第十一讲：数列复习（二）数列求和
一、教学目的
掌握常见的数列求和方法．
二、课题导入
常用数列求和方法有公式法、化归法、倒序相加法、错位相减法、裂项法等 三、讲授新课
1．倒序相加法：等差数列前n 项和公式的推导方法：
（1）)(211121n n n n n n n a a n S a a a S a a a S +=???
?+++=+++=-
例1．求和：222
222222222110108339221011++++++++ 分析：数列的第k 项与倒数第k 项和为1，故宜采用倒序相加法． 小结: 对某些前后具有对称性的数列,可运用倒序相加法求其前n 项和.
2．错位相减法：等比数列前n 项和公式的推导方法： （2）11132321)1(++-=-???
?++++=++++=n n n n n n n a a S q a a a a qS a a a a S
例2．求和：)0()12(5332≠-++++x x n x x x n
3．分组法求和
例3求数列 1614
,813,412,211的前n 项和；
例4．设正项等比数列{}n a 的首项2
11=a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S （Ⅰ）求{}n a 的通项； （Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T 。
例5．求数列 ,1,,1 ,1 ,1 122-+++++++n a a a a a a 的前n 项和S n .
)1(11 111,1 ;2)1(21 ,111,1:1n n n n n n a a
a a a a a a n n n S n a a --=--=
++=≠+=
+++==+++==- 则若于是则若解 ]1)1([11)]([11 11111122a a a n a a a a n a a a a a a a S n n n n ----=+++--=--++--+--= 于是 4．裂项法求和
例6．求和：n
++++++++++ 21132112111 解：设数列的通项为a n ，则)1
11(2)1(2+-=+=
n n n n a n , 12)111(2)]111()3121()211[(221+=+-=+-++-+-=+++=∴n n n n n a a a S n n 例7．求数列???++???++,11,,3
21
,211
n n 的前n 项和. 解：设n n n n a n -+=++=11
1 （裂项） 则 11
321
211+++???++++=n n S n （裂项求和）
＝)1()23()12(n n -++???+-+-
＝11-+n
四、课堂练习
1.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a
（Ⅰ）求321,,a a a ；（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S
2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有12a =，11353n n n n S a a S --=-+(2)n ≥
（1）求数列n a 的通项公式；（2）若(21)n n b n a =-，求数列n a 的前n 项的和n T 。
3.已知数列{n a }满足11=a ，且),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且．
（Ⅰ）求2a ，3a ；（Ⅱ）证明数列{
n
n a 2}是等差数列；（Ⅲ）求数列{n a }的前n 项之和n S
4.已知数列{}n a 满足31=a ，1211-=--n n n a a a . （1）求2a ，3a ，4a ；（2）求证：数列11n a ????-??
是等差数列，并写出{}n a 的一个通项。
5.数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；
（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T
6.22,,4,21121+=-===++n n n n n b b a a b a a . 求证：
⑴数列{b n +2}是公比为2的等比数列；
⑵n a n n 221-=+；
⑶4)1(2221-+-=++++n n a a a n n .
7.已知各项都不相等的等差数列}{n a 的前六项和为60，且2116a a a 和为 的等比中项.
（1）求数列}{n a 的通项公式n n S n a 项和及前；
（2）若数列}1{
,3),(}{11n
n n n n b b N n a b b b 求数列且满足=∈=-*+的前n 项和T n .
8.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，123,22a a ==，且113210n n n S S S +--++=，其中*
2,n n N ≥∈.
（1）求证数列{}1n a -是等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .
9.已知n S 是数列{n a }的前n 项和，并且1a =1，对任意正整数n ，241+=+n n a S ；设
,3,2,1(21=-=+n a a b n n n ）.
（I ）证明数列}{n b 是等比数列，并求}{n b 的通项公式；
（II ）设}log log 1
{,32
212++?=n n n n
n C C T b C 为数列的前n 项和，求n T .
10.在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +???++=求的值.
五、课时小结：
1．常用数列求和方法有：
(1) 公式法: 直接运用等差数列、等比数列求和公式;
(2) 化归法: 将已知数列的求和问题化为等差数列、等比数列求和问题；
(3) 倒序相加法: 对前后项有对称性的数列求和；
(4) 错位相减法: 对等比数列与等差数列组合数列求和；
(5) 并项求和法: 将相邻n 项合并为一项求和；
(6) 分部求和法：将一个数列分成n 部分求和；
(7) 裂项相消法：将数列的通项分解成两项之差，从而在求和时产生相消为零的项的求和方法.
第十一讲：数列复习（二）数列求和
课堂练习
1.解：（1）由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得：,73=a 同理得.1,312==a a
（2）由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a
)1(211+=+-n n a a {}1+∴n a 构成以211=+a 为首项以2为公比的等比数列；
112)1(1-?++∴n n a a ；,21n n a =+∴ .12-=∴n n a 为所求通项公式
（3）12-=n n a
123......n n S a a a a ∴=++++123(21)(21)(21)......(21)n =-+-+-++-
123(222......2)n
n =++++-n n ---=21)21(2.221n n --=+ 2.解：由11335(2)n n n n S S a a n ---=-≥，12n n a a -∴=，又12a = ，112
n n a a -=， {}n a ∴是以2为首项，12为公比的等比数列，122112()()222
n n n n a ---∴=?== 2(21)2n n b n -=-，1012123252(21)2n n T n --∴=?+?+?++-? （1）
012111232(23)2(21)22
n n n T n n ---=?+?++-?+-? （2） （1）—（2）得01211
22(222)(21)22n n n T n ---=++++--?
