百校联盟2018届TOP20四月联考全国一卷数学(理)

百校联盟2018届TOP20四月联考全国一卷

数学（理）

一、选择题

1．设集合}02|{2

<--=x x x A ，}01|{<-=x x B ，则=B A （ ） A ．)1,1(- B ．)1,(-∞ C ．)2,1( D ．)2,(-∞

2．设复数z 满足

i z

i

z +=-3，则=z （ ） A ．i 5251+ B ．i 5251+- C ．i 5251- D ．i 5

251--

3．已知P 是ABC ?所在平面内一点，且2

AC

AB PB +=

，AP BC λ=，则=λ（ ） A ．2 B ．1 C ．2- D ．1-

4．把不超过实数x 的最大整数记作][x ，则函数][)(x x f =称作取整函数，又叫高斯函数.在

]4,1[上任取x ，则]2[][x x =的概率为（ ）

A ．

41 B ．31 C ．21 D ．3

2 5．执行如图所示的程序框图，则t 的值变动时，输出的x 值不可能是（ ）

A ．5

B ．9

C ．11

D ．13

6．已知点21,F F 是双曲线C ：

)0(112

2>=-+a a

y a x 的左，右焦点，点P 是以21,F F 为直径的圆与双曲线C 的一个交点，若21F PF ?的面积为4，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）

A ．

x y 54±

= B ．x y 4

5

±= C ．x y 552±= D ．x y 25±= 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）

A ．58248++

B ．2424+

C ．2208+

D ．28 8．已知定义域为R 的函数)(x f 满足)()2(x f x f =-，且1≥x 时，22)(2+-+=x x x f x ，

若0(6)2(log >

1

(

B.),2()21,0(+∞

C.)2,1()2

1,0( D.

),2()1,2

1

(+∞ 9．已知实数y x ,满足约束条件??

?

??≤--≥+-≥-+0220101y x y x y x ，若y mx z +=，z 的取值范围为集合A ，且

]6,31

[?A ，则实数m 的取值范围是（ ）

A ．]32,31[

B ．]32,911[-

C ．]31,911[-

D ．]6,3

2[

10．已知数列}{n a 满足048,102141=+-<

{22

n

n a a +

是以8为公差的等差数列，设}{n a 的前n 项和为n S ，则满足10>n S 的n 的最小值为（ ） A ．60 B ．61 C ．121 D ．122

11．已知x A x f cos )(=，若直线π-=x y 2与)(x f 的图象有3个交点，且交点横坐标的最大值为t ，则（ ）

A ．1tan )(),,2(=-∈t t A ππ

B ．1tan )2

(

),,2(=-+∞∈t t A π

π

C ．1tan )(),,2(=-∈t

t A ππ D ．1tan )2

(),,2(=-

+∞∈t t A π

π

12．在三棱锥BCD A -中，BD AB DB AB DC DB AC AB ⊥=+==,4,,，则三棱锥

BCD A -外接球的体积的最小值为（ ）

A ．

3264π B ．332π C ．328π D ．3

4π

二、填空题

13．已知???

??≤+>-=1

,11,11

)(x x x x x f ，若)0)(1()1(>+=-a a f a f ，则实数a 的值为 .

14．已知n

x )3(+的展开式中所有偶数项系数之和为496，则展开式中第3项的系数为 . 15．已知B A ,是椭圆C 上关于原点对称的两点，若椭圆C 上存在点P ，使得直线PB PA ,斜率的绝对值之和为1，则椭圆C 的离心率的取值范围是 .

16．已知四边形ABCD 中，13

3

==

==DA CD BC AB ，设ABD ?与BCD ?面积分别为21,S S ，则2

221S S +的最大值为 .

三、解答题

17．已知数列}{n a 满足31a a =，112

3

2++=-n n n a a ，设n n n a b 2=. （1）求数列}{n b 的通项公式； （2）求数列}{n a 的前n 项和n S .

18．每年的寒冷天气都会带热“御寒经济”，以餐饮业为例，当外面太冷时，不少人都会选择叫外卖上门，外卖商家的订单就会增加，下表是某餐饮店从外卖数据中抽取的5天的日平均气温与外卖订单数.

（1）经过数据分析，一天内平均气温)(0

C x 与该店外卖订单数y （份）成线性相关关系，试建立y 关于x 的回归方程，并预测气温为C 0

12-时该店的外卖订单数（结果四舍五入保留整

数）；

（2

）天气预报预测未来一周内（七天），有3天日平均气温不高于C 0

10-，若把这7天的预测数据当成真实数据，则从这7天任意选取3天，预测外卖订单数不低于160份的天数为X ，求

X 的分布列与期望.

附注：回归方程a x b y

???+=中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：x b y a

x x

y y x x

b

n

i i

n

i i i

??,)()

)((?1

2

1

-=---=∑∑==. 19．如图，在几何体ABCDEF 中，底面CDEF 是平行四边形，CD AB //，

4,52,2,1====DF DE CD AB ，⊥DB 平面CDEF ，CE 与DF 交于点O .

