(易错题精选)初中数学圆的难题汇编及答案
一、选择题
1.一个圆锥的底面半径是5,高为12,则这个圆锥的全面积是( )
A .60π
B .65π
C .85π
D .90π
【答案】D
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出圆锥侧面母线长,再根据圆锥的全面积=底面积+侧面积求出答案.
【详解】
∵圆锥的底面半径是5,高为12, ∴侧面母线长为2251213+=,
∵圆锥的侧面积=51365ππ??=,
圆锥的底面积=2525ππ?=,
∴圆锥的全面积=652590πππ+=,
故选:D.
【点睛】
此题考查圆锥的全面积,圆锥侧面母线长与底面圆的半径、圆锥的高的关系,熟记计算公式是解题的关键.
2.如图,在ABC ?中,90ABC ∠=?,6AB =,点P 是AB 边上的一个动点,以BP 为直径的圆交CP 于点Q ,若线段AQ 长度的最小值是3,则ABC ?的面积为( )
A .18
B .27
C .36
D .54
【答案】B
【解析】
【分析】 如图,取BC 的中点T ,连接AT ,QT .首先证明A ,Q ,T 共线时,△ABC 的面积最大,设QT=TB=x ,利用勾股定理构建方程即可解决问题.
【详解】
解:如图,取BC 的中点T ,连接AT ,QT .
∵PB 是⊙O 的直径,
∴∠PQB=∠CQB=90°,
∴QT=12BC=定值,AT 是定值, ∵AQ ≥AT-TQ , ∴当A ,Q ,T 共线时,AQ 的值最小,设BT=TQ=x ,
在Rt △ABT 中,则有(3+x )2=x 2+62,
解得x=
92
, ∴BC=2x=9,
∴S △ABC =12?AB?BC=12
×6×9=27, 故选:B .
【点睛】 本题考查了圆周角定理,勾股定理,两点之间线段最短等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,则有中考选择题中的压轴题.
3.如图,在矩形ABCD 中,6,4AB BC ==,以A 为圆心,AD 长为半径画弧交AB 于点E ,以C 为圆心,CD 长为半径画弧交CB 的延长线于点F ,则图中阴影部分的面积是( )
A .13π
B .1324π+
C .1324π-
D .524π+
【答案】C
【解析】
【分析】 先分别求出扇形FCD 和扇形EAD 的面积以及矩形ABCD 的面积,再根据阴影面积=扇形
FCD的面积﹣(矩形ABCD的面积﹣扇形EAD的面积)即可得解.【详解】
解:∵S扇形FCD
2
9
360
96
π
π
==
??
,S扇形EAD
2
4
360
94
π
π
==
??
,S矩形ABCD6424
=?=,
∴S阴影=S扇形FCD﹣(S矩形ABCD﹣S扇形EAD)
=9π﹣(24﹣4π)
=9π﹣24+4π
=13π﹣24
故选:C.
【点睛】
本题考查扇形面积的计算,根据阴影面积=扇形FCD的面积﹣(矩形ABCD的面积﹣扇形EAD的面积)是解答本题的关键.
4.如图,在⊙O,点A、B、C在⊙O上,若∠OAB=54°,则∠C()
A.54°B.27°C.36°D.46°
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB的度数,然后利用圆周角解答即可.【详解】
解:∵OA=OB,
∴∠OBA=∠OAB=54°,
∴∠AOB=180°﹣54°﹣54°=72°,
∴∠ACB=1
2
∠AOB=36°.
故答案为C.
【点睛】
本题考查了三角形内角和和圆周角定理,其中发现并正确利用圆周角定理是解题的关键.
5.下列命题是假命题的是()
A.三角形两边的和大于第三边
B.正六边形的每个中心角都等于60o
C.半径为R2R
D.只有正方形的外角和等于360?
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形三边关系、中心角的概念、正方形与圆的关系、多边形的外角和对各选项逐一进行分析判断即可.
【详解】
A 、三角形两边的和大于第三边,A 是真命题,不符合题意;
B 、正六边形6条边对应6个中心角,每个中心角都等于360606??=,B 是真命题,不符合题意;
C 、半径为R 的圆内接正方形中,对角线长为圆的直径2R ,设边长等于x ,则:222(2)x x R +=,解得边长为2x R :=,C 是真命题,不符合题意;
D 、任何凸3n n ≥()
边形的外角和都为360?,D 是假命题,符合题意, 故选D.
【点睛】
本题考查了真假命题,熟练掌握正多边形与圆、中心角、多边形的外角和等知识是解本题的关键.
6.如图,ABC V 中,90ACB ∠=?,O 为AB 中点,且4AB =,CD ,AD 分别平分ACB ∠和CAB ∠,交于D 点,则OD 的最小值为( ).
