概率专题
概率专题一二项分布................................................................................................................. - 2 - 概率专题二超几何分布........................................................................................................... - 11 - 概率专题三条件概率与排组概率........................................................................................... - 19 - 概率专题四正态分布............................................................................................................... - 35 - 概率专题五线性回归与独立性检验..................................................................................... - 43 -
概率专题一
二项分布
一、两点分布............................................................................................................................... - 3 -
二、从两点分布到二项分布....................................................................................................... - 3 -
三、相同元素的排序概率问题................................................................................................... - 4 -
四、二项分布练习....................................................................................................................... - 4 -
五、求概率最大项....................................................................................................................... - 7 -
六、二项与超几何分布............................................................................................................... - 8 -
（一）差异性....................................................................................................................... - 8 - （二）统一性..................................................................................................................... - 9 -
一、两点分布
其实没啥神秘的，就是一个试验进行一次，只有2个结果A 和B ，各自有概率.这就是传说中的两点分布.
二、从两点分布到二项分布
【引入】一枚硬币，向上和向下的概率都是0.5，抛4次，求4次中3次向上的概率.
分析一下这个试验,是把抛一次硬币的试验重复进行了4次,而一次抛硬币是两点分布. 因此抛四次,我们可以理解为4
0.5)(0.5+,这里不难联想到二项式定理4
b)(a +,我们若是把b 视为正面向上的概率,那三次向上概率应该是1
334a b C ,同理我们要计算2次向上的概率应该是2
22
4b a C ,其他类型亦是如此.
这时,我们如果想看到向上次数所有的可能性,我们应该列一张表,向上次数分别为0次,1次,2次,3次,4次,对应概率.
上面这个分布列就是传说中的,二项分布.
而要判定一个分布是不是二项分布也很容易,那就是:二项分布=两点分布+独立重复. 接下来我们观察下二项分布的参数，首先是试验次数n,单次试验发生的概率P ,那么如果
一个变量X 服从二项分布,我们就记为),(~p n B X .k n k k n p p C k X P --==)1()(
数学期望np EX =
三、相同元素的排序概率问题
【复习】红球3个，白球2个，蓝球3个，有多少种排法？
38C 跳出红球的位置，红球都相同，因此不需要排序.25C 挑出白球的位置,白球都相同,因此也
不需要排序,最后蓝球的位置剩下,由于相同也不需要排序,所以答案是3
8C 25C .
【转折】如果出现在概率中，也是这样，但注意的是，出现几个要乘以几次的对应概率.
【引例】位于坐标原点的质点P 按照如下规则进行移动：质点没移动一个单位：移动方向为向上或向右，并且向上和向右的概率都是2
1
，质点P 移动5次结果为（2,3）的概率为.
【分析】如果是从(0,0)走到(2,3),毫无疑问,向右走两步,向上走三步,等于→→↑↑↑排成一排,
有多少种排法.根据前面的知识知道有2
5C 种排法.由于这个是计算概率,根据前面的规则,要乘
以32
)2
1()2
1(,答案就是3
2
2
5)2
1()2
1(C .
四、二项分布练习
【例1】射击手打靶子，每次击中的概率为0.8,共射击10次. (1) 仅第八次击中的概率为? (2)恰有8次击中的概率为?
【答案】
(1) 仅第八次击中,首先9次中,一次没中,另外顺序已经排好,无需排序,答案为:2.08.09
.
(2)恰有8次击中,意味着8次中,2次没中288
102.08.0C .
【例2】天气预报的准确率为%80. (1)5次预报中,恰有2次准确的概率为? (2)5次中至少2次准的概率为?
(3)5次射击中恰有两次准,其中第三次准的概率? 【答案】
（1）直接套二项分布322
52.08.0C
（2）两次准：3
2252.08.0C
三次准：2
3352.08.0C
四次准：1
4
4
52.08.0C
五次准：5
5
58.0C
全部相加即可
（3）5次中2次准，其中强调第三次准，那么得考虑下如何排序，第三次已经准了，就得考虑剩下的那次准排在哪1
4C ，所以答案是3
2
1
42.08.0C .
【例3】有4道选择题，某同学答对任意一道题概率为
3
2
，且答每道题相互独立，答对一道得5分，答错不得分，记X 为最终得分，求X 的分布列. 【答案】
注意X 并不是答对题个数，因此不服从二项分布，令X=5Y ,Y 为答对题目个数 参数Y 服从二项分布
3
8324=?