即：1111112[1(2)]2(21)26(23)2212
n n n n T n n ------=+--?=-+?- ，212(23)2n n T n -∴=-+? 3.解：（Ⅰ）622212=+=a a ，2022323=+=a a ． （Ⅱ）),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且 ， ∴),2(122*11N n n a a n n n n ∈≥+=--且， 即),2(12
2*11N n n a a n n n n ∈≥=---且． ∴数列}2
{n n a 是首项为21211=a ，公差为1=d 的等差数列． （Ⅲ）由（Ⅱ）得
,211)1(21)1(212-=?-+=-+=n n d n a n n ∴n n n a 2)21(?-=． )2(2)2
1(2)211(2252232212)1(2)2
1(2252232211432321+?-+?--++?+?+?=?-++?+?+?=n n n n n n n S n S 1322)21(2221)2()1(+?--++++=--n n n n S 得 12)21(2222132-?--++++=+n n n
12)2
1(21)21(21-?----=+n n n 32)23(-?-=n n ． ∴32)32(+?-=n n n S ． 4.解：（1）7
9,57,35432===a a a （2）证明：由题设可知N n a a n n ∈≠≠,10且
1211-=--n n n a a a
()()()()111111--=---?--n n n n a a a a 111111=---?-n n a a ?
?????-∴11n a 是以21为首项，1为公差的等差数列 故2
112111-=-+=-n n a n 12121122-+=+-=∴n n n a n 5.解：（Ⅰ）12n n a S += ，12n n n S S S +∴-=，1n n
S S +∴=
当2n ≥时，21223(2)n n n a S n --== ≥，21132n n n a n -=?∴=?2?
， ，，≥． （Ⅱ）12323n n T a a a na =++++ ，
当1n =时，11T =；
当2n ≥时，0121436323n n T n -=++++ ，…………①
12133436323n n T n -=++++ ，………………………②
-①②得：12212242(333)23n n n T n ---=-+++++- 213(13)222313n n n ---=+-- 11(12)3n n -=-+-
1113(2)22n n T n n -??∴=+- ???≥ 又111T a == 也满足上式，
1113(2)22n n T n n -??∴=+- ???
≥ 6.解： ⑴ )2(221+=++n n b b 22
21=++∴+n n b b 2121=-=a a b 62222=+=b b 数列{b n +2}是首项为4公比为2的等比数列；
⑵由⑴知 112242+-=?=+n n n b 221-=∴+n n b
2211-=-++n n n a a 22212-=-∴a a 22323-=-a a ……221-=--n n n a a 上列（n-1）式子累加：n a n n 2)222(232-+++=- n a n n 221-=∴+ ⑶2
)1(2)222(13221+-+++=++++n n a a a n n . 4)1(2221-+-=+++∴+n n a a a n n 7.解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，则??
?+=+=+21111)5()20(,60156d a d a a d a 解得???==.5,21a d 32+=∴n a n . )4(2
)325(+=++=n n n n S n （2）由).,2(,111*--+∈≥=-∴=-N n n a b b a b b n n n n n n
112211121112,()()()(1)(14)3
(2).3,n n n n n n n n b b b b b b b b a a a b n n n n b -----≥=-+-++-+=++++=--++=+= 当时对也适合
))(2(*∈+=∴N n n n b ).11(111-==∴
)211123(21)2114121311(21+-+-=+-++-+-=n n n n T n )
2)(1(4532+++=n n n n 8.解：① 113210n n n S S S +--++=?112()1n n n n S S S S +--=-- ?121(2)n n a a n +=-≥ 又123,22
a a ==也满足上式，∴*121()n n a a n N +=-∈
?112(1)n n a a +-=-（*n N ∈） ∴数列{}1n a -是公比为2，首项为1112
a -=的等比数列 （2）由①，1211222
n n n a ---=?=221n n a -?=+ 于是12...n n S a a a =+++
()()()()1012212121...21n --=++++++++ ()
1012222...2n n --=++++ 212
n n -=+ 9.解析：（I ）),2(24,2411≥+=∴+=-+n a S a S n n n n
两式相减：),2(4411≥-=-+n a a a n n n *),(2)2(2,2)(42,
2),2)((41111121111N n b a a b a a a a a b a a b n a a a n n n n n n n n n n n n n n n n ∈=-=--=-=∴-=∴≥-=∴++++++++-+ ,21=∴+n
n b b }{n b ∴是以2为公比的等比数列， ,325,523,24,2112121121=-==+=∴+=+-=b a a a a a a a b 而 *)(231N n b n n ∈?=∴-
（II ）,231-==
n n n b C ,)1(12log 2log 1log log 11222212+=?=?∴+++n n C C n n n n 而,1
11)1(1+-=+n n n n .111)111()4131()3121()211(+-=+-++-+-+-=∴n n n T n 10.解：设1032313log log log a a a S n +???++=
由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =?+=+ （找特殊性质项） 和对数的运算性质 N M N M a a a ?=+log log log 得
)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++???++++= （合并求和） ＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ?+???+?+? ＝9log 9log 9log 333+???++＝10
专题43 数列 数列的求和4 （ 分组求和、倒序相加法） 【考点讲解】 一、具本目标：1.掌握等差、等比数列的求和方法； 2. 掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法. 考纲解读：会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和，非等差、等比数列的求和是高考的热点，特别是错位相减法和裂项相消法求和. 二、知识概述： 求数列前n 项和的基本方法 （1）直接用等差、等比数列的求和公式求和； 等差：； 等比： 公比是字母时需要讨论. (理)无穷递缩等比数列时，q a S -= 11 （2）掌握一些常见的数列的前n 项和公式： ； ； ； ； （3）倒序相加法求和：如果一个数列 {}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数， 那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法. （4）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么
