八年级上学期期中数学试题（几何题）
1．定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”．数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒（每根长度记为1个单位）中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动． 小亮用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”； 小颖分别用24根和30根火柴棒摆出直角“整数三角形”； 小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”． （1）请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；
（2）你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出“整数三角形”，如果
能，请画出示意图；如果不能，请说明理由． ①摆出等边“整数三角形”；
②摆出一个非特殊（既非直角三角形，也非等腰三角形）“整数三角形”．
【解答】解：（1）小颖摆出如图1所示的“整数三角形”：
小辉摆出如图2所示三个不同的等腰“整数三角形”：
（2）①不能摆出等边“整数三角形”．理由如下：
设等边三角形的边长为a ，则等边三角形面积为．
因为，若边长a 为整数，那么面积
一定非整数．
所以不存在等边“整数三角形”；
②能摆出如图3所示一个非特殊“整数三角形”：
2．如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B ′
处，点A 落在点A ′处； （1）求证：B ′E=BF ；
（2）设AE=a ，AB=b ，BF=c ，试猜想a ，b ，c 之间的一种关系，并
给予证明．
【解答】（1）证明：由题意得B ′F=BF ，∠B ′FE=∠BFE ，
在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠B ′EF=∠BFE ， ∴∠B ′FE=∠B'EF ，∴B ′F=B ′E ，∴B ′E=BF ；
（2）答：a ，b ，c 三者关系不唯一，有两种可能情况：
（ⅰ）a ，b ，c 三者存在的关系是a 2
+b 2
=c 2
． 证明：连接BE ，由（1）知B ′E=BF=c ，
∵B ′E=BE ，∴四边形BEB ′F 是平行四边形， ∴BE=c ．
在△ABE 中，∠A=90°，∴AE 2+AB 2=BE 2
，
∵AE=a ，AB=b ，∴a 2+b 2=c 2
；
（ⅱ）a ，b ，c 三者存在的关系是a+b ＞c ． 证明：连接BE ，则BE=B ′E ．
由（1）知B ′E=BF=c ，
∴BE=c ，在△ABE 中，AE+AB ＞BE ，∴a+b ＞c ．
班级： 姓名：____________座号：_____________
封 线
3．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一
条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角
线相等的勾股四边形OAMB；
（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30°．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形
ABCD是勾股四边形．
（1）解：正方形、长方形、直角梯形．（任选两个均可）
（2）解：答案如图所示．M（3，4）或M′（4，3）．
（3）证明：连接EC，
∵△ABC≌△DBE，∴AC=DE，BC=BE，
∵∠CBE=60°，∴EC=BC=BE，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，
∴DC2+EC2=DE2，∴DC2+BC2=AC2．
即四边形ABCD是勾股四边形．
、
4．阅读下面材料，并解决问题：
（I）如图4，等边△ABC内有一点P若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5．则∠APB=150°，由于PA，PB不在一
个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到
△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP．这样，就可以利用全等
三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出
∠APB的度数．
（II）（拓展运用）已知△ABC三边长a，b，c
满足
．
（1）试判断△ABC的形状等腰直角三角形
（2）如图1，以点A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，直接出点B，C的坐标B（12，0），C（6，6）；
（3）如图2，过点C作∠MCN=45°交AB于点M，N．请证明AM2+BN2=MN2；
（4）在（3）的条件下，若点N的坐标是（8，0），则点M的坐标为（3，0）；此时MN=5．并求直线CM的解析式．（5）如图3，当点M，N分布在点B异侧时．则（3）中的结论还成立吗？
解：（Ⅰ）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，
∵△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，∴△ACP′≌△ABP，
∴P′A=PA=3，PB=P′C=4，∠PAP′=∠BAC=60°，
∴△APP′是等边三角形，∴∠AP′P=60°，PP′=PA=3，
在△P′PC中，P′P2+P′C2=32+42=25=PC2，∴∠PP′C=90°，
∴∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°，
∴∠APB=150°；故答案是：150°，△ABP；
（Ⅱ）（1）整理得，|a﹣6|+（c﹣12）2+=0，
由非负数的性质得，a﹣6=0，c﹣12=0，b﹣6=0，
解得a=b=6，c=12，
∵a2+b2=（6）2+（6）2=144=c2，∴△ABC是直角三角形，
又∵a=b，∴△ABC是等腰直角三角形；
（2）∵AB=c=12，∴点B（12，0），
过点C作CD⊥x轴于D，则AD=CD=AB=×12=6，
∴点C的坐标为（6，6）；
（3）如图，把△ACM绕点C逆时针旋转90°得到△BCM′，连接M′N，由旋转的性质得，AM=BM′、CM=CM′、∠CAM=∠CBM′=45°，∠ACM=∠BCM′，
∴∠M′BN=∠ABC+∠CBN′=45°+45°=90°，
∵∠MCN=45°，
∴∠M′CN=∠BCN+∠BCM′=∠BCN+∠ACM=90°﹣∠MCN=90°﹣45°=45°，∴∠MCN=∠M′CN，
在△MCN和△M′CN中，
，
∴△MCN≌△M′CN（SAS），∴MN=M′N，
在Rt△M′NB中，BM′2+BN2=M′N2，∴AM2+BN2=MN2；
（4）设AM=x，
∵点N的坐标是（8，0），∴AN=8，BN=12﹣8=4，∴MN=8﹣x，由（3）的结论，x2+42=（8﹣x）2，解得x=3，