==np EX
五、求概率最大项
问题的意思是:X 取多少的时候,概率最大 原理推导过程见视频，这里我们只给出结论. 如果),(~p n B X ,时概率最大设k =X 当p n )1(+为整数时,1-1)p (n )1(++=或p n k
,)1(不是整数时当p n +])1[(p n k +=
【例1】?k ,)P(),4
1
B(15,~==最大时若k ζξ 【答案】
34,44
1
)115(或==?
+k
【例2】某件产品,合格率为95%,取20件产品,最有可能几件产品合格? 【答案】
20
)1
(=
=
+
19
.0
?
,
[19.95]
95
95
.
19
六、二项与超几何分布
（一）差异性
【例】15个零件，2件次品，13件优品，总共抽取3次，每次一件，X表示3次共抽取的次品个数，求X的分布列.
(1)取出不放回
(2)取出次品后放回
【答案】
（1）
由于取出次品并不放回，视为一共抽取三件，元素不同分两类，单次抽取不考虑顺序
（2）
由于取出后放回，使得每次收取结果概率恒定，独立重复试验，二项分布
（二）统一性
通过上面例子我们知道了，二项分布和超几何分布区别点在于取出是否放回，或者说单次试验结果是否恒定。值得注意的是，在超几何分布中，如果M N N M,,三者远大于抽取数n 时,我们可以将超几何分布视为二项分布.为什么要这样呢?
因为二项分布单次试验结果恒定,因此便于计算,比如我有90000正品,10000次品,我抽取10件,此时就可以认为,每次抽取到正品概率是0.9,次品概率是0.1,因为抽取的10件,对正品和次品的件数影响非常小,可以忽略,而此时二项分布计算要比超几何容易.
【例】为了了解某地高中生身高情况，研究小组在该地随机抽取30名高中生的身高编成如图所示的茎叶图，若身高在175cm(含175)以上,则视为高个子,否则视为非高个子.
(1) 若用分层抽样的方法从高个子和非高个子中随机抽取5人,再从5人中抽取2人,那么至少一人是高个子的概率是多少?
(2) 用样本估计总体,把频率视为概率,若从该地高中生(人很多)选3名,用X 表示高个子人数,求X 的数学期望.
【答案】
（1）首先是分层抽样，数一下高个子和非高个子人数，12,18，比例为：2:3 所以5人中高个子2人，非高个子3人，抽取2人，求高个子概率，为超几何类型
10
7
251213252203=+C C C C C C
（2）从当地随机抽3名，乍看之下超几何分布，由于当地人很多，所以视为二项分布，高个子概率
2
恒定. 5
6352=?=
=np EX
概率专题二超几何分布
一.超几何分布列举例................................................................................................................ - 13 -
二.超几何分布特点.................................................................................................................... - 14 -
（一）元素不同,分两类.................................................................................................... - 14 - （二）单次抽取,不排序.................................................................................................... - 15 - 三.标准套路................................................................................................................................ - 15 -
（一）介绍......................................................................................................................... - 15 - （二）套路演示................................................................................................................. - 15 - 四.变式套路................................................................................................................................ - 16 -
（一）:模式识别................................................................................................................ - 16 - （二）非标准的超几何分布............................................................................................. - 17 -
一.超几何分布列举例
【例1】
10件工艺品,3件二等品,7件一等品,随机抽取5件,求二等品件数X的分布列.
【答案】
【例2】有6道题目,小明同学会期中的4道,现在随机从中抽取3道题目,求3道题目中小明答对题目数X的分布列.
【答案】
二.超几何分布特点
【引例】
现有6个黄球,4个白球,(只有颜色不同),现在随机抽取2球,抽到黄球个数X的分布列. 【答案】
（一）元素不同,分两类
【注意】
即使题目中告诉了你球除了颜色外都相同,但是我们在计算的时候,依然认为6个黄球彼此不同的,如果你认为相同的话,那么结果应该是三个,黄白,白白,黄黄三种情况.所以实际上,
我们计算的时候,是认为10个球彼此不相同的.