这个数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法：若数列{}n c 的通项公式n n n c a b =?，其中{}n a 、 {}n b 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q 倍错位相减法． 温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合. 2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留. （5）分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，先分别求和，再合并.通项公式为a n ＝ 的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 形如： n n b a +其中， （6）并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类 型，可采用两项合并求解. 合并求和：如求 的和. （7）裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项. 常见拆项： ； . 【真题分析】
数列求和高考专题 1.【2017天津，理18】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N . 【答案】 （1）32n a n =-.2n n b =.（2）1328 433 n n n T +-=?+. 【解析】 （II ）解：设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ， 由262n a n =-， 12124n n b --=?，有()221314n n n a b n -=-?， 故()23 245484314n n T n =?+?+?+ +-?， ()()23414245484344314n n n T n n +=?+?+?+ +-?+-?， 上述两式相减，得()2 3 1324343434314n n n T n +-=?+?+?+ +?--?
( )()()1 112144314 14 3248.n n n n n ++?-= ---?-=--?- 得1328 433 n n n T +-= ?+. 所以，数列221{}n n a b -的前n 项和为 1328 433 n n +-?+. 2.【2017江苏，19】 对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++ ++ 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”. （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”; （2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列. 【答案】（1）见解析（2）见解析 （2）数列{}n a 既是“()2P 数列”，又是“()3P 数列”，因此， 当3n ≥时， 21124n n n n n a a a a a --+++++=，① 当4n ≥时， 3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=.② 由①知， 3214n n n a a a ---+=- ()1n n a a ++，③ 2314n n n a a a ++++=- ()1n n a a -+，④ 将③④代入②，得112n n n a a a -++=，其中4n ≥， 所以345,,, a a a 是等差数列，设其公差为'd .
《数列求和复习》教学设计 开课时间：2016/12/22 开课人：洪来春一、学情分析： 学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求和公式，同时也掌握了与等差、等比数列相关的综合问题的一般解决方法。本节课作为一节复习课，将会根据已知数列的特点选择适当的方法求出数列的前n项和，从而培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。 二、教法设计： 本节课设计的指导思想是：讲究效率，加强变式训练、合作学习。采用以具体题目为切入点，引导学生进行探索、讨论，注重分析、启发、反馈。先引出相应的知识点，然后剖析需要解决的问题，在例题中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。 在教学过程中采取如下方法： （1）诱导思维法：使学生对知识进行主动建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性； （2）讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。 三、教学设计： 1、教材的地位与作用： 对数列求和的考查是近几年高考的热点内容之一，属于高考命题中常考的内容；另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。化归与转化思想是本课时的重点数学思想方法，化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的一种数学思想方法；化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程。 2、教学重点、难点： 教学重点：根据数列通项求数列的前n项，本节课重点复习分组求和与裂项法求和。 教学难点：解题过程中方法的正确选择。 3、教学目标： (1)知识与技能： 会根据通项公式选择求和的方法，并能运用分组求和与裂项法求数列的前n项。 (2)过程与方法： ①培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力； ②通过阶梯性练习和分层能力培养练习，提高学生分析问题和解决问题的能力，使不同层次的学生的能力都能得到提高。
数列求和的常用方法 第一类：公式法求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的. 1、等差数列前n 和公式：()() 11122 n n n a a n n S na d +-= =+ 2、等比数列前n 和公式：1 11(1)(1)(1) 11n n n na q S a a q a q q q q =?? =--?=≠?--? 自然数方幂和公式： 3、11(1)2n n k S k n n ===+∑ 4、211 (1)(21) 6n n k S k n n n ===++∑ 5、32 1 1[(1)]2 n n k S k n n ===+∑ 【例】已知数列{}n a 满足*111,4,n n a a a n N +==+∈，求数列{}n a 的前n 项和 n S . 【练习】已知321 log log 3 x -= ，求23n x x x x +++???++???的前n 项和.