∴AM=3，MN=8﹣3=5，∴点M的坐标（3，0）；
设直线CM的解析式为y=kx+b，
∵点C（6，6），M（3，0），∴，解得，
∴设直线CM的解析式为y=2x﹣6；
（5）如图，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB=∠CBA=45°，把△BCN绕点C顺时针旋转90°得到△ACN′，
由旋转的性质得，AN′=BN，CN′=CN，∠CAN′=∠CBN=135°，
∴∠MAN′=135°﹣45°=90°，∴点N′在y轴上，
∵∠MCN=45°，∴∠MCN′=90°﹣45°=45°，∴∠MCN=∠MCN′，
在△MCN和△MCN′中，，
∴△MCN≌△MCN′（SAS），∴MN=MN′，
在Rt△AMN′中，AM2+AN′2=MN′2，∴AM2+BN2=MN2．
5.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4cm，CD=1cm，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，至A点结束，设E点的运动时间为t秒，连接DE，当△BDE是直角三角形时，t 的值为秒。
或
【解析】∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4cm，∴∠ABC=45°，
AB=cm）。
∵BC=4cm，CD=1cm，∴BD=3cm。
若∠DEB=90°，则
2
（cm）。
6．如图，在x轴上有五个点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，5．分
别过这些点作x轴的垂线与三条直线y=ax，y=（a+1）x，y=（a+2）x
相交，其中a＞0．若图中阴影部分的面积是75a，则a为．
解：将8条直线共15个交点求出．（不计与坐标系的，很简单，直接写）
p1（1，a），p2（2，2a），p3（3，3a），p4（4，4a），p5 （5，5a）；
q1（1，（a+1）），…q5（5，5（a+1））；
r1（1，（a+2））…r5（5，5（a+2））（p1离原点最近，r5离原点最远）
用梯形公式求出各阴影部分面积并求和（底为纵坐标之差，高为1）
S1=r1q1=；S2=（q1p1+q2p2）×1=；S3=（（r2q2+r3q3）×1）
=（（2（a+2）﹣2（a+1））+（3（a+2）﹣3（a+1）））=，
同理可得S 4=，S 5= （仿S 3一样计算） ∴S=S 1+S 2+S 3+S 4+S 5=
++++=12.5， ∵S=75a ，∴75a=12.5，∴a=．
7．在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度． （1）实验操作：
在平面直角坐标系中描出点P 从点O 出发，平移1次后，2次后，3次
（2）观察发现：
任一次平移，点P 可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上，如：平移1次后在函数 y=﹣2x+2 的图象上；平移2次后在函数 y=﹣2x+4 的图象上…由此我们知道，平移n 次后在函数 y=﹣2x+2n 的图象上．（请填写相应的解析式） （3）探索运用：
点P 从点O 出发经过n 次平移后，到达直线y=x 上的点Q ，且平移的路径长不小于50，不超过56，求点Q 的坐标． 解：（1）如图所示：
y=kx+b （k ≠0）， 则
，解得
，
故第一次平移后的函数解析式为：y=﹣2x+2；
∴答案依次为：y=﹣2x+2；y=﹣2x+4；y=﹣2x+2n ． （3）设点Q 的坐标为（x ，y ），依题意，
．
解这个方程组，得到点Q 的坐标为．
∵平移的路径长为x+y ，∴50≤
≤56．∴37.5≤n ≤42．
∵点Q 的坐标为正整数，∴n 是3的倍数，n 可以取39、42， ∴点Q 的坐标为（26，26），（28，28）
8．课题学习 ●探究：
（1）在图1中，已知线段AB ，CD ，其中点分别为E ，F ． ①若A （﹣1，0），B （3，0），则E 点坐标为 ； ②若C （﹣2，2），D （﹣2，﹣1），则F 点坐标为 ；
（2）在图2中，已知线段AB的端点坐标为A（a，b），B（c，d），求出图中AB中点D的坐标（用含a，b，c，d的
代数式表示），并给出求解过程．
●归纳：
无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A（a，b），B（c，d），AB中点为D（x，y）时，
x=，y=．（不必证明）
●运用：
在图2中，y=|x﹣1|的图象x轴交于P点．一次函数y=kx+1与y=|x﹣1|的图象交点为A，B．
①求出交点A，B的坐标（用k表示）；
②若D为AB中点，且PD垂直于AB时，请利用上面的结论求出k
的值．
解：探究（1）①（1，0）；②（﹣2，）；
（2）过点A，D，B三点分别作x轴的垂线，垂足分别为A′，D′，B′，
则AA′∥BB′∥DD′．
过A、B分别作直线DD'的垂线，垂足分别为H、G．
∴AH=BG，又AH=A′D′；BG=D′B′
∴A′D′=D′B′．x﹣a=c﹣x ，即D 点的横坐标是．
同理又HD=DG，d﹣y=y﹣b ，可得D 点的纵坐标是
∴AB中点D 的坐标为（，）．
●运用，，，∵．
∴，k=0．
9．一、阅读理解：
在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c；
（1）若∠C为直角，则a2+b2=c2；
（2）若∠C为锐角，则a2+b2与c2的关系为：a2+b2＞c2
证明：如图过A作AD⊥BC于D，则BD=BC﹣CD=a﹣CD
在△ABD中：AD2=AB2﹣BD2
在△ACD中：AD2=AC2﹣CD2
AB2﹣BD2=AC2﹣CD2
c2﹣（a﹣CD）2=b2﹣CD2
∴a2+b2﹣c2=2a?CD
∵a＞0，CD＞0
∴a2+b2﹣c2＞0，所以：a2+b2＞c2
（3）若∠C为钝角，试推导a2+b2与c2的关系．
二、探究问题：在△ABC中，BC=a=3，CA=b=4，AB=c；若△ABC是钝角三角形，求第三边c的取值范围．
解：（3）如图过A作AD⊥BC于D，则BD=BC+CD=a+CD
在△ABD中：AD2=AB2﹣BD2
在△ACD中：AD2=AC2﹣CD2
AB2﹣BD2=AC2﹣CD2
c2﹣（a+CD）2=b2﹣CD2
∴a2+b2﹣c2=﹣2a?CD
∵a＞0，CD＞0∴a2+b2﹣c2＜0所以：a2+b2＜c2
二、当∠C 为钝角时，根据公式：＜c＜a+b可得，5＜c＜7；当∠B为钝角时，根据公式：b﹣a＜c ＜可得，1＜c ＜．
10．大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC中，AB=AC，其一腰上的高为h，M是底边BC上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2．
（1）请你结合图形来证明：h1+h2=h；
（2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明；
（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线l1：