（二）单次抽取,不排序
分母:从10个球中抽取2个，不能认为从10个中先抽1个，再抽1个.1
9110210C C C ≠
因为先抽一个再抽一个，相同的组成进行了排序，而一次抽取是不带顺序的。比如一次性抽了红，白，那么我们将红白，白红视为一种情况，因为选是不需要顺序的。
三.标准套路
（一）介绍
三大参数:N 总量,M 目标量,n 抽取量
分母固定:n N C 从N 中抽取n 个的总可能数
分子:第一部分:目标量M 个中出现的机会最小数M C 一直不断递增到最大数M C ,而乘以的那个就是
前面那个数
-n M
N C -,整个分布列就是M 目标量抽取个数的最小数递增到最大数的各个概率.
数学期望N
M
n
EX =可理解为目标整体概率抽取数?=EX （二）套路演示
【例1】现有7个红球,8个黑球,随机抽取4个 (1) 取出的球恰有一个是红球的概率. (2) 设黑球取出的个数为X,求X 的分布列.
1.【2015·新课标II】某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）； 价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率． 2.【2015·福建】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率； (Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．
3.【2015·山东】若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10 分；若能被10整除，得1分. 整除，得1 （I）写出所有个位数字是5的“三位递增数” ； （II）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX. 4.【2015·安徽】已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. （Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； （Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所 需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）.
11 12 13 3 5 7 2 2 4 6 9 1 5 5 7 图1 统计与概率专题 一、知识点 1、随机抽样：系统抽样、简单随机抽样、分层抽样 1、用简单随机抽样从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男生被抽到的概率是( ) A ． 1001 B ．251 C ．5 1 D ． 5 1 2、为了解1200名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k 为( ) A ．40 B ．30 C ．20 D ．12 3、某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一容量为20的样本，则抽取管理人员( ) A ．3人 B ．4人 C ．7人 D ．12人 2、古典概型与几何概型 1、一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是( ) A ．83 B ．32 C ．31 D ．4 1 2、如图所示，在正方形区域任意投掷一枚钉子，假设区域内每一点被投中的可能性相等，那么钉子投进阴影区域的概率为____________． 3、线性回归方程 用最小二乘法求线性回归方程系数公式1 2 211 ???n i i i n i x y nx y b a y bx x nx ==-==--∑∑，． 二、巩固练习 1、随机抽取某中学12位高三同学，调查他们春节期间购书费用（单位：元），获得数据的茎叶图如图1， 这12位同学购书的平均费用是（ ） A.125元 B.5.125元 C.126元 D.5.126元 2、200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，时速在[50,60) 的汽车大约有（ ） A .30辆 B . 40辆 C .60辆 D .80辆 3、某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师 的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其 他教师中共抽取了16人，则该校共有教师 ______人． 4、执行下边的程序框图，若0.8p =，则输出的n = ． 0.04 0.030.020.01频率 组距时速8070605040开始 10n S ==， S p