第二类：分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 若数列{}n c 的通项公式为n n n c a b =+，其中数列{}n a ，{}n b 分别是等差数列和等比数列，求和时一般用分组结合法。 【例】数列111111,2,3,4 ,,,24816 2n n 求数列的前n 项和. 【练习】数列{}n a 的通项公式221n n a n =+- 第三类：裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 常用的通项分解（裂项）如：
数列求和的常用方法 第一类：公式法求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的 n 3 1 2 5、 S n k 3 [ n(n 1)]2 k 1 2 例】已知数列 a n 满足 a 1 1,a n 1 a n 4,n N * ，求数列 a n 的前 n 项和 S n . 练习 】已知 log 3 x ，求 x x 2 x 3 x n 的前 n 项和 . log 23 第二类：分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个 等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可 . 若数列 c n 的通项公式为 c n a n b n ，其中数列 a n ， b n 分别是等差数列和等比数 列，求和时一般用分组结合法。 na 1 (q 1) 2、等比数列前 n 和公式： S n a 1(1 q n ) a 1 a n q (q 1) 1 q 1 q (q 1) S n n a 1 a n na 1 21 自然数方幂和公式： 1、等差数列前 n 和公式： 3、 S n n k k1 1 n(n 1) 2 n 4、 S n k 2 k1 1 n(n 1)(2n 1) 6
1 1 1 1 1 【例】数列1 ,2 ,3 ,4 , ,n n, 求数列的前n项和. 2 4 8 16 2n
练习】数列a n 的通项公式a n 2n2n 1 第三类：裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 . 裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的 常用的通项分解(裂项)如： 1 1 1 例1】数列1,112,1 213, ,1 2 31n, ，求该数列的前n项和 .通项) 1) a n 2) a n n1 a n 11 nk 3) a n 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1 a n 5) a n log a 1 1log a n 1 log
数列求和 概述：先分析数列通项的结构特征，再利用数列通项揭示的规律来求数列的前n 项和，即求和抓通项。 1、直接（或转化）由等差数列、等比数列的求和公式求和 思路：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 ①等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=； ②等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n ； ③)1(211+==∑=n n k S n k n ； ④)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n ； ⑤21 3)]1(21[+==∑=n n k S n k n 。 2、逆序相加法 思路：把数列正着写和倒着写再相加。（即等差数列求和公式的推导过程的推广） 例1：设函数2 22)(+=x x x f 的图象上有两点),(),,(211121y x P y x P ，若)(2121OP OP OP +=，且点P 的横坐标为2 1。 （1）求证：P 点的纵坐标为定值，并求出这个定值； （2）若; 求,),()3()2()1(*n n S N n n n f n f n f n f S ∈+?+++= 3、错位相减法
思路：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则求{}n n b a 的前n 项和n S 可用错位相减法。 例2：在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>。 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S 。 4、裂项相消法 思路：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。一般地，数列{}n a 为等差数列，且公差不为 0，首项也不为0，∑∑∑=++==+-?=-=n i i i i i n i n i i i a a d a a d a a 111111)11(1)11(11。 常见的通项分解（裂项）如下： ①)11(1)(1k n n k k n n a n +-?=+=，（当1≠k 时，通项裂项后求和是隔项相消的，注意观察剩余项） 1 11)1(1+-=+=n n n n a n ；（通项裂项后求和是逐项相消的，剩余的是所裂项的首项和末项） ②)1 21121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n ； ③]) 2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++=n n n n n n n a n 等。 例3：求数列 ???++???++,11 ,,321 ,211 n n 的前n 项和。 补充练习：已知二次函数()y f x =的图象经过坐标原点，其导函数为26)('-=x x f ，数列{}n a 的前n 项
数列求和专题 方法归纳 方法1：分组转化法求和 1．已知{a n }的前n 项是3＋2－1,6＋4－1,9＋8－1,12＋16－1，…，3n ＋2n －1，则S n ＝ ________. 2．等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2an －2＋n ，求 b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值． 方法2裂项相消法求和 3.设数列{}a n 满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N * )，则数列? ???????? ?1a n 前 10项的和为______． 4. S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. ①求{a n }的通项公式； ②设b n ＝ 1 a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和． 5．若已知数列的前四项是 112 ＋2，122＋4，132＋6，1 42＋8 ，则数列的前n 项和为________． 6．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. （1)求{a n }的通项 公式； (2)设b n ＝1 a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和T n . 7．已知数列{a n }各项均为正数，且a 1＝1，a n ＋1a n ＋a n ＋1－a n ＝0(n ∈N *)． (1)设 b n ＝1 a n ，求证：数列{ b n }是等差数列；(2)求数列?????? ??? ?a n n ＋1的前n 项和S n . 方法3：错位相减法求和 8．已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列(b n ＞0)，且a 1＝b 1＝2，a 3＋b 3＝16，S 4＋b 3＝34.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n 为数列{a n b n }的前n 项和，求 T n . 9．设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)．