y=x+3，l2：y=﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是．求点M的坐标．
【解答】（1）证明：连接AM，由题意得h1=ME，h2=MF，h=BD，∵S△ABC=S△ABM+S△AMC，
S△ABM =×AB×ME=×AB×h1，
S△AMC =×AC×
MF=×AC×h2，
又∵S△ABC =×AC×BD=×AC×h，AB=AC，
∴×AC×h=×AB×h1+×AC×h2，∴h1+h2=h．（2）解：如图所示：h1﹣h2=h．
（3）解：在
y=x+3中，令x=0得y=3；令y=0得x=﹣4，
所以A（﹣4，0），B（0，3）同理求得C（1，0）．
AB==5，AC=5，所以AB=AC，
即△ABC为等腰三角形．
（ⅰ）当点M在BC边上时，由h1+h2=h 得：+M y=OB，M y=3﹣=，把它代入y=﹣3x+3中求得：M x =，所以此时M （，）．
（ⅱ）当点M在CB延长线上时，由h1﹣h2=h得：M y
﹣=OB，
M y
=3+=，
把它代入y=﹣3x+3中求得：M x=﹣，
所以此时M （﹣，）．
综合（ⅰ）、（ⅱ）知：点M的坐标为M （，）或（﹣，）．
11．（2013秋?宁波期末）如图1，一次函数y=2x+4与x轴，y轴分别相交于A，B两点，一次函数图象与坐标轴围成的△ABO，我们称它为此一次函数的坐标三角形．把坐标三角形面积分成相等的二部分的直线叫做坐标三角形的等积线．
（1）求此一次函数的坐标三角形周长以及分别过点A、B的等积线的函数表达式；
（2）如图2，我们把第一个坐标三角形△ABO记为第一代坐标三角形．第一代坐标三角形的等积线BA1，AB1记为第一对等积线，它们交于点O1，四边形A1OB1O1称为第一个坐标四边形．求点O1的坐标和坐标四边形A1OB1O1面积；
（3）如图3．第一对等积线与坐标轴构成了第二代坐标三角形
△BA1O．△AOB1分别过点A，B作一条平分△BA1O，△AOB1面积的第二对等积线BA2，AB2，相交于点O2，如此进行下去．…，请直接写出O n的坐标和第n个坐标四边形面积（用n表示）．
解：（1）令y=0，则2x+4=0，
解得，x=﹣2，
令x=0，则y=4，∴点A（﹣2，0），B（0，4），∴OA=2，OB=4，
由勾股定理得，AB=
==2，
所以，周长为6+2，
∵AB1、BA1是等积线，∴A1（﹣1，0），B1（0，2），∴等积线的函数表达式：y=4x+4，y=x+2；
（2）联立，解得，∴O1（﹣，），
坐标四边形A1OB1O1面积=S△AOB1﹣S△AA1O1，
=×2×2﹣×（2﹣1）×，=2﹣，=；
（3）由题意得，OA n =，OB n =，
所以，等积线BA n的解析式为：y=2n+1x+4，AB n的解析式为：y=x+，
联立解得，
∴点O n （﹣，），
坐标四边形面积=S△AOBn﹣S△AAnOn，
=×2×﹣×（2﹣）×，=﹣
==．
12．已知直线y=﹣x+4与x轴和y轴分别交与B、A两点，另一直线
经过点B和点D（11，6）．
（1）求AB、BD的长度，并证明△ABD是直角三角形；
（2）在x轴上找点C，使△ACD是以AD为底边的等腰三角形，求出C点坐标；
（3）一动点P速度为1个单位/秒，沿A﹣﹣B﹣﹣D运动到D点停止，另有一动点Q从D点出发，以相同的速度沿D﹣﹣B﹣﹣A运动到A 点停止，两点同时出发，PQ的长度为y（单位长），运动时间为t（秒），求y关于t的函数关系式．
解：（1）令x=0，y=4，
令y=0，则﹣x+4=0，解得x=3，
所以，A（0，4），B（3，0），
由勾股定理得，AB==5，
BD==10，
过点D作DH⊥y轴于H，DH=11，AH=2，
由勾股定理得，AD=
==，
∵AB2=25，BD2=100，∴AB2+BD2=AD2，
∴△ABD是直角三角形；
（2）设OC长为x，由等腰三角形以及勾股定理得到x2+42=（11﹣x）
2+62，解得x=，所以，C
（，0）；
（3）设t秒时相遇，由题意得，t+t=5+10，解得t=7.5，点P在AB上时，0≤t≤5，PB=5﹣t，BQ=10﹣t，
PQ=
==，
点P、Q都在BD上重合前，5＜t≤7.5，PQ=5+10﹣t﹣t=15﹣2t，重合后，7.5＜t≤10，PQ=t+t﹣5﹣10=2t﹣15，
点Q在AB上时，10＜t≤15，PB=t﹣5，BQ=t﹣10，
PQ=
==．
13．（2013?荆州）如图，某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕．他
将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据可绘制的函数图
象，其中日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图
甲所示，销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如
图乙所示．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）分别求出第10天和第15天的销售金额；
（3）若日销售量不低于24千克的时间段为“最佳销售期”，则此次销售
过程中“最佳销售期”共有多少天？在此期间销售单价最高为多少元？
解：（1）分两种情况：
①当0≤x≤15时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k1x，
∵直线y=k1x过点（15，30），∴15k1=30，解得k1=2，∴y=2x（0≤x≤15）；
②当15＜x≤20时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为
y=k2x+b，
∵点（15，30），（20，0）在y=k2x+b的图象上，
∴，解得：，
∴y=﹣6x+120（15＜x≤20）；
综上，可知y与x之间的函数关系式为：
y=；
（2）∵第10天和第15天在第10天和第20天之间，
∴当10≤x≤20时，设销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数解析式为p=mx+n，
∵点（10，10），（20，8）在p=mx+n的图象上，
∴，解得：，
∴p=﹣x+12（10≤x≤20），
当x=10时，p=10，y=2×10=20，销售金额为：10×20=200（元），
当x=15时，p=﹣×15+12=9，y=30，销售金额为：9×30=270（元）．
故第10天和第15天的销售金额分别为200元，270元；
（3）若日销售量不低于24千克，则y≥24．
当0≤x≤15时，y=2x，
解不等式：2x≥24，得，x≥12；
当15＜x≤20时，y=﹣6x+120，
解不等式：﹣6x+120≥24，得x≤16，∴12≤x≤16，
∴“最佳销售期”共有：16﹣12+1=5（天）；
∵p=﹣x+12（10≤x≤20），﹣＜0，
∴p随x的增大而减小，∴当12≤x≤16时，x取12时，p有最大值，此时p=﹣×12+12=9.6（元
/千克）．
答：此次销售过程中“最佳销售期”共有5天，在此期间销售单价最高为9.6元．
14．（2007?嘉兴）如图，已知A（8，0），B（0，6），两个动点P、Q 同时在△OAB的边上按逆时针方向（→O→A→B→O→）运动，开始时点P在点B位置，点Q在点O位置，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位．
