楚雄师范学院
2012年数学建摸第二次模拟论文
题目关于运输方案的目标规划问题
姓名韩金伟
系（院）数学系09级01班
专业数学与应用数学
2012 年8月22 日
题目：关于运输方案的目标规划问题
摘要：在经济社会的今天，我们通常会遇到一些运输分配问题，有的是线性规划，有的
是目标规划，个自都有很重要的应用领域。下面是一个实际运输分配的目标规划问题，要求按给定的目标等级对问题做合理的目标规划，得出最优的运输分配方案。对此问题我们首先对问题进行了我目标规划求解，为了满足客户的需求虚拟了一个产地使供货量能全部满足，用运费为零求出了最小的运费；然后再对问题建立了目标规划模型，先后运用Lindo软件对模型进行了求解，最后得到了目标规划模型的解，并给出了目标规划模型的具体运输分配方案。
关键词：目标规划运输方案发货量运输费用非目标规划最优方案目标等级 Lingo软件
一、问题重述
在经济社会的今天，我们通常会遇到一些运输分配问题，例如下面就是一个实际运输分配问题，要求出它的最优运输分配方案。
现在要把一种产品从产地运到客户处,其发量、收量（需求量）及产地到客户的运输费单价如表1所示。
客户1 客户2 客户3 发量 产地1 10 4 12 3000 产地2 8 10 3 4000 需求量
2000
1500
5000
表1 运输费用表
这是一个供求不平衡问题，产品缺少1500个单位，因此决定运输方案应按下列目标满足要求：
第一目标，客户1为重要部门，需求量必须全部满足； 第二目标，满足其他两个客户至少75%的需要量； 第三目标，使运费尽量少；
第四目标，从产地2到客户1的运量至少有1000个单位。
请在满足以上条件的情况下寻找出最优的目标规划运输分配方案，并建立模型求解。
二、问题分析
本题是一个运输分配的目标规划性问题，要求针对题目的目标要求给出最优的运输分配方案。下面是对问题给出的一个运输分配方案图。
图一 运输分配图
图一中我们给出了从两产地向3个客户供应货物量及运输费用的运输分配方案图，其
中)3,2,1;2,1(,==j i c ij 表示产地i 向客户j 运输货物的运输单价，)3,2,1;2,1(,==j i x ij 表
运费 运量 单价 11z 11x 11c
客户1 客户1到位必须2000件 12x
12c 12z 31c
客户2 产地1
13x
客户3 21z 22z
客户2到位至少75%1500? 21x 21c 客户1
22x 13z 22c 产地2 23z 23c 客户2
23x 客户3到位至少75%5000? 客户3
示产地i 向客户j 运输货物的量，)3,2,1;2,1(,==j i z ij 表示产地i 向客户j 运输货物的运输费用。
首先我们新增加一个虚拟的产地3，它的发货量为1500件，到各客户的运输单价为0；再根据题目建立一个非目标的优化模型，求出最少的运输费用；最后根据运输的最小费用建立目标规划模型，求出最优的运输分配方案。
三、模型假设
1）假设每一次运输都是安全无误的，都不会出现任何运输故障问题。发货的数量及分配都有生产产地自己决定，与客户无关。
2）假设产地i 向客户j 的运输货物量为)3,2,1;2,1(,==j i x ij ；产地i 向客户j 运输货物的单价为)3,2,1;2,1(,==j i c ij ；产地i 向客户j 运输货物的费用为)3,2,1;2,1(,==j i z ij 。 3）产地3为虚拟的假设产地，它的发货量为1500件，到各客户的运费单价为0，具体运费用表如下表2所示。
客户1 客户2 客户3 发量 产地1 10 4 12 3000 产地2 8 10 3 4000 产地3 0 0 0 1500 需求量
2000
1500
5000
表二 虚拟运输费用表
同样在这里我们也给出一个新的运输方案分配图如下图二所示
运费
运量 单价 11x
11c
11z 客户1 12x 12c 12z
客户2 31c
产地1
客户1到位2000件
13x
31z
客户3
21z 21x
21c
客户1
22z 22x 22c 32z
23c
客户2到位1500件
客户2 产地2 23x
客户3
13z
31x
31c
23z 客户1 33z
32x 32c 客户3到位5000件
产地3 客户2 33x
33c
客户3
图二 虚拟运输分配图
图二中我们给出了虚拟产地3的运输分配方式，可以很直观的看出具体的运输分配路线。
四、符号说明
符号
意义
符号
意义
ij x 产地i 向客户j 运输货物的运输货物量
ij z
产地i 向客户j 运输货物的运输货物费用
ij c
产地i 向客户j 运输货物的运输货物单价
Z
非目标优化模型的运输最小总费用 1p
第一目标，客户1为重要部门，需求量必须全部满足；
y
目标优化模型的运输最小总费用
2p
第二目标，满足其他两个客户至少75%的需要量；
i M
第i 个产地的发货量 3p 第三目标，使运费尽量少； j N
表示第j 个客户的需求量 4p
第四目标，从产地2到客户1的运量至少有1000个单位。 +i d 第i 件事，超出目标的差值，称为正偏差变量
Min
求最小值 -i d
第i 件事，未达到目标的差值，称为负偏差变量
st
约束条件
x(i,j)
第i 个产地向第j 个客户的发货量
五、模型建立和求解
5.1 非目标规划模型的建立及求解 5.1.1 非目标规划模型的建立
根据问题分析我们假设了一个虚拟产地3（具体的调配线路如2所示），按求最小运费的非目标要求建立优化模型为
Min ∑∑===
313
1
i j ij
ij x
c Z （1）
st ????
?
????==≥=≤=≤∑∑==3,2,1;3,2,1,03,2,1,3
,2,1,31
3
1
j i x i M x j N x ij j i ij i j ij （2）
Z 表示最小的运输费用，)3,2,1;2,1(,==j i c ij 表示产地i 向客户j 运输货物的运输单价，)3,2,1;2,1(,==j i x ij 表示产地i 向客户j 运输货物的量，i M 表示第i 个产地的发货量，
N表示第j个客户的需求量。
j
5.1.2 非目标规划模型的求解
对模型(1),(2)两式的求解，这里我们采用Lingo软件对模型进行求解，Lingo编写程序
如10.1附录1所示。执行输出的具体结果如10.2附录2所示，部分重要结果如下所示。
Global optimal solution found.