高三数学一轮复习 数列求和巩固与练习 A ．64 B ．100 C ．110 D ．120 解析：选B.设等差数列公差为d ，则由已知得 ? ???? a 1＋a 1＋d ＝4a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝28， 即????? 2a 1＋d ＝42a 1＋13d ＝28 ， 解得a 1＝1，d ＝2， ∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×1＋10×9 2 ×2＝100. 2．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项的和为S n ，则数列{S n n }的前10项的和为( ) A ．120 B ．70 C ．75 D ．100 解析：选C.S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (n ＋2)，∴S n n ＝n ＋2. 故S 11＋S 22＋…＋S 10 10 ＝75. 3．(原创题)设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{ 1f (n ) }(n ∈N * )的前n 项和是( ) A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n 解析：选A.f ′(x )＝mx m －1 ＋a ＝2x ＋1，∴a ＝1，m ＝2，∴f (x )＝x (x ＋1)， 1f (n )＝ 1 n (n ＋1) ＝1n －1n ＋1，用裂项相消法求和得S n ＝n n ＋1 .故选A. 4．若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1 ·n ，S 17＋S 33＋S 50等于________． 解析：由题意知S n ＝????? n ＋12(n 为奇数)， －n 2(n 为偶数). ∴S 17＝9，S 33＝17，S 50＝－25， ∴S 17＋S 33＋S 50＝1. 答案：1 5．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2 ＋3n (n ∈N * )，则a 12＋a 23＋…＋ a n n ＋1 ＝________. 解析：令n ＝1得a 1＝4，即a 1＝16，当n ≥2时，a n ＝(n 2＋3n )－[(n －1)2 ＋3(n －1)]＝2n ＋2，所以a n ＝4(n ＋1)2 ，当n ＝1时，也适合，所以a n ＝4(n ＋1)2 (n ∈N * )．于是 a n n ＋1 ＝
数列的前n 项和的求法 1.公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式， 特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式： 1123(1)2n n n ++++=+L ，222112(1)(21)6n n n n +++=++L ，33332 (1)123[]2n n n +++++=L . 例1、已知3log 1log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21 2.分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公 式法求和. 例2、 求数列的前n 项和：231 ,,71,41, 1112-+???+++-n a a a n ，… 解：设)231 ()71()41()11(12-++???++++++=-n a a a S n n 将其每一项拆开再重新组合得 )23741()1 111(12-+???+++++???+++ =-n a a a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(n n + （分组求和） 当1≠a 时，2)13(1111n n a a S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- 3.倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）. 例3、求οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值 解：设οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++=S …………. ① 将①式右边反序得 οοοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++???++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 2 2=+-=x x x x ο ①+②得 （反序相加） )89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222οοοοοο++???++++=S ＝89 ∴ S ＝44.5 4.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）. 例4、 求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位）
高中数学《数列求和复习（第一课时）》公开课教案 学习目标：①掌握数列求和的三种方法：公式法、分组求和法及错位相减法； ②能正确运用等差与等比数列求和公式求和； ③能把一般数列转化成特殊数列求和. 教学重点：根据数列通项求数列的前n 项，本节课重点学习分组求和与错位相减法求和。 教学难点：解题过程中方法的正确选择和化简 一、复习引入 1、复习公式：等差数列的前n 项和为_______________等比数列的前n 项和为_____________________ 2、练习： （1）求=-++++12531n __________（2）求=++++n 2421 ________ （3）若,0≠a 则=++++n a a a a 32___________________ 二、题型讲解 题型一 公式法 体验高考：2016全国卷Ⅰ文科17.（本小题满分12分）已知{}n a 是公差为3的等 差数列，数列}{n b 满足11=b ，3 1 2=b ，n n n n nb b b a =+++11 （1） 求}{n a 的通项公式， （2）求}{n b 的前n 项和 方法小结： 题型二 分组求和 例1 、求和__________)432()434()432(21=?-++?-+?-n n 方法小结： 变式练习：若n n n a 2+=，求数列}{n a 的前n 项和n S . 题型三 错位相减法 例2 、 若n n n a 2?=，求数列}{n a 的前n 项和n S . 方法小结： 练习:求和：若n n n a 3)12(?-=，求数列}{n a 的前n 项和n S . 体验高考（2014全国I 文17）（12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列2n n a ?? ? ??? 的前n 项和.
