交大版《离散的数学结构》标准答案
离散数学辅助教材概念分析结构思想与推理证明离散数学习题解答习题六1．从日常生活中列举出三个例子，并这些例子自然地导出两个无向图及一个向图。[解] ①用V代表全国城市的集合，E代表各城市间的铁路线的集合，则所成之图G=是全国铁路交通图。是一个无向图。②V用代表中国象棋盘中的格子点集，E代表任两个相邻小方格的对角线的集合，则所成之图G=是中国象棋中“马”所能走的路线图。是一个无向图。③用V代表FORTRAN 程序的块集合，E代表任两个程序块之间的调用关系，则所成之图G+是FORTRAN程序的调用关系图。是一个有向图。2．画出下左图的补图。[解] 左图的补图如右图所示。3．证明下面两图同构。图
G v1 1 v1′ v6 v6′ v2′ v5 v5′[证] 存在双射函数?:V→V′及双射函数? : E→E′ ? (v1)=v1′ ? (v2)=v2′ ? (v3)=v3′ ? (v4)=v4′ ? (v5)=v5′ ? (v6)=v6′ ? (v1，v2)=(v1′，v2′) ? (v2，v3)=(v2′，v3′) ? (v3，v4)=(v3′，v4′) ? (v4，v5)=(v4′，v5) ? (v5，v6)=(v5′，v6′) ? (v6，v1)=(v6′，v1′) ? (v1，v4)=(v1′，v4′) ? (v2，v5)=(v2′，v5′) ? (v3，v6)=(v3′，v6′) 显然使下式成立：? (vi，vj)=(vi,vj′)? ? (vi)=v i′∧? (vj)=vj′(1≤i·j≤6) 于是图G与图G′同构。4．证明，中的两个图都是不同构的。v1 v5 v2G G′ G G′ v6 v8 v7 v4 v1? v5? v3 v2? v6? v8? v7? v3? v3 v4? v2 v1 v5v2? v4 v3? v1? v5 v4? 2 图G 中有一个长度为4的圈v1v2v6v5v1，其各顶点的度均为3点，而在图G′中却没有这样的圈，因为它中的四个度为3的顶点v1?，v5?，v7?，v3?不成长度的4的圈。图G中′有四个二度结点，
v6?，v8?，v4?，它们每个都和两个三度结点相邻，而G中一个区样的结点都没有。在中，图G?中有一2度结点v3?，它相邻的两个项点v2?，v4?的度均为4，而在图G中却没有这样的点。5．一个图若同构于它的外图，则称此图为自补图。在满足下列条件的无向简单图中：1) 给出一个五个结点的自补图；2)有三个或一结点的自补图吗？为什么？3）证明：若一个图为自补图，则它对应的完全图的边数不清必然为偶数。[解] 1) 五个结点的自补图如左图G所示同构函数? : V→V及? : E→E如下：? (a)=a?
(b)=c? (c)=e? (d)=b?
(e)=d ?(a，b)=(a，
c) ?(b，c)=(c，e) ?(c，d)=(e，d) ?(d，e)=(b，
d) (e，a)=(d，a) G G b c d a e b a e c d 2)没有三个结点的自补图。因为三个结点的完备图的边数为3(3?1)=3为2奇数，所以下面3)的结论，不可能有自补图。
有五个结点的自补图。1）中的例子即是一个五个结点的自补图。3）证：一个图是一个自补图，则它对应的完全图的边数必为偶数。 3 因为若一个图G是自补图，则G∪G=对应的完全图，而且E∩E=φ，G现G同构，因此它们的边数相等，即|E|=|E|，因此对应的完全图的边数|E*|=|E|+|E|=2|E|，是偶数。实际上，n个项点的自补图G，于其对应的完全图的边数|E*|=n(n?1)n(n?1)，因此有=2|E|，为偶数。这里n≥4。对于所有大于或等22于4的正整数，都可表达成n=4k，4k+1，4k+2，4k+3的形式，这里k=1，2，?。其中只有n=4k，4k+1，才能使或4k+1形式，6．证明在任何两个或两个以上人的组内，总存在两个人在组内有相同个数的朋友。[证] 令上述组内的人的集合为图G的项点集V，若两人互相是朋友，则其间联以一边。所得之图G是组内人员的朋友关系图。显然图G是简单图，图中项点的度恰表示该人在组内朋友的个数，利
用图G，上述问题就抽象成如下的图认论问题：在简单图G中，若|V|≥2，则在G中恒存在着两个项点，v1，v2∈V，使得它们的度相等，即deg(v1)=deg(v2)。其证明如下：若存在着一个项点v ∈V，使得deg(v)=0，则图G中各项点的度最大不超过n-2。因此n个项点的度在集合{0，1，2，?，n-2}里取值，而这个集合只有n-1个元素，因此，根据鸽笼原理，必有两个项点的度相同。若不存在一个度为零的项点，则图G中各项点的度最大不超过n-1。因此n个项点的度在集合{1，2，?，n-1}中取值，这个集合只有n-1个元素，因此，根据鸽笼原理，必有两具项点的度相同。7．设图G的图示如右所示：1) 找出从A到F的所有初级路；2）找出从A到F的所有简单路；3）求A到F的距离。[解] 1）从A到F的初级路有7条 D E F A B C n(n?1)为偶数，所以自补图的项点数只能是4k2P1 : (A，B，C，F)，P2 (A，B，C，
E，F)，P3 : (A，B，E，F) P4 : (A，B，E，C，F)，P5 : (A，D，C，E，F)，P6 : (A，D，E，C，F) P7 : (A，D，E，B，C，F)。2）从A到F的简单路有9条除了上述1）中7条外，不有P8 : (A，D，E，C，B，E，F) 4 P9 : (A，D，E，B，C，E，F)。3）从A到F 的距离为3。图可看出，显然从A 到F，一步不可能到达，二步也不可到达；但有长度为3的路，比如P1，P3，P5等能从A到F，故从A到F的距离为3。8．在下面的图中，哪此是边通图？哪些是简单图？
(b)(c) [解] 图与图不连通，它们能分成两个边通支。所以只有图是连能图。图是简单图，图为它显然无平等边，无自环。图、是多重图有平行边有自环。9．求出所有具有四个结点的简单无向连通图。[解] 在不同构的意义下，具有四个结点的简单无向连通图共有6个。如下面所示：G1 G2 G2 G3
G4 G4 G5 G5 G6 G6 ?lya 定理得证。参见卢o。10．设G是一个简单无向图，且为图，若1m?(n?1)(n?2) 2证明G是连通图。5
3）画一个图示，使它没有一条E—圈，但有一条H—圈；4）画一个图示，使它既没有一条E—圈，又没有一条H—圈；[解] 图1既有E-圈，又有H圈。图2有E-圈，但没有H-圈。圈3有H-圈，但没有E-圈。图4既没有E-圈，又没有H-圈。图1 图2 图3 图4 图2不存在H-圈，是因为存在着S={中间点}，使W=2个连通支数，而| S |=1，从而W?| S |故定理1判定H-图的必要条件可知不存在H-圈。图3不存在E—圈，是因为G 中存在8个结点的度均为3，是奇数。图
4中不存在H—圈，因为G是一个偶图，而偶图要有圈，必须结点数为偶数，而G的结点数为11个，是奇数，不是偶数。23．若G=有Hamilton路，证明对V中任一非空子集S，均有W(G\\S)| S |+1。[证] 设G=中的Hamilton路为C，路的两个端点为v1，及v2。我们给G增加一个新结点，v*及两个新边和而得到图G*，于是G*中就有Hamilton圈G*。令S*=S∪{v*}，则显然有G\\S=C*\\S*。从而根据定理1有Hamiltou圈的必要条件，有W=W≤|S*|=|S|+1 。24．雄辩地证明下面的图示中没有Hamilton路。图 1 [证] 将图1标记为图3。图2 图3中存在着Hamilton路，此如H= 21 但是，图3中不存在Hamilton圈。因为，结点e，j均为2度结点，故若Hamilto圈，则引H-必通过e，j及其关联的四条边，因此在边及上各增加一个结点l，m，得到图4，显然，图1，即图3有H-圈当且仅当图4有H-圈。取S={a，e，l，g，i，
c}，则G\\S={m，f，j，k，b，h，d}这7个孤立点，因此W=7，而|S|=6，故此有W(G\\S)?|S| 根据定理1，有H-圈的必要条件，知图4中没有H-圈，因此图中没有H-圈。图2中不存在H路。证法一：将图中偶结点全标为A，奇结点全标为B，取S={偶结点}则G\\S为8个孤立奇结点，于是W=8，而| S |=6。从而有W?|S|+1，于是根据第23题的结论，有H-路的必要条件，知无H-路存在。证法二：注意到图中的标号，奇、偶结点交错，A B B B B A A B A B A B B B A 图5 因此是一个偶图于是若有H-路，则奇偶结点之差不得超过1。但是这里奇结点有8个，偶结点有6个，其差为2。所以不可能有一条H-路。25．有七位客人入席，A只会讲英语；B会讲汉语；C 会讲英语，意大利语及俄语；D会讲汉语及日语；E会讲意大利语及德语；F会讲法语，日语及俄语；G会讲德语和法语。问主人能否把诸位安排在一张圆