Objective value: 33000.00
Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations: 6
Variable Value Reduced
Cost
M( 1) 3000.000 0.000000
M( 2) 4000.000 0.000000
M( 3) 1500.000 0.000000
N( 1) 2000.000 0.000000
N( 2) 1500.000 0.000000
N( 3) 5000.000 0.000000
C( 1, 1) 10.00000 0.000000
C( 1, 2) 4.000000 0.000000
C( 1, 3) 12.00000 0.000000
C( 2, 1) 8.000000 0.000000
C( 2, 2) 10.00000 0.000000
C( 2, 3) 3.000000 0.000000
C( 3, 1) 0.000000 0.000000
C( 3, 2) 0.000000 0.000000
C( 3, 3) 0.000000 0.000000
X( 1, 1) 1500.000 0.000000
X( 1, 2) 1500.000 0.000000 X( 1, 3) 0.000000 2.000000 X( 2, 1) 0.000000 5.000000 X( 2, 2) 0.000000 13.00000 X( 2, 3) 4000.000 0.000000 X( 3, 1) 500.0000 0.000000 X( 3, 2) 0.000000 6.000000 X( 3, 3) 1000.000 0.000000 将结果绘制到表格中为：
产地 客户
客户1 客户2 客户3
产地1 1500 1500 0 产地2 0 0 4000 产地3
500
1000
表三 虚拟运输货物表
产地 客户
客户1 客户2 客户3
产地1
15000 6000 0 产地2 0 0 12000 产地3
表四 虚拟运输运费表
从表中可以看出，再没有目标规划定义的情况下，产地1向客户1,2,3，运输的货物量分别为1500件，1500件，0件，运费分别为15000,6000,0；产地2向客户1,2,3，运输的货物量分别为0件，0件，4000件，运费分别为0,0,12000；虚拟产地3向客户1,2,3，运输的货物量分别为500件，0件，1000件，运费全部为0。其最小的总运输费用为33000。
5.1.3 非目标规划模型的直观化
为了直观化，我们给出它的具体运输分配图如下所示
1500 单价 运费
运量 10 客户1
15000
1500
4 客户2
产地1 0 0
12
客户1的到货量2000件
客户3
图三 直观虚拟运输分配图
为了使模型完善，我们就必须得考虑目标条件的影响，所以下面我们就对目标条件下的优化方案进行建模求解。
5.2 目标规划模型的建立及求解
从非目标优化模型的求解结果中我们得到，最低的运输费用33000=Z ，货物量的具体运输如表三所示。由于产地3是虚拟化的，而且没有考虑目标条件的影响，所以我们得考虑目标条件及它的优先级重新建立目标优化模型，具体如下。
5.2.1 目标约束条件的确立
供应约束???≤++≤++40003000
23
2221131211x x x x x x （3）
需求约束?????=++=++=++++
+5000
-1500-2000-3-323132-222121-12111d d x x d d x x d d x x （4）
1p 客户1的需求：
2000-4-42111=+++
d d x x （5）
2p 客户2,3至少满足需求的75%：
????=++?=+++
+%755000-%
751500-6-623135-52212d d x x d d x x （6） 3p 使运费最少：
33000-213
1
7-7=+∑∑==+
i j ij
ij d d x
c （7）
4p 从产地2到客户1的运输量至少有1000个单位：
1000-8-821=++d d x （8）
5.2.2 目标函数的确立
Min -8
473-6-52-41)(d p d p d d p d p z ++++=+ （9） 5.2.3 目标规划模型
Min -8
473-6-52-41)(d p d p d d p d p y ++++=+ （10） st ????????
???
?
?????=+=+?=++?=++=++≤+≤+≤+≤++≤+++==+++
+∑∑1000-33000-%755000-%
751500-2000-500015002000400030008-821213
1
7-76-623135-522124-41211231322122111132221131211d d x d d x c d d x x d d x x d d x x x x x x x x x x x x x x i j ij ij （11） 5.2.4 目标规划模型的求解
对模型(10),(11)两式的求解，这里我们采用Lingo 软件对模型进行求解，Lingo 编写程
序如10.3附录3所示。执行输出的具体结果如10.4附录4所示，部分重要结果如下所示。 Global optimal solution found.
Objective value: 0.000000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 4 Variable Value Reduced Cost
Y 41000.00 0.000000 A( 1) 3000.000 0.000000 A( 2) 4000.000 0.000000 B( 1) 2000.000 0.000000 B( 2) 1500.000 0.000000 B( 3) 5000.000 0.000000 C( 1, 1) 10.00000 0.000000 C( 1, 2) 4.000000 0.000000 C( 1, 3) 12.00000 0.000000 C( 2, 1) 8.000000 0.000000
C( 2, 2) 10.00000 0.000000 C( 2, 3) 3.000000 0.000000 X( 1, 1) 1000.000 0.000000 X( 1, 2) 1250.000 0.000000 X( 1, 3) 750.0000 0.000000 X( 2, 1) 1000.000 0.000000 X( 2, 2) 0.000000 0.000000
X( 2, 3) 3000.000 0.000000 将结果绘制到表格为：
产地 客户
客户1
客户2
客户3
产地1 1000 1250 750 产地2
1000
3000
表四 目标规划运输货物表
产地 客户
客户1 客户2 客户3
产地1
10000 5000 9000 产地2
8000
9000
表五 目标规划运输费用表
从表四，表五中可以看出，在目标规划的情况下，最产地1向客户1,2,3，运输的货物量分别为1000件，1250件，750件，运输费用分别为10000,5000,9000；产地2向客户1,2,3，运输的货物量分别为1000件，0件，3000件，运输费用分别为8000,0,9000。目标规划模型得到了很好的规划。
5.2.5 目标规划模型的直观化
这里为了模型的直观化，我们绘制出具体的运输路线，运输单价和运输量的图形为
运费 单价 运量 1000 客户1 10000
10 客户1的到货量2000件 8000
1250 4 客户2
产地1 750
12
客户3
5000
客户2的到货量1250件
1000 客户1
8 9000
0 10 产地2 3
客户2
9000
3000
客户3的到货量3750件
客户3
图四目标规划运输分配方案图
从图中我们可以很直观的看出每一条运输路线的运输量和运输费用，并且可以直观的看出最优的目标规划运输方案路线，模型的到了很好的直观化。
六、模型检验
6.1 非目标规划模型的检验
通过Lindo软件计算出来模型的优化分析，
Row Slack or Surplus Dual Price
1 33000.00 -1.000000
2 0.000000 -10.00000
3 0.000000 -4.000000
4 0.000000 -10.00000
5 0.000000 0.000000
6 0.000000 7.000000
7 0.000000 10.00000
从上面的数据我们可以看出，模型的slack值都为正，模型具有很好的优度。具体的数值见附录二。
6.1 目标规划模型的检验
通过Lindo软件计算出来模型的优化分析，
Row Slack or Surplus Dual Price
1 0.000000 -1.000000
2 0.000000 0.000000
3 0.000000 0.000000
4 0.000000 0.000000
5 250.0000 0.000000
6 1250.000 0.000000
7 0.000000 0.000000
8 0.000000 0.000000
9 0.000000 0.000000
10 0.000000 0.000000
11 0.000000 0.000000
12 0.000000 0.000000
13 0.000000 0.000000
14 0.000000 0.000000
15 0.000000 0.000000
16 0.000000 -1.000000
17 0.000000 0.000000
从上面的数据我们可以看出，模型的slack值都为正，模型同样具有很好的优度。具体的数值见附录四。
七、模型评价
7.1优点评价
本模型根据给出产地和客户的供求关系建立了非目标规划模型和目标规划模型，很好的
解决了目标要求问题，并用Lingo软件对模型求出了合理的解，再对两个模型给出了每一条运输货物的具体运输量和运输费用，使模型更具体化。
7.2 缺点评价
没有对模型进行很好的检验，使模型不能很好的得到验证。
八、参考文献
[1] 姜启源，谢金星，叶俊，数学模型[M]，北京:高等教育出版社，2003。
[2] 王向东，戎海武，文翰，数学实验[M] ，北京:高等教育出版社，2004。
[3] 钱湔，运筹学[M] ，北京:科学出版社，2000。
[4] 张德富，高级算法[M] ，北京:国防大学出版社，2004。
[5] 严蔚敏，陈文博，数据结构及应用算法教程[M] ，北京:清华大学出版社，2001。
[6] 楚雄师院数学系.数学实验[M].科学出版社.2010
[7] 百度文库
（https://www.doczj.com/doc/a111197704.html,/s?wd=%B0%D9%B6%C8%CE%C4%BF%E2&rsv_bp=0&rsv_spt=3&inputT= 7688）
九、看法和建议
虽然模型的建立和求解过程都是很系统化的，并且通过Lingo软件很好的得到了目标规划的方案和优化解，但是没有对模型进行分层讨论，也没对模型进行优化检验。所以模型有待改进，并对模型进行推广。
十、附录
10.1 附录一，非目标规划模型求解的Lingo程序
model:
sets:
W/1..3/:M;
V/1..3/:N;
links(W,V):c,x;
endsets
min=@sum(links(i,j):
c(i,j)*x(i,j));
@for(V(j):
@sum(W(i):x(i,j))=N(j));
@for(W(i):
@sum(V(j):x(i,j))<=M(i));
data:
M=3000 4000 1500;
N=2000 1500 5000;
c=10 4 12
8 10 3
0 0 0;
Enddata
End
10.2 附录二，非目标规划模型的解
Global optimal solution found.