数列求和专题 学习目标：①掌握数列求和的三种方法：公式法、分组求和法及错位相减法； ②能正确运用等差与等比数列求和公式求和； ③能把一般数列转化成特殊数列求和. 【课前预习区】 1等差数列的前n 项和为_____________________________________________________ 2等比数列的前n 项和为_____________________________________________________ 题型一 公式法求和 1求=-++++12531n _________________________________________ 2求=++++n 2421 ____________________________________________ 3若,0≠a 则=++++n a a a a 32_________________________________ 【课堂交流区】 1.公式法求和小结： 题型二 分组求和 例1 若n a n n +=2，求数列}{n a 的前n 项和n S . 方法小结： 变式练习： 1.若,0≠a 且1≠a 则___________543215 432=-+-+-+-+-a a a a a 2.求和__________ )432()434()432(2 1 =?-++?-+?-n n 题型三 错位相减法
例2 求和：n n n S 333323132?++?+?+?= 方法小结： 变式1. 若n n n a 2?=，求数列}{n a 的前n 项和n S . 例3 n n n a 3)12(-=若，求数列}{n a 的前n 项和n S . 变式2 若n n n a 2)12(-=，求数列}{n a 的前n 项和n S . 【课堂小结】 【课后巩固区】
数列求和专项训练 1. (2011?重庆)设｛a n｝是公比为正数的等比数列a i=2, a3=a2+4. ([)求｛a n｝的通项公式； (n)设｛b n｝是首项为1，公差为2的等差数列，求数列｛a n+b n｝的前n项和S. 分析：(I)由｛a n｝是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2, a3=a2+4可求得q，即可求得｛a n｝的通项公式(n)由｛b n｝是首项为1，公差为2的等差数列可求得b n=1+ ( n- 1) X 2=2 n- 1,然后利用等比数列与等差数列的前 n项和公式即可求得数列｛a n+b n｝的前n项和S. 解答：解：(I)：设｛a n｝是公比为正数的等比数列 ???设其公比为q, q > 0 ■/ a3=a2+4, a1=2 2 ?2X q =2X q+4 解得q=2 或q= - 1 ■/ q>0 ?- q=2 ?｛a n｝的通项公式为a n=2X 2n- 1=2n (n)：｛b n｝是首项为1，公差为2的等差数列 ?b n=1+ ( n - 1) X 2=2n - 1 ?数列｛a n+b n｝的前n 项和S= f =2n+1- 2+n2=2n+1+n2- 2 1-2 2 2. (2011?辽宁)已知等差数列｛a n｝满足a2=0, &+a8= - 10 (I)求数列｛a n｝的通项公式； (II )求数列｛—｝的前n项和. 分析：(I) 根据等差数列的通项公式化简a2=0和a e+a8=- 10,得到关于首项和公差的方程组，求出方程组的解即可得到数列的首 项和公差，根据首项和公差写出数列的通项公式即可； (II ) 把(I )求出通项公式代入已知数列，列举出各项记作①，然后给两边都除以2得另一个关系式记作②，①-②后，利 用a n的通项公式及等比数列的前n项和的公式化简后，即可得到数列｛一｝的前n项和的通项公式. r ai+<^0 解答：解：(I)设等差数列｛a n｝的公差为d，由已知条件可得* , 2a t H2d=-10 L 1 31=1 解得：?, d=-1 故数列｛a n｝的通项公式为a n=2 - n; (II )设数列｛一｝的前n项和为S，即S=a1+ : +…+一—①，故S=1, 9 rfL—1 戸旷1 a l a2 .… 2 Z \②,
第4讲数列求和 一、选择题 1．设数列{(－1)n}的前n项和为S n，则对任意正整数n，S n＝( ) A.n[1n－1] 2 B. 1n－1＋1 2 C.1n＋1 2 D. 1n－1 2 解析∵数列{(－1)n}是首项与公比均为－1的等比数列， ∴S n＝11n1 11 ＝ 1n－1 2 . 答案 D 2．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝( ) A．66 B．65 C．61 D．56 解析当n＝1时，a1＝S1＝－1，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－4n＋2－[(n －1)2－4(n －1)＋2]＝2n－5.∴a2＝－1，a3＝1，a4＝3，…，a10＝15，∴|a1| ＋|a2|＋…＋|a10|＝1＋1＋81＋15 2 ＝2＋64＝66. 答案 A 3．在数列{a n}中，a n＝ 1 n n ＋1 ，若{a n}的前n项和为 2 013 2 014 ，则项数n为( )． A．2 011 B．2 012 C．2 013 D．2 014 解析∵a n＝1 n n ＋1＝ 1 n － 1 n＋1 ，∴S n＝1－ 1 n＋1 ＝ n n＋1 ＝ 2 013 2 014 ，解得n＝2 013. 答案 C 4．数列{a n}满足a n＋1＋(－1)n a n＝2n－1，则{a n}的前60项和为( )．A．3 690 B．3 660 C．1 845 D．1 830 解析当n＝2k时，a2k＋1＋a2k＝4k－1， 当n＝2k－1时，a2k－a2k－1＝4k－3，
∴a 2k ＋1＋a 2k －1＝2，∴a 2k ＋1＋a 2k ＋3＝2， ∴a 2k －1＝a 2k ＋3，∴a 1＝a 5＝…＝a 61. ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 60＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 60＋a 61)＝3＋7＋11＋…＋(4×30－1)＝30 3＋119 2 ＝30×61＝1 830. 答案 D 5．若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”，则 1～100 这100个数中，能称为“和平数”的所有数的和是( ) A ．130 B ．325 C ．676 D ．1 300 解析 设两个连续偶数为2k ＋2和2k (k ∈N ＋)，则(2k ＋2)2－(2k )2＝4(2k ＋1)，故和平数 是4的倍数，但不是8的倍数，故在1～100之间，能称为和平数的有4×1,4×3,4×5,4×7，…，4×25，共计13个，其和为4×1＋252 ×13＝676. 答案 C 6．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝1 2(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21 ＝ ( )． A.21 2 B ．6 C ．10 D ．11 解析 依题意得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2＝1 2，则a n ＋2＝a n ，即数列{a n }中的奇数项、 偶数项分别相等，则a 21＝a 1＝1，S 21＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＋a 21＝10(a 1＋a 2)＋a 21＝10×1 2＋1＝6，故选B. 答案 B 二、填空题 7．在等比数列{a n }中，若a 1＝1 2，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋… ＋|a n |＝________. 解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，代入数据解得q 3＝－8，所以