（1）求证：//OB 平面ACF ；

（2）若平面CAF 与平面DAF 所成的锐二面角余弦值为

10

30

，求线段DB 的长度. 20．已知动圆M 与直线03=+x 相切，且与圆01582

2

=+-+x y x 外切. （1）求动圆M 圆心轨迹C 的方程；

（2）若直线l ：m x y +=与曲线C 交于B A ,两点，且曲线C 上存在两点E D ,关于直线l 对称，求实数m 的取值范围及||||DE AB -的取值范围. 21．已知e ax x g ax e x f x

-=-=2

)(,)(.

（1）若)(x f 的图象在1=x 处的切线与)(x g 的图象也相切，求实数a 的值； （2）若)()()(x g x f x F -=有两个不同的极值点)(,2121x x x x <，求证：242

1a e

e x x

<.

请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为?

?

?+=+=αα

sin 1cos 1t y t x （t 为参数，πα<≤0），以

原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为

θθρsin 2cos 2+=.

（1）若直线l 过点)0,2(，求直线l 的极坐标方程；

（2）若直线l 与曲线C 交于B A ,两点，求||||OB OA +的最大值. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数|2|)(2

-+=x x x f . （1）解不等式||2)(x x f >；

（2）若2

2

2

32)(c b a x f ++≥（0,0,0>>>c b a ）对任意R x ∈恒成立，求证：

32

2

7<

?c ab .

数 学（理科）参考答案

一、选择题： 题号

1

2

3

4

5

6 7

8

9

10

11

12

答案

D

B

C

D

C

C 科

_网]

A

B

A

B

B

C

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横

线上.

13．1 14．270 15．)1,23[

16．8

7 三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．解：(Ⅰ)由n n

n a b 2=,得n n n b a 2=

，代入112

32++=-n n n a a 得 1

112

3

22+++=-n n n n a b ，即31=-+n n b b ， 所以数列}{n b 是公差为3的等差数列， 又31a a =，所以

8231b b =，即8

6

21

1+=b b ，所以21=b ， 所以13)1(31-=-+=n n b b n . (Ⅱ) 由13-=n b n 得n

n

n n n b a 21

32-=

=， 所以n n n S 2

1328252232-++++=

， 14322

1

328252221+-++++=n n n S ， 两式相减得

113225

325213)212121(3121+++-=--++++=n n n n n n S 所以n

n n S 2

5

35+-

=. 18．(Ⅰ) 由题意可知65

10

8642-=-----=

x ，

1105

160

1401158550=++++=

y ，

40)4()2(024)(222

225

12=-+-+++=-∑=i i

x x

，

55050)4(30)2(50)25(2)60(4))((1

-=?-+?-+?+-?+-?=--∑=n

i i i

y y x x

，

所以75.1340

550

)()

)((?1

240

1

-=-=

---=∑∑==n

i i

n

i i

i

x x

y y x x b

， 5.27)6(75.13110??=-?+=-=x b y a

， 所以y 关于x 的回归方程为5.2775.13?+-=x y

当12-=x 时，1935.1925.27)12(75.135.2775.13?≈=+-?-=+-=x y

. 所以可预测当平均气温为C 0

12-时，该店的外卖订单数为193份. （Ⅱ）由题意知，X 的取值可能为0，1，2，3.

354)0(3734===C C X P ，3518

)1(37

2

413===C C C X P ，3512)2(3

71423===C C C X P ，35

1

)3(373

3=

==C C X P 所以X 的分布列为

7

9351335122351813540)(=?+?+?+?

=X E . 19．解：(Ⅰ)取CF 中点G ，连接OG AG ,， 在CDF ?中，O 是DF 的中点，G 是CF 的中点， 所以CD OG CD OG 2

1

,//=

， 又2,1,===CD AB CD AB ， 所以AB OG AB OG =,//

所以四边形ABOG 为平行四边形， 所以AG OB //，

又因为?AG 平面ACF ，?OB 平面ACF ， 故//OB 平面ACF .

（Ⅱ）由2=CD ，52==DE CF ，4=DF 可得2

2

2

CF DF CD =+，所以DF CD ⊥，

又⊥DB 平面CDEF ，故以D 为坐标原点，直线DB DC DF ,,分别为z y x ,,轴建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -，则)0,0,0(D ，)0,0,4(F ，)0,2,0(C ，设a DB =，则),0,0(a B ，

),1,0(a A ，

所以)0,2,4(-=CF ，),1,4(a AF --=，)0,0,4(=DF . 设平面CAF 的一个法向量),,(111z y x =，

则?????=?=?00CF m 即???=--=-0402411

111az y x y x ，

取21=z 得)2,2,(a a m =，

设平面DAF 的一个法向量),,(222z y x =，

则?????=?=?00即???=--=040

4222

2az y x x ，

取12=z 得)1,,0(a -=，

设平面CAF 与平面DAF 所成的锐二面角为θ， 则10

30

1

45|22|cos 222=

++-=

=

a a a θ， 整理得028107252

4

=+-a a ， 解得42

=a 或25

72

=

a ， 所以2=DB 或

5

7.