桌上，使每一位客人与左右邻不用翻译便可交谈。若能安排，请给出一个方案。[解] 能安排，其方案为：H=将每个人作为一个项点，如果两个人会讲同一种语言，就在代表他们的二个项点间连一条边，边上标明二人公用的语言，这样就可得一简单无向图G。所求问题转化为图G中有无Hamilton圈问题。图G E C 英语G 德语 F 俄语英语 D B 英语A而上边指出的圈H正好是图G的一条Hamilton 圈，因此问题得到解决。26．假设在一次集合上，任意两人合起来能够认识其余n-2 个人。证明这n个人可以排成一行，使得除排头与排尾外，棋逢对手余的每个人都认识自己的左右邻。
22 [证] 我们来构造一个n阶图G，图G的项点代表n个人，两个认识的人对应的顶点间连一条边，从而图G 满足：对任意二顶点u和v，都有deg(u)+deg(v)≥h-2。所求问题转化为，证明图G中存在一条Hamilton路。
为此，我们证明：对任意二顶点u 和v，都有deg(u)+deg(v)≥h-１。分情况证明如下：1）若u和v相邻，则有de g(u)+deg(v) ≥(n-2)+2=n＞n-1 2）若u和v不相邻则仍有deg(u)+deg(v) ≥n-1＞n-2 否则，已知deg(u)+deg(v)≥n-2知deg(u)+deg(v)=n-2。那么，G中除u和v外的余n-2个点，每个顶点都恰与u或v之一相邻。今考察其中一点w，设它与v相邻，则它必不与u相邻。于是对于v，w这一对顶点，它们都不与除去它们之后的n-2个顶点中之一顶点u相邻，这就与题设条件：任二顶点合起来都与其余n-2个项点相邻，相矛盾。综合1），2）并且根据定理2，有Hamiltou路的充分条件，可知图G中存在着一条H路。27．如何无向图G的邻接矩阵判断G是否为二分图？[解] 二分图G=实际上是项点集V的一个划分{X，Y}，有两上划分块，而划分和等价关系对应，因此我们将判定G是二分图转化为判定
某一相应的关系是等价关系。u v w 其余n-2个顶点?1,当(vi,vj)或(vjvi)? 令A：=(aij)nxn，其中aij=? 0,否则? No2. 求A：=AοA=(a(2) (2)ij)nxn，其中a(2)ij=?(aik∧akj)。k?1nvi，vj∈XVY，(2)=1? vi，vj∈Y aijNo3. 令B：=E∨A(2)=(bij)，其中23 ,当i?j时?1bij=?(2) a,当i?j时.(则B显然是自反的对称的.)?ijNo4. 求B=BB=E是n阶单位）其中b(2)ij=k?1?(bik ∧bkj)。nNo5. 求B(2)=B，输出“图G是二分图”，出口；否则输出“G 不是二分图”，出口。n228．证明：如果G是二分图G为图，那么m? 。4[证] 设二分图G=的项点集V是划分为二部分X，Y。因为| V |=n，所以不妨设|X|?nn?k，从而|Y|??k。22因于二分图的边数小于其对应的完全二分图的边数故此：nnn2n22?k? m?(?k)(?k)? 222429．设G=是二分圈，V=V1∪V2，证明：1）若G中
有H—圈，则| V1 |=| V2 |；2）若G 中有H—路，则| V2|-1≤| V1|≤|V2|+1 。[证] 1）证法一：若G中有H—图，于G 是二分图，则在G 中去掉V2后，就只剩下V1中的| V1 |个孤立点；同样，在G中去掉V1后，就只剩下V2中的| V2 |个孤立点。因此定理1，有Hamilton圈的必要条件，可知：| V1 |=W(G\\V2)≤| V2 |，| V2 |=W(G\\V1)≤| V1 | 因此，可得| V1 |=| V2 |。证法二：设C=是二分图中的一条Hamilton圈，从而有V={v1，v2，?vl}，于是| V |=l。不妨设v1∈V1，观察圈C中的各结点，有：v1∈V1?v2∈V2?v3∈V1? v4∈V2???vτ∈V2 从而有v1，v3?，vτ-1∈V1∪V2，故此V1={v1，v3，?vτ-1}，V2={v2，v4，?vτ} 所以24 | V1 |=?=| V2 |。22）证法一：若G中有H—路，于G是二分图，则在G中去掉2后，就只剩下V1中的| V1 |个孤立点；同样，在G中去掉V1后，就只剩下V2中的| V2
|个孤立点。因此习题23有Hamilton路的必要条件，可知| V1 |=W(G\\V2)≤|V2 |+1 | V2 |=W(G\\V1)| V1 |+1，于是| V2|-1≤|V1| 故此| V1 |-1≤| V1 |≤|V2 |+1。证法二：设C=是二分图中的一条Hamilton路，从而V={v1，v2，?，v }，于是| V |=τ。根据1）的证法二：若v1∈V1，vτ∈V1，则vτ-1∈V2 故此τ-1为偶数，τ为奇数，于是| V1 |=??1?-1?1, 而| V2|? 因此22| V1 |=|V2 |+1 若v1∈V1 vτ∈V1，则τ为偶数，于是| V1 |=?=| V2| 2若v1∈V2，vτ∈V1，同可证| V1 |=|V2|若v1∈V2，vτ∈V2，则同可证| V2 |=|V1|+1，即|V2|-1=| V1| 综合以上四点，有| V2|-1≤|V1|≤|V2|+1。30．在下面的图示中，是否存在{v1，v2，v3，v4}到{u1，u2，u3，u4，u5}的完美匹配？若存在，请指出它的一个完美匹配。u1 u2 u3 25 u4 u5 v1 v2 v3 v4
[解] 不存在{v1，v2，v3，v4}到{u1，u2，u3，u4，u5}的完美匹配。因为这两个互补结点子集的结点个数不相同。31．某展览会共有25个展室，布置如下图所示，有阴影的展室陈列实物，无阴影的展室陈列图片，邻室之间均有门可通。有人希望每个展室都恰去一次，您能否为他设计一条路线？[解] 不能。因为，若我们将每个展室看作一个项点，并且V1是无阴影展室的项点集，V2是有阴影展室的项点集，将邻室之间的门通道看作相应两顶点的边，于是我们得到一个二分图G。从而问题转化为问图G中是否有从起点uv1到终点v∈V2的一条Hamilton路？而这样的H路存在的必须条件是| V1|=| V2|证法=b))。但是|V1|=121≠3=|V2|，故不满足必要条件，所以没有从u到v的Hamilton路。32．证明：小于30条边的平面简单图有一个结点的度数小于等于4。[证] 用反法：假设简单平面
图的所有结点的度数都大于4，因而都大于等于5，则§2定理1，有2m?故此n≤nn入口u 入口uu ?deg(v)??5?5n ii?1i?12m 5于简单平面图无平等边，自环，所以任一区域都至少三条或以的边围成，故利用欧拉公式的推论公式：m≤3n－6，有m≤3·2m?6 5因此，m≥30，这与已知条件m＜30矛盾。所以，假设错误，小于30条边的简单平面图必有一个结点的度数小于等于4。33．在2个结点构成的r2个正方形网格所组成的平面图上，验证Euler公式的正确性。[证] 如此的平面图，结点数n=(r+1)2 26 边数m=(r+1)r+(r+1)r=2(r+1)r=2r2+2r 面数f=r2+1于是n-m+f=(r+1)2-(2r2+2r)+(r2+1)
=(r2+2r+1)-(2r2+2r)+(r2+1)=2 故此Euler公式对此类图正确。34．运用kuratowski定理证明下图是非平面图。[证]给图G中结点打上标
号，并用黑点标记要删去的边。 1 6 2 7 5 3 4 图G 去掉图G中打黑点的边，得图G的子图。
27 3 4 2 7 1 6 5 图
G 图G的子图对图G的子图进行变形。 1 6 2 5 7 3 4 图G的子图用kuratowski技术对图G的子图进行处理：从而，在kwratowski技术下，与K3·3同构，因而根据Kwratowski定理，此图G是非平面图。 1 2 5 4 3 7 28 1 离散数学习题解答习题七1．证明树是只有一个区域的平面图。[证] 证法一于树无圈套在，因此根据kuratowski定理，可知树是平面图，因此可用Euler定理。对于树，m=n-1，故此n-m+r=2，得树的区域数r=2+m-n=2+-n=1 证法二用归纳法，施归纳于树的结点个数n。当n=1时，只显然为平面图只有一个区域，题意为真当n=k时，假设题意为真。当n=k+1时，我们来证题意为真。