Objective value: 33000.00
Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations: 6
Variable Value Reduced Cost M( 1) 3000.000 0.000000 M( 2) 4000.000 0.000000 M( 3) 1500.000 0.000000 N( 1) 2000.000 0.000000 N( 2) 1500.000 0.000000 N( 3) 5000.000 0.000000 C( 1, 1) 10.00000 0.000000 C( 1, 2) 4.000000 0.000000 C( 1, 3) 12.00000 0.000000 C( 2, 1) 8.000000 0.000000 C( 2, 2) 10.00000 0.000000 C( 2, 3) 3.000000 0.000000 C( 3, 1) 0.000000 0.000000 C( 3, 2) 0.000000 0.000000 C( 3, 3) 0.000000 0.000000 X( 1, 1) 1500.000 0.000000 X( 1, 2) 1500.000 0.000000 X( 1, 3) 0.000000 2.000000 X( 2, 1) 0.000000 5.000000 X( 2, 2) 0.000000 13.00000 X( 2, 3) 4000.000 0.000000 X( 3, 1) 500.0000 0.000000 X( 3, 2) 0.000000 6.000000 X( 3, 3) 1000.000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 33000.00 -1.000000
2 0.000000 -10.00000
3 0.000000 -4.000000
4 0.000000 -10.00000
5 0.000000 0.000000
6 0.000000 7.000000
7 0.000000 10.00000
10.3 附录三，目标规划模型求解的Lingo程序
model:
sets:
cd/1..2/:a;
xd/1..3/:b;
links(cd,xd):c,x;
px/1..8/:d1,d2;
endsets
data:
a=3000 4000;
b=2000 1500 5000;
c=10 4 12
8 10 3;
enddata
min=d2(8);
@for(cd(i):@sum(xd(j):x(i,j))=a(i));
@for(xd(j):@sum(cd(i):x(i,j))<=b(j));
x(1,1)+x(2,1)+d1(4)-d2(4)=2000;
x(1,2)+x(2,2)+d1(5)-d2(5)=1500*0.75;
x(1,3)+x(2,3)+d1(6)-d2(6)=5000*0.75;
@sum(links(i,j):c(i,j)*x(i,j))+d1(7)-d2(7)=33000;
x(2,1)+d1(8)-d2(8)=1000;
y=@sum(links(i,j):c(i,j)*x(i,j));
d1(4)=0;
d1(5)+d1(6)=0;
d1(7)=0;
d2(8)=0;
d1(1)+d1(2)+d1(3)+d2(1)+d2(2)+d2(3)=0;
10.4 附录四，目标规划模型的解
Global optimal solution found.
Objective value: 0.000000
Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations: 4
Variable Value Reduced Cost Y 41000.00 0.000000 A( 1) 3000.000 0.000000
B( 1) 2000.000 0.000000 B( 2) 1500.000 0.000000 B( 3) 5000.000 0.000000 C( 1, 1) 10.00000 0.000000 C( 1, 2) 4.000000 0.000000 C( 1, 3) 12.00000 0.000000 C( 2, 1) 8.000000 0.000000 C( 2, 2) 10.00000 0.000000 C( 2, 3) 3.000000 0.000000 X( 1, 1) 1000.000 0.000000 X( 1, 2) 1250.000 0.000000 X( 1, 3) 750.0000 0.000000 X( 2, 1) 1000.000 0.000000 X( 2, 2) 0.000000 0.000000 X( 2, 3) 3000.000 0.000000 D1( 1) 0.000000 0.000000 D1( 2) 0.000000 0.000000 D1( 3) 0.000000 0.000000 D1( 4) 0.000000 0.000000 D1( 5) 0.000000 0.000000 D1( 6) 0.000000 0.000000 D1( 7) 0.000000 0.000000 D1( 8) 0.000000 0.000000 D2( 1) 0.000000 0.000000 D2( 2) 0.000000 0.000000 D2( 3) 0.000000 0.000000 D2( 4) 0.000000 0.000000 D2( 5) 125.0000 0.000000 D2( 6) 0.000000 0.000000 D2( 7) 8000.000 0.000000 D2( 8) 0.000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 0.000000 -1.000000
2 0.000000 0.000000
3 0.000000 0.000000
4 0.000000 0.000000
5 250.0000 0.000000
6 1250.000 0.000000
7 0.000000 0.000000
8 0.000000 0.000000
9 0.000000 0.000000
10 0.000000 0.000000
12 0.000000 0.000000
13 0.000000 0.000000
14 0.000000 0.000000
15 0.000000 0.000000
16 0.000000 -1.000000
17 0.000000 0.000000
运筹学实例分析及lingo 求解 一、线性规划 某公司有6个仓库，库存货物总数分别为60、55、51、43、41、52，现有8个客户各要一批货，数量分别为35，37，22，32，41，32，43，38。各供货仓库到8个客户处的单位货物运输价见表 试确定各仓库到各客户处的货物调运数量，使总的运输费用最小。 解：设 ij x 表示从第i 个仓库到第j 个客户的货物运量。ij c 表示从第i 个仓库到第 j 个客户的单位货物运价，i a 表示第i 个仓库的最大供货量，j d 表示第j 个客户的订货量。 目标函数是使总运输费用最少，约束条件有三个：1、各仓库运出的货物总量不超过其库存数2、各客户收到的货物总量等于其订货数量3、非负约束 数学模型为： ∑∑===6 18 1)(min i j ij ij x c x f ????? ??????≥===≤∑∑==08,,2,1,6,2,1,,. .6 1 8 1ij j i ij i j ij x j d x i a x t s 编程如下： model : Sets : Wh/w1..w6/:ai;