（1）在前3秒内，求△OPQ的最大面积；
（2）在前10秒内，求P、Q两点之间的最小距离，并求此时点P、Q 的坐标；
（3）在前15秒内，探究PQ平行于△OAB一边的情况，并求平行时点P、Q的坐标．
解：（1）∵A（8，0），B（0，6），∴OB=6，OA=8，AB=10．
在前3秒内，点P在OB上，点Q在OA上，设经过t秒，点P，Q位置如图．
则OP=6﹣2t，OQ=t．∴△OPQ的面积A=OP?OQ=t（3﹣t），（2分）当t=时，S max =．（2分）
（2）在前10秒内，点P从B开始，经过点O，点A，最后到达AB 上，经过的总路程为20；点Q从O开始，经过点A，最后也到达AB 上，总路程为10．其中P，Q两点在某一位置重合，最小距离为0．
设在某一位置重合，最小距离为0．
设经过t秒，点Q被点P“追及”（两点重合），则2t=t+6，∴t=6．∴在前10秒内，P，Q两点的最小距离为0，点P，Q的相应坐标为（6，0）．（3）①设0≤t＜3，则点P在OB上，点Q在OA上，OP=6﹣2t，OQ=t．
若PQ∥AB ，则
=，∴=，解得t=．
此时，P（0，），Q （，0）．（2分）
②设3≤t≤7，则点P，Q都在OA上，不存在PQ平行于△OAB一边的情况．
③设7＜t＜8，则点P在AB上，点Q在OA上，AP=2t﹣14，AQ=8﹣t．
若PQ∥OB ，则
=，∴=，解得t=．
此时，P （，），Q （，0）．（2分）
④设8≤t≤12，则两点P，Q都在AB上，不存在PQ平行于△OAB一边的情况．
⑤设12＜t＜15，则点P在OB上、点Q在AB上，BP=2t﹣24，BQ=18﹣t．
若PQ∥OA ，则
=，∴=，解得t=．
此时，P（0，），Q （，）．（2分）
15．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，若OA、OC
的长满足
．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）把△ABC沿AC对折，点B落在点B′处，线段AB′与x轴交于点D，求直线BB′的解析式；
（3）在直线BB′上是否存在点P，使△ADP为直角三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵|OA﹣2|+（OC﹣2）2=0∴OA=2，OC=2
∴B点坐标为：（2，2），C点坐标为（2，0）．
（2）∵△ABC≌△AB′C．∴AB=AB′=2，CB′=CB=2
∵A（0，2），C（2，0）∴设B′的坐标为（x，y），
则，
解得：B′的坐标为（，﹣1），
由两点式解出BB′的解析式为y=x﹣4．
（3）假如存在设P（a ，a﹣4），D （，0），又A（0，2），
∴AD2=（）2+22=，PD2=（a ﹣）2+（a﹣4），AP2=a2+
（a﹣4﹣2）2=4a2﹣12a+36，
①当∠ADP为直角时，AD2+PD2=AP2，解得a=，则P （，1）；
②当∠APD为直角时，AP2+PD2=AD2，此时无解；
③当∠PAD为直角时，AD2+PA2=PD2，解得a=3，则P（3，5）；综上可得，P为（3，5）或（，1）．16．已知一次函数y1=﹣x+1，y2=2x﹣5的图象如图所示，根据图象，回答下列问题：
（1）解方程组的解是
；
（2）y1随x的增大而，y2随x的增大而；
（3）当y1＞y2时，x的取值范围是．
解：（1）解方程组的解是；
（2）y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大；
（3）当y1＞y2时，x的取值范围是x＜2．
F E D A B C 初二上学期期末几何复习一 班级_________姓名__________ 一、选择题 1.如图，BD 是ABC ?的角平分线，BC DE //，DE 交AB 于E ，若BC AB =，则下列结论中错误的是 ( ) A ．AC BD ⊥ B ．EDA A ∠=∠ C ．BC A D =2 D ．ED B E = 2.如图，ABC ?是等边三角形，点D 在AC 边上，?=∠35DBC ， 则ADB ∠的度数为（ ） A ．?25 B ．?60 C ．?85 D ．?95 3.和三角形三个顶点的距离相等的点是（ ） A ．三条角平分线的交点 B ．三边中线的交点 C ．三边上高所在直线的交点 D ．三边的垂直平分线的交点 4．一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，?则对这个三角形的形状最准确的判断是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．正三角形 D ．等腰直角三角形 5．黄瑶拿一张正方形的纸按下图所示沿虚线连续对折后剪去带直角的部分，然后打开后的形状是（ ） A ． B ． C ． D ． 6．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与EF 交于F ，若BF=AC ，那么∠ABC 等于（ ） A ．45° B ．48° C ．50° D ．60° 6题图 7题图 8题图 7.如图，△ABC 中边AB 的垂直平分线分别交BC 、AB 于点D 、E ，AE=3cm ，△ADC?的周长为9cm ，则△ABC 的周长是（ ） A ．10cm B ．12cm C ．15cm D ．17cm 8．如图，△ABC ≌△DEF ，DF 和AC ，FE 和CB 是对应边.若∠A=100°，∠F=47°，则∠DEF 等于（ ） A ．100° B ．53° C ．47° D ．33°
八年级习题练习 四、证明题：（每个5分，共10分） 1、在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，CF ⊥AD 于F ，求证：BE ＝ DF 。 2、在平行四边形DECF 中，B 是CE 延长线上一点，A 是CF 延长线上一点，连结AB 恰过点D ，求证：AD ·BE ＝DB ·EC 五、综合题（本题10分） 3．如图，直线y=x+b （b ≠0）交坐标轴于A 、B 两点，交双曲线y=x 2 于点D ， 过D 作两坐标轴的垂线DC 、DE ，连接OD ． （1）求证：AD 平分∠CDE ； （2）对任意的实数b （b ≠0），求证AD ·BD 为定值； （3）是否存在直线AB ，使得四边形OBCD 为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． A B C E O D x y F E D C B A F E D C B A
4. 如图，四边形ABCD 中，AB=2，CD=1 ，∠A=60度，∠D=∠B=90度，求四边形ABCD 的面积S 5.如图，梯形ABCD 中，AD//BC,AB=DC. 如果P 是BC 上任意一点（中点除外），PE//AB ，PF//DC ，那么AB=PE+PF 成立吗？如果成立，请证明，如果不成立，说明理由。 参考答案 证明题 1、证△ABE ≌△CDF ； 2、 ??? ?∠=∠?∠=∠?A BDE AC DE B ADF BC DF △ADF ∽△DBE BE DF DB AD =? 综合题 1．（1）证：由y=x ＋b 得 A （b ，0），B （0，－b ）. ∴∠DAC=∠OAB=45 o 又DC ⊥x 轴，DE ⊥y 轴 ∴∠ACD=∠CDE=90o ∴∠ADC=45o 即AD 平分∠CDE.