2019年高考专题：概率与统计 1．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.8 【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70， 则其与该校学生人数之比为70÷ 100=0.7．故选C ． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ） A ．8号学生 B ．200号学生 C ．616号学生 D ．815号学生 【解析】由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n =+()n *∈N ，若8610n =+，解得1 5 n = ，不合题意；若200610n =+，解得19.4n =，不合题意；若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 3．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（ ） A ． 2 3 B ． 35 C ．25 D ． 1 5 【解析】设其中做过测试的3只兔子为,,a b c ，剩余的2只为,A B ， 则从这5只中任取3只的所有取法有 {,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b A a b B a c A a c B a A B b c A ，{,,},{,,},{,,}b c B b A B c A B ， 共10种．其中恰有2只做过测试的取法有{,,},{,,},{,,},{,,},a b A a b B a c A a c B {,,},{,,}b c A b c B ，共6种，所以恰有2只做过测试的概率为 63 105 =，故选B ．
概率与统计 概率 (1)多以选择题或填空题的形式直接考查互斥事件的概率及运算，而随机事件的有关概念现时频率很少直接考查； (2)互斥事件、对立事件发生的概率问题有时也会出现在解答题中，多为应用问题． 一 互斥事件、对立事件的概率 二 古典概型 三 几何概型 统计 1．统计中所学的内容是数理统计中最基本的问题，通过这些内容主要来介绍相关的统计思想和方法，了解一些有关统计学的基本知识，并能够应用几个基本概念、基本公式来处理实际生活中的一些基本问题． 2．统计案例为新课标中新增内容，主要是通过案例体会运用统计方法解决实际问题的思想和方法．增加了统计和统计案例后，使得高中数学的整个体系更加完善了，有利于开阔数学视野，丰富数学思想和方法． 【重点关注】 1．从对新课标高考试题的分析可以发现，主要考查抽样方法、各种统计图表、样本数字特征等．对这部分的考查主要以选择题和填空题的形式出现． 2．统计案例中的独立性检验和回归分析也会逐步在高考题中出现，难度不会太大，多数情况下是考查两种统计分析方法的简单知识，以选择题和填空题为主．注意体会运用统计方法解决实际问题的思想和方法 《全国新课程标准高考数学考试大纲》中对考生能力要求明确界定为空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识等六个方面，其中数据处理能力是首次提出的一个能力要求，这定义为：会收集数据、整理数据、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断．数据处理能力主要依据统计(高考考试大纲对知识点要求如下表所示)或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题，对统计的要求已提升到能力的高度． 注：利用图形来判断两个变量之间是否有关系，可以结合所求的数值来进行比较.作图应注意单位统一、图形准确，但它不能给出我们两个分类变量有关或无关的精确的可信程度，若要作出精确的判断，可以作独立性检验的有关计算. 基础篇 江西11．一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱子中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为1p 和1p ，则 A ．1p ＝2p B ．1p ＜2p C ．1p ＞2p D ．以上三种情况都有可 能 考点：二项分布的概率 规律方法：通过间接法求概率，不等式判断的方法 解析：考查不放回的抽球、重点考查二项分布的概率．
新数学《计数原理与概率统计》专题解析 一、选择题 1．某地区甲、乙、丙三所单位进行招聘，其中甲单位招聘2名，乙单位招聘2名，丙单位招聘1名，并且甲单位要至少招聘一名男生，现有3男3女参加三所单位的招聘，则不同的录取方案种数为（ ） A ．36 B ．72 C ．108 D ．144 【答案】D 【解析】 【分析】 按三步分步进行，先考虑甲单位招聘，利用间接法，因为至少招聘一名男生，将只招女生 的情况去掉，录取方案数为22 63C C -，然后剩余四人依次分配给乙单位和丙单位，分别为 24C 、2 2C ，然后根据分步乘法计数原理将三个数相乘可得出答案。 【详解】 根据题意，分3步进行分析： ①单位甲在6人中任选2人招聘，要求至少招聘一名男生，有226312C C -=种情况， ②单位乙在剩下的4人中任选2人招聘，有246C =种情况， ③单位丙在剩下的2人中任选1人招聘，有1 2 2C =种情况， 则有1262144??=种不同的录取方案； 故选：D ． 【点睛】 本题考查排列组合问题，将问题分步骤处理和分类别讨论，是两种最基本的求解排列组合问题的方法，在解题的时候要审清题意，选择合适的方法是解题的关键，着重考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中等题。 2．若1路、2路公交车均途经泉港一中校门口，其中1路公交车每10分钟一趟，2路公交车每20分钟一趟，某生去坐这2趟公交车回家，则等车不超过5分钟的概率是（ ） A ． 1 8 B ． 35 C ． 58 D ． 78 【答案】C 【解析】 【分析】 设1路车到达时间为x 和2路到达时间为y ．（x ，y ）可以看做平面中的点，利用几何概型即可得到结果. 【详解】 设1路车到达时间为x 和2路到达时间为y ．（x ，y ）可以看做平面中的点， 试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{（x ，y ）|0≤x ≤10且0≤y ≤20}，这是一个长方形区域，面积为S ＝10×20＝200
