《二次函数》图像专项同步复习训练习题
一．选择题
1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象所示，则下列结论中不正确的有（）个．
①abc＞0；
②2a+b＝0；
③9a+3b+c＜0；
④4ac﹣b2＜0；
⑤a+b≥m（am+b）（m为任意实数）．
A．3 B．2 C．1 D．0
2．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①a＞0；②b＞0；③c＜0；④2a﹣b＝0；⑤4a﹣2b+c＞0．其中正确的有（）
A．3个B．2个C．4个D．1个
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣2x2+mx+n与x轴交于A，B两点．若线段AB的长度为4，则顶点C到x轴的距离为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中，正确的一项是（）
A．a＜0 B．c＜0 C．b＞0 D．b2﹣4ac＜0 5．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象如图，则以下结论：
①abc＜0；
②4c﹣6a＞0；
③由ax12+bx1＝ax22+bx2（x1≠x2），可得x1+x2＝3；
④a（x02+2）2+b（x02+2）＜a（x02+3）2+b（x02+3）．
其中正确的结论有（）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，有五个点A（2，0），B（0，﹣2），C（﹣2，4），D （4，﹣2），E（7，0），将二次函数y＝a（x﹣2）2+m（m≠0）的图象记为W．下列判断中：
①A一定不在W上；
②点B，C，D可以同时在W上；
③点C，E不可能同时在W上．
所有正确结论的序号是（）
A．①②③B．①②C．①③D．②③
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中正确的是（）
A．b＜0 B．c＜0 C．a﹣b+c＞0 D．4a+2b+c＞0 8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a）．下列结论：
①abc＜0；
②4a+2b+c＞0；
③5a﹣b+c＝0；
④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8．
其中正确的结论有（）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC，下列结论：①4a﹣2b+c＞0；②b＝ac+1；③a＞；④0＜b2﹣4ac＜4a2．其中，正确的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，将抛物线进行平移，使其经过点A（﹣4，0）和点0（0，0），设平移后的顶点为B，连接OB，以O为圆心、OB的长为半径作圆，交抛物线于点C，连接BC，则图中阴影部分的面积为（）
A．B．C．13π﹣6 D．
二．填空题
11．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是．
12．函数y＝x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象如图，直线l∥x轴且过点（0，m），将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象，若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是．
13．如图，二次函数y＝（x﹣1）2﹣1的图象（0≤x≤3），y的取值范围是．
14．如图，正方形OABC的边长为2，OA与x负半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上，则a的值为．
15．如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1m，当球飞越的水平距离为8米时，球到达最高点B处，离地面高度为9米，则这个二次函数的表达式为，小孩将球抛出了约米（精确到0.1m）．
三．解答题
16．二次函数y＝x2﹣x+m（m＞0）的图象交y轴于点A，顶点为P，直线PA与x轴交于点B．
（1）当m＝1时，求顶点P的坐标；
（2）若点Q（a，b）在二次函数y＝x2﹣x+m（m＞0）的图象上，且b﹣m＞0，试求a的取值范围；
（3）在第一象限内，以AB为边作正方形ABCD．
①求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
②若该二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点，请直接写出符合条件的整数m
的值．
17．某水产品养殖企业为指导该企业某种产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品的养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y1（元）与销售月份x（月）满足关系式+36，而其每千克成本y2（元）与销售月份x（月）满足的函数关系如
图所示：
（1）试确定b、c的值；
（2）求出这种水产品每千克的利润y（元）与销售月份x（月）之间的函数关系式；
（3）几月份出售这种水产品每千克利润最大？最大利润是多少？
18．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）将y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为；
（2）此函数与x轴的交点坐标为；
（3）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；（不用列表）
（4）直接写出当﹣2＜x＜3时，y的取值范围．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（点A在点B右侧），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2．
（1）填空：点B的坐标是；
（2）连接AC，BC，若△ABC的面积为24，求此抛物线的解析式；
（3）在第（2）小题的条件下，点Q为x轴正半轴上一点．连接CQ，将△ACQ绕点Q旋转180°得到△FGQ，点C恰好旋转到点G，连接AG，CF．当△FGQ为直角三角形时，求点Q的坐标．