Vd/v1..v8/:dj; links(wh,vd):c,x; endsets Data: ai=60,55,51,43,41,52; dj=35,37,22,32,41,32,43,38; c=6,2,6,7,4,2,5,9 4,9,5,3,8,5,8,2 5,2,1,9,7,4,3,3 7,6,7,3,9,2,7,1 2,3,9,5,7,2,6,5 5,5,2,2,8,1,4,3; Enddata Min=@sum(links(i,j):c(i,j)*x(i,j)); @for(wh(i):@sum(vd(j):x(i,j))<=ai(i)); @for(vd(j):@sum(wh(i):x(i,j))=dj(j)); end Global optimal solution found. Objective value: Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost AI( W1) AI( W2) AI( W3) AI( W4) AI( W5) AI( W6) DJ( V1) DJ( V2) DJ( V3) DJ( V4) DJ( V5) DJ( V6) DJ( V7) DJ( V8) C( W1, V1) C( W1, V2) C( W1, V3) C( W1, V4) C( W1, V5) C( W1, V6)
目标规划模型 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
§ 目标规划模型 1. 目标规划模型概述 1)引例 目标规划模型是有别于线性规划模型的一类多目标决策问题模型，通过下面的例子，我们可看出这两者的区别。 例1 某工厂的日生产能力为每天500小时，该厂生产A 、B 两种产品，每生产一件A 产品或B 产品均需一小时，由于市场需求有限，每天只有300件A 产品或400件B 产品可卖出去，每出售一件A 产品可获利10元，每出售一件B 产品可获利5元，厂长按重要性大小的顺序列出了下列目标，并要求按这样的目标进行相应的生产。 （1）尽量避免生产能力闲置； （2）尽可能多地卖出产品，但对于能否多卖出A 产品更感兴趣； （3）尽量减少加班时间。 显然，这样的多目标决策问题，是单目标决策的线性规划模型所难胜任的，对这类问题，须采用新的方法和手段来建立对应的模型。 2）相关的几个概念 （1）正、负偏差变量+ d 、- d 正偏差变量+ d 表示决策值) ,,2,1(n i x i =超过目标值的部分；负偏差变量- d 表示 决策值 ) ,,2,1(n i x i =未达到目标值的部分；一般而言，正负偏差变量+d 、-d 的相互 关系如下： 当决策值 ) ,,2,1(n i x i =超过规定的目标值时， 0 ,0=>- +d d ；当决策值) ,,2,1(n i x i =未超过规定的目标值时， 0 ,0>=- +d d ；当决策值),,2,1(n i x i =正好等于规定的目标值时， 0 ,0==- +d d 。
Lingo12软件培训教案 Lingo 主要用于求解线性规划，整数规划，非线性规划，V10以上版本可编程。 例1 一个简单的线性规划问题 0 , 600 2 100 350 st. 3 2max >=<=+=<<=++=y x y x x y x y x z ! 源程序 max = 2*x+3*y; [st_1] x+y<350; [st_2] x<100; 2*x+y<600; !决策变量黙认为非负; <相当于<=; 大小写不区分 当规划问题的规模很大时，需要定义数组(或称为矩阵)，以及下标集(set) 下面定义下标集和对应数组的三种方法，效果相同:：r1 = r2 = r3, a = b = c. sets : r1/1..3/:a; r2 : b; r3 : c; link2(r1,r2): x; link3(r1,r2,r3): y; endsets data : ALPHA = ; a=11 12 13 ; r2 = 1..3; b = 11 12 13; c = 11 12 13; enddata
例2 运输问题 解： 设决策变量ij x = 第i 个发点到第j 个售点的运货量，i =1,2,…m; j =1,2,…n; 记为ij c =第i 个发点到第j 个售点的运输单价，i =1,2,…m; j =1,2,…n 记i s =第i 个发点的产量， i =1,2,…m; 记j d =第j 个售点的需求量， j =1,2,…n. 其中，m = 6; n = 8. 设目标函数为总成本，约束条件为（1）产量约束；（2）需求约束。 于是形成如下规划问题： n j m i x n j d x m i s x x c ij j n i ij i m j ij m i n j ij ij ,...,2,1,,...,2,1,0 ,...,2,1, ,...,2,1, st. z min 11 11==>=<==<==∑∑∑∑==== 把上述程序翻译成LINGO 语言，编制程序如下： ! 源程序
LINGO 在多目标规划和最大最小化模型中的应用 在许多实际问题中，决策者所期望的目标往往不止一个，如电力网络管理部门在制定发电计划时即希望安全系数要大，也希望发电成本要小，这一类问题称为多目标最优化问题或多目标规划问题。 一、多目标规划的常用解法 多目标规划的解法通常是根据问题的实际背景和特征，设法将多目标规划转化为单目标规划，从而获得满意解，常用的解法有： 1．主要目标法 确定一个主要目标，把次要目标作为约束条件并设定适当的界限值。 2．线性加权求和法 对每个目标按其重要程度赋适当权重0≥i ω，且1=∑i i ω，然后把) (x f i i i ∑ω作为新的目标函数（其中p i x f i ,,2,1),( =是原来的p 个目标）。 3．指数加权乘积法 设p i x f i ,,2,1),( =是原来的p 个目标，令 ∏==p i a i i x f Z 1)]([ 其中i a 为指数权重，把Z 作为新的目标函数。 4．理想点法 先分别求出p 个单目标规划的最优解*i f ，令 ∑-=2*))(()(i i f x f x h 然后把它作为新的目标函数。 5．分层序列法 将所有p 个目标按其重要程度排序，先求出第一个最重要的目标的最优解，然后在保证前一个目标最优解的前提条件下依次求下一个目标的最优解，一直求到最后一个目标为止。 这些方法各有其优点和适用的场合，但并非总是有效，有些方法存在一些不
足之处。例如，线性加权求和法确定权重系数时有一定主观性，权重系数取值不同，结果也就不一样。线性加权求和法、指数加权乘积法和理想点法通常只能用于两个目标的单位（量纲）相同的情况，如果两个目标是不同的物理量，它们的量纲不相同，数量级相差很大，则将它们相加或比较是不合适的。 二、最大最小化模型 在一些实际问题中，决策者所期望的目标是使若干目标函数中最大的一个达到最小（或多个目标函数中最小的一个达到最大）。例如，城市规划中需确定急救中心的位置，希望该中心到服务区域内所有居民点的距离中的最大值达到最小，称为最大最小化模型，这种确定目标函数的准则称为最大最小化原则，在控制论，逼近论和决策论中也有使用。 最大最小化模型的目标函数可写成 )}(,),(),(max{min 21X f X f X f p X 或 )}(,),(),(min{max 21X f X f X f p X 式中T n x x x X ),,,(21 是决策变量。模型的约束条件可以包含线性、非线性的等式和不等式约束。这一模型的求解可视具体情况采用适当的方法。 三、用LINGO 求解多目标规划和最大最小化模型 1．解多目标规划 用LINGO 求解多目标规划的基本方法是先确定一个目标函数，求出它的最优解，然后把此最优值作为约束条件，求其他目标函数的最优解。如果将所有目标函数都改成约束条件，则此时的优化问题退化为一个含等式和不等式的方程组。LINGO 能够求解像这样没有目标函数只有约束条件的混合组的可行解。有些组合优化问题和网络优化问题，因为变量多，需要很长运算时间才能算出结果，如果设定一个期望的目标值，把目标函数改成约束条件，则几分钟就能得到一个可行解，多试几个目标值，很快就能找到最优解。对于多目标规划，同样可以把多个目标中的一部分乃至全部改成约束条件，取适当的限制值，然后用LINGO 求解，从中找出理想的最优解，这样处理的最大优势是求解速度快，节省时间。 2．解最大最小化问题