.资料. . . 正兴学校2015～2016学年八年级上学期期末复习 清北班数学科试题（几何压轴题） 1．定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”．数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒（每根长度记为1个单位）中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动． 小亮用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”； 小颖分别用24根和30根火柴棒摆出直角“整数三角形”； 小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”． （1）请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图； （2）你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出“整数三角形”，如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由． ①摆出等边“整数三角形”； ②摆出一个非特殊（既非直角三角形，也非等腰三角形）“整数三角形”． 【解答】解：（1）小颖摆出如图1所示的“整数三角形”： 小辉摆出如图2所示三个不同的等腰“整数三角形”： （2）①不能摆出等边“整数三角形”．理由如下： 设等边三角形的边长为a ，则等边三角形面积为． 因为，若边长a 为整数，那么面积一定非整数． 所以不存在等边“整数三角形”； ②能摆出如图3所示一个非特殊“整数三角形”： 2．（2008?）如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B ′处，点A 落在点A ′处； （1）求证：B ′E=BF ； （2）设AE=a ，AB=b ，BF=c ，试猜想a ，b ，c 之间的一种关系，并给予证明． 【解答】（1）证明：由题意得B ′F=BF ，∠B ′FE=∠BFE ， 在矩形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴∠B ′EF=∠BFE ，∴∠B ′FE=∠B'EF ，∴B ′F=B ′E ，∴B ′E=BF ； （2）答：a ，b ，c 三者关系不唯一，有两种可能情况： （ⅰ）a ，b ，c 三者存在的关系是a 2+b 2=c 2． 证明：连接BE ，由（1）知B ′E=BF=c ， ∵B ′E=BE ，∴四边形BEB ′F 是平行四边形，∴BE=c ． 在△ABE 中，∠A=90°，∴AE 2+AB 2=BE 2， ∵AE=a ，AB=b ，∴a 2+b 2=c 2； （ⅱ）a ，b ，c 三者存在的关系是a+b ＞c ． 证明：连接BE ，则BE=B ′E ． 由（1）知B ′E=BF=c ， ∴BE=c ，在△ABE 中，AE+AB ＞BE ，∴a+b ＞c ． 班级： 姓名：____________座号：_____________ 密 封 线
本讲整理了八年级上学期的四个章节内容，重点是二次根式的混合运算、一元二次方程的求解及应用、正反比例函数的综合及几何证明，难点是二次根式的混合运算及几何证明中需要添加辅助线和直角三角形的性质及推论的综合运用，希望通过本节的练习，可以帮助大家把整本书的内容串联起来，融会贯通，更快更好的解决问题． 二次根式的 性质 解法 二次三项式的因式分解 配方法 平行向量 因式分解法 实际问题 应用 二次根式的加减 二次根式的乘除 混合运算 最简二次根式 有理化因式和分母有理化 同类二次根式 二次根式 二次根式的运 算 一元二次方程 开平方法 公式法 平行向量 根的判别式 根的情况 期末复习 内容分析 知识结构
【练习1】 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A ．1 5 B ．5 C ．0.5 D ．50 【难度】★ 【答案】 【解析】 函数的定义域和求 函数值 定义 依据 函数 勾股定理的逆定理 直角三角形的性质 演绎推理 几何证明 勾股定理 直角三角形全等的判定 线段的垂直平分线定理及逆定理 角的平分线定理及逆定理 正比例函数概念、 图像和性质 反比例函数概念、图像和性质 正反比例函数综合运用 命题 实际问题 变 量与 常 量 点的轨迹 函数的常用表示法： 解析法 列表法 图像法 公理 定理 逆命题 逆定理 选择题
【练习2】若一元二次方程2210 ax x -+=有两个实数根，则a的取值范围正确的是（） A．1 a≥B．1 a≤C．1 a≤且0 a≠D．01 a <≤ 【难度】★ 【答案】 【解析】 【练习3】如果正比例函数图像与反比例函数图像的一个交点的坐标为(2，3)，那么另一个交点的坐标为（）． A．（-3，-2）B．（3，2）C．（2，-3）D．（-2，-3） 【难度】★ 【答案】 【解析】 【练习4】下列命题中，哪个是真命题（） A．同位角相等 B．两边及其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等 C．等腰三角形的对称轴是底边上的高 D．若PA PB =，则点P在线段AB的垂直平分线上 【难度】★ 【答案】 【解析】 【练习5】以下说法中，错误的是（） A．在△ABC中，∠C=∠A-∠B，则△ABC为直角三角形 B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=5:2:3，则△ABC为直角三角形 C．在△ABC中，若 34 55 a c b c == ，，则△ABC为直角三角形 D．在△ABC中，若::2:2:4 a b c=，则△ABC为直角三角形【难度】★ 【答案】 【解析】
八年级数学下册几何知 识总结及试题 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
§图形的旋转 概念：将图形绕一个顶点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。图形的旋转不改变图形的形状、大小，只改变图形上点的位置 性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等。 基本画法：将图形上的一些特殊点与旋转中心连接，以旋转中心为圆心，连线段长为半径画图，按照旋转的角度来找出对应点，再画出所有的对应线段。 典型题：确定图形的旋转角度、确定图形的旋转中心、生活中的数学问题、作图题、 §中心对称与中心对称图形 1、中心对称的概念一个图形绕某点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图 形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称。这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。 2、中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平 分。 3、中心对称图形的定义及其性质 把一个图形绕某点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。 角线互相平分。 3、判定平行四边形的条件 （1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 （3）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 （4）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 5、反证法 反证法是一种间接证明的方法，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾，说明假设是不成立的，因而命题的结论是成立的。 常见题型：运用性质求值、添加条件题、实际问题相结合、体现数学思想的题型、 例6：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD>BC,BC=6cm，点P、Q分别以A、C点同时出发，P以1cm/ s 的速度由点A向点D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动，设运动时间为x秒．则当x=时，四边形ABQP是平行四边形． §矩形、菱形、正方形 1、矩形的概念和性质 有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角 2、判定矩形的条件 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）三个角是直角的四边形是矩形 （3）对角线相等的平行四边形是矩形 3、菱形的概念与性质
八年级上学期数学几何复习 【图形的剪拼】 1.如图，有边长为1、3的两个连接的正方形纸片，用两刀裁剪成三块，然后拼成 一个正方形，如何拼？ 2.如图，有一张长为5 ，宽为3的矩形纸片ABCD，要通过适当的剪拼，得到 一个与之面积相等的正方形 （1）正方形的边长为____________.（结果保留根号） （2）现要求只能用两条裁剪线，请你设计出一种裁剪的方法，在图中画出裁 剪线，并简要说明剪拼过程_____________. （天津市中考题）【三角形】 1.在△ABC中，∠ACB=90°，直线MN经过点C且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E （1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE （2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE （3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问DE、AD、BE 具有怎样的等量关系并证明。 3.如图，△ABC中AB=AC，∠ABC=36°，D、C为BC上的点，且 ∠BAD=∠DAE=∠EAC，则图中的等腰三角形有（）个。 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D为BC的中点． （1）若E、F分别是AB、AC上的点，且AE=CF，求证：△AED≌△CFD； （2）当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式； （3）在（2）的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式 （4）当x的值为多少事，S△DEF能最大化？