参考答案
一．选择题
1．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点坐标在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，所以②正确；
∵x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，所以③正确．
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，所以④正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），
即a+b≥m（am+b），所以⑤正确．
故选：C．
2．解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，所以①正确；
∵抛物线与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝1，即﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，所以②错误；
∵抛物线与y轴的交点坐标在x轴下方，
∴c＜0，所以③正确；
∵b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，所以④错误；
∵x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，所以⑤正确．
故选：A．
3．解：设抛物线y＝﹣2x2+mx+n与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），∴x1+x2＝，x1x2＝﹣，
∵线段AB的长度为4，
∴|x1﹣x2|＝4，
∴（x1﹣x2）2＝16，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，即（）2﹣4×（﹣）＝16，
∴m2+8n＝64，
∴抛物线y＝﹣2x2+mx+n的顶点纵坐标为：＝＝＝8，
∴顶点C到x轴的距离为8，
故选：C．
4．解：由函数图象，可得
函数开口向上，则a＞0，
对称轴在y轴右侧，则b＜0，
图象与y轴交点在y轴负半轴，则c＜0，
抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，
故正确的结论是B，错误的结论是A、C、D，
故选：B．
5．解：由函数图象，可知函数开口向下，则a＜0，顶点在y轴右侧，则b＞0，图象与y 轴交点在y轴负半轴，则c＜0，
∴abc＞0，故①错误；
∵对称轴为直线x＝，抛物线与x轴的一个交点为（，0），
∴﹣＝，另一个交点为（，0）
∴b＝﹣3a，a+b+c＝0，
∴a+2b+4c＝0，
∴a﹣6a+4c＝0，
∴4c﹣6a＝﹣a＞0，故②正确；
∵ax12+bx1＝ax22+bx2（x1≠x2），
∴ax12+bx1+c＝ax22+bx2+c（x1≠x2），即y1＝y2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝，
∴x1+x2＝3，故③正确；
∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝，
∴当x＞时，y随x的增大而减小，
∵＜x02+2＜x02+3，
∴a（x02+2）2+b（x02+2）＞a（x02+3）2+b（x02+3）．故④错误；
故正确的结论有②③2个，
故选：C．
6．解：由二次函数y＝a（x﹣2）2+m（m≠0）可知，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，m），
①∵点A（2，0），
∴点A在对称轴上，
∵m≠0，
∴点A一定不在W上；故①正确；
②∵B（0，﹣2），C（﹣2，4），D（4，﹣2），
∴三点不在一条直线上，且B、D关于直线x＝2对称，
∴点B，C，D可以同时在W上；故②正确；
③∵E（7，0），
∴E关于对称轴的对称点为（﹣3，0），
∵C（﹣2，4），
∴三点不在一条直线上，
∴点C，E可能同时在W上，故③错误；
故正确结论的序号是①②，
故选：B．
7．解：A、抛物线开口方向向下，则a＜0；对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＞0，
故本选项不符合题意．
B、抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，故本选项不符合题意．
C、当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，故本选项不符合题意．
D、根据抛物线的对称性质得到：当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，故本选项符合
题意．
故选：D．
8．解：二次函数表达式为：y＝a（x+2）2﹣9a＝ax2+4ax﹣5a＝a（x+5）（x﹣1），
①抛物线对称轴在y轴左侧，则ab同号，而c＜0，则abc＜0，故结论正确；
②函数在y轴右侧的交点为x＝1，x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故结论正确；
③5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a≠0，故结论错误；
④y＝a（x+5）（x﹣1）+1，相当于由原抛物线y＝ax2+bx+c向上平移了1个单位，故有
两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，故结论正确；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1，即：若方程ax2+bx+c＝±1，当ax2+bx+c﹣1＝0时，由根和系
数的关系得：其两个根的和为﹣4，同理当ax2+bx+c+1＝0时，其两个根的和也为﹣4，故结论正确．
故选：C．
9．解：当x＝﹣2时，y＞0，4a﹣2b+c＞0，①正确；
∵OB＝OC，C（0，c），
∴B（﹣c，0），
∴ac2﹣bc+c＝0，
∴ac﹣b+1＝0，
∴b＝ac+1，②正确；
∵b＝ac+1，
代入y＝ax2+bx+c得y＝ax2+（ac+1）x+c＝ax2+acx+x+c＝ax2+x+acx+c＝x（ax+1）+c（ax+1）＝（x+c）（ax+1），
解得x1＝﹣c，x2＝﹣，
由图可得x1，x2＞﹣2，
即﹣＞﹣2，
∵a＞0，
∴＜2，
∴a＞；③正确．
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
