故需要时间24h ，即第二天上午8点钟。 【探讨评价】由万有引力定律得：2M a G r = ，v = ω= 2T = ⑴所有运动学量量都是r 的函数。我们应该建立函数的思想。 ⑵运动学量v 、a 、ω、f 随着r 的增加而减小，只有T 随着r 的增加而增加。 ⑶任何卫星的环绕速度不大于7.9km/s ，运动周期不小于85min 。 ⑷学会总结规律，灵活运用规律解题也是一种重要的学习方法。 【案例3】同步卫星的运动 下列关于地球同步卫星的说法中正确的是： A 、为避免通讯卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上 B 、通讯卫星定点在地球赤道上空某处，所有通讯卫星的周期都是24h C 、不同国家发射通讯卫星的地点不同，这些卫星的轨道不一定在同一平面上
开普勒定律的推导及应用 江苏南京师范大学物科院王勇江苏海安曲塘中学周延怀 随着人类航天技术的飞速发展和我国嫦娥绕月卫星的发射成功，以天体运动为载体的问题将成为今后考查热点。在现行的高中物理教材中主要引用了开普勒三大定律来描述了天体的运动的规律，这三条定律的主要内容如下： （1）所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上。 （2）对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。 （3）所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值。 至于行星绕太阳的轨道为何是椭圆以及中的常量C与那些量相关并无说明。为了更深入的理解天体和人造卫星的运行规律，本文将以椭圆的性质为基础从理论上推导开普勒定律。 一、开普勒第一定律 1．地球运行的特点 （1）由于地球始终绕太阳运动，则太阳对地球的万有引力的力矩始终为零，所以地球在运动过程中角动量守恒。 （2）若把太阳与地球当作一个系统，由于万有引力为保守力且无外力作用在这个系统上，所以系统机械能守恒。 2．地球运行轨迹分析 地球在有心力场中作平面运动且万有引力的作用线始终通过太阳，所以建立如图所示的极坐标系，则P点坐标为(r，θ)。 若太阳质量为M，地球质量为m，极径为r时地球运行的运行速度为v。
当地球的运行速度与极径r垂直时，则地球运行过程中的角动量（1）若取无穷远处为引力势能的零参考点，则引力势能，地球在运行过程中的机械能（2） （1）式代入（2）式得：（3） 由式（3）得：（4） 由式（4）可知，当地球的运行速度与极径r垂直时，地球运行的极径r有两解，由于初始假设地球的运行速度与极径垂直，所以r为地球处在近日点和远日点距太阳的距离。考 虑到地球的这两个位置在极坐标系中分别相当于和，可把式（4）中 的号改写为更普遍的形式极坐标方程。 则地球的运行轨迹方程为（5）（5）式与圆锥曲线的极坐标方程吻合，其中（p 为决定圆锥曲线的开口），（e为偏心率，决定运行轨迹的形状），所以地球的运行轨迹为圆锥曲线。由于地球绕太阳运动时E<0，则圆锥曲线的偏心率，所以地球绕太阳运行的轨迹为椭圆。 3．人造星体的变轨
典型例题 关于开普勒的三大定律 例1 月球环绕地球运动的轨道半径约为地球半径的60倍，运行周期约为27天。应用开普勒定律计算：在赤道平面内离地面多少高度，人造地球卫星可以随地球一起转动，就像停留在无空中不动一样． 分析：月球和人造地球卫星都在环绕地球运动，根据开普勒第三定律，它们运行轨道的半径的三次方跟圆周运动周期的二次方的比值都是相等的． 解：设人造地球卫星运行半径为R，周期为T，根据开普勒第三定律有： 同理设月球轨道半径为，周期为，也有： 由以上两式可得： 在赤道平面内离地面高度： km 点评：随地球一起转动，就好像停留在天空中的卫星，通常称之为定点卫星．它们离地面的 高度是一个确定的值，不能随意变动。 利用月相求解月球公转周期 例2 若近似认为月球绕地球公转与地球绕日公转的轨道在同一平面内，且都为正圆.又知这两种转动同向，如图所示，月相变化的周期为29.5天（图是相继两次满月，月、地、日相对位 置示意图）．
解：月球公转（2π+）用了29.5天． 故转过2π只用天． 由地球公转知． 所以=27.3天． 例3如图所示，A、B、C是在地球大气层外的圆形轨道上运行的三 颗人造地球卫星，下列说法中正确的是哪个？（） A．B、C的线速度相等，且大于A的线速度 B．B、C的周期相等，且大于A的周期 C．B、C的向心加速度相等，且大于A的向心加速度 D．若C的速率增大可追上同一轨道上的B 分析：由卫星线速度公式可以判断出，因而选项A是错误的．由卫星运行周期公式，可以判断出，故选项B是正确的． 卫星的向心加速度是万有引力作用于卫星上产生的，由，可知，因而选项C是错误的． 若使卫星C速率增大，则必然会导致卫星C偏离原轨道，它不可能追上卫星B，故D也是错误的． 解：本题正确选项为B。