期末复习-几何证明题的技巧 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）分析综合法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 1、证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分 。求证：DE＝DF CD，易得，证明：连结CD 说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD，因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的
中线。本题亦可延长ED到G，使DG＝DE，连结BG，证是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。 说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意： （1）制造的全等三角形应分别包括求证边或者角； （2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形 2、证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证。证两条直线垂直， 例2. 已知：如图4所示，AB＝ 证明一：连结AD 在和中， 说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。 3、证明一线段和的问题 （一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法） 例3. 已知：如图6所示在中，，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。 求证：AC＝AE＋CD
八年级下期末复习5 如图1，四边形ABCD为正方形，E在CD上，∠DAE的平分线交CD于F，BG⊥AF于G，交AE 于H． （1）如图1，∠DEA=60°，求证：AH=DF； （2）如图2，E是线段CD上（不与C、D重合）任一点，请问：AH与DF有何数量关系并证明你的结论； （3）如图3，E是线段DC延长线上一点，若F是△ADE中与∠DAE相邻的外角平分线与CD的交点，其它条件不变，请判断AH与DF的数量关系（画图，直接写出结论，不需证明）．
证明：（1）延长BG交AD于点S ∵AF是HAS的角的平分线，BS⊥AF ∴∠HAG=∠SAG，∠HGA=SGA=90°又∵AG=AG ∴△AGH≌△AGS ∴AH=AS， ∵AB∥CD ∴∠AFD=∠BAG， ∵∠BAG+∠ABS=∠ABS+∠ASB=90°∴∠BAG=∠ASB ∴∠ASB=∠AFD 又∵∠BAS=∠D=90°，AB=AD ∴△ABS≌△DAF ∴DF=AS ∴DF=AH． （2）DF=AH．
同理可证DF=AH． （3）DF=AH 如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点（点O不与A、C两点重合），过点O作直线MN ∥BC，直线MN与∠BCA的平分线相交于点E，与∠DCA（△ABC的外角）的平分线相交于点F．（1）OE与OF相等吗？为什么？ （2）探究：当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论． （3）在（2）中，当∠ACB等于多少时，四边形AECF为正方形．（不要求说理由） 解：（1）如图所示：作EG⊥BC，EJ⊥AC，FK⊥AC，FH⊥BF， 因为直线EC，CF分别平分∠ACB与∠ACD，所以EG=EJ，FK=FH， 在△EJO与△FKO中，
2013八年级上学期数学几何复习 【图形的剪拼】 1.如图，有边长为1、3的两个连接的正方形纸片，用两刀裁剪成三块，然后拼成 一个正方形，如何拼？ 2.如图，有一张长为5 ，宽为3的矩形纸片ABCD，要通过适当的剪拼，得到 一个与之面积相等的正方形 （1）正方形的边长为____________.（结果保留根号） （2）现要求只能用两条裁剪线，请你设计出一种裁剪的方法，在图中画出裁 剪线，并简要说明剪拼过程_____________. （天津市中考题）【三角形】 1.在△ABC中，∠ACB=90°，直线MN经过点C且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E （1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE （2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE （3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系并证明。 2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2,0），以OA为边在第四象限做 等边△AOB，点C为x轴正半轴一动点（OC > 2），连接BC，以BC为边在第 四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E． （1）试问△OBC与△ABD全等吗？并证明你的结论； （2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点 E的坐标；若有变化，请说明理由．
3.如图，△ABC中AB=AC，∠ABC=36°，D、C为BC上的点，且 ∠BAD=∠DAE=∠EAC，则图中的等腰三角形有（）个。 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D为BC的中点． （1）若E、F分别是AB、AC上的点，且AE=CF，求证：△AED≌△CFD； （2）当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式； （3）在（2）的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式 （4）当x的值为多少事，S△DEF能最大化？ 图一图二 5.M为△ABC中BC中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN，已知AB=10， BC=15，MN=3 （1）求证：BN=DN （2）求△ABC周长 6.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，DA=DB，CD为直角边作等腰直角 三角形CDE，∠DCE=90° （1）求证：△ACD≌△BCE （2）若AC=3cm，则BE = ________ cm . 7.已知：△ABC为等边三角形，ED=EC，探究AE与DB的大小关系
图3八上几何题辅助线添加技巧 辅助线，如何添？把握定理和概念——（1）已知角的平分线，可向两边作垂线（2）线段垂直平分线，常向两端把线连（3）要证线段倍与半，延长缩短去试验图注意勿改变。（4）三角形中有中线，延长一倍全等现。 1、在正ABC ?内取一点D ，使DA DB =，在ABC ?外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠ 2、 已知，∠1＝∠2，A B ＞AC ，C D ⊥AD 于D ，H 是BC 中点。 求证：DH ＝ 2 1 （AB －AC ） 3、 已知，∠1＝∠2，CF ⊥AE 于E ，BE ⊥AE 于E ， G 为BC 中点，连接GE 、GF 求证：GF ＝GE 4、如图，已知在△ABC 中，AB=AC,以AB ，AC 向上作等边三角形△ABD 和△ACE 。 求证：DE ∥BC. D E C B A
B E 5、点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB=1100，∠BOC=a.将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转600得△ADC,连接OD. （1）求证：△COD 是等边三角形； (2)当a=1500 时，试判断△AOD 的形状，并说明理由； (3)探究：当a 为多少度时，△AOD 是等腰三角形? 6、已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别为CA 、AB 延长线上的点，且AD=BE,DB 的延长线交CE 于P,求证：（1） DB=CE ；（2）∠BPC=600 7、如图，已知在△ABC 中，∠ACB=900，AC=BC=1,点D 是AB 上任意一点，AE ⊥AB,且AE=BD,DE 与AC 相交于点F 。 （1）试判断的△CDE 形状，并说明理由； （2）是否存在点D ，使AE=AF ？如果存在，求出此时AD 的长；如果不存在，请说明理由。
平面几何综合复习 【典型例题】： 例3、已知：如图在?ABC 中，AB =AC 。延长AB 到D ，使BD =AB ，取AB 的中点E ，连结CD 和CE 求证：CD =2CE 分析：（1）要证长线段CD 是某小量的2倍，可在长线段上截取一半，这种方法，叫“截取法”或（折半法），要证CD =2CE ，可考虑在CD 上截取一半，再证明CE 等于CD 的一半即可。 证明： 过B 点作BF //AC 交CD 于F ， AB =BD ∴=DF CF ,且BF AC =1 2 AB AC ACB //,∴∠=∠2 BF AC ACB //,,∴∠=∠∴∠=∠112 又 BE AB BF AC BE BF ==∴=121 2 ., 在??CEB CFB 和中 BE BF BC BC =∠=∠=??? ? ?12 ∴?∴==??CEB CFB EC CF CD ,1 2 即CE =2EC 分析：（2）这类题目还可以将短线延长，或说加倍法，证它等于长线段的方法，也称“拼加法”。 提示： 将CE 延长到G ，使EG =CE ， 连结AG ，BG ，可证明?ACG ??BDC ，从而得到CG =CD ，因而有CD =2CE 。 例4、已知：如图，在?ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，BD=CE ，BE 、CD 的中点分别是M ，N ，直线MN 分别交AB ，AC 于点P 、Q 求证：AP=AQ 分析：这是一道已知中点求证线段相等的问题，往往可以通过中位线，将条件、结论分别转移到可以建立直接联系的图形上，此题要证AP =AQ ，就要证 ∠=∠APQ AQP M N ， ,分别是BE 、CD 中点，且BD =CE ，又 BC 是?BDC 和?BCE 的公共边，∴取BC 的中点F ，再连MF 、NF ， 就可以通过三角形中位线定理将已知条件以及要证明的 ∠=∠APQ AQP 等量代换到?FMN 中，从而可证得AP =AQ 。 证明： 取BC 的中点F ，连结FM ，FN ∵M ，N 分别是 BE CD ,的中点