AK是一家空调制造商，其面临的需求增长很快。预计2001年，其全国的需求在南部将为180,000单位，在中部为120,000单位，在东部为110,000单位，在西部为100,000单位。DryIce在设计物流网络时，有四个备选的地点：New York, Atlanta, Chicago和San Diego。在这四个地点建厂，工厂的生产能力将要么为200,000单位，要么为400,000单位。工厂的年固定运营成本及从工厂所在地生产出产品并运往四个销售区域的生产和运输的单位成本如表所示。请为该设施网络的设计建立模型，并请对模型作简要说明。 设定变量如下表所示：其中M11 M12等一系列值为0.1变量，即可得到如下式子： m12+9200000*m22+232*x12+212*x22+230*x32+280*x42+5600000*m13+9300000*m 23+238*x13+230*x23+215*x33+270*x43+6100000*m14+10200000*m24+299*x14+2 80*x24+270*x34+225*x44; m11*200000+m21*400000>=x11+x21+x31+x41; m12*200000+m22*400000>=x12+x22+x32+x42; m13*200000+m23*400000>=x13+x23+x33+x43; m14*200000+m24*400000>=x14+x24+x34+x44; x11+x12+x13+x14>=110000; x21+x22+x23+x24>=180000; x31+x32+x33+x34>=120000; x41+x42+x43+x44>=100000; @bin(m11);@bin(m21);@bin(m12);@bin(m22);@bin(m13);@bin(m23);@bin(m14) ;@bin(m24); 通过运行LINGO得到如下结果：
Lingo超经典案例大全 LINGO是Linear Interactive and General Optimizer的缩写，即“交互式的线性和通用优化求解器”。Lingo超强的优化计算能力在很多方面（线性规划、非线性规划、线性整数规划、非线性整数规划、非线性混合规划、二次规划等）比matlab、maple等强得多，Lingo编程简洁明了，数学模型不用做大的改动（或者不用改动）便可以直接采用Lingo语言编程，十分直观。 Lingo模型由4个段构成： （1）集合段（sets endsets）；（2）数据段（data enddata)； (3)初始段（init endinit）；（4）目标与约束段。 Lingo的五大优点： 1. 对大规模数学规划，LINGO语言所建模型较简洁，语句不多； 2. 模型易于扩展，因为@FOR、@SUM等语句并没有指定循环或求和的上下限，如果在集合定义部分增加集合成员的个数，则循环或求和自然扩展，不需要改动目标函数和约束条件； 3. 数据初始化部分与其它部分语句分开，对同一模型用不同数据来计算时，只需改动数据部分即可，其它语句不变； 4. “集合”是LINGO有特色的概念，它把实际问题中的事物与数学变量及常量联系起来，是实际问题到数学量的抽象，它比C语言中的数组用途更为广泛。 5. 使用了集合以及@FOR、@SUM等集合操作函数以后可以用简洁的语句表达出常见的规划模型中的目标函数和约束条件，即使模型有大量决策变量和大量数据，组成模型的语句并不随之增加． 一、求解线性整数规划、非线性整数规划问题： 1.线性整数规划： model: max=x1+x2; x1+9/14*x2<=51/14; -2*x1+x2<=1/3; @gin(x1);@gin(x2); end
实验二：目标规划 一、实验目的 目标规划是由线性规划发展演变而来的，线性规划考虑的是只有一个目标函数的问题，而实际问题中往往需要考虑多个目标函数，这些目标不仅有主次关系，而且有的还相互矛盾。这些问题用线性规划求解就比较困难，因而提出了目标规划。熟悉目标规划模型的建立，求解过程及结果分析。 二、目标规划的一般模型 设)...2,1(n j x j =是目标规划的决策变量，共有m 个约束是国刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l 个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差是 ),...,2,1(,l i d d i i =-+。设有q 个优先级别，分别为q p p p ,...,21。在同一个优先级k p 中，有 不同的权重，分别记为),...,2,1(,l j w w kj kj =- + 。因此目标规划模型的一般数学表达式为： min ∑∑=+ +-- =+= l j j kj j kj q k k d w d w p z 1 1 );( s.t. ,,...2,1,),(1m i b x a n j i j ij =≥=≤∑= . ,...2,1,0,, ,...,2,1,, ,...2,1,1 l i d d n x o x l i g d d x c i i j i n j i i j ij =≥=≥==-++-=+-∑ 三、实验设备及分组 实验在计算机中心机房进行，使用微型电子计算机，每人一机（一组）。
四、实验容及步骤 1、打开LINGO ，并利用系统菜单和向导在E 盘创建一个项目。目录和项目名推荐使用学生自己的学号。 2、以此题为例，建立数学模型，并用说明语句进行说明，增强程序的可读性。 例2.1： 某工厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，需要用到A ，B ，C 三种设备，已知有关数据见下表。企业的经营目标不仅仅是利润，还需要考虑多个方面： （1） 力求使利润不低于1500元； （2） 考虑到市场需求，Ⅰ、Ⅱ两种产品的产量比应尽量保持1：2； （3） 设备A 为贵重设备，严格禁止超时使用； （4） 设备C 可以适当加班，但要控制；设备B 即要求充分利用，又尽可能不加班。 在重要性上，设备C 是设备B 的3倍。 此题中只有设备A 是刚性约束，其余都是柔性约束。首先，最重要的指标是企业的利润，将它的优先级列为第一级；其次是Ⅰ、Ⅱ两种产品的产量保持1：2的比例，列为第二级；再次，设备B 、C 的工作时间要有所控制，列为第三级。在第三级中，设备B 的重要性是设备C 的3倍，因此它们的权重不一样，设备B 的系数是设备C 的3倍。 该计划问题可用数学模型表示为： 目标函数 min )33()(433322211+ +-+--+++++=d d d p d d p d p z 满足约束条件 2122x x + 12≤ 15003002001121=-+++-d d x x 022221=-+-+ - d d x x 14x 1633=-++ -d d
一.实验目的 1、学会使用LINGO 软件求解运输问题的步骤与方法。 2、掌握使用LINGO 对运输问题的求解功能，并对结果进行分析。 二.实验内容 1.已知某企业有甲、乙、丙三个分厂生产一种产品，其产量分别为7、9、7个单位，需运往A 、B 、C 、D 四个门市部，各门市部需要量分别为3、5、7、8个单位。已知单位运价如下表。试确定运输计划使总运费最少。 2.现在要在五个工人中确定四个人来分别完成四项工作中的一项工作。由于每个工人的技术特长不同，他们完成各项工作所需的工时也不同。每个工人完成各项工作所需工时如下表所示，试找出一个工作分配方案，使总工时最小。 三. 模型建立 1.由题设知，总产量为：7+9+7=23个单位，总销量为：3+5+7+8=23个单位，所以这是一个产销平衡的运输问题。 设)4,3,2,1;3,2,1(==j i x ij 代表从第i 个产地运往第j 个销地的数量，z 为总运费。i a 表示第i 个产地的产量，j b 表示第j 个销地的销量ij c 表示从第i 个产地运往第j 个销地的单位产