第11点开普勒三定律的理解和 应用 开普勒定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动.我们可以从以下三方面应用开普勒定律迅速解决天体运动问题. 1.由开普勒第一定律知所有行星围绕太阳运动时的轨道都是椭圆，不同的行星绕太阳运动时的椭圆轨道是不同的，太阳处在椭圆的一个焦点上，如图1所示.该事实否定了圆形轨道的说法，建立了正确的行星轨道理论，而且准确地给出了太阳的位置. 图1 2.由开普勒第二定律知：当离太阳比较近时，行星运行的速度比较快，而离太阳比较远时，行星运动的速度比较慢. 3.由开普勒第三定律知：所有行星的轨道的半长轴的三次方和公转周期的平方的比值都相等.该定律揭示了周期和轨道半径的关系，其中的比例常数与行星无关，只与中心天体有关. 对点例题1火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知() A.太阳位于木星运行轨道的中心 B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 解题指导太阳位于木星运行椭圆轨道的一个焦点上，选项A 错误；由于火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，火星和木星绕太阳运行速度的大小变化，选项B 错误；根据开普勒行星运动定律可知，火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方，选项C 正确；相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积不等于木星与太阳连线扫过的面积，选项D 错误. 答案C 特别提醒本题中的D 项是学生作答中的易错点.对开普勒三定律理解时要注意对象的同一性，不能张冠李戴将该行星和其他行星的相关量混为一谈. 对点例题2飞船沿半径为R 的圆周绕地球运动，其周期为T .如图2所示，飞船要返回地面，可以在轨道上的某一点A 处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的特殊椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B 点相切.如果地球半径为R 0，求飞船由A 点运动到B 点所需的时间. 图2 解题指导由开普勒第三定律知，飞船绕地球做圆周(半长轴和半短轴相等的特殊椭圆)运动时，其轨道半径的三次方跟周期的平方的比值，等于飞船绕地球沿椭圆轨道运动时其半长轴的三次方跟周期平方的比值. 飞船椭圆轨道的半长轴为R ＋R 02， 设飞船沿椭圆轨道运动的周期为T ′， 则有R 3T 2＝(R ＋R 0)3 8T ′ 2， 因此飞船从A 点运动到B 点所需的时间为 t ＝T ′2＝(R ＋R 0)T 4R R ＋R 02R . 答案(R ＋R 0)T 4R R ＋R 02R 木星绕太阳运动的周期为地球绕太阳运动周期的12倍，那么，木星绕太阳运动轨道的半长
开普勒三定律的发现过程 生活在地球上的人类，不能感觉地球的运动，却能直接看到日月星辰绕地球旋转，因此，很容易误认为地球是静止不动地居于宇宙的中心，于是地心说应运而生。公元前4世纪，古希腊哲学家亚里士多德（Aristotle）提出整个宇宙是一个多层水晶球，地球位于水晶球的中心，恒星、行星、太阳和月亮都在各自的轨道上围绕地球旋转。这是历史上最早的地心说，后经过古希腊天文学家托勒密（公元90—168年）在二世纪中叶加以系统化之后，曾风靡世界达一千五百年之久。这一现象主要是因为这种说法与当时教会的教义吻合，得到了教会的大力支持。 托勒密首先将希腊和罗马的天文学做总结，并写了一本有名的《大综合论》，这一本书可说是古今天文之大成，书中不仅说明了所有天文学的知识，也大大的宣扬了著名的《天动说》，这个理论认为，所有的天体都在〝本轮环〞上绕著地球公转，一圈一圈往外，有时为了修正星体的运动，必须在本轮环上再加本轮环，这样一来天体的运动就会变得很复杂，对于精度不高的古代，这样做当然有其好处，只不过到了后来，天文观测仪器的改进终于使《天动说》寿终正寝。但是，由于中世纪教会的影响《大综合论》成为中世纪的天文典，而天动说也藉此支配中世纪的欧洲达一千多年之久。 