【2020高考数学】 统计与概率专题强化训练 1.汽车尾气中含有一氧化碳(CO)，碳氢化合物(HC)等污染物，是环境污染的主要因素之一，汽车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物会出现递增的现象，所以国家根据机动车使用和安全技术、排放检验状况，对达到报废标准的机动车实施强制报废．某环保组织为了解公众对机动车强制报废标准的了解情况，随机调查了100人，所得数据制成如下列联表： (1)若从这100人中任选1人，选到了解机动车强制报废标准的人的概率为3 5，问是否有95% 的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”？ (2) 该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中CO 浓度的数据，并制成如图7所示的折线图，若该型号汽车的使用年限不超过15年，可近似认为排放的尾气中CO 浓度y %与使用年限t 线性相关，试确定y 关于t 的回归方程，并预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO 浓度是使用4年的多少倍． 附：K 2 ＝n （ad －bc ）2 （a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ） (n ＝a ＋b ＋c ＋d ) 参考公式： 用最小二乘法求线性回归方程系数公式： 1 2 211 ???n i i i n i x y nx y b a y bx x nx ==-==--∑∑，. 不了解 了解 总计 女性 a b 50 男性 15 35 50 总计 p q 100 P (K 2≥k 0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
专题二：统计与概率 1、随即现象的概念： 必然现象是在一定的条件下必然发生的某种结果的现象.在试验中必然不发生的现象叫做不可能现象，在相同条件下多次观察同一现象，每次观察到得结果不一定相同，事先很难预料哪一种结果会出现，这种现象就叫做随机现象. 2.必然事件、不可能事件、随机事件 在一定条件下，必然会发生的事件叫做必然事件. 在一定条件下，肯定不会发生的事件叫做不可能事件. 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件.通常用大写的英文字母A 、B 、C 。。。。表示随机事件，随机事件可以简称为事件. 3.基本事件和基本事件空间 在试验中，能够表示其他事件且不能再分的最简单的事件成为基本事件. 所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用大写的希腊字母Ω表示. 4.频率与概率 （1）.在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率 n m ，当n 很大时，总是在某个常数 附近摆动，随着n 的增加，摆动的幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P(A).0《P(A)《1，这个定义叫做概率的统计定义.当A 是必然事件时，P(A)=1,当A 是不可能事件时，P(A)=0. （2）.频率与概率的关系 频率不能很准确的反应出事件发生的可能性大小，但从大量的重复试验中发现，随着试验次数的的增多，频率就稳定与某一固定的值. 概率是通过频率来测量的，或者说频率是概率的一个近似值. 5.概率的加法公式 （1）.互斥事件 不能同时发生的两个事件叫做互斥事件.（或称互不容事件） 不能同时发生的两个事件A 、B 是指，如果A 发生，则B 不一定发生；如果B 发生，则A 不一定发生. 推广：如果A 、B 、C 、D 。。。中的任何两个都互斥，就称事件A 、B 、C 、D 。。。彼此互斥，从集合角度看，n 个事件彼此互斥是指各个事件所含结果的集合彼此不相交. （2）.事件的并 一般的，事件A 与B 至少有一个发生（即A 发生，或B 发生，或A 、B 都发生），则由事件A 与B 构成的事件C 叫做A 与B 的并. 记作：A ∪B ； 类比集合：事件A ∪B 是由事件A 或事件B 所包含的基本事件组成的集合. 事件A 与事件B 的并等于事件B 与事件A 的并，即A ∪B=B ∪A. （3）.互斥事件的概率加法公式 如果A 、B 是互斥事件，在n 次试验中，事件A 出现的频数为n 1，事件B 出现的频数为n 2，则事件A ∪B 出现的频数正好是n 1+n 2，所以时间A ∪B 的频数为 n n n n n n n 2 1 2 1 + = +.而 ). ()(n n n n 2 1 n B A B A n B n A n n μ μ μμ + =?）（总有 中事件出现的频率，则次试验 表示在果用 出现的频率，因此，如是事件出现的频率， 是事件由概率的统计定义，可知P （A ∪B ）=P （A ）+P(B). 6.对立事件及概率公式 （1）.对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件。事件A 的对立事件记作A .