八年级期末几何综合复习（一） 1如图，设△ ABC 和厶CDE 都是等边三角形，且/ EBD=65 °则/ AEB 的度数是（ A . 115° B . 120° C . 125° D . 130° 2. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=AC , / ABD=60 ° / ADB=78 ° / BDC=24 ° 则/ DBC= （ ） A . 18° B . 20° C . 25 ° D . 15°新课 标 第一网 3. 如图，等腰 Rt △ ABC 中，/ BAC=90 ° AD 丄BC 于点D ，/ ABC 的平分线分别交 AC 、 AD 于E 、F 两点，M 为EF 的中点，AM 的延长线交BC 于点N ，连接DM ，下列结论：① 9 DF=DN ; ②厶DMN 为等腰三角形；③ DM 平分/ BMN :④AE==EC ; 3 ⑤AE=NC ，其中正确结论的个数是（ ） V A . 2个 B . 3个 C . 4个 D . 5个 4. 如图，等腰 Rt △ ABC 中，/ ABC=90 ° AB=BC .点A 、B 分别在坐标轴上，且 x 轴恰 好平分/ BAC , BC 交x 轴于点M ，过C 点作CD 丄x 轴于点D ，则.的值为 M --------------------- 5. 已知Rt △ ABC 中，/ C=90° AC=6 , BC=8，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在 其对边的中点D 处，折痕交另一直角边于 E,交斜边于F ,则厶CDE 的周长为 __________________ 6. 如图，/ AOB=30 °点P 为/ AOB 内一点，0P=8 .点M 、N 分别在 OA 、OB 上，则△ PMN 周长的最小值为 ______________ . ABCD 中，对角线 BD 平分/ ABC, / BAC=64° / BCD+Z DCA=180° , 那么/ BDC 为 ______ 度. 7 .如图，已知四边形
经典难题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ． 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内一点，∠PAD ＝∠PDA ＝150 ． 求证：△PBC 是正三角形． 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1 的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线 交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 经典难题（二） A P C D B A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 B
F 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且 （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600 ，求证：AH ＝AO ．（初二） 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、 E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半． 经典难 1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．
八年级下册数学几何压轴题 1.如图，已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F． （1）BD的长是---------------------； （2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB的长是-----------------------------； 2.如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm. 射线AG//BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F 从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t(s). （1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF； （2）填空：①当t为--------------------s时，四边形ACFE是菱形； ②当t为何值时，EF⊥BC，并加以说明； 3.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=33，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE=30°；⑴求BE、QF的长；⑵求四边形PEFH的面积；
4.如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，∠DBC=30°，动点P以2cm/s的速度，从点B出发，沿B→D的方向，向点D 运动；动点Q以3cm/s的速度，从点D出发，沿D→C→B的方向，向点B移动．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒． （1）求△PQD的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． （2）在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PQD为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． 5 如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E． （1）求证：四边形ABCE是平行四边形； （2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长． 6 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t． （1）求CD的长； （2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长； （3）当点P在AB、CD上运动时，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm2？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．
八年级上学期数学压轴题 复习学生 Newly compiled on November 23, 2020
八年级上学期数学几何复习 【图形的剪拼】 1.如图，有边长为1、3的两个连接的正方形纸片，用两刀裁剪成三 块，然后拼成一个正方形，如何拼 2.如图，有一张长为5 ，宽为3的矩形纸片ABCD，要通过适当的 剪拼，得到一个与之面积相等的正方形 （1）正方形的边长为____________.（结果保留根号） （2）现要求只能用两条裁剪线，请你设计出一种裁剪的方法，在图中画出裁剪线，并简要说明剪拼过程_____________. （天津市中考题）【三角形】 1.在△ABC中，∠ACB=90°，直线MN经过点C且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E （1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE （2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE （3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系并证明。 3.如图，△ABC中AB=AC，∠ABC=36°，D、C为BC上的 点，且∠BAD=∠DAE=∠EAC，则图中的等腰三角形有 （）个。 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D为BC的中点． （1）若E、F分别是AB、AC上的点，且AE=CF，求证：△AED≌△CFD； （2）当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到
点A、B时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x， 求y与x的函数关系式； （3）在（2）的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续 运动，求此时y与x的函数关系式 （4）当x的值为多少事，S△DEF能最大化 图一图二 5.M为△ABC中BC 中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN，已知 AB=10，BC=15，MN=3 （1）求证：BN=DN （2）求△ABC周长 6.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，DA=DB，CD为直角边作等腰直角三角形CDE，∠DCE=90° （1）求证：△ACD≌△BCE （2）若AC=3cm，则BE = ________ cm . 7.已知：△ABC为等边三角形，ED=EC，探究AE与DB的大小关系 8.如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上一点，且CE=CA
§9.1 图形的旋转 概念：将图形绕一个顶点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。图形的旋转不改变图形的形状、大小，只改变图形上点的位置 性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等。 基本画法：将图形上的一些特殊点与旋转中心连接，以旋转中心为圆心，连线段长为半径画图，按照旋转的角度来找出对应点，再画出所有的对应线段。 典型题：确定图形的旋转角度、确定图形的旋转中心、生活中的数学问题、作图题、 §9.2 中心对称与中心对称图形 1、中心对称的概念一个图形绕某点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两 个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称。这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。 2、中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心 平分。 3、中心对称图形的定义及其性质 把一个图形绕某点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。 §9.3 平行四边形 1、平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 2、平行四边形的性质 平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。 3、判定平行四边形的条件 （1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形