中世纪的欧洲由于教会的压迫，自然科学的进展不大，因此这个时期的天文学重心便集中在阿拉伯。中世纪天文学最主要的成就是岁差的测定和历法的修正，在当时甚至已经有光学的研究出现。这些阿拉伯天文学的成就，为波兰伟大的天文学家哥白尼的新体系奠定了基础.而哥白尼的名著《天体运行论》的出版正揭示了科学革命的到来。 哥白尼的天体运行论一书出版后日心学说就像涟漪一样地向外传布。哥白尼之后，意大利学者布鲁诺（Giordano Bruno）进一步认为，太阳只是无数恒星中的一颗，仅是太阳系的中心，而不是宇宙的中心，这一认识使哥白尼日心说得到了进一步发展。由于日心说危及到当时罗马教会的思想统治，反动教会对布鲁诺恨之入骨，用种种恐怖手段逼迫布鲁诺放弃日心说，布鲁诺宁死不屈，最后被活活烧死。 1609年，意大利著名物理学家、天文学家伽利略（Galileo）用望远镜巡视星空，获得了一系列的重要发现——银河是由无数单个的恒星组成的，木星有4颗卫星，金星有圆缺变化，这些观测事实有力地支持了日心说。教会非常恐慌，将伽利略传到罗马的宗教法庭受审，并宣判他有罪，直到300多年后的1984年，这一冤案才得以昭雪。 尽管罗马教廷对宣传、支持日心说的科学家加以重重迫害，然而经过开普勒（Johannes Kepler）、伽利略和牛顿（Isaac Newton）等人的工作，哥白尼的学说不断获得胜利和发展。后来的许多发现使地球绕太阳转动的学说得到了举世公认的证明。特别是1846年，人们根据日心说理论的计算而准确地发现了海王星，哥白尼的日心说终于得到了完全的证实。加上1781年天王星的发现，1930年冥王星的发现，日心说在对地心说的斗争中最终取得了彻底
开普勒三定律、万有引力定律 1． (2017·湖南衡阳五校联考)在力学理论建立的过程中，有许多伟大的科学家做出了贡献。关于科学家和他们的贡献，下列说法中不正确的是（ ） A ．伽利略首先将实验事实和逻辑推理(包括数学推演)和谐地结合起来 B ．笛卡儿对牛顿第一定律的建立做出了贡献 C ．开普勒通过研究行星观测记录，发现了行星运动三大定律 D ．牛顿总结出了万有引力定律并用实验测出了引力常量 2． (2013·江苏高考)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( ) A ．太阳位于木星运行轨道的中心 B ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等 C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D ．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 3． 某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a ，近日点离太阳的距离为b ，过远日点时行星的速率为v a ，则过近日点时行星的速率为（ ） A ．v b ＝b a v a B ．v b ＝ a b v a C ．v b ＝a b v a D ．v b ＝ b a v a 4． 地球在绕太阳转动的同时，本身绕地轴在自转，形成了春、夏、秋、冬四个季节，则下面说法正确的是（ ） A ．春分时地球公转速率最小 B ．夏至时地球公转速率最小 C ．秋分时地球公转速率最小 D ．冬至时地球公转速率最小 5． （2010新课标卷）太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道.下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图像.图中坐标系的横轴是lg(T/T 0)，纵轴是lg(R/R 0);这里T 和R 分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T 0和R 0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径.下列4幅图中正确的是（ ） 6． 若将八大行星绕太阳运行的轨迹粗略地认为是圆，各星球半径和轨道半径如下表所示： A ．80年 B ．120年 C ．165年 D ．200年