事实上，于T是树，故T中至少有一个悬挂点，在T中删去此结点，得到一个k个结点的边通图T′，显然T′中无圈。于T′是一个具有k个结点的树，于是根据归纳假设，T′是只有一个区域的平面图。这时将删去的结点重新扦入T′中以得到T，于悬挂点不改变图的平面性和区域数，因此T仍是中仍一个区域的平面图。2．请画出具有六个结点的各种不同构的自树。[解] 共有六种，图示如下：3．证明任意一棵树中至少有两片叶子。
29 [证] 当结点数n≥2时，任意一棵树必至少有两片叶子。否则，假设某树中最多只有一片叶了，那么其中n-1结点都不是叶子，故此这n-1个点的度都大于等于2，于是根据各结点的度的总和是边数的二倍可知2n-2=2(n-1)=2m=
n?deg(v)≥2(n-1)+1=2n-1 ，矛盾。ii?14．在一棵树中，度数为2的结点有n2个；度数为了的结点有n3个；?；度
数为k的结点有nk个；问它有几个度数为1的结点？[解] 设这棵树的项点数为n，边数为m，度为1的结点数为x。从而n=x+n2+n3+?+nk 但是n?degv()=2m=2(n-1)=2n-2 ii?1n?degv()=1·x+2·n+3·n+?k·n i2 3k i?1 =2(x+n2+n3+?+nk)-2于是解得x=n3+2n4?+(k-2)nk+2 因此，度为1的结点共有n3+2n4+?+(k-2)nk+2个。5．设G=是连通的无向图，证明m≥n-1。[证] 既然G是一个连通的无向图，那么G 一定包含一个生成树。又因| V |=n，于是生成树的边数为n-1，从而m=| E |≥n-1 6．若G=是无向图，且n≤m，则G中必有圈。[证] 用反证法。假设G中无圈，则当G连通时，有G是一棵树，从而m=n-1＜n，与已知n≤m矛盾。当G不连通时，有G 是森林，不妨设G有k个树，每个树的结点数分别为n1，n2，?nk，边数分别是n1-1，n2-1，?，nk-1。显然总数m=
n?i?1ni=n 因此，G 的?i?1n(ni-1)= ?n-?ii?1i?1nn1= n-k＜n与已知n≤m矛盾。7．求出左上图中的全部生成树。[解] 此图共有16个生成树，（详见王朝瑞《图论》P259 30
2016级第一学期《高等数学》期末考试试卷 (A 类) 一、单项选择题（本题共15分，每小题3分） 1. 若3222lim 12 x ax bx x →∞++=+（其中,a b 为常数），则 （ ） （A ）0a =，b ∈R ； （B ）0a =，1b =； （C ）a ∈R ，1b =； （D ）a ∈R ，b ∈R 。 2. 若函数()f x 的一个原函数是(2)e x x -，则'(1)f x += （ ） （A ）e x x ； （B ）1e x x +； （C ）1(1)e x x ++； （D ）(1)e x x +。 3. 反常积分1 0ln[(1)]d x x x -? （ ） （A ）2=-； （B ）1=-； （C ）0=； （D ）发散。 4. 设OA a =和OB b =是两个不共线的非零向量，AOB ∠是向量a 与b 的夹角， 则AOB ∠的角平分线上的单位向量为 （ ） （A ）||||||||||||a b a b a a b b a a b b ---； （B ）||||||||||||a b a b a a b b a a b b +++； （C ）||||||||||||b a a b b a a b b a a b ---； （D ）||||||||||||b a a b b a a b b a a b +++。 5. 设函数()f x 为连续函数，对于两个命题： （I ）若()00()(()())d d x u F x f t f t t u =--??，则()F x 为奇函数； （II ）若()f x 为奇函数，则()3 0()()d d x y x G x f t t y =??为奇函数， 下列选项正确的是 （ ） （A ）（I ）和（II ）均正确； （B ）（I ）和（II ）均错误。 （C ）仅（I ）正确； （D ）仅（II ）正确； 二、填空题（每小题3分，共15分） 6. 已知函数()y f x =由参数方程3cos 2sin x t y t =??=? （0t <<π）所确定，则 ''()f x =___________________。 7. 一平面通过y 轴，且点)2,4,4(-到该平面的距离等于点)2,4,4(-到平面0z =的距离，则该平面方程是：_________________________。 8. 已知321e e x x y x =-，22e e x x y x =-，23e x y x =-是某二阶常系数非齐次线性微
第11章 稳恒磁场 习 题 一 选择题 11-1 边长为l 的正方形线圈，分别用图11-1中所示的两种方式通以电流I （其中ab 、cd 与正方形共面），在这两种情况下，线圈在其中心产生的磁感应强度的大小分别为：[ ] （A ）10B =，20B = （B ）10B = ，02I B l π= （C ）01I B l π= ，20B = （D ）01I B l π= ，02I B l π= 答案：C 解析：有限长直导线在空间激发的磁感应强度大小为012(cos cos )4I B d μθθπ= -，并结合右手螺旋定则判断磁感应强度方向，按照磁场的叠加原理，可计 算 01I B l π= ，20B =。故正确答案为（C ）。 11-2 两个载有相等电流I 的半径为R 的圆线圈一个处于水平位置，一个处于竖直位置，两个线圈的圆心重合，如图11-2所示，则在圆心O 处的磁感应强度大小为多少? [ ] （A ）0 （B ）R I 2/0μ （C ）R I 2/20μ （D ）R I /0μ 答案：C 解析：圆线圈在圆心处的磁感应强度大小为120/2B B I R μ==，按照右手螺旋定 习题11-1图 习题11-2图
则判断知1B 和2B 的方向相互垂直，依照磁场的矢量叠加原理，计算可得圆心O 处的磁感应强度大小为0/2B I R =。 11-3 如图11-3所示，在均匀磁场B 中，有一个半径为R 的半球面S ，S 边线所在平面的单位法线矢量n 与磁感应强度B 的夹角为α，则通过该半球面的磁通量的大小为[ ] （A ）B R 2π （B ）B R 22π （C ）2cos R B πα （D ）2sin R B πα 答案：C 解析：通过半球面的磁感应线线必通过底面，因此2cos m B S R B παΦ=?= 。故正 确答案为（C ）。 11-4 如图11-4所示，在无限长载流直导线附近作一球形闭合曲面S ，当曲面S 向长直导线靠近时，穿过曲面S 的磁通量Φ B 将如何变化？[ ] （ A ）Φ增大， B 也增大 （B ）Φ不变，B 也不变 （ C ）Φ增大，B 不变 （ D ）Φ不变，B 增大 答案：D 解析：根据磁场的高斯定理0S BdS Φ==? ，通过闭合曲面S 的磁感应强度始终为0，保持不变。无限长载流直导线在空间中激发的磁感应强度大小为02I B d μπ= ，曲面S 靠近长直导线时，距离d 减小，从而B 增大。故正确答案为（D ）。 11-5下列说法正确的是[ ] (A) 闭合回路上各点磁感应强度都为零时，回路内一定没有电流穿过 (B) 闭合回路上各点磁感应强度都为零时，回路内穿过电流的代数和必定为零 (C) 磁感应强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感应强度必定为零 (D) 磁感应强度沿闭合回路的积分不为零时，回路上任意一点的磁感应强度 I 习题11-4图 习题11-3图