∵C（0，c），B（﹣c，0），AB＝|x1﹣x2|＜2，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＜4，
∴（﹣）2﹣4×＜4，即﹣＜4，
∴b2﹣4ac＜4a2；
∴0＜b2﹣4ac＜4a2．④正确．
故选：D．
10．解：∵将抛物线进行平移，使其经过点A（﹣4，0）和点0（0，0），∴平移后的抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
∴设平移后的抛物线的解析式为y＝（x+2）2+k，
将O（0，0）代入，得（0+2）2+k＝0，
解得k＝﹣3，
∴平移后的抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣3，顶点A的坐标为（﹣2，﹣3），
由勾股定理，得OB＝＝．
连接OA、OC，由圆的对称性或垂径定理，可知C的坐标为（﹣2，3），
阴影部分的面积＝半圆的面积﹣△AOC的面积＝?π?（）2﹣6×2＝π﹣6．故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴当﹣3＜x＜1时，y＞0．
故答案为：﹣3＜x＜1．
12．解：如图1所示，当m等于0时，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4），
当x＝0时，y＝﹣3，
∴A（0，﹣3），
当x＝4时，y＝5，
∴C（4，5），
∴当m＝0时，
D（4，﹣5），
∴此时最大值为0，最小值为﹣5；
如图2所示，当m＝1时，
此时最小值为﹣4，最大值为1，
当1＜m＜5时，最大值与最小值之差大于5，不合题意；
综上所述：0≤m≤1，
故答案为0≤m≤1．
13．解：根据图象可知此函数有最小值﹣1，有最大值3．
∴y的取值范围是：﹣1≤y≤3．
故答案为：﹣1≤y≤3．
14．解：如图，连接OB，过B作BD⊥x轴于D；
则∠BOA＝45°，∠BOD＝30°；
已知正方形的边长为2，则OB＝2；
Rt△OBD中，OB＝2，∠BOD＝30°，
则BD＝OB＝，OD＝OB＝；
故B（﹣，﹣），
代入抛物线的解析式中，得：（﹣）2a＝﹣，
解得a＝﹣，
故答案为：﹣．
15．解：根据题意知，抛物线的顶点B的坐标为（8，9），图象经过点A（0，1），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣8）2+9，
把点A代入解析式得a＝﹣，
因此这个二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣8）2+9．
当y＝0时，﹣x2+2x+1＝0，
解得x1≈16.5，x2＝﹣0.5（不合题意，舍去）；
因此小孩将球抛出了约16.5米．
故答案为：y＝﹣（x﹣8）2+9、16.5．
三．解答题（共4小题）
16．解：（1）当m＝1时，y＝x2﹣x+m＝（x﹣2）2+，故点P（2，）；
（2）对于y＝x2﹣x+m，令x＝0，则y＝m，即点A（0，m），
∵b﹣m＞0，即点P在点A的上方，
而抛物线的对称轴为x＝2，故的店A关于对称轴的对称点的横坐标为4，故a的取值范围为：a＜0或a＞4；
（3）①由抛物线的表达式知，点P（2，m），
由点A（0，m）和点P的坐标得，直线PA的表达式为y＝﹣mx+m，
令y＝﹣mx+m＝0，解得x＝3，故点B（3，0），
过点D作DH⊥y轴于点H，
∵∠HAD+∠HDA＝90°，∠HAD+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠HDA，
∠AOB＝∠DHA＝90°，AD＝AB，
∴△AOB≌△DHA（AAS），
∴HD＝AO＝m，AH＝BO＝3，
故D（m，m+3）；
②∵二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点，
∴当x＝m时，y≤m+3，可得，化简得：m3﹣4m2≤18．
∵m＞0，
∴，
∴，
显然：m＝1，2，3，4是上述不等式的解，
当m≥5时，（m﹣2）2﹣4≥5，，此时，，
∴符合条件的正整数m＝1，2，3，4；
当x＝m+3时，y≥3，可得，
∵m＞0，
∴，即，
显然：m＝1不是上述不等式的解，
当m≥2时，（m+1）2+2≥11，，此时，恒成立，
∴符合条件的正整数m＝2，3，4；
综上：符合条件的正整数m的值为2，3，4．
17．解：（1）根据图象，将（3，25）和（4，24）分别代入解析式得：，
解得：，；
（2）由题意得：y＝y1﹣y2，
∴；
（3）将化为顶点式得：，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当x＝6时，二次函数取得最大值，此时y＝11，
所以6月份出售这种水产品每千克利润最大，最大利润是每千克11元．
18．解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
故答案为y＝（x﹣1）2﹣4；
（2）令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，
故答案为（﹣1，0）、（3，0）；
（3）根据（1）、（2）的数据描点连线大致画出函数的图象如下：
（4）从函数图象看，当﹣2＜x＜3时，
当x＝﹣2时，y＝x2﹣2x﹣3＝1，
函数的顶点坐标为（1，﹣4），
故y的取值范围为﹣4＜y＜1．
19．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（点A在点B 右侧），对称轴为直线x＝2，
∴点B坐标为（6，0），
故答案为：（6，0），
（2）∵点A（﹣2，0），点B坐标为（6，0），
∴AB＝8，
∵△ABC的面积为24，
∴×AB×OC＝24，
∴CO＝＝6，
∴点C（0，﹣6），
设抛物线解析式为：y＝a（x+2）（x﹣6），
∴﹣6＝﹣12a，
∴a＝，
∴抛物线解析式为：y＝（x+2）（x﹣6）＝x2﹣2x﹣6，（3）∵将△ACQ绕点Q旋转180°得到△FGQ，
∴△ACQ≌△FGQ，
∵△FGQ为直角三角形，
∴△ACQ是直角三角形，
设点Q（m，0），m＞0，
又∵点A（﹣2，0），点C（0，﹣6），
∴AC2＝40，AQ2＝（m+2）2，CQ2＝m2+36，
当∠AQC＝90°时，则AC2＝AQ2+CQ2，
∴40＝（m+2）2+m2+36，
∴m1＝0，m2＝﹣2（舍去），
∴点Q（0，0）；
当∠ACQ＝90°时，AQ2＝AC2+CQ2，
∴（m+2）2＝m2+36+40，
∴m＝8，
∴点Q坐标为（8，0），
综上所述：点Q坐标为（8，0）或（0，0）．