统计与概率综合专题 考点一： ?? ??? 简单随机抽样抽样分层抽样(关键：确定抽样比）系统抽样（关键：号签为等差数列） 1、 某所大学的计算机工程学院的大一新生有160人，其中男生95人，女生65人，现在要抽取一个容量 为20的样本，若用分层抽样，女生应抽取__ ____人． 2、 某学校有教师160人，后勤服务人员40人，行政管理人员20人，要从中抽选22人参加学区召开的职 工代表大会，为了使所抽的人员更具有代表性，分别应从上述人员中抽选教师_______人，后勤服务人员______人，行政管理人员_____人。 3、某学校高一、高二、高三年级学生分别有1000名、800名、700名，为了了解全校学生的视力情况，欲从中抽取容量为200的样本，怎样抽取较为合理？ 4、一个总体分为两层，用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知B 层中每个被抽到的概率都是 1 12 ，则总体的个数为 5、(2012·四川高考，文3)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为( )． A ．101 B ．808 C ．1 212 D ．2 012 考点二：频率分布直方图 1、高三年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表： （1）根据上面图表，①②③④处的数值分别为 ： （2）根据题中信息估计总体平均数 （3）估计总体落在［129，150］中的概率为 . 2、某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图的频率分布直方图． (1)求图中实数a 的值； (2)若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数； (3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100)两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．
2017高考理科专题 概率与统计（解析） 一、选择题 1． 5个车位分别停放了,,,,,5A B C D E 辆不同的车，现将所有车开出后再按,,,,A B C D E 的次序停入这5个车位，则在A 车停入了B 车原来的位置的条件下，停放结束后恰有1辆车停在原来位置上的概率是（ ） A. 38 B. 340 C. 16 D. 112 2．如图是八位同学400米测试成绩的茎叶图（单位：秒），则（ ） A. 平均数为64 B. 众数为7 C. 极差为17 D. 中位数为64.5 3．五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若 硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两 个人站起来的概率为（ ） A. 516 B. 1132 C. 1532 D. 12 4． 5名学生进行知识竞赛.笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们5人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名”.根据以上信息，这5人的笔试名次的所有可能的种数是（ ） A. 54 B. 72 C. 78 D. 96 5．已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定．．．所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E ξ=（ ） A. 3 B. 72 C. 18 5 D. 4 6．将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是 A. 40 B. 60 C. 80 D. 100 7．某厂家为了解广告宣传费与销售轿车台数之间的关系，得到如下统计数据表：根据数据
【最新】《计数原理与概率统计》专题(1) 一、选择题 1．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ） A ． 5108 B ． 113 C ． 17 D ． 710 【答案】B 【解析】 【分析】 根据条件概率的计算公式即可得出答案. 【详解】 3311166617()216A P AB C C C +==Q ，111 5556111 6691 ()1216 C C C P B C C C =-= ()()()72161 |2169113 P AB P A B P B ∴= =?= 故选：B 【点睛】 本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题. 2．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是 A ．2 B ．3 C ．10 D ．15 【答案】C 【解析】 【分析】 根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式分别计算概率，解方程可得结果. 【详解】 设阴影部分的面积是s ，由题意得，选C. 【点睛】 (1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域． 3．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p u v ＝(m ，n)，q v ＝(3,6)．则向量p u v 与q v 共线的概率为( ) A ． 13 B ． 14 C ． 16 D ． 112 【答案】D 【解析】 【分析】 由将一枚骰子抛掷两次共有36种结果，再列举出向量p u r 与q r 共线的基本事件的个数，利用 古典概型及其概率的计算公式，即可求解。 【详解】 由题意，将一枚骰子抛掷两次，共有6636?=种结果， 又由向量(,),(3,6)p m n q ==u r r 共线，即630m n -=，即2n m =， 满足这种条件的基本事件有：(1,2),(2,4),(3,6)，共有3种结果， 所以向量p u r 与q r 共线的概率为31 3612 P = =，故选D 。 【点睛】 本题主要考查了向量共线的条件，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中根据向量的共线条件，得出基本事件的个数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。 4．下列四个结论中正确的个数是 （1）对于命题0:p x R ?∈使得2 010x -≤，则:p x R ??∈都有210x ->； （2）已知2 (2,)X N σ:，则 (2)0.5P X >= （3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为 ?23y x =-； （4）“1x ≥”是“1 2x x +≥”的充分不必要条件. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定．