品运输费用。则该问题的数学模型为： 3 4 1 1 4 13 1 max 0,1,2,3;1,2,3,4ij ij i j ij i j ij j i ij Z c x x a x b x i j =====?=???=???≥==??∑ ∑ ∑∑ 2. 设0-1变量，1,0ij i x i ?=??当第个人完成某j 项工作 ，当第个人不完成某j 项工作 则该问题的数学模型为： 5 4 115 141 min 1,1,01ij ij i j ij i ij j ij Z c x x j x i x i j =====?= =1,2,3,4??? = = 1,2,3,4,5???= =1,2,3,4,5;=1,2,3,4?? ∑∑∑∑或， 四. 模型求解（含经调试后正确的源程序） 1、编写程序1-1.m 如下： model : sets : warehouses/wh1..wh3/: capacity; vendors/v1..v4/: demand; links(warehouses,vendors): cost, volume; endsets data : capacity=7 9 7； demand=3 5 7 8； cost= 12 13 10 11 10 12 14 10 14 11 15 12； enddata min =@sum (links(I,J): cost(I,J)*volume(I,J));
实验二：目标规划 一、实验目的 目标规划是由线性规划发展演变而来的，线性规划考虑的是只有一个目标函数的问题，而实际问题中往往需要考虑多个目标函数，这些目标不仅有主次关系，而且有的还相互矛盾。这些问题用线性规划求解就比较困难，因而提出了目标规划。熟悉目标规划模型的建立，求解过程及结果分析。 二、目标规划的一般模型 设)...2,1(n j x j =是目标规划的决策变量，共有m 个约束是国刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l 个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差是 ),...,2,1(,l i d d i i =-+。设有q 个优先级别，分别为q p p p ,...,21。在同一个优先级k p 中，有 不同的权重，分别记为),...,2,1(,l j w w kj kj =- +。因此目标规划模型的一般数学表达式为： min ∑∑=+ +--=+= l j j kj j kj q k k d w d w p z 1 1 );( s.t. ,,...2,1,),(1m i b x a n j i j ij =≥=≤∑= . ,...2,1,0,, ,...,2,1,, ,...2,1,1 l i d d n x o x l i g d d x c i i j i n j i i j ij =≥=≥==-++-=+-∑ 三、实验设备及分组 实验在计算机中心机房进行，使用微型电子计算机，每人一机（一组）。
四、实验容及步骤 1、打开LINGO ，并利用系统菜单和向导在E 盘创建一个项目。目录和项目名推荐使用学生自己的学号。 2、以此题为例，建立数学模型，并用说明语句进行说明，增强程序的可读性。 例2.1： 某工厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，需要用到A ，B ，C 三种设备，已知有关数据见下表。企业的经营目标不仅仅是利润，还需要考虑多个方面： （1） 力求使利润不低于1500元； （2） 考虑到市场需求，Ⅰ、Ⅱ两种产品的产量比应尽量保持1：2； （3） 设备A 为贵重设备，严格禁止超时使用； （4） 设备C 可以适当加班，但要控制；设备B 即要求充分利用，又尽可能不加班。在重要性上，设备C 是设备B 的3倍。 此题中只有设备A 是刚性约束，其余都是柔性约束。首先，最重要的指标是企业的利润，将它的优先级列为第一级；其次是Ⅰ、Ⅱ两种产品的产量保持1：2的比例，列为第二级；再次，设备B 、C 的工作时间要有所控制，列为第三级。在第三级中，设备B 的重要性是设备C 的3倍，因此它们的权重不一样，设备B 的系数是设备C 的3倍。 该计划问题可用数学模型表示为： 目标函数 min )33()(433322211+ +-+--+++++=d d d p d d p d p z 满足约束条件 2122x x + 12≤ 15003002001121=-+++-d d x x 022221=-+-+ -d d x x 14x 1633=-++ -d d 155442=-++ -d d x 3,2,1,0,,,21=≥+ -i d d x x i i
用lingo解决运输问题 （一）实验目的 1. 运输问题求解的编程实现 2．掌握使用matlab、Lingo、Excel的求解功能求解运输问题，并对结果进行分析。（二）实验内容 《运筹学》清华三版P98页 3.3题 Lingo程序代码及运行结果（选取部分）： <1>3.3（1）： 程序代码： model: sets: xiao/1..4/:s; chan/1..3/:h; link(chan,xiao):x,y; endsets data: y=3 7 6 4 2 4 3 2 4 3 8 5; h=5 2 3; s=3 3 2 2; enddata min=@sum(link:x*y); @for(xiao(j):@sum(chan(i):x(i,j))=s(j)); @for(chan(i):@sum(xiao(j):x(i,j))=h(i)); 运行结果及结果分析： Objective value: 32.00000 产地1分别将数量为3和2的产品运往销地甲和丁；产地2将数量为2的产品运往销地丙；产地3将数量为3的产品运往销地乙；该运输问题的最小费用为32. <2>3.3（2）：
model: sets: xiao/1..4/:s; chan/1..3/:h; link(chan,xiao):x,y; endsets data: y=10 6 7 12 16 10 5 9 5 4 10 10; h=4 9 4; s=5 2 4 6; enddata min=@sum(link:x*y); @for(xiao(j):@sum(chan(i):x(i,j))=s(j)); @for(chan(i):@sum(xiao(j):x(i,j))=h(i)); 运行结果及结果分析： Objective value: 118.0000 产地1将数量为1、2、1的产品分别运往销地甲、乙、丙；产地将数量为3、6的产品运往销地丙、丁；产地3将数量为4的产品运往销地甲。最小费用为118. <3>3.3（3）： 程序代码： model: sets: xiao/1..5/:s; chan/1..4/:h; link(chan,xiao):x,y; endsets data: y=10 20 5 9 10 2 10 8 30 6 1 20 7 10 4
用lingo解决运输问题 Lingo程序代码及运行结果（选取部分）： 程序代码： model: sets: xiao/1..4/:s; chan/1..3/:h; link(chan,xiao):x,y; endsets data: y=3 7 6 4 2 4 3 2 4 3 8 5; h=5 2 3; s=3 3 2 2; enddata min=@sum(link:x*y); @for(xiao(j):@sum(chan(i):x(i,j))=s(j)); @for(chan(i):@sum(xiao(j):x(i,j))=h(i)); 运行结果及结果分析： Objective value: 32.00000 产地1分别将数量为3和2的产品运往销地甲和丁；产地2将数量为2的产品运往销地丙；产地3将数量为3的产品运往销地乙；该运输问题的最小费用为32. 程序代码： model: sets: xiao/1..4/:s; chan/1..3/:h; link(chan,xiao):x,y; endsets