万有引力定律应用的12种典型案例 万有引力定律不仅是高考的一个大重点，而且是自然科学的一个重大课题，也是同学们最感兴趣的科学论题之一。 特别是我国“神州五号”载人飞船的发射成功，更激发了同学们研究卫星，探索宇宙的信心。 下面我们就来探讨一下万有引力定律在天文学上应用的12个典型案例： 【案例1】天体的质量与密度的估算 下列哪一组数据能够估算出地球的质量 A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离 B.地球表面的重力加速度与地球的半径 C.绕地球运行卫星的周期与线速度 D.地球表面卫星的周期与地球的密度 解析：人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动。月球也是地球的一颗卫星。 设地球的质量为M ，卫星的质量为m ，卫星的运行周期为T ，轨道半径为r 根据万有引力定律： r T 4m r Mm G 22 2π=……①得： 2 32GT r 4M π=……②可见A 正确 而T r 2v π= ……由②③知C 正确 对地球表面的卫星，轨道半径等于地球的半径，r=R ……④ 由于3 R 4M 3 π= ρ……⑤结合②④⑤得： G 3T 2π = ρ 可见D 错误 地球表面的物体，其重力近似等于地球对物体的引力 由2R Mm G mg =得：G g R M 2=可见B 正确 【探讨评价】根据牛顿定律，只能求出中心天体的质量，不能解决环绕天体的质量；能够根据已知条件和已知的常量，运用物理规律估算物理量，这也是高考对学生的要求。总之，牛顿万有引力定律是解决天体运动问题的关键。 【案例2】普通卫星的运动问题 我国自行研制发射的“风云一号”“风云二号”气象卫星的运行轨道是不同的。“风云一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为12 h ，“风云二号”是同步轨道卫星，其运行轨道就是
从开普勒定律到牛顿万有引力定律 [摘要]：在高中阶段甚至大学的普通物理中，从开普勒三定律到万有引力定律的推导都是在简化之后的圆轨道上进行的。本文从椭圆轨道出发，推导出了万有引力定律。 [关键词]：万有引力定律、开普勒定律、行星运动、椭圆轨道、极坐标 [正文] 高中阶段，由于缺少数学知识，从开普勒定律到万有引力的推导只能在简化之后的圆轨道上进行。甚至大学阶段，普通物理的教材中，也采用了这个方法。本文力图从原始的椭圆轨道入手，导出万有引力定律。当然，这个过程不可能不涉及高等数学的知识。首先我们做一个准备工作，然后再集中考虑推导的过程。如果“准备”中的知识已完全清楚，则可以直接考虑定律的推导了。 第一部分 准备 一、极坐标中的椭圆方程 椭圆定义为到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e 的点的集合。 如图1所示，在极坐标中，Ox 为极轴l 是垂直于极轴的定直线，它与O 点的距离为p 。由椭圆的定义可知： e r p r =+θ cos 整理可得： θ cos 1e pe r -= (1) 二、极坐标中的位置矢量 x O θ 图1 l r
极坐标中，r 表示从原点到曲线上一点的距离，如果我们以原点O 为参考，则r 实际上只表示出了位置矢量的大小。为了明确其方向，我们沿着r 所在的直线做出单位矢量i 作为径向单位向量。另外，将i 旋转2 π 得到j 作为横向单位向量。显然物体的位置矢量可表示为： ri =r (2) 上式中等号右边的r 表示的是位矢的大小，i 表示的位矢的方向。但是应当注意的是，不管是r 还是i ，都不一定是常量。这和直角坐标系中的单位向量是常量是有区别的。 另外，r 和i 都是θ的函数，在运动学中θ又是时间t 的函数。所以，r 和i 都是时间t 的函数，所以我们也可以说位置矢量r 是时间的函数。 在这里，我们必须清楚的是，极坐标中的矢量表示和用极坐标表示函数关系并不完全是一回事。若用极坐标表示数量关系，我们只需要用标量式()θr r =即可，在表示矢量时，我们不得不在这个基础上加上了单位向量i 。 三、极坐标中的速度和加速度 下面我们先求单位向量对时间的导数。 在图3中，以Ox 方向为x 轴，O 为原点，垂直Ox 向上为y 轴建立直角坐标系，用ξ、 η表示沿x 轴、y 轴的单位向量，则i 、j 可分别表示为： θηθξsin cos +=i x 图3 r i j θd θ O Δi θd x O θ 图2 r i j