习题2 2-1 质量为16kg 的质点在xOy 平面内运动，受一恒力作用，力的分量为 6N x f =，7N y f =，当0 t =时， 0x y ==，2m /s x v =-，0y v =。当2s t =时，求： (1) 质点的位矢； (2) 质点的速度。 解：由 x x f a m = ，有：x a 263m /168 s ==，2/167 s m m f a y y == （1） t dt a v v t x x x 83 200+-=+=? 2000163 2)832(t t dt t dt v x x t t x +-=+-=+=?? t dt a v v t y y y 167 000+=+=? 200032 7 167t tdt dt v y y t t y ==+=?? 于是2秒时质点的位矢为：)m )(8 7413(j i j y i x r +-=+= （2）于是质点在2s 时的速度： )m/s (8 745j i v +-= 2-2 质量m =10 kg 、长l =40 cm 的链条，放在光滑的水平桌面上， 其一端系一细绳，通过滑轮悬挂着质量为m 1 =10 kg 的物体，如图所示．t = 0时,系统从静止开始运动，这时l 1 = l 2 =20 cm< l 3．设绳不伸长，轮、绳的质量和轮轴及桌沿的摩擦不计，求当链条刚刚全部滑到桌面上时，物体m 1速度和加速度的大小． 解：分别取m 1和链条m 为研究对象，坐标如图． 设链条在桌边悬挂部分为x ，a m T g m 11=-，ma l xgm T =-/，解出)/1(2 1l x g a -=
习题八 8-1 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示 (1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q'为负电荷 2 2 2 0) 3 3 ( π4 1 30 cos π4 1 2 a q q a q' = ? ε ε 解得q q 3 3 - =' (2)与三角形边长无关． 题8-1图题8-2图 8-7 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ,求环心处O点的场强． 解: 如8-7图在圆上取? Rd dl= 题8-7图 ? λ λd d d R l q= =，它在O点产生场强大小为
2 0π4d d R R E ε? λ= 方向沿半径向外 则 ??ελ ?d sin π4sin d d 0R E E x = = ??ελ ?πd cos π4)cos(d d 0R E E y -= -= 积分R R E x 000 π2d sin π4ελ ??ελπ == ? 0d cos π400 =-=? ??ελ π R E y ∴ R E E x 0π2ελ = =，方向沿x 轴正向． 8-11 半径为1R 和2R (2R ＞1R )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量λ和-λ,试求:(1)r ＜1R ；(2) 1R ＜r ＜2R ；(3) r ＞2R 处各点的场强． 解: 高斯定理0 d ε∑? = ?q S E s 取同轴圆柱形高斯面，侧面积rl S π2= 则 rl E S E S π2d =?? 对(1) 1R r < 0,0==∑E q (2) 21R r R << λl q =∑ ∴ r E 0π2ελ = 沿径向向外
版权归原著所有 本答案仅供参考 习题9 9-1．在容积3V L =的容器中盛有理想气体，气体密度为ρ=L 。容器与大气相通排出一部分气体后，气压下降了。若温度不变，求排出气体的质量。 解：根据题意，可知： 1.78P atm =，01P atm =，3V L =。 由于温度不变，∴00PV PV =，有：00 1.783PV V L P = =?， 那么，逃出的气体在1atm 下体积为：' 1.78330.78V L L L =?-=， 这部分气体在1.78atm 下体积为：''V = 0'0.7831.78 PV L P ?= 则排除的气体的质量为：0.783'' 1.3 1.71.78 g L m V g L ρ??==?= 。 根据题意pV RT ν=，可得：m pV RT M = ，1V p RT p M m ρ== 9-2．有一截面均匀的封闭圆筒，中间被一光滑的活塞分割成两边。如果其中的一边装有某一温度的氢气，为了使活塞停留在圆筒的正中央，则另一边装入的同一温度的氧气质量为多少 解：平衡时，两边氢、氧气体的压强、体积、温度相同，利用pV RT ν=，知两气体摩尔数相同，即：H O νν=，∴ O H H O m m M M =，代入数据有： 1.6O m kg = 。 9-3．如图所示，两容器的体积相同，装有相同质量的氮气和氧气。用一内壁光滑的水平细玻璃管相通，管的正中间有一小滴水银。要保持水银滴在管的正中间，并维持氧气温度比氮气温度高30o C ，则氮气的温度应是多少
解：已知氮气和氧气质量相同，水银滴停留在管的正中央， 则体积和压强相同，如图。 由：mol m pV RT M =，有： 2222 (30)O N O N m m R T RT M M +=， 而：20.032O M kg =，20.028N M kg =，可得：3028 2103028 T K ?= =+ 。 9-4．高压氧瓶：7 1.310p Pa =?，30V L =，每天用51 1.010p Pa =?， 1400V L =，为保证瓶内6' 1.010p Pa ≥?，能用几天 解：由''pV p V =，可得：761.31030'390' 1.010pV Pa L V L p Pa ??===?， ∴'360V V V L ?=-=； 而：11'p V p V ?=?，有：615' 1.010********.010p V Pa L V L p Pa ????===?， 那么：能用的天数为36009400/L n L = =天 天 。 9-5．如图，长金属管下端封闭，上端开口，置于压强为0p 的大气中。在封闭端加热达11000T K =，另一端保持2200T K =，设温度沿管长均匀变化。现封闭开口端，并使管子冷却到100K ，求管内压强。 解：根据题意，管子一端11000T K =，另一端保持2200T K =， 所以，温度沿管长线性分布，设管长为l ，函数关系为： ()200T x kx =+，其中：l k 800 = 。 2 N 2 O
大学英语二第一次作业 题目1 正确 获得1.00分中的1.00分 标记题目 题干 The people in this city have planted ________ trees along both sides of the streets. 选择一项： a. a lot of b. a great deal of c. a large amount of d. much 反馈 正确答案是：a lot of 题目2 正确 获得1.00分中的1.00分 标记题目 题干 I am not used to speaking ____ public. 选择一项： a. in b. to
c. at d. on 反馈 正确答案是：in 题目3 正确 获得1.00分中的1.00分 标记题目 题干 It is the best ______ I have seen. 选择一项： a. who b. which c. that d. whom 反馈 正确答案是：that 题目4 正确 获得1.00分中的1.00分 标记题目 题干 You had better ______ a doctor as soon as possible.
选择一项： a. seen b. see c. saw d. seeing 反馈 正确答案是：see 题目5 正确 获得1.00分中的1.00分 标记题目 题干 - What will you buy for your boyfriend's birthday? - I want to buy a _________ wallet for him. 选择一项： a. small black leather b. small leather black c. black leather small d. black small leather 反馈 正确答案是：small black leather 题目6 正确 获得1.00分中的1.00分