data: y=10 6 7 12 16 10 5 9 5 4 10 10; h=4 9 4; s=5 2 4 6; enddata min=@sum(link:x*y); @for(xiao(j):@sum(chan(i):x(i,j))=s(j)); @for(chan(i):@sum(xiao(j):x(i,j))=h(i)); 运行结果及结果分析： Objective value: 118.0000 产地1将数量为1、2、1的产品分别运往销地甲、乙、丙；产地将数量为3、6的产品运往销地丙、丁；产地3将数量为4的产品运往销地甲。最小费用为118. 程序代码： model: sets: xiao/1..5/:s; chan/1..4/:h; link(chan,xiao):x,y; endsets data: y=10 20 5 9 10 2 10 8 30 6 1 20 7 10 4 8 6 3 7 5; h=5 6 2 9; s=4 4 6 2 4; enddata min=@sum(link:x*y); @for(xiao(j):@sum(chan(i):x(i,j))=s(j)); @for(chan(i):@sum(xiao(j):x(i,j))<=h(i));
整数规划和多目标规 划模型
1 整数规划的MATLAB 求解方法 （一） 用MATLAB 求解一般混合整数规划问题 由于MATLAB 优化工具箱中并未提供求解纯整数规划和混合整数规划的函数，因而需要自行根据需要和设定相关的算法来实现。现在有许多用户发布的工具箱可以解决该类问题。这里我们给出开罗大学的Sherif 和Tawfik 在MATLAB Central 上发布的一个用于求解一般混合整数规划的程序，在此命名为intprog ，在原程序的基础上做了简单的修改，将其选择分枝变量的算法由自然序改造成分枝变量选择原则中的一种，即：选择与整数值相差最大的非整数变量首先进行分枝。intprog 函数的调用格式如下： [x,fval,exitflag]=intprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,M,TolXInteger) 该函数解决的整数规划问题为： ????? ??????∈=≥≤≤=≤=） 取整数（M j x n i x ub x lb b x A b Ax t s x c f j i eq eq T ),,2,1(0..min 在上述标准问题中，假设x 为n 维设计变量，且问题具有不等式约束1m 个，等式约束2m 个，那么：c 、x 均为n 维列向量，b 为1m 维列向量，eq b 为2m 维列向量，A 为n m ?1维矩阵，eq A 为n m ?2维矩阵。 在该函数中，输入参数有c,A,b,A eq ,b eq ,lb,ub,M 和TolXInteger 。其中c 为目标函数所对应设计变量的系数，A 为不等式约束条件方程组构成的系数矩阵，b 为不等式约束条件方程组右边的值构成的向量。Aeq 为等式约束方程组构成的系数矩阵，b eq 为等式约束条件方程组右边的值构成的向量。lb 和ub 为
1 整数规划的MATLAB 求解方法 （一） 用MATLAB 求解一般混合整数规划问题 由于MATLAB 优化工具箱中并未提供求解纯整数规划和混合整数规划的函数，因而需要自行根据需要和设定相关的算法来实现。现在有许多用户发布的工具箱可以解决该类问题。这里我们给出开罗大学的Sherif 和Tawfik 在MATLAB Central 上发布的一个用于求解一般混合整数规划的程序，在此命名为intprog ，在原程序的基础上做了简单的修改，将其选择分枝变量的算法由自然序改造成分枝变量选择原则中的一种，即：选择与整数值相差最大的非整数变量首先进行分枝。intprog 函数的调用格式如下： [x,fval,exitflag]=intprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,M,TolXInteger) 该函数解决的整数规划问题为： ????? ??????∈=≥≤≤=≤=） 取整数（M j x n i x ub x lb b x A b Ax t s x c f j i eq eq T ) ,,2,1(0 ..min 在上述标准问题中，假设x 为n 维设计变量，且问题具有不等式约束1m 个，等式约束2m 个，那么：c 、x 均为n 维列向量，b 为1m 维列向量，eq b 为2m 维列向量，A 为n m ?1维矩阵，eq A 为n m ?2维矩阵。 在该函数中，输入参数有c,A,b,A eq ,b eq ,lb,ub,M 和TolXInteger 。其中c 为目标函数所对应设计变量的系数，A 为不等式约束条件方程组构成的系数矩阵，b 为不等式约束条件方程组右边的值构成的向量。Aeq 为等式约束方程组构成的系数矩阵，b eq 为等式约束条件方程组右边的值构成的向量。lb 和ub 为设计变量对应的上界和下界。M 为具有整数约束条件限制的设计变量的序号，例如问题中设计变量为621,,,x x x ，要求32,x x 和6x 为整数，则M=[2;3;6]；若要求全为整数，则M=1:6，或者M=[1;2;3;4;5;6]。TolXInteger 为判定整数的误差限，即若某数x 和最邻近整数相差小于该误差限，则认为x 即为该整数。
2012——2013学年第一学期 合肥学院数理系 实验报告 课程名称：运筹学 实验项目：应用LINGO软件求解运输问题 实验类别：综合性□设计性□√验证性□专业班级： 姓名：学号： 实验地点： 实验时间： 指导教师：成绩：
一.实验目的 1、学会使用LINGO 软件求解运输问题的步骤与方法。 2、掌握使用LINGO 对运输问题的求解功能，并对结果进行分析。 二.实验内容 1.已知某企业有甲、乙、丙三个分厂生产一种产品，其产量分别为7、9、7个单位，需运往A 、B 、C 、D 四个门市部，各门市部需要量分别为3、5、7、8个单位。已知单位运价如下表。试确定运输计划使总运费最少。 2.现在要在五个工人中确定四个人来分别完成四项工作中的一项工作。由于每个工人的技术特长不同，他们完成各项工作所需的工时也不同。每个工人完成各项工作所需工时如下表所示，试找出一个工作分配方案，使总工时最小。 三. 模型建立 1.由题设知，总产量为：7+9+7=23个单位，总销量为：3+5+7+8=23个单位，所以这是一个产销平衡的运输问题。 设)4,3,2,1;3,2,1(==j i x ij 代表从第i 个产地运往第j 个销地的数量，z 为总运费。i a 表示第i 个产地的产量，j b 表示第j 个销地的销量ij c 表示从第i 个产地运往第j 个销地的单位产
品运输费用。则该问题的数学模型为： 3 4 1 1 4 13 1 m ax 0,1,2,3;1,2,3,4ij ij i j ij i j ij j i ij Z c x x a x b x i j ===== ?=???=???≥==??∑∑ ∑∑ 2. 设0-1变量，1,0ij i x i ?=??当第个人完成某j 项工作 ，当第个人不完成某j 项工作 则该问题的数学模型为： 5 4 1 1 5 14 1 m in 1,1,01ij ij i j ij i ij j ij Z c x x j x i x i j ===== ?= =1,2,3,4???= = 1,2,3,4,5???= =1,2,3,4,5;=1,2,3,4?? ∑∑∑∑或， 四. 模型求解（含经调试后正确的源程序） 1、编写程序1-1.m 如下： model : sets : warehouses/wh1..wh3/: capacity; vendors/v1..v4/: demand; links(warehouses,vendors): cost, volume; endsets data : capacity=7 9 7； demand=3 5 7 8； cost= 12 13 10 11 10 12 14 10 14 11 15 12； enddata min =@sum (links(I,J): cost(I,J)*volume(I,J));