20.解：(Ⅰ)圆01582

2

=+-+x y x 化为标准方程为1)4(2

2

=+-y x ， 设动圆M 圆心坐标为),(y x P ，由动圆M 与直线03=+x 相切，且与圆

015822=+-+x y x 外切，

得41|3|)4(2

2+=++=+-x x y x ， 两边平方整理得x y 162

=.

所以动圆M 圆心轨迹C 的方程为x y 162

=. (Ⅱ)m x y +=与x y 162

=联立得，

0)162(22=+-+m x m x ，

因为直线l 与曲线C 交于B A ,两点， 所以04)162(2

2

>--m m ，解得4

则16221+-=+m x x ，2

21m x x =， 所以m x x x x x x AB -=-+=

-=

4284)(2||2||2122121，

因为点E D ,关于直线l 对称， 设直线DE 方程为n x y +-=，

与x y 162

=联立得，0)162(2

2

=++-n x n x , 由04)162(2

2

>-+n n ，得4->n ， 设),(),,(4433y x E y x D ，DE 中点),(00y x G 则8,82

004

30-=+-=+=+=

n x y n x x x ， 因为点G 也在直线m x y +=上，所以m n ++=-88， 所以m n --=16，代入4->n 得12-

m n x x x x x x DE ，

所以m

m m m DE AB --+-=----=-1242

128)124(28||||，

因为12---+-m m ， 所以23212421280<--+-<

m

m ，

所以||||DE AB -的取值范围是)232,0(. 21．解：(Ⅰ) 因为ax e x f x

-=)(，

所以a e x f x

-=)('

所以a e f -=)1(，a e f -=)1('，

所以)(x f 的图象在1=x 处的切线方程为)1)(()(--=--x a e a e y ， 即x a e y )(-=，与e ax x g -=2

)(联立得，

0)(2=---e x a e ax ，

因为直线x a e y )(-=与)(x g 的图象相切， 所以04)(2

=+-ea a e ，解得e a -=.

(Ⅱ) e ax ax e x g x f x F x +--=-=2

)()()(，

a ax e x F x --=2)('，

若0≤a ，)('x F 是增函数，

0)('=x F 最多有一个实根，

)(x F 最多有一个极值点，不满足题意，

所以0>a ，

由题意知02,02212

1=--=--a ax e

a ax e x x

，

两式相减得2

12

12x x e e a x x --=，

由2

12

2

12

2

2

1

2421212121212

1

x x e e x x e e e

a e

a e

e x x x x x x x x x x x x --<

?--

t x x =-2

2

1，则0

42

1

a e e x x <，即证0

e e t t

21

2-<恒成立，

即t

e e t

t 21--<

恒成立，即02<---t e

e t

t 恒成立，

设t e

e t h t

t 2)(--=-，则02)('>-+=-t t e e t h ，

所以)(t h 在)0,(-∞上是增函数， 所以0)0()(=

e t

t

恒成立，即2421a e e x x <.

22.解：(Ⅰ)由直线l 过点)0,2(， 得所以1tan -=α，结合πα<≤0，

得43πα=，所以直线l 的参数方程为???

????+=-=t

y t x 221221（t 为参数）

，消去t ，得2=+y x ，

把θρθρsin ,cos ==y x ，代入2=+y x 得直线l 的极坐标方程为2)sin (cos =+θθρ. (Ⅱ)曲线C 的普通方程为2)1()1(2

2

=-+-y x ，所以曲线C 是以)1,1(为圆心且经过原点的

圆，

因为直线l 过圆心)1,1(，所以OB OA ⊥， 所

以

8

||||22=+OB OA ，

16|)||(|2||||2|||||)||(|2222=+≤?++=+OB OA OB OA OB OA OB OA

所以4||||≤+OB OA （当且仅当2||||==OB OA 时取等号）， 故||||OB OA +的最大值为4.

23.解：(Ⅰ) ||2|2|||2)(2

x x x x x f >-+?>

???>-+≥?x x x x 2222

或???>-+<-+≤x

x x x 220

2 2>?x 或10<?≤x x 或1

所以不等式||2)(x x f >的解集为),2()1,(+∞-∞ . (Ⅱ)当2≥x 时，42222)(2

2

=-+≥-+=x x x f ， 当2

747)2

1(2)(2

2

≥+-=+-=x x x x f ， 所以)(x f 的最小值为

4

7， 因为2

2

2

32)(c b a x f ++≥对任意R x ∈恒成立， 所以4

7322

2

2

≤

++c b a ，

又222222222442)(232abc bc ac c b c a c b a ≥+≥+++=++，且等号不能同时成立，

所以4

724

2<

abc ，即3227