习 题1 1-1. 解：1） 由)sin (cos j i ωt ωt R +=r 知 t cos R x ω= t sin R y ω= 消去t 可得轨道方程 222R y x =+ 2） j r v t Rcos sin ωωωω+-==i t R dt d R ωt ωR ωt ωR ωv =+-=2 122])c o s ()s i n [( 1-2. 解：1）由j i r )23(42 t t ++=可知 2t 4x = t 23y += 消去t 得轨道方程为：2)3y (x -= 2）j i r v 28d +==t dt j i j i v r 24)dt 28(dt 10 10 +=+==???t 3） j v 2(0)= j i v 28(1)+= 1-3. 解：1）j i r v 22d +==t dt i v a 2dt d == 2）21 22 12 )1t (2] 4)t 2[(v +=+= 1 t t 2dt dv a 2 t +== n a == 1-4. 解：以地面为参照系，坐标如图，升降机与螺丝的运动方程分别为 2 012 1at t v y + = （1） 2 022 1gt t v h y -+= （2） 21y y = （3） 解之 t = 图 1-4 1-5. 解：（1） t v x 0= 式（1） 2gt 2 1 h y -= 式（2）
j i r )2 1-h ((t)20gt t v += （2）联立式（1）、式（2）得 2 2 v 2gx h y -= （3）j i r gt -d d 0v t = 而 落地所用时间 g h 2t = 所以j gh i v dt r d 20-= j v g t -=d d 2202y 2x )gt (v v v v -+= += 212220[()]g t dv dt v gt ==+ 1-6. 证明：设人从O 点开始行走，t 时刻人影中足的坐标为1x ，人影中头的坐标为2x ，由几何关系可得 2 1122h h x x x =- 而 t v x 01= 所以，人影中头的运动方程为 02 1121112v h h t h h h x h x -=-= 人影中头的速度 02 11 22v h h h dt dx v -== 图 1-6 1-7.解：t dt dx v 44-== 若0=v 解的 s t 1= m x x x 22)242(011=--+=-=? m x x x 8)242()32342(2133-=-+-?-?+=-=? m x x x 1021=?+?=? 1-8. 解: 建立直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图 小球落地时速度为gh v 20= 0060cos v v x = 200 060cos 2 1 60cos t g t v x + = （1） 图 1-8 00060sin v v y = 200060sin 2 1 60sin t g t v y - = （2） 第二次落地时 0=y g v t 0 2=
题目1 完成 满分1.00 Flag question 题干 下列哪个不是嵌入式系统的特点：（）选择一项： a. 专用性 b. 资源受限 c. 功耗约束 d. 常由外接交流电电源供电 题目2 完成 满分1.00 Flag question 题干 下列哪些不是嵌入式系统：（）。 选择一项： a. 移动电话、手机 b. MP3 c. MID
d. 深蓝超级计算机 题目3 完成 满分1.00 Flag question 题干 指令和数据共享同一总线的体系结构是（）。选择一项： a. 冯?诺依曼结构 b. 哈佛结构 c. RISC d. CISC 题目4 完成 满分1.00 Flag question 题干 下面不属于 ．．．嵌入式处理器的是：（）。 选择一项： a. Intel Core（酷睿）处理器
b. Intel Atom处理器 c. MCS-51单片机 d. ARM处理器 题目5 完成 满分1.00 Flag question 题干 在嵌入式处理器与外部设备接口中，使用2根线实现多对多双向收发的是：（）。 选择一项： a. UART b. I2C c. SPI d. USB 题目6 完成 满分1.00 Flag question 题干 假设使用奇偶校验位，UART发送一个字节的数据，从idle状态开始（及数据线为高），到允许进行下一次发送动作态为止，至少需要（）个时钟节拍。
选择一项： a. 8 b. 9 c. 10 d. 11 题目7 完成 满分1.00 Flag question 题干 关于SIMD说法错误 ．．的是：（）。 选择一项： a. SIMD通过复制ALU和寄存器组，共享取值、译码单元来获得计算并行。 b. SIMD是通过增加寄存器个数来提高数据处理的宽度。 c. SIMD中多个运算单元运行的是相同的指令。 d. Intel Atom的SSE指令属于SIMD指令 题目8 完成 满分1.00 Flag question 题干
Do you often wait for a long time ______the bus stop?选择一项： a. under b. at c. in d. in 题目2 正确 获得1.0分中的1.0分 标记题目 题干 My father is leaving ______Shanghai tomorrow. 选择一项： a. In b. Into c. For d. to 题目3 正确 获得1.0分中的1.0分 标记题目 题干 Don't laugh ________ people when they are _____trouble.选择一项： a. at… in… b. in….at… c. o n… in… d. at….at… 题目4
正确 获得1.0分中的1.0分 标记题目 题干 Our house is about a mile from the railway station and there are not many houses _______. 选择一项： a. in between b. far apart c. among them d. from each other 题目5 正确 获得1.0分中的1.0分 标记题目 题干 The baby is hungry，but there's ____ milk in the bottle． 选择一项： a. little b. few c. a little d. a few 题目6 正确 获得1.0分中的1.0分 标记题目 题干
Little Tom is used to getting up _______eight every morning. 选择一项： a. on b. in c. at d. of 题目7 不正确 获得1.0分中的0.0分 标记题目 题干 Robert, there's a man at the front door, saying he has _____news of great importance. 选择一项： a. an b. / c. a d. the 题目8 正确 获得1.0分中的1.0分 标记题目 题干 They all go outing on such a warm spring day ______ Mark. He is busy with his lessons now. 选择一项： a. except for b. besides c. except d. beside
2019年上海交通大学国际本科生入学考试大纲 数学 一、考试目的 上海交通大学留学生本科入学数学考试，是以报考我校的具有高中毕业学历的外国学生为对象而进行的选拔考试。数学考试旨在测试考查考生的数学素养，包括数学基础知识与基本技能、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力、数学应用与探究能力。 二、考试基本要求 留学生本科入学数学考试测试考生各项数学素养如下： 1.记忆。能识别或记住有关的数学事实材料，使之再认或再现；能在标准 的情景中作简单的套用，或按照示例进行模仿； 2.解释性理解。明了知识的来龙去脉，领会知识的本质，能用自己的语言 或转换方式正确表达知识内容；在一定的变式情境中能区分知识的本质属性与非本质属性，会把简单变式转换为标准式，并解决有关的问题； 3.探究性理解。能把握知识的本质及其内容、形式的变化；能从实际问题 中抽象出数学模型或作归纳假设进行探索，能把具体现象上升为本质联系，从而解决问题；会对数学内容进行拓展或对数学问题进行延伸，会对解决问题过程的合理性、完整性、简捷性作有效的思考。 三、试卷结构 数学考试釆用笔试的方式进行。笔试共25题，满分100分。数学笔试要求考生在90分钟内完成。答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。对进入考场的计算器品牌和型号不作规定，但附带计算器功能的无线通讯工具、记忆存储等设备和附带无线通讯功能、记忆存储功能、具有图像功能的计算器不得带入考场。