开普勒三定律的数学证明 摘 要：本文依次对开普勒第二，第三和第一定律进行详细的数学证明，并用物理学中角动量守恒的方法对开普勒第二定律进行证明。 关键字：开普勒定律；角动量守恒 Mathematical Proofs of Kepler ’s Law Du Yonghao (Civil Engineering Department of Southeast University, Nanjing 211189, China) Abstract: My paper particularly derives Kepler ’s Second Law, Third Law and First Law in mathematical methods in order. Law of Conservation of Angular Momentum is also applied to derive Kepler ’s Second Law. Key words: Kepler ’s Law; Law of Conservation of Angular Momentum 1 前言 开普勒第一定律，也称椭圆定律、轨道定律：每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点中。开普勒第二定律，也称面积定律：在相等的时间内，太阳和运动中的行星的连线（向量半径）所扫过的面积都是相等的。这一定律实际揭示了行星绕太阳公转的角动量守恒。开普勒第三定律，也称调和定律、周期定律：各个行星绕太阳的椭圆轨道的半长轴的立方和它们公转周期的平方成正比[1]。 2 开普勒第二定律证明 数学方法 令()t r 为行星在t 时刻的位失，令()t t r ?+为行星在()t t ?+时刻的位失。面积A ?为在t 时刻 与()t t ?+时刻间行星位失扫过的面积，即()t r 与 ()()t r t t r r -?+=?所围成的三角形面积，如图1，得： ()r t r A ??≈ ?2 1 所以： ()t r t r t A ???≈??21 令0→?t ，得： ()()t r t r dt dA '?=2 1 ()1 图1[2]
开普勒定律和极坐标在天体运动中的应用 肖雷 有关行星和卫星等天体运动的问题是力学课程中最有趣味的课题之一。可惜许多教科书都把这类问题与牛顿万有引力定律联系起来。在教学中，为了把轨道概念较早地引入力学课程之中，通常不得不把问题局限为圆周轨道，这样往往会使一些学生误以为只存在圆形轨道，或者至少以为只有圆形轨道才是重要的。 我认为把行星和卫星的椭圆形轨道运动问题，建立在开普勒三个定律的基础上，而不是放在牛顿万有引力定律的基础上，这样会更好一些。当然，开普勒定律和牛顿万有引力定律是紧密相关的。但是我认为应当首先在开普勒定律的引导下讨论椭圆运动，这样不仅思路清晰，而且能使问题简化；同时应用其所对应的极坐标方程来解决其中的数学问题，可以避免冗长而繁琐的数学运算。 当然，要应用开普勒定律解决椭圆轨道问题，我们首先得熟悉其所对应的极坐标方程的数学形式： 第一定律：θcos 1e p r += ， e ＜1 (1) 第二定律：c dt d r =θ2 ， (2) 第三定律：k T a =23 ， (3) 其中e 是离心率，p 是正焦弦，a 是半长轴， T 是椭圆轨道的周期； c 是因各个行星(卫星)而异的常数，k 是对每个行星(卫星)都相同的常数． 此外，轨道上任一点的速度表达式为： )1 2 (2a r k v -=。 （4） 由于某些有关椭圆轨道的问题，实际上纯粹是几何问题，显然可用几何方法求解。例如： 1.已知轨道的某些性质(最远点，最近点，离心率，周期，半长轴，或者在某特定点的速度)，求其它性质； 2.由于速度改变，从一轨道换到另一轨道； 3.在行星之间或者在卫星之间对轨道作霍曼(hohmann)半椭圆变换； 4.同步通讯卫星。 对于这些问题，如果我们应用开普勒定律的极坐标表达的数学形式来解就比使用牛顿运动定律的数学表达式要容易的多。
第11点开普勒三定律的理解 和应用 开普勒定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动.我们可以从以下三方面应用开普勒定律迅速解决天体运动问题. 1.由开普勒第一定律知所有行星围绕太阳运动时的轨道都是椭圆，不同的行星绕太阳运动时的椭圆轨道是不同的，太阳处在椭圆的一个焦点上，如图1所示.该事实否定了圆形轨道的说法，建立了正确的行星轨道理论，而且准确地给出了太阳的位置. 图1 2.由开普勒第二定律知：当离太阳比较近时，行星运行的速度比较快，而离太阳比较远时，行星运动的速度比较慢. 3.由开普勒第三定律知：所有行星的轨道的半长轴的三次方和公转周期的平方的比值都相等.该定律揭示了周期和轨道半径的关系，其中的比例常数与行星无关，只与中心天体有关. 对点例题1火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( ) A.太阳位于木星运行轨道的中心