A .1
B .22
C 21
D .222
【答案】D
【解析】
【分析】 根据三角形角平分线的交点是三角形的内心,得到DO 最小时,DO 为三角形ABC 内切圆的半径,结合切线长定理得到三角形为等腰直角三角形,从而得到答案.
【详解】
解:Q CD ,AD 分别平分ACB ∠和CAB ∠,交于D 点,
D ∴为ABC ?的内心,
OD ∴最小时,OD 为ABC ?的内切圆的半径,
,DO AB ∴⊥
过D 作,,DE AC DF BC ⊥⊥ 垂足分别为,,E F
,DE DF DO ∴==
∴ 四边形DFCE 为正方形,
O Q 为AB 的中点,4,AB =
2,AO BO ∴==
由切线长定理得:2,2,,AO AE BO BF CE CF r ======
sin 4522,AC BC AB ∴==??=
222,CE AC AE ∴=-=-
Q 四边形DFCE 为正方形,
,CE DE ∴=
222,OD CE ∴==-
故选D .
【点睛】
本题考查的动态问题中的线段的最小值,三角形的内心的性质,等腰直角三角形的性质,锐角三角函数的计算,掌握相关知识点是解题关键.
7.如图,用半径为12cm ,面积272cm π的扇形无重叠地围成一个圆锥,则这个圆锥的高为( )
A .12cm
B .6cm
C .6√2 cm
D .3
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据扇形的面积公式计算出扇形的圆心角,再利用周长公式计算出底面圆的周长,得出半径.再构建直角三角形,解直角三角形即可.
【详解】 72π=2
12360
n π? 解得n=180°,
∴扇形的弧长=18012180
π?=12πcm .
围成一个圆锥后如图所示:
因为扇形弧长=圆锥底面周长
即12π=2πr
解得r=6cm,即OB=6cm
根据勾股定理得OC=22
cm,
126=63
故选D.
【点睛】
本题综合考查了弧长公式,扇形弧长=用它围成的圆锥底面周长,及勾股定理等知识,所以学生学过的知识一定要结合起来.
8.中国科学技术馆有“圆与非圆”展品,涉及了“等宽曲线”的知识.因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的,所以圆是“等宽曲线”.除了例以外,还有一些几何图形也是“等宽曲线”,如勒洛只角形(图1),它是分别以等边三角形的征个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间画一段圆弧.三段圆弧围成的曲边三角形.图2是等宽的勒洛三角形和圆.
下列说法中错误的是( )
A.勒洛三角形是轴对称图形
B.图1中,点A到?BC上任意一点的距离都相等
C.图2中,勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF的中心1O的距离都相等
D.图2中,勒洛三角形的周长与圆的周长相等
【答案】C
【解析】
【分析】
根据轴对称形的定义,可以找到一条直线是的图像左右对着完全重合,则为轴对称图形.鲁列斯曲边三角形有三条对称轴. 鲁列斯曲边三角形可以看成是3个圆心角为60°,半径为DE 的扇形的重叠,根据其特点可以进行判断选项的正误.
【详解】
鲁列斯曲边三角形有三条对称轴,就是等边三角形的各边中线所在的直线,故正确;
点A 到?BC
上任意一点的距离都是DE ,故正确; 勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF 的中心1O 的距离都不相等,1O 到顶点的距离是到边的中点的距离的2倍,故错误;
鲁列斯曲边三角形的周长=3×60180DE DE ππ?=? ,圆的周长=22
DE DE ππ?=? ,故说法正确.
故选C.
【点睛】
主要考察轴对称图形,弧长的求法即对于新概念的理解.
9.木杆AB 斜靠在墙壁上,当木杆的上端A 沿墙壁NO 竖直下滑时,木杆的底端B 也随之沿着射线OM 方向滑动.下列图中用虚线画出木杆中点P 随之下落的路线,其中正确的是( )
A .
B .
C .
D .
【答案】D
【解析】
解:如右图,
连接OP ,由于OP 是Rt △AOB 斜边上的中线,
所以OP=
12
AB ,不管木杆如何滑动,它的长度不变,也就是OP 是一个定值,点P 就在以O 为圆心的圆弧上,那么中点P 下落的路线是一段弧线.
故选D .
10.如图,点,,A B S 在圆上,若弦AB 的长度等于圆半径的2倍,则ASB ∠的度数是
( ).
A .22.5°
B .30°
C .45°
D .60°
【答案】C
【解析】
【分析】 设圆心为O ,连接OA OB 、,如图,先证明OAB V 为等腰直角三角形得到
90AOB ∠=?,然后根据圆周角定理确定ASB ∠的度数.