生产规划问题及LINGO求解 摘要：本文根据生产规划问题的特点，建立了满足生产规划的线性规划模型，并且利用lingo软件进行求解，提出了一种可以合理解决此类问题的数学方法，效果比较令人满意。 关键词：线性规划模型 lingo软件 中图分类号：tb114 文献标识码：a 文章编号： 1007-9416(2012)01-0073-01 1、问题的提出 某工厂是生产某种电子仪器的专业厂家，该厂是以销量来确定产量的1～6月份各个月生产能力、合同销量和单台仪器平均生产费用如表1所示。 又知上年末积压库存103台该仪器没售出.如果生产出的仪器当月不交货，则需要运到分厂库房，每台仪器需增加运输成本0.1万元，每台仪器每月的平均仓储费、维护留出库存80台.加班生产仪器每台增加成本1万元。试问应该如何安排1～6月份的生产，使总的生产成本（包括运输、仓储和维护）费用最少？ 2、模型分析与假设 本模型的目标是使总的生产成本最小，其中总的生产成本包括正常生产仪器的费用、加班生产仪器的费用、当月不交货的运输费用及库存的仓储费、维护费.为此，我们作如下假设： (1)设第个月正常生产台。(2)设第个月加班生产台。(3)设第个
月不交货台。(4)设第个月售出上月库存台。(5)设第个月库存台。 (6)记第个月销量。(7)设第个月单台生产的费用。(8)记第个月正常生产能力。(9)记第个月加班生产能力。 3、模型的建立与求解 根据以上假设可知，第个月正常生产的成本为，第个月加班生产的成本为，第个月对不交货仪器的运输费为，第个月库存的仓储费及维护费为。 模型的目标函数为. 下面考虑本模型的限定条件 第个月销量的约束为 第个月正常生产能力的约束为: 第个月加班生产能力的约束为: 1～6月库存的约束为 于是问题的数学模型为 运行lingo软件求解模型，程序如下： model: sets: num_i/1..6/:b,c,d,e,x,y,z,w,h; endsets data: b=104,75,115,160,103,70;c=15,14,13.5,13,13,13.5;
课程设计 2015年 7 月 5 日
东北石油大学课程设计任务书 课程《数学模型》课程设计 题目应用数学规划模型求解实际数学问题 专业姓名学号 主要内容、基本要求、主要参考资料等 主要内容 简单介绍数学规划模型基本理论及本文所用的规划模型和相关软件LINGO，并通过实例来掌握如何应用数学规划模型求解实际数学问题。并利用本文所介绍的方法来分析林区汽车修理网的布局 课程设计的要求： 1.独立完成建模，并提交一篇建模论文。 2.论文的主要内容包括：摘要，问题的提出，问题的分析，模型假设，模型设计，模型解法与结果，模型结果的分析和检验，包括误差分析、稳定性分析等。模型的优缺点及改进方向。必要的计算机程序。 3.文档格式：参照《东北石油大学课程设计撰写规范》和《数学模型课程设计教学大纲》。 4.课程设计结束时参加答辩。 主要参考资料： [1] 唐焕文，贺明峰，数学模型(第三版)，北京：高等教育出版社，2005.3 [2]杨云峰等，数学建模与数学软件，哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社，2012.6 [3]陈东彦，李冬梅，王树忠，数学建模，北京：科学出版社，2007 [4] 吴建国等，数学建模案例精编，北京：中国水利水电出版社，2005 [5]胡运权，吴中启，李树青等，运筹学，北京：清华出版社，2003 [6] 焦永兰，管理运筹学，北京：中国铁道出版社，2002 完成期限 2016年6月27日-7月8日 指导教师 专业负责人 2016年7月5日
摘要 人们需要了解各种不确定现象中隐含的必然规律性，并用数学方法研究各种结果。在研究过程中需要处理大量数据，而统计学正是对社会经济数据进行定量分析的重要工具，应用统计方法来整理这些数据，就可以省去不必要的过程。 本文简要介绍了了数学规划模型的概念、特点，以及LINGO软件的发展及用途。本文在求解的过程中主要借助了这个软件。必要的求解过程是利用MATLAB和LINGO来求解的。本文在详细介绍了数学规划模型的几个基本模型的过程中，并且每种模型都举了实例，并且通过LINGO操作，对每种方法所举实例归纳总结了较为简便的求解方法，并且给出了具体答案。最后，本文着重的探讨了典型数学模型应用规划模型方法结合LINGO 求解，在解决林区汽车修理网的布局问题中，很好的体现了规划模型方法在解决典型数学模型问题时应用的广泛性和有效性。 林区的汽车往往需要定期送往不同的修理厂进行大修,不同的汽车分配方案往往需要消耗不同的修理成本. 本文主要利用图论和运筹学理论建立了一套线性规划数学模型,用于求解不同的修理厂规模的条件下最优的汽车分配方案，以及所对应的总费用，并对其进行分析评估。但为寻求最佳的修理厂规模调整方案，本文模拟实际情况中的市场机理，把市场作为资源分配的主要手段，国家（此处为方案制定制者）对市场进行必要的宏观调控。在此方案下得到了相当满意的结果，这也是本文的独到之处。本模型对实际情况中汽车修理分配方案的制定有很大的指导作用.且本模型的处理思想,对市场体制下的很多类似问题都有借鉴作用. 本模型对实际情况中汽车修理分配方案的制定有很大的指导作用.且本模型的处理思想，对市场体制下的很多类似问题都有借鉴作用. 应用规划模型结合实际数学问题可以简化求解步骤，省去繁琐的过程。为实际问题的研究提供了较为简便的方法。 关键词：LINGO；汽车修理网布局；图论；布局规划模型
用线性规划方法求解运输问题 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素. 运输问题的提出及其数学模型：现在人们生产活动中，不可避免的要进行物资调运工作，如某时期内将生产基地的蔬菜，粮食等各类物资，分别运到需要这些物资的地区。如何根据各地的生产量和需求量及各地之间的运输费用，如何制定一个运输方案，使总的运输量费用最小，这类的问题称
为运输问题。假设有m 个产地，记为A 1、A 2….A m ,生产某种物资，可供应的产量分别为a 1,a 2….a m ,有n 个销地，记为B 1、B 2…B n ,其需求量分别为b 1、b 2…b n ,假设在供需平衡的情况下，即∑=m i ai 1=∑=n j bj 1 ，从第i 个产地到j 个销地的单位物资的运费为c ij ，在满足各地需求的前提下，求运费最小的方案。 设x ij （i=1、2…m,j=1、2…n ）为第i 个产地到第j 个销地的运量，则运输问题的数学模型为 Min Z = ∑=m i 1∑=n j cijxij 1
§ 目标规划模型 1. 目标规划模型概述 1)引例 目标规划模型是有别于线性规划模型的一类多目标决策问题模型，通过下面的例子，我们可看出这两者的区别。 例1 某工厂的日生产能力为每天500小时，该厂生产A 、B 两种产品，每生产一件A 产品或B 产品均需一小时，由于市场需求有限，每天只有300件A 产品或400件B 产品可卖出去，每出售一件A 产品可获利10元，每出售一件B 产品可获利5元，厂长按重要性大小的顺序列出了下列目标，并要求按这样的目标进行相应的生产。 （1）尽量避免生产能力闲置； （2）尽可能多地卖出产品，但对于能否多卖出A 产品更感兴趣； （3）尽量减少加班时间。 显然，这样的多目标决策问题，是单目标决策的线性规划模型所难胜任的，对这类问题，须采用新的方法和手段来建立对应的模型。 2）相关的几个概念 （1）正、负偏差变量+ d 、- d 正偏差变量+ d 表示决策值) ,,2,1(n i x i ΛΛ=超过目标值的部分；负偏差变量- d 表示 决策值 ) ,,2,1(n i x i ΛΛ=未达到目标值的部分；一般而言，正负偏差变量+ d 、- d 的相互 关系如下： 当决策值 ) ,,2,1(n i x i ΛΛ=超过规定的目标值时， 0 ,0=>- +d d ；当决策值) ,,2,1(n i x i ΛΛ=未超过规定的目标值时， 0 ,0>=- +d d ；当决策值),,2,1(n i x i ΛΛ=正好等于规定的目标值时， 0 ,0==- +d d 。 （2）绝对约束和目标约束 绝对约束是必须严格满足的等式约束或不等式约束，前述线性规划中的约束条件一般都是绝对约束；而目标约束是目标规划所特有的，在约束条件中允许目标值发生一定 的正偏差或负偏差的一类约束，它通过在约束条件中引入正、负偏差变量+d 、- d 来实现。