B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等 C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 解题指导 太阳位于木星运行椭圆轨道的一个焦点上，选项A 错误；由于火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，火星和木星绕太阳运行速度的大小变化，选项B 错误；根据开普勒行星运动定律可知，火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方，选项C 正确；相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积不等于木星与太阳连线扫过的面积，选项D 错误. 答案 C 特别提醒 本题中的D 项是学生作答中的易错点.对开普勒三定律理解时要注意对象的同一性，不能张冠李戴将该行星和其他行星的相关量混为一谈. 对点例题2 飞船沿半径为R 的圆周绕地球运动，其周期为T .如图2所示，飞船要返回地面，可以在轨道上的某一点A 处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的特殊椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B 点相切.如果地球半径为R 0，求飞船由A 点运动到B 点所需的时间. 图2 解题指导 由开普勒第三定律知，飞船绕地球做圆周(半长轴和半短轴相等的特殊椭圆)运动时，其轨道半径的三次方跟周期的平方的比值，等于飞船绕地球沿椭圆轨道运动时其半长轴的三次方跟周期平方的比值. 飞船椭圆轨道的半长轴为R ＋R 0 2， 设飞船沿椭圆轨道运动的周期为T ′， 则有R 3T 2＝(R ＋R 0)3 8T ′ 2， 因此飞船从A 点运动到B 点所需的时间为 t ＝T ′2＝(R ＋R 0)T 4R R ＋R 02R . 答案 (R ＋R 0)T 4R R ＋R 02R
万有引力推导开普勒定律 牛顿万有引力定律阐明：任意两个粒子由通过连线方向的力相互吸引。该引力的的大小与它们的质量乘积成正比，与它们距离的平方成反比。由于太阳超重于行星，我们可以假设太阳是固定的。 用方程式表示， ； 是行星的质量、是太阳的质量、是行这里，是太阳作用於行星的万有引力、 向量、是位移的单位向量。星相对于太阳的成正比，和其質量，和其所受的淨力声明：牛顿第二定律物體受力後所产生的加速度 成反比。用方程式表示，。合并这两个方程式，。(1) ，随时间思考位置向量微分一次可得到速度向量，再微分一次则可得到加速度向量： ， 。 (2) 在这里，我们用到了单位向量微分方程式： ， 。 合并方程式(1) 与(2) ，可以得到向量运动方程式： 取各个分量，我们得到两个常微分方程式，一个是关于径向加速度，另一个是关于切向加速度：
，(3) 。(4) 。由于行星导引开普勒第二定律只需切向加速度方程式。试想行星的角动量的质量是常数，角 动量随时间的导数为。，即使距离与角速度都可能会随时间变化。角动量也是一个运动常数从时间到时间扫过的区域， 。 。所以，开普勒第二定律是正确的。行星太阳连线扫过的区域面积相依于间隔时间 [编辑开普勒第一定律导引] 。这样，角速度是设定。 随时间微分与随角度微分的关系为 。 ：随时间微分徑向距離 。 再微分一次： 。．，，代入径向运动方程式(3) 。 ，则可得到一个简单的常係数非齐次线性全微分方程式将此方程式除以来描述行星轨道： 。
特征方程式为 。 求解剩馀的常係数齐次线性全微分方程式， 。 其特解方程式为 ； 都是任意积分常数。综合特征方程式与特解方程式，这里，与 。 ，。代回选择坐标轴，让 。 ，则所描述的是椭圆轨道。所以，开普勒第一定律是正确的。假若开普勒第三定律导引] 编辑[ 在建立牛顿万有引力定律的概念与数学架构上，开普勒第三定律是牛顿依据的重要线索之一。假若我们接受牛顿运动定律。试想一个虚拟行星环绕着太阳公转，行星的移动轨道恰巧 。那末，太阳作用于行星的万有引力为。行星移动速呈圆形，轨道半径为 成反比。所以，与半径的平方根。依照开普勒第三定律，这速度度为 。猜想这大概是牛顿发现万有引力定律的思路，虽然我们并不能完全万有引力确定，因为我们无法在他的计算本裡，找到任何关于这方面的证据。