【详解】
解:设圆心为O ,连接OA OB 、,如图,
∵弦AB 的长度等于圆半径的2倍,
即2AB OA =,
∴222OA OB AB +=,
∴OAB V 为等腰直角三角形,90AOB ∠=? ,
∴1452
ASB AOB ∠=
∠=°. 故选:C .
【点睛】
本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
11.如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点M ,若CD =8 cm ,MB =2 cm ,则直径AB 的长为( )
A .9 cm
B .10 cm
C .11 cm
D .12 cm
【答案】B
【解析】
【分析】 由CD ⊥AB ,可得DM=4.设半径OD=Rcm ,则可求得OM 的长,连接OD ,在直角三角形DMO 中,由勾股定理可求得OD 的长,继而求得答案.
【详解】
解:连接OD ,设⊙O 半径OD 为R,
∵AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点M ,
∴DM=12
CD=4cm ,OM=R-2, 在RT △OMD 中, OD2=DM2+OM2即R2=42+(R-2)2,
解得:R=5,
∴直径AB 的长为:2×5=10cm .
故选B .
【点睛】
本题考查了垂径定理以及勾股定理.注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用.
12.如图,在矩形ABCD 中,6AB =,对角线10AC =,O e 内切于ABC ?,则图中阴影部分的面积是( )
A .24π-
B .242π-
C .243π-
D .244π-
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据勾股定理求出BC ,连接OA 、OB 、OC 、过点O 作OH ⊥AB ,OE ⊥BC ,OF ⊥AC ,设O e 的半径为r ,利用面积法求出r=2,再利用三角形ABC 的面积减去圆O 的面积得到阴影的面积.
【详解】
∵四边形ABCD 是矩形,
∴∠B=90°,
∵6AB =,10AC =,
∴BC=8,
连接OA 、OB 、OC 、过点O 作OH ⊥AB ,OE ⊥BC ,OF ⊥AC ,
设O e 的半径为r ,
∵O e 内切于ABC ?,
∴OH=OE=OF=r , ∵11()22ABC S AB BC AB AC BC r =
?=++?V , ∴1168(6108)22
r ??=++?, 解得r=2,
∴O e 的半径为2,
∴2168-2
224-4ABC O S S S ππ=-=
???=V e 阴影, 故选:D .
【点睛】
此题考查矩形的性质,勾股定理,三角形内切圆的定义,阴影面积的求法,添加合适的辅助线是解题的关键.
13.如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,OC 交⊙O 于点D ,若∠ABD =24°,则∠C 的度数是( )
A.48°B.42°C.34°D.24°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据切线的性质求出∠OAC,结合∠C=42°求出∠AOC,根据等腰三角形性质求出∠B=∠BDO,根据三角形外角性质求出即可.
【详解】
解:∵∠ABD=24°,
∴∠AOC=48°,
∵AC是⊙O的切线,
∴∠OAC=90°,
∴∠AOC+∠C=90°,
∴∠C=90°﹣48°=42°,
故选:B.
【点睛】
考查了切线的性质,圆周角定理,三角形内角和定理,解此题的关键是求出∠AOC的度数,题目比较好,难度适中.
14.如图,圆O是△ABC的外接圆,∠A=68°,则∠OBC的大小是( )
A.22°B.26°C.32°D.68°
【答案】A
【解析】
试题分析:根据同弧所对的圆心角等于圆周角度数的两倍,则∠BOC=2∠A=136°,则根据三角形内角和定理可得:∠OBC+∠OCB=44°,根据OB=OC可得:∠OBC=∠OCB=22°.
考点:圆周角的计算
15.如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于E 点,若AD =CD = 23.则?BC 的长为( )
A .3π
B .23π
C .3π
D .23π 【答案】B
【解析】
【分析】
根据垂径定理得到3CE DE ==
,??BC BD = ,∠A=30°,再利用三角函数求出OD=2,即可利用弧长公式计算解答.
【详解】
如图:连接OD ,
∵AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于E 点,AD =CD = 23,
∴3CE DE ==
,??BC BD = ,∠A=30°, ∴∠DOE=60°,
∴OD=2sin 60DE =o
, ∴?BC
的长=?BD 的长=60221803ππ?=, 故选:B.
【点睛】
此题考查垂径定理,三角函数,弧长公式,圆周角定理,是一道圆的综合题.
16.下列命题中正确的个数是( )
①过三点可以确定一个圆
②直角三角形的两条直角边长分别是5和12,那么它的外接圆半径为6.5
③如果两个半径为2厘米和3厘米的圆相切,那么圆心距为5厘米
④三角形的重心到三角形三边的距离相等.
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
【答案】A
【解析】
【分析】
①根据圆的作法即可判断;
②先利用勾股定理求出斜边的长度,然后根据外接圆半径等于斜边的一半即可判断;
③根据圆与圆的位置关系即可得出答案;
④根据重心的概念即可得出答案.