（3）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 （4）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 5、反证法 反证法是一种间接证明的方法，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾，说明假设是不成立的，因而命题的结论是成立的。 常见题型：运用性质求值、添加条件题、实际问题相结合、体现数学思想的题型、 例6：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD>BC,BC=6cm，点P、Q分别以A、C点同时出发，P以 1cm/ s的速度由点A向点D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动，设运动时间为x秒．则当x=时，四边形ABQP是平行四边形． §9.4 矩形、菱形、正方形 1、矩形的概念和性质 有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角2、判定矩形的条件 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）三个角是直角的四边形是矩形 （3）对角线相等的平行四边形是矩形 3、菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 4、判定菱形的条件 （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2）四边相等的四边形是菱形 （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 5、正方形的概念、性质和判定条件 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 判定正方形的条件： （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2）有一组邻边相等的矩形是正方形 （3）有一个角是直角的菱形是正方形 §9.5 三角形的中位线 1、三角形中线的概念和性质 连接三角形两边重点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线平行且等于第三边的一半
-- 八年级上学期期中数学试题（几何题） 1.定义:三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”.数学学习小组的同学从3２根等长的火柴棒(每根长度记为1个单位）中取出若干根,首尾依次相接组成三角形,进行探究活动． 小亮用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”; 小颖分别用2４根和30根火柴棒摆出直角“整数三角形”； 小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”. (１）请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图； （2）你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出“整数三角形”，如果 能，请画出示意图;如果不能,请说明理由. ①摆出等边“整数三角形”; ②摆出一个非特殊（既非直角三角形,也非等腰三角形)“整数三角形”． 【解答】解:（１）小颖摆出如图1所示的“整数三角形”: 小辉摆出如图2所示三个不同的等腰“整数三角形”： (2）①不能摆出等边“整数三角形”.理由如下: 设等边三角形的边长为a ，则等边三角形面积为． 因为，若边长a 为整数，那么面积 一定非整数. 所以不存在等边“整数三角形”; ②能摆出如图3所示一个非特殊“整数三角形”： 2．如图,把矩形纸片ＡB ＣD 沿E Ｆ折叠,使点B 落在边A Ｄ上的点B ′ 处，点A 落在点A ′处; (1)求证:Ｂ′Ｅ=B Ｆ; （2）设ＡE ＝ａ，AB=ｂ，BF=ｃ,试猜想a ，b ，ｃ之间的一种关系， 并给予证明． 【解答】（1）证明:由题意得B ′F=BF ，∠B ′FE=∠ＢF Ｅ, 在矩形ＡBCD 中，AD ∥B Ｃ，∴∠B ′ＥF ＝∠BFE ， ∴∠B ′ＦE ＝∠Ｂ'EF,∴Ｂ′F ＝B ′E ，∴B ′E=BF; (2)答：a,ｂ,c 三者关系不唯一，有两种可能情况： （ⅰ)a,b,c 三者存在的关系是a ２ +b 2＝c ２ . 班级： 姓名：____________座号：_____________ 封 线
八年级数学几何板块专 题复习 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT
八年级数学 几何板块专题复习 一、考点、热点回顾 一、三角形 1. 三角形基本概念 1. 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，用符号“?” 表示，顶点是C B A ,,的三角形记作“ABC ?” ，读作“三角形ABC ”。 2. 三角形分类： ①三角形按边的关系分类 ②三角形按角的关系分类 3. 三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．（根据两点之间线段最短可得） 推论：三角形两边之差小于第三边． 4. 三角形内角和定理：三角形三个内角和等于 180。 推论：直角三角形的两个锐角互余。 5. 三角形的外角及其性质：1、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 2、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 6. 三角形的三条重要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。注意：①是一个三角形有三条角平分线，并且相交于三角形内部一点，我们把这一点叫做三角形的内心；②是三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线。 （2）在三角形中，连结一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。注意：①一个三角形有三条中线，并且相交于三角形内部一点，我们把这个点叫做三角形的重心；②三角形的重心把中线的长度按2:1的比例分开。
（3）从三角形一个顶点向它对边画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)。注意：①三角形的高是线段，而垂线是直线。②锐角三角形 的三条高都在三角形内部；直角三角形的两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形的两条高在外部，一条高在内部。 2．全等三角形 1. 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2. 表示方法：△ABC全等于△DEF，或△ABC≌△DEF。 3. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等 4．三角形全等的判定 三边对应相等的两个三角形全等。 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 （5）斜边、直角边 .)：斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等。 注：角角角、边边角不能判定两三角形全等。 【经典例题】 1．下列命题正确的是( ) A、全等三角形是指形状相同的两个三角形 B、全等三角形是指面积相同的两个三角形 C、两个周长相等的三角形是全等三角形 D、全等三角形的周长、面积分别相等 2.如图1，ΔABD≌ΔCDB，且AB、CD是对应边；下面四个结论中不正确的是：( ) A、ΔABD和ΔCDB的面积相等 B、ΔABD和ΔCDB的周长相等 C、∠A+∠ABD =∠C+∠CBD D、 AD AB DE BC EF AC DF ，， =∠=∠= ，，AB DE B E BC EF === ，，ABC DEF △≌△如图 ==∠=∠ ，，AB DE AC DF B E ∠=∠=∠=∠ B E B C EF C F
八年级数学下册几何证明题练习 1.已知：△ABC 的两条高BD ，CE 交于点F ，点M ，N ，分别是AF ，BC 的中点，连接ED ，MN ； (1)证明：MN 垂直平分ED ； (2))若∠EBD=∠DCE=45°，判断以M ，E ，N ，D 为顶点的四边形的形状，并证明你的结论； 2.四边形ABCD 是正方形，△BEF 是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF ，连接DF ，G 为DF 的中点，连接EG ，CG ，EC ； (1)如图1，若点E 在CB 边的延长线上，直接写出EG 与GC 的位置关系及 GC EC 的值； (2)将图1中的△BEF 绕点B 顺时针旋转至图2所示位置，请问(1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)将图1中的△BEF 绕点B 顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，若BE=1，AB=2，当E ，F ，D 三点共线时，求DF 的长；
3.已知，正方形ABCD 中，△BEF 为等腰直角三角形，且BF 为底，取DF 的中点G ，连接EG 、CG ． （1）如图1，若△BEF 的底边BF 在BC 上，猜想EG 和CG 的关系为-----------------------------------------------； （2）如图2，若△BEF 的直角边BE 在BC 上，则（1）中的结论是否还成立？请说明理由； （3）如图3，若△BEF 的直角边BE 在∠DBC 内，则（1）中的结论是否还成立？说明理由． 4.如图正方形ABCD ，点G 是BC 上的任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F ； (1)如图l ，写出线段AF 、BF 、EF 之间的数量关系：------------------------------；(不要求写证明过程) （2）如图2，若点G 是BC 的中点，求 GF EF 的比值； （3）如图3，若点O 是BD 的中点，连OE ，求EF OF 的比值；