按测量目标划分: 四、考试内容和要求 文理科共同考试内容： 一、集合与命题：集合及其表示、子集、交集、并集、补集；命题的四种形 式；充分条件、必要条件、充分必要条件；子集推出关系。 二、不等式：不等式的基本性质及其证明；基本不等式；一元二次不等式（组） 的解法；分式不等式的解法；含有绝对值的不等式的解法。 三、数列与数学归纳法：数列的有关概念；等差数列；等比数列；简单的递 推数列；数列的极限；无穷等比数列各项的和；数列的实际应用问题；数学归纳法；归纳-猜测-论证。 四、函数及其基本性质：函数的有关概念；函数的运算；函数关系的建立； 函数的基本性质；简单的幂函数、二次函数的性质；指数函数的性质与图像；
大学物理学下册 吴柳 第12章 12.1 一个封闭的立方体形的容器,内部空间被一导热的、不漏气的、可移动的隔板分为两部分,开始其内为真空,隔板位于容器的正中间(即隔板两侧的长度都为l 0),如图12-30所示.当两侧各充以p 1,T 1与 p 2,T 2的相同气体后, 长度之比是多少)? 解: 活塞两侧气体的始末状态满足各自的理想气体状态方程 左侧: T pV T V p 111= 得, T pT V p V 1 11= 右侧: T pV T V p 222= 得, T pT V p V 2 22= 122121T p T p V V = 即隔板两侧的长度之比 1 22121T p T p l l = 12.2 已知容器内有某种理想气体,其温度和压强分别为T =273K,p =1.0×10-2 atm ,密度32kg/m 1024.1-?=ρ.求该气体的摩尔质量. 解: nkT p = (1) nm =ρ (2) A mN M = (3) 由以上三式联立得: 1235 2232028.010022.610 013.1100.12731038.11024.1----?=?????????==mol kg N p kT M A ρ 12.3 可用下述方法测定气体的摩尔质量:容积为V 的容器内装满被试验的气体,测出其压力为p 1,温度为T ,并测出容器连同气体的质量为M 1,然后除去一部分气体,使其压力降为p 2,温度不变,容器连同气体的质量为M 2,试求该气体的摩尔质量. 解： () V V -2 2p T )(21M M - V 1p T 1M V 2p T 2M 221V p V p = (1) ( )()RT M M M V V p 21 22-=- (2)
刚体 3.（1）两个匀质圆盘A 、B 的密度分别为ρA 和ρB ，且ρA >ρB 。质量和厚度相同。两圆盘的旋转轴均通过盘心并垂直于盘面，则它们的转动惯量的关系是： （1）I A I B ；（4）不能判断。 分析：m 相等， ρA >ρB ，V A 小，厚度相等，R A 小， J ＝1/2mR 2,所以J A 小 4.（3）一力矩M 作用于飞轮上，飞轮的角加速度为β1，如撤去这一力矩，飞轮的角加速度为-β2，则该飞轮的转动惯量为： 5.（3）如图，A 与B 是两个质量相同的小球，A 球用一根不能伸长的绳子拴着，B 球用橡皮筋拴着，把它们拉到水平位置，放手后两小球到达竖直位置时绳长相等，则此时两球的线速度 （1）B A V V =； （2）B A V V <； （3）B A V V >； （4）无法判断。 6.（4）一质量为60kg 的人站在一质量为60kg 、半径为l m 的匀质圆盘的边缘，圆盘可绕与盘面相垂直的中心竖直轴无摩擦地转动。系统原来是静止的，后来人沿圆盘边缘走动，当人相对圆盘的走动速度为2m/s 时，圆盘角速度大小为 ： （1） 1rad/s ； （2） 2rad/s ； （3）2/3rad/s ； （4）4/3rad/s 。 3.银河系有一可视为球体的天体，由于引力凝聚，体积不断收缩。设它经过一万年体积收缩了1%，而质量保持不变。则它的自转周期将 3 ；其转动动能将 1 。 （1）增大； （2）不变； （3）减小。 4.（3）一子弹水平射入一木棒后一同上摆。在上摆的过程中，以子弹和木棒为系统，则总角动量、总动量及总机械能是否守恒？结论是： （1）三量均不守恒； （2）三量均守恒； （3）只有总机械能守恒（4）只有总动量不守恒
正确 获得1.00分中的1.00分 Flag question 题干 There's no food in the fridge. They _______shopping. 选择一项： a. Go b. are going to go c. are going d. are go 反馈 正确答案是：are going 题目2 正确 获得1.00分中的1.00分 Flag question 题干 Peter worked so fast with the maths problems ______ a lot of mistakes. 选择一项： a. that he made b. as to make c. to make d. that made 反馈 正确答案是：that he made
正确 获得1.00分中的1.00分 Flag question 题干 You needn't make such a funny noise, _______? 选择一项： a. need it b. don't you c. doesn't it d. need you 反馈 正确答案是：need you 题目4 正确 获得1.00分中的1.00分 Flag question 题干 It ________that they had no idea at the moment. 选择一项： a. is seamed b. was seemed c. is seeing d. Seemed 反馈 正确答案是：Seemed
正确 获得1.00分中的1.00分 Flag question 题干 It’s high time that he settled down in the country and _________ a new life. 选择一项： a. to start b. start c. started d. starting 反馈 正确答案是：started 题目6 正确 获得1.00分中的1.00分 Flag question 题干 The car accident happened at _______crossroads a few metres away from_______bank. 选择一项： a. /; a b. the; / c. /; the d. the; the 反馈 正确答案是：the; the
1、解 22 ()()()0xy xx yy B AC f ab f ab f ab -=-≥，排除A 、B. (,)f x b 在点x a =处取得极小值：(,)0xx f a b ≥，同理：(,)0yy f a b ≥. 答案：C 2、解 0[()()()]C W F dr yzx t xzy t zz t dt π '''=?=-++??u r r 22200[sin cos ]2t t t t t dt tdt π π π=++==?? 答案：B 3、解 22 :1(1)S z x y =+≤，方向为下侧， [221]S S S I y y dv dxdy - + + Ω ∑+=+=--+-?????????ò 32251133 πππ=-?-?=- 答案：A 4、解 1 |(1)|n n n n a ∞ ∞ ==-=∑∑ ――A 错 11||n n n n n a a ∞∞ ∞ +====≥∑∑ ∑ ，发散 ――B 错 1111||| |n n n n n n n a a +∞ ∞ ∞ +===-=- ≥∑∑∑ ，发散 ――C 错 111 1 ||| |n n n n n n n a a +∞ ∞ ∞ +===+=+ =∑∑∑ n n ∞ ∞ ===≈∑ ∑ ，收敛 ――D 对 答案：D 5、解 (0)(0) (3)()02 S S S S ππππ-+-+== = 答案：D 6、解1 2{(,)|cos 2}D r r θθ=≤，2 .......D xy dxdy =?? 解2 *** 22***D xy dxdy dy xy dx +-==????0 7、解 ()()() 2 22222 552323222 c c c x xy y ds x y ds x y ds π-+=+=+=?=???蜒 ?5π