高中数学数列求和专题复习 1．公式法求和 （ 1 ）等差数列前项和公式 （ 2 ）等比数列前项和公式时 时 （ 3 ）前个正整数的和 前个正整数的平方和 前个正整数的立方和 公式法求和注意事项（ 1 ）弄准求和项数的值； （ 2 ）等比数列公比未知时，运用前项和公式要分类。 例 1 ．求数列的所有项的和 例 2 ．求和 ( ) 2 ．分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.形如： 的形式，其中{ a n }、{ b n }是等差数列、等比数列或常见的数列. 例 1 、求数列的前 n 项和：，… 例 2．求数列 1 ，，，…，的所有项的和。
例 3 ．已知数列中，，求。 练习 1 、求和： 练习 2 、求数列 1, , 前 n 项的和 . 练习 3 、已知： .求 . 练习 4 、已知等比数列分别是某等差数列的第 5 项、第 3 项、第 2 项，且 （Ⅰ）求； （Ⅱ）设，求数列 3 ．并项法求和 针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 S n . 例 1 、求 cos1 ° + cos 2 ° + cos 3 ° + ··· + cos 178 ° + cos1 79 °的值 . 例 2 、在各项均为正数的等比数列中，若 的值 . 例 3 ．数列中，，求。 例 64．数列中，，，求及。 4 ．错位相减法求和 例 1 、 练习 1 、已知数列
练习 2 、已知数列，求数列的前 n 项和。 练习 3．求和（）。 5 ．裂项法求和 : 把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有： 若是公差为的等差数列，则； ； ； ； * ； 例 1 ．求和。 例 2 ．求和。 练习1、数列 { } 的前 n 项和为，且满足 （ I ）求与的关系式，并求 { } 的通项公式； （ II ）求和
高考数学复习数列求和专题训练（含答案）数列求和对按照一定规律排列的数进行求和。以下是查字典数学网整理的数列求和专题训练，请考生练习。 已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列的前n项和. [解] (1)方程x2-5x+6=0的两根为2,3， 由题意得a2=2，a4=3. 设数列{an}的公差为d，则a4-a2=2d，故d=， 从而a1=. 所以{an}的通项公式为an=n+1. (2)设的前n项和为Sn.由(1)知=，则 Sn=++++， Sn=++++. 两式相减得 Sn=+- 所以Sn=2-. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1. (1) 求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足+++=1-，nN*，求{bn}的前n项和Tn. [解] (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 由S4=4S2，a2n=2an+1，得
解得 因此an=2n-1，nN*. (2)由已知+++=1-，nN*， 当n=1时，=; 当n2时，=1--=. 所以=，nN*. 由(1)知an=2n-1，nN*，所以bn=，nN*. 所以Tn=++++， Tn=++++. 两式相减，得Tn=+- 单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。=--， 单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能
专题：数列及其数列求和 ?重点、考点精读与点拨 一、基本知识 1．定义： (1) .数列：按一定次序排序的一列数 (2) 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列叫做等差数列 (3) 等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一 个常数，则这个数列叫做等比数列 2． 通项公式与前n 项和公式 }{n a 为等差数列： d n a a n )1(1-+= 2 ) (2 )1(11n n a a n d n n na S += -+ = }{n b 为等比数列： )1(1 1≠=-q q b b n n q q a a q q a S n n n --= --= 11)1(11（q )1≠ 3． 常用性质 }{n a 为等差数列，则有 （1） 从第二项起，每项是前一项与后一项的等差中项，2 1 1-++=n n n a a a （n>1） （2） ),()(* N n m d m n a a m n ∈-+= （3） 若m+n = p+q , 则：q p n m a a a a +=+，特殊的：若m+n=2r ,则有：r n m a a a 2=+ （4） 若,,m a n a n m ==则有：0=+n m a （5） 若)(,,n m S m S n S n m n m +-===+则有： （6） }{n a 为等差数列q p q pn a n ,(+=?为常数)?),(2 R q p qn pn S n ∈+=