专题10 概率与统计 1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.8 【答案】C 【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ． 【名师点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差 【答案】A 【解析】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x <<<< 高考理科概率与统计专 题 公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N] 2017 高考理科专题 概率与统计（解析） 一、选择题 1． 5个车位分别停放了,,,,,5A B C D E 辆不同的车，现将所有车开出后再按,,,,A B C D E 的次序停入这5个车位，则在A 车停入了B 车原来的位置的条件下，停放结束后恰有1辆车停在原来位置上的概率是（ ） A. 38 B. 340 C. 16 D. 112 2．如图是八位同学400米测试成绩的茎叶图（单位：秒），则（ ） A. 平均数为64 B. 众数为7 C. 极差为17 D. 中位数为 3．五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若 硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两 个人站起来的概率为（ ） A. 516 B. 1132 C. 1532 D. 12 4． 5名学生进行知识竞赛.笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们5人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名”.根据以上信息，这5人的笔试名次的所有可能的种数是（ ） A. 54 B. 72 C. 78 D. 96 5．已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定．．．所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E ξ=（ ） A. 3 B. 72 C. 18 5 D. 4 6．将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是 A. 40 B. 60 C. 80 D. 100 7．某厂家为了解广告宣传费与销售轿车台数之间的关系，得到如下统计数据表：根据 数据表可得回归直线方程???y bx a =+，其中? 2.4b =， ??a y bx =-，据此模型预测广告费用为9万元时，销售轿车台数为 A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 2017-2019三年高考数学(文科)分类汇编 专题15概率与统计 (解答题) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 专题15 概率与统计（解答题） 1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表： （1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； （2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附： 2 2 () ()()()() n ad bc K a b c d a c b d - = ++++ ． 【答案】（1）男、女顾客对该商场服务满意的概率的估计值分别为0.8，0.6；（2）有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异． 【解析】（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为40 0.8 50 =， 因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8． 女顾客中对该商场服务满意的比率为30 0.6 50 =， 因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6． （2）由题可得 2 2 100(40203010) 4.762 50507030 K ??-? =≈ ??? ． 由于4.762 3.841 >， 故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表． （1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.01） 8.602≈． 【答案】（1）产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%；（2）这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%． 【解析】（1）根据产值增长率频数分布表得， 所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为147 0.21100 +=． 产值负增长的企业频率为 2 0.02100 =． 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%． （2）1 (0.1020.10240.30530.50140.70 7)0.30100 y = - ?+?+?+?+?=， ()52 2 1 1100i i i s n y y ==-∑ 22222 1(0.40)2(0.20)240530.20140.407100??= -?+-?+?+?+?? ? =0.0296， 0.020.17s ==≈， 所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%． 3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间 2017高考一轮复习统计概率专题 一．解答题（共16小题） 1．（2016?山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求： （I）“星队”至少猜对3个成语的概率； （II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX． 2．（2016?天津）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会． （1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率； （2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望． 3．（2016?河北区三模）集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元． （Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率； （Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望． 4．（2016?唐山一模）某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种， 方案一：每满200元减50元： 方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别） 红球个数3210 实际付款半价7折8折原价 （Ⅰ）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；（Ⅱ）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算 5．（2016?武汉校级模拟）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在以下的人数； （2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据， 年级名次 1～50951～1000 是否近视 近视4132 不近视918 能否在犯错的概率不超过的前提下认为视力与学习成绩有关系 新数学《计数原理与概率统计》复习知识点 一、选择题 1．若随机变量X 的分布列为（ ） 且()1E X =，则随机变量X 的方差()D X 等于（ ） A ． 13 B ．0 C ．1 D ． 23 【答案】D 【解析】 分析：先根据已知求出a,b 的值，再利用方差公式求随机变量X 的方差()D X . 详解：由题得1 113 ,,13021 3 a b a b a b ?++=??∴==? ??++=?? 所以2 2 2 1112()(01)(11)(21).3 3 33 D X =-?+-?+-?= 故答案为D. 