习题9 9.1选择题 (1)正方形的两对角线处各放置电荷Q，另两对角线各放置电荷q，若Q所受到合力为零， 则Q与q的关系为：（） （A）Q=-23/2q (B) Q=23/2q (C) Q=-2q (D) Q=2q [答案：A] (2)下面说法正确的是：（） （A）若高斯面上的电场强度处处为零，则该面内必定没有净电荷； （B）若高斯面内没有电荷，则该面上的电场强度必定处处为零； （C）若高斯面上的电场强度处处不为零，则该面内必定有电荷； （D）若高斯面内有电荷，则该面上的电场强度必定处处不为零。 [答案：A] (3)一半径为R的导体球表面的面点荷密度为σ，则在距球面R处的电场强度（） （A）σ/ε0 （B）σ/2ε0 （C）σ/4ε0 （D）σ/8ε0 [答案：C] (4)在电场中的导体内部的（） （A）电场和电势均为零；（B）电场不为零，电势均为零； （C）电势和表面电势相等；（D）电势低于表面电势。 [答案：C] 9.2填空题 (1)在静电场中，电势梯度不变的区域，电场强度必定为。 [答案：零] (2)一个点电荷q放在立方体中心，则穿过某一表面的电通量为，若将点电荷由中 心向外移动至无限远，则总通量将。 [答案：q/6ε0, 将为零] (3)电介质在电容器中作用（a）——（b）——。 [答案：(a)提高电容器的容量;(b) 延长电容器的使用寿命] (4)电量Q均匀分布在半径为R的球体内，则球内球外的静电能之比。 [答案：1：5] 9.3 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题9.3图示 (1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q 为负电荷
版权归原著所有 本答案仅供参考 习题5 5-1．如图，一轻绳跨过两个质量为m 、半径为r 的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m 2和m 的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为2/2mr ，将由两个定滑轮以及质量为m 2和m 的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。 解：受力分析如图，可建立方程： ma T mg 222=-┄① ma mg T =-1┄② 2()T T r J β-=┄③ βJ r T T =-)(1┄④ βr a = ，2 /2J m r =┄⑤ 联立，解得：g a 4 1= ，mg T 8 11= 。 5-2．如图所示，一均匀细杆长为l ，质量为m ，平放在摩擦系数为μ的水平桌面上，设开始时杆以角速度0ω绕过中心O 且垂直与桌面的轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。 解：（1）设杆的线密度为：l m = λ，在杆上取 一小质元d m d x λ=，有微元摩擦力： d f d m g g d x μμλ==， 微元摩擦力矩：d M g xd x μλ=， 考虑对称性，有摩擦力矩： 20 124 l M g x d x m g l μλμ== ?； （2）根据转动定律d M J J dt ω β==，有：0 0t M d t Jd ω ω-= ??， 2 0114 12 m g l t m l μω-=- ，∴03l t g ωμ= 。 或利用：0M t J J ωω-=-，考虑到0ω=，2 112 J m l = ， T
有：03l t g ωμ= 。 5-3．如图所示，一个质量为m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量 可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M 、半径为 R ,其转动惯量为2/2 MR ，试求该物体由静止开始下落的过程中， 下落速度与时间的关系。 解：受力分析如图，可建立方程： m g T m a -=┄① βJ TR =┄② a R β= ，2 12 J m R = ┄③ 联立，解得：22m g a M m =+，2M m g T M m = +， 考虑到dv a dt = ，∴0 22v t m g dv dt M m =+?? ，有：22m g t v M m =+。 5-4．轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为4/M ，均 匀分布在其边缘上，绳子A 端有一质量为M 的人抓住了绳端，而在绳的另一端B 系了一质量为4/M 的重物，如图。已知滑轮对O 轴的转动惯量4/2MR J =，设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B 端重物上升的加速度？ 解一： 分别对人、滑轮与重物列出动力学方程 A Ma T Mg =-1人 B a M g M T 442= - 物 αJ R T R T =-21滑轮 由约束方程: αR a a B A ==和4/2 MR J =,解上述方程组 得到2 g a =. 解二：
题目1 正确 获得1.00分中的1.00分 Flag question 题干 I'll have a cup of coffee and _____. 选择一项： a. two pieces of bread b. two pieces of breads c. two piece of breads d. two breads 反馈 正确答案是：two pieces of bread 题目2 正确 获得1.00分中的1.00分 Flag question 题干
A number of people _____at the street corner. 选择一项： a. am b. Is c. be d. are 反馈 正确答案是：are 题目3 正确 获得1.00分中的1.00分 Flag question 题干 A long time ago, I _______ in London for three years. 选择一项： a. have been living b. have lived c. lived
d. had lived 反馈 正确答案是：lived 题目4 正确 获得1.00分中的1.00分 Flag question 题干 At that time, she ______ on a journey with her friend. 选择一项： a. has been b. is being c. was d. is 反馈 正确答案是：was 题目5 正确 获得1.00分中的1.00分
Flag question 题干 Had you come five minutes earlier, you _____ the train to . But now you missed it. 选择一项： a. would have caught b. would catch c. could catch d. should catch 反馈 正确答案是：would have caught 题目6 正确 获得1.00分中的1.00分 Flag question 题干 - What will you buy for your boyfriend's birthday? - I want to buy a _________ wallet for him.