【详解】
①过不在同一条直线上的三点可以确定一个圆,故错误;
②∵直角三角形的两条直角边长分别是5和12, ∴斜边为2251213+= ,
∴它的外接圆半径为.113652
?=,故正确; ③如果两个半径为2厘米和3厘米的圆相切,那么圆心距为5厘米或1厘米,故错误; ④三角形的内心到三角形三边的距离相等,故错误;
所以正确的只有1个,
故选:A .
【点睛】
本题主要考查直角三角形外接圆半径,圆与圆的位置关系,三角形内心,重心的概念,掌握直角三角形外接圆半径的求法,圆与圆的位置关系,三角形内心,重心的概念是解题的关键.
17.如图,已知某圆锥轴截面等腰三角形的底边和高线长均为10cm ,则这个圆锥的侧面积为( )
A .50cm 2
B .50πcm 2
C .52
D .5cm 2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出圆锥的母线长,求出底面圆周长,根据扇形面积公式计算即可.
【详解】
解:如图所示,
∵等腰三角形的底边和高线长均为10cm,
∴等腰三角形的斜边长=22
105
+=55,即圆锥的母线长为55cm,圆锥底面圆半径为5,
∴这个圆锥的底面圆周长=2×π×5=10π,即为侧面展开扇形的弧长,圆锥的侧面积=
1
×10π×55=255πcm2,
2
故选:D.
【点睛】
本题考查了圆锥的计算,解题的关键是弄清楚圆锥的侧面积的计算方法,特别是圆锥的轴截面是等腰三角形,勾股定理的应用,以及圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长.18.若正六边形的半径长为4,则它的边长等于()
A.4 B.2 C.23D.43
【答案】A
【解析】
试题分析:正六边形的中心角为360°÷6=60°,那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形,故正六边形的半径等于4,则正六边形的边长是4.故选A.
考点:正多边形和圆.
19.如图,四边形ABCD内接于⊙O,F是?CD上一点,且??
DF BC
=,连接CF并延长交AD的延长线于点E,连接AC.若∠ABC=105°,∠BAC=25°,则∠E的度数为()
A .45°
B .50°
C .55°
D .60°
【答案】B
【解析】
【分析】 先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC 的度数,再由圆周角定理得出∠DCE 的度数,根据三角形外角的性质即可得出结论.
【详解】
∵四边形ABCD 内接于⊙O ,∠ABC=105°,
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°.
∵??DF
BC =,∠BAC=25°, ∴∠DCE=∠BAC=25°,
∴∠E=∠ADC ﹣∠DCE=75°﹣25°=50°.
【点睛】
本题考查圆内接四边形的性质,圆周角定理.圆内接四边形对角互补.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等,而同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,所以在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等.
20.如图,在ABC ?中,5AB =,3AC =,4BC =,将ABC ?绕一逆时针方向旋转40?得到ADE ?,点B 经过的路径为弧BD ,则图中阴影部分的面积为( )
A .1463
π- B .33π+ C .3338π- D .259
π 【答案】D
【解析】
【分析】 由旋转的性质可得△ACB ≌△AED ,∠DAB=40°,可得AD=AB=5,S △ACB =S △AED ,根据图形可得S 阴影=S △AED +S 扇形ADB -S △ACB =S 扇形ADB ,再根据扇形面积公式可求阴影部分面积.
【详解】
∵将△ABC绕A逆时针方向旋转40°得到△ADE,∴△ACB≌△AED,∠DAB=40°,
∴AD=AB=5,S△ACB=S△AED,
∵S阴影=S△AED+S扇形ADB-S△ACB=S扇形ADB,
∴S阴影=4025
360
π?
=
25
9
π
,
故选D.
【点睛】
本题考查了旋转的性质,扇形面积公式,熟练掌握旋转的性质:①对应点到旋转中心的距离相等;②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;③旋转前、后的图形全等.
初中数学易错题 一、选择题 1、A、B是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是() A、互为相反数 B、绝对值相等 C、是符号不同的数 D、都是负数 2、有理数a、b在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是() A、2a B、2b b C、2a-2b D、2a+b 3、轮船顺流航行时m千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度() A、2千米/小时 B、3千米/小时 C、6千米/小时 D、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有() A、1个 B、3个 C、4个 D、无数个 5、下列说法错误的是() A、两点确定一条直线 B、线段是直线的一部分 C、一条直线不是平角 D、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m2-1)x2-(3m-1)x+2的图象与x轴的交点情况是 ( ) A、当m≠3时,有一个交点 B、1 m时,有两个交点 ≠ ± C、当1 m时,有一个交点 D、不论m为何值,均无交点 = ± 7、如果两圆的半径分别为R和r(R>r),圆心距为d,且(d-r)2=R2,则