（7） m m m m m S S S S S 232,,--┅┅仍成等差数列 （8）}{},{n n b a 为等差数列，则}{n n qb pa +为等差数列（p ，q 为常数） （9）若项数为偶数2n ，nd ＝－奇偶S S ， 1 +n n a a S S ＝ 偶 奇 若项数奇数2n －1，n a S S =偶奇－，1 -n n S S ＝ 偶 奇 （10）???=≥-=-1 11)2 (S a n S S a n n n }{n a 为等比数列，则有 （1） 只有同号的两数才存在等比中项 （2） ),(* N n m q a a m n m n ∈=- （3） 若m+n = p+q , 则：q p n m a a a a ?=?，特殊的：若m+n=2r ,则有：2 r n m a a a =? （4） }{},{n n b a 为等比数列，则}{n n b a ?，}{ n n b a ，{n ca }为等比数列（0≠c ） （5） 等比数列中连续n 项之积构成的新数列仍是等比数列，当1≠q 时，连续项之和仍为 等比数列 （6） )1,0() 0,0(≠≠-=≠≠=q q k kq S q c cq a n n n n 二、在数列中常见问题： 1、等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，)(1d a dn a n -+=（定义域为正整数集），一次项的系数为公差；等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数， n d a n d s n )2 (2 12 - += 二次项系数为公差的一半，常数项为0. 证明某数列是等差（比） 数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证： 常数）常数，（==-++n n n n a a a a 11 2、等差数列当首项a 1>0且公差d<0时(递减数列)，前n 项和存在最大值。利用???<≥+001 n n a a 确 定n 值，即可求得s n 的最大值（也可以用二次函数的性质或图象解）。
（一）数列通项公式的求法 8.(1)和型: )(1n f a a n n =++ 基本思路是，由)(1n f a a n n =++得)1(21+=+++n f a a n n ，相减，得奇数项成等差，偶数项成等 差，分别求奇数项通项，偶数项通项。 例如：数列{}n a 中相邻两项n a ，1+n a 是方程032=++n b nx x 的两根，已知1710-=a ，则51b =____． (2)积型：)(1n f a a n n =?+ 基本思路是，由)(1n f a a n n =?+，得)1(21+=?++n f a a n n ，两式相除，得奇数项成等比，偶数项成等比，分别求奇数项通项，偶数项通项，做法与“商型”相乘的思路相反． 例如：已知数列}{n a 中，11=a ，n n n a a )2 1(1=?+，则数列}{n a 的通项公式为________． 特别地： (1)如果数列}{n a 从第2项起的每一项与前一项的和为定值，则此数列}{n a 为等和数列。 递推公式为：?? ?=+=+c a a a a n n 11 （c 为常数），则n n a a =+2．即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶 数项也相等． (2)如果数列}{n b 从第2项起的每一项与前一项的积为定值，则此数列}{n b 为等积数列。 递推公式为：?? ?=?=+p b b b b n n 11 （p 为常数），则n n a a =+2，即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶 数项也相等． 9.周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。 例如：已知数列}{n a 满足)(1 33,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则56a =______. 10.取对数法 形如r n n pa a =+1，一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解。 例如.设正项数列{}n a 满足11=a ，2 12-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式. 11.换元法：适用于含有根式递推关系式 类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种，目的是代换后出现的整体数列具有规律性。 例如.已知数列}{n a 中，111 (14116 n n a a a +=+=，，求数列}{n a 的通项公式.
等差数列求和 教学目标 1.掌握等差数列前总项和的公式，并能运用公式解决简单的问题 （1）了解等差数列前肚项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前用项和公式推导的过程，记忆公式的两种形式； （2）用方程思想认识等差数列前冷项和的公式，利用公式求広农“&圧;等差数列通项 公式与前左项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值； （3）会利用等差数列通项公式与前总项和的公式研究心的最值. 2.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法 3.通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平. 4.通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问 题，并数学地解决问题. 教学建议 （1 ）知识结构 本节内容是等差数列前兀项和公式的推导和应用，首先通过具体的例子给岀了求等差数列 前抡项和的思路，而后导岀了一般的公式，并加以应用；再与等差数列通项公式组成方程组，共同运用，解决有关问题. （2）重点、难点分析 教学重点是等差数列前兀项和公式的推导和应用，难点是公式推导的思路. 推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼一般方法，再试图运用这一方法解决一般情况，所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重 要?等差数列前肚项和公式有两种形式，应根据条件选择适当的形式进行计算；另外反用公式、
变用公式、前总项和公式与通项公式的综合运用体现了方程（组）思想. 高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思，对一般学生来说有很大难度，但大多数学生都听说 过这个故事，所以难点在于一般等差数列求和的思路上. （3 ）教法建议 ①本节内容分为两课时，一节为公式推导及简单应用，一节侧重于通项公式与前兀项和公式综合运用. ②前卫项和公式的推导，建议由具体问题引入，使学生体会问题源于生活 ③强调从特殊到一般，再从一般到特殊的思考方法与研究方法 ④补充等差数列前加项和的最大值、最小值问题. ⑤用梯形面积公式记忆等差数列前芒项和公式. 等差数列的前怎项和公式教学设计示例 教学目标 1.通过教学使学生理解等差数列的前兀项和公式的推导过程，并能用公式解决简单的问题. 2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式的运用体会方程的思想. 教学重点，难点 教学重点是等差数列的前兀项和公式的推导和应用，难点是获得推导公式的思路 教学用具 实物投影仪，多媒体软件，电脑. 教学方法 讲授法. 教学过程