2007级第二学期高等数学期末试题解答与评分标准（180A 卷） 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 若二阶连续可微函数(,)f x y 在点(,)a b 处取得极小值，则有 （ ）. （A ）(,)0,(,)0xx yy f a b f a b ≥≤ （B ）(,)0,(,)0xx yy f a b f a b ≤≥ （C ）(,)0,(,)0xx yy f a b f a b ≥≥ （D ）(,)0,(,)0xx yy f a b f a b ≤≤ 2. 质点在变力F yzi xzj zk =-++ 作用下沿螺旋线:cos ,sin ,C x t y t z t ===从 点()11,0,0M 运动到点2(1,0,)M π-，则变力F 所做的功为 （ ）. （A ）π （B ）2π （C ）212π （D ）313π 3. 设有向曲面∑：222(1)1(1)x y z z ++-=≥，方向为上侧，则 22x y d y d z y d z d x z d x d y ∑--=?? （ ）. （A ）53π- （B ）23π - （C ）3π- （D ）3π 4. 设n n a =，则下列级数中，绝对收敛的级数是 （ ）. （A ）1(1)n n n a ∞=-∑ （B ）11n n n a a ∞+=∑ （C ）11()n n n a a ∞+=-∑ （D ）11()n n n a a ∞+=+∑ 5. 设三角级数1sin n n b nx ∞ =∑在(0,)π内收敛到函数()1f x x =+，则此三角级数 在3x π= 处收敛于 （ ）. （A ）1+π （B ）1+2π （C ）1+3π （D ）0 二、填空题（每小题3分，共15分） 6. 设区域22222{(,)|(),,R }D x y x y x y x y =+≤-∈，则2D xy dxdy =?? . 7. 设平面曲线C 为圆221x y +=，则曲线积分()2223C x xy y ds -+=? . 8. 微分方程2(2sin )(cos )0x x xy e y dx x e y dy +++=的通解为： . 9. 设23F yzi xzj xyk =-+ , 则()div rot F = .
第9章 静电场 习 题 一 选择题 9-1 两个带有电量为2q 等量异号电荷，形状相同的金属小球A 和B 相互作用力为f ，它们之间的距离R 远大于小球本身的直径，现在用一个带有绝缘柄的原来不带电的相同的金属小球C 去和小球A 接触，再和B 接触，然后移去，则球A 和球B 之间的作用力变为[ ] (A) 4f (B) 8f (C) 38f (D) 16 f 答案：B 解析：经过碰撞后，球A 、B 带电量为2q ，根据库伦定律12204q q F r πε=，可知球A 、B 间的作用力变为 8 f 。 9-2关于电场强度定义式/F E =0q ，下列说法中哪个是正确的？[ ] (A) 电场场强E 的大小与试验电荷0q 的大小成反比 (B) 对场中某点，试验电荷受力F 与0q 的比值不因0q 而变 (C) 试验电荷受力F 的方向就是电场强度E 的方向 (D) 若场中某点不放试验电荷0q ，则0=F ，从而0=E 答案：B 解析：根据电场强度的定义，E 的大小与试验电荷无关，方向为试验电荷为正电荷时的受力方向。因而正确答案（B ） 9-3 如图9-3所示，任一闭合曲面S 内有一点电荷q ，O 为S 面上任一点，若将q 由闭合曲面内的P 点移到T 点，且 OP =OT ，那么[ ] (A) 穿过S 面的电场强度通量改变，O 点的场强大小不变 (B) 穿过S 面的电场强度通量改变，O 点的场强大小改变 习题9-3图
(C) 穿过S 面的电场强度通量不变，O 点的场强大小改变 (D) 穿过S 面的电场强度通量不变，O 点的场强大小不变 答案：D 解析：根据高斯定理，穿过闭合曲面的电场强度通量正比于面内电荷量的代数和，曲面S 内电荷量没变，因而电场强度通量不变。O 点电场强度大小与所有电荷有关，由点电荷电场强度大小的计算公式2 04q E r πε= ，移动电荷后，由于OP =OT ， 即r 没有变化，q 没有变化，因而电场强度大小不变。因而正确答案（D ） 9-4 在边长为a 的正立方体中心有一个电量为q 的点电荷，则通过该立方体任一面的电场强度通量为 [ ] (A) q /ε0 (B) q /2ε0 (C) q /4ε0 (D) q /6ε0 答案：D 解析：根据电场的高斯定理，通过该立方体的电场强度通量为q /ε0，并且电荷位于正立方体中心，因此通过立方体六个面的电场强度通量大小相等。因而通过该立方体任一面的电场强度通量为q /6ε0，答案（D ） 9-5 在静电场中，高斯定理告诉我们[ ] (A) 高斯面内不包围电荷，则面上各点E 的量值处处为零 (B) 高斯面上各点的E 只与面内电荷有关，但与面内电荷分布无关 (C) 穿过高斯面的E 通量，仅与面内电荷有关，而与面内电荷分布无关 (D) 穿过高斯面的E 通量为零，则面上各点的E 必为零 答案：C 解析：高斯定理表明通过闭合曲面的电场强度通量正比于曲面内部电荷量的代数和，与面内电荷分布无关；电场强度E 为矢量，却与空间中所有电荷大小与分布均有关。故答案（C ） 9-6 两个均匀带电的同心球面，半径分别为R 1、R 2(R 1
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