点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值 的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，那么D ξ＝211()x E p ξ-?＋2 22()x E p ξ-?＋…＋ 2()n n x E p ξ-?,称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的E ξ是随机变量ξ的期 望． 2．设某中学的女生体重y （kg ）与身高x （cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数 (),i i x y ()1,2,3,,i n =L L ，用最小二乘法建立的线性回归直线方程为 ?0.8585.71y x =-，给出下列结论，则错误的是（ ） A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．若该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0．85kg C ．回归直线至少经过样本数据(),i i x y ()1,2,3,,i n =L L 中的一个 D ．回归直线一定过样本点的中心点(),x y 【答案】C 【解析】 2018年高考统计与概率专题 （全国卷1文）2．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数 B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差 C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值 D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数 【答案】B 【解析】刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差，故选B （全国卷1理）2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 14 B ． π8 C ．12 D ． π4 【考点】：几何概型 【思路】：几何概型的面积问题，= P 基本事件所包含的面积 总面积 。 【解析】：()21212=8 2r S P S r ππ == ，故而选B 。 （全国卷2理）6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 （全国卷2文）6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A.90π B.63π C.42π D.36π 【答案】B 【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4 的圆 柱，故其体积为221 3634632 V πππ=???+??=，故选B. （天津卷）文（3）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 （A ） 45（B ）35（C ）25（D ）1 5 （全国卷2文）11.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A.110 B.15 C.3 10 D.25 【答案】D 【解析】如下表所示，表中的点横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数 总计有25种情况，满足条件的有10种 所以所求概率为 102 255 =。 （全国卷3文 理 ）3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图. 2017 高考理科专题 概率与统计（解析） 一、选择题 1 5 个车位分别停放了 A, B,C , D , E,5 辆不同的车，现将所有车开出后再按A, B, C , D , E ． 的次序停入这 5 个车位， 则在 A 车停入了 B 车原来的位置的条件下，停放结束后恰有 1 辆车 停在原来位置上的概率是（ ） A. 3 3 1 D. 1 8 B. C. 12 40 6 2．如图是八位同学 400 米测试成绩的茎叶图（单位：秒） ，则（ ） A. 平均数为 64 B. 众数为 7 C. 极差为 17 D. 中位数为 3．五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬 币.若 硬币正面朝上 , 则这个人站起来 ; 若硬币正面朝下 , 则这个人继续坐着 . 那么 , 没有相 邻的两 个人站起来的概率为（ ） 5 B. 11 15 1 A. C. 32 D. 16 32 2 4． 5 名学生进行知识竞赛 .笔试结束后， 甲、乙两名参赛者去询问成绩， 回答者对甲说： “你 们 5 人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的 ”；对乙说： “你不是最后一名 ”根.据 以上信息，这 5 人的笔试名次的所有可能的种数是（ ） A. 54 B. 72 C. 78 D. 96 5．已知 5 件产品中有 2 件次品，现逐一检测， 直至能确定 所有次品为止， 记检测的次数为 ， ．．． 则 E （ ） A. 3 7 18 D. 4 B. C. 2 5 6．将编号为 1， 2，3， 4， 5，6 的六个小球放入编号为 1， 2， 3， 4， 5， 6 的六个盒子，每 个盒子放一个小球， 若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同， 则不同的放法总数 是 A. 40 B. 60 C. 80 D. 100 7．某厂家为了解广告宣传费与销售轿车台数之间的关系，得到如下统计数据表：根据数据 y bx a b 2.4 a y bx 9 万 表可得回归直线方程 ? ? ?，其中 ? ， ? ? ，据此模型预测广告费用为 概率与统计 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2013·安徽高考)已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(?R A)∩B＝( ) A．{－2，－1} B．{－2} C．{－1,0,1} D．{0,1} 【解析】∵A＝(－1，＋∞)，B＝{－2，－1,0,1}， ∴? R A＝(－∞，－1]，故(? R A)∩B＝{－2，－1}． 【答案】 A 2．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( ) A．简单随机抽样B．按性别分层抽样 C ．按学段分层抽样 D ．系统抽样 【解析】 不同的学段在视力状况上有所差异，所以应该按照学段分层抽样． 【答案】 C 3．使? ? ???3x ＋1x x n (n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【解析】 T r ＋1＝C r n (3x ) n －r ? ?? ??1x x r ＝C r n 3 n －r xn －52r ，当T r ＋1是常数项时，n －52r ＝0，当r ＝2，n ＝5时成立． 【答案】 B 4．如图1所示的是甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( ) 图1 A.2 5 B.710 C.45 D.910 【解析】 设被污损的数字为a (0≤a ≤9且a ∈N )，则由甲的平均成绩超过乙的平均成绩得88＋89＋90＋91＋92＞83＋83＋87＋99＋90＋a ，解得8＞a ，即高考理科概率与统计专题
-2019三年高考数学(文科)分类汇编专题15概率与统计(解答题)
2018高考一轮复习统计概率专题
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《计数原理与概率统计》全集汇编及答案
2018年高考统计与概率专题
高中高考理科概率与统计专题.doc
高考专题概率与统计
相关主题
文本预览