第六章万有引力与航天 第一讲：行星的运动 相关知识连接：椭圆的几何特点，焦点，中心，轨迹 一、两种学说 1、地心说：地球是静止不动的，地球是宇宙的中心 代表人物：托勒密（古希腊） 2、日心说：太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动 代表人物：哥白尼 考题一：16世纪，哥白尼根据天文观测的大量资料，经过40多年的天文观测和潜心研究，提出“日心说”的如下四个基本论点，这四个基本论点中目前看来存在缺陷的是（） A 宇宙的中心是太阳，所有行星都在绕太阳做匀速圆周运动 B 地球是绕太阳做匀速圆周运动的行星，月球是绕地球做匀速圆周运动的卫星，它绕地球运动的同时还跟地球一起绕太阳运动 C 天穹不转动，地球每天自西向东转一周，造成天体东升西落的现象 D 与日地距离相比，恒星离地球都十分遥远，比日地距离大得多 考题二：下列说法中正确的是（） A 地球是宇宙的中心，太阳、月亮及其他行星都绕地球运动 B 太阳是静止不动的，地球和其他行星绕太阳运动 C 地球是绕太阳运动的一颗行星 D 日心说和地心说都是错误的 二、行星的运动规律 1、开普勒第一定律（又叫椭圆定律）所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭 圆的一个焦点上 （1）不同行星绕太阳运行时的轨道是不同的 （2）多数行星的轨道都十分接近圆 考题三：冥王星原来是在九大行星之列的，可在2006年8月，国际天文学联合会大会正式通过决议，将冥王星降级，即将它从九大行星队伍中开除，取而代之以“矮行星”的称呼来安慰它，这已经足以令冥王星十分的“郁闷”，可美国科学家的最新发现却又使冥王星很“受伤”！当时人们认为冥王星应该是矮行星中的“老大”，但加利福尼亚理工学院天文学家迈克尔.布朗等人在研究报告中说，另一颗矮行星厄里斯的质量大约比冥王星大27%，是目前已知已知最大的矮行星，下列说法中正确的是（） A 八大行星是围绕太阳运动的，而且都在同一椭圆轨道上 B 冥王星被降级以后其轨道也发生了相应的变化 C 矮行星不是绕太阳而是绕其他行星运动的 D 冥王星与厄里斯有着一个共同的轨道焦点 考题四：下列说法中正确的是（） A 太阳系中的八大行星有一个共同的轨道焦点 B 行星的运动方向总是沿着轨道的切线方向 C 行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直 D 日心说的说法是正确的 难点突破：1、行星的轨道都是椭圆，所有椭圆有一个共同的焦点 2、不同的行星位于不同的椭圆轨道上，而不是位于同一轨道上 3、不同行星的椭圆轨道一般不在同一平面 2、开普勒第二定律（面积定律）对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内
第13点 开普勒定律的巧妙应用 开普勒定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动．我们可以从以下三方面应用开普勒定律迅速解决天体运动问题． 1．利用开普勒第二定律比较线速度的大小或求线速度． 2．利用开普勒第三定律估算天体间的距离或天体运动的轨道半径． 3．利用开普勒第三定律求周期． 图1 对点例题 飞船沿半径为R 的圆周绕地球运动，其周期为T .如图1所示，飞船要返回地面，可以在轨道上的某一点A 处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的特殊椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B 点相切，如图所示．如果地球半径为R 0，求飞船由A 点运动到B 点所需的时间． 解题指导 由开普勒第三定律知，飞船绕地球做圆周(半长轴和半短轴相等的特殊椭圆)运动时，其轨道半径的三次方跟周期的平方的比值，等于飞船绕地球沿椭圆轨道运动时，其半长 轴的三次方跟周期平方的比值．飞船椭圆轨道的半长轴为R ＋R 02 ，设飞船沿椭圆轨道运动的周期为T ′，则有R 3T 2＝(R ＋R 0)38T ′2 ，而飞船从A 点运动到B 点所需的时间为t ＝T ′2＝(R ＋R 0)T 4R R ＋R 02R . 答案 (R ＋R 0)T 4R R ＋R 02R 木星绕太阳运动的周期为地球绕太阳运动周期的12倍，那么，木星绕太阳运动轨道的半长轴是地球绕太阳运动轨道的半长轴的多少倍？ 答案 5.24倍
解析木星、地球都绕着太阳沿不同的椭圆轨道运动，太阳位于它们的椭圆轨道的一个焦点上．设木星和地球绕太阳运动的周期分别为T1和T2，它们椭圆轨道的半长轴分别为R1和 R2，根据开普勒第三定律得：R31 T21＝ R32 T22，则 R1 R2＝ 3T2 1 T22＝ 3 122≈5.24.所以木星绕太阳运动轨道 的半长轴是地球绕太阳运动轨道的半长轴的5.24倍．