2019年小学奥数计数专题——组合
1．某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成4个小组，每组4人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的4个第1名进行2场半决赛和2场决赛，确定1至4名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？
2．由数字1，2，3组成五位数，要求这五位数中1，2，3至少各出现一次，那么这样的五位数共有________个。
3．10个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？
4．小明有10块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法?
5．小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法？
6．把20个苹果分给3个小朋友，每人最少分3个，可以有多少种不同的分法？
7．有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？
8．某池塘中有A B C
、、三只游船，A船可乘坐3人，B船可乘坐2人，C船可乘坐1人，今有3个成人和2个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他们5人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？
9．从10名男生，8名女生中选出8人参加游泳比赛．在下列条件下，分别有多少种选法？
⑴恰有3名女生入选；⑵至少有两名女生入选；⑶某两名女生，某两名男生必须入选；
⑷某两名女生，某两名男生不能同时入选；⑸某两名女生，某两名男生最多入选两人。10．在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各一名，现要组成5人医疗小组送医下乡，按照下列条件各有多少种选派方法？
⑴有3名内科医生和2名外科医生；
⑵既有内科医生，又有外科医生；
⑶至少有一名主任参加；
⑷既有主任，又有外科医生。
11．在10名学生中，有5人会装电脑，有3人会安装音响设备，其余2人既会安装电脑，又会安装音响设备，今选派由6人组成的安装小组，组内安装电脑要3人，安装音响设备要3人，共有多少种不同的选人方案？
12．有11名外语翻译人员，其中5名是英语翻译员，4名是日语翻译员，另外两名英语、日语都精通．从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作．问这样的分配名单共可以开出多少张？
13．在1~100中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多少种不同的取法？14．7个相同的球，放在4个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，不同的放法有多少种?
15．从19，20，2l，…，93，94这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少?
16．50件产品中有4件次品，从中任意抽出5件，其中至少有3件次品的抽法有_______种.
17．从4台甲型与5台乙型电视机中任选出3台，其中至少要有甲、乙型机各一台，则不同的取法共有（）
A.140种
B.84种
C.70种
D.35种
18．四面体的顶点和各棱中点共10个点，从中取出4个不共面的点，不同的取法有（）种.
A.150
B.147
C.144
D.141
19．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人送出的贺年卡，
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则四张贺年卡不同的分配方式有（）
A.6种
B. 9 种
C.11种
D. 23种
20．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选
法，其中女生有( )
A．2人或3人 B．3人或4人 C．3人 D．4人
21．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，
若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有( )
A．45种 B．36种 C．28种 D．25种
22．甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两
组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )
A.150种
B.180种
C.300种
D.345种
23．从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙
没有入选的不同选法的种数位( ) A.85 B.56 C.49 D.28
24．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒
子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）
A．10种 B．20种 C．36种 D．52种
25．甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两
组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )
A.150种
B.180种
C.300种
D.345种
26．甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的
选法共有( )
A. 6种
B. 12种
C. 30种
D. 36种
27．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医
生都有，则不同的组队方案共有
A. 70种
B. 80种
C. 100种
D.140种
28．从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要
求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有
A.120种
B.96种
C.60种
D.48种
29．某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有
1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为( )
A．14 B．16 C．20 D．48
30．甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两
组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有
A.150种
B.180种
C.300种
D.345种
31．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外
部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（）
A．8
91
B．
25
91
C．
48
91
D．
60
91
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参考答案
1．148
【解析】第一阶段中，每个小组内部的6个人每2人要赛一场，组内赛26651521
C ?==?场，共8个小组，有158120?=场；第二阶段中，每个小组内部4人中每2人赛一场，组内赛2443621
C ?==?场，共4个小组，有6424?=场；第三阶段赛224+=场．根据加法原理，整个赛程一共有120244148++=场比赛。
2．150
【解析】这是一道组合计数问题．由于题目中仅要求1，2，3至少各出现一次，没有确定1，
2，3出现的具体次数，
所以可以采取分类枚举的方法进行统计，也可以从反面想，从由1,2,3组成的五位数中，去掉仅有1个或2个数字组成的五位数即可．
(法1)分两类：⑴1，2，3中恰有一个数字出现3次，这样的数有13
5460C ??=(个)；⑵1，2，3中有两个数字各出现2次，这样的数有2234
590C C ??=(个)．符合题意的五位数共有6090150+=(个)．
(法2)从反面想，由1，2，3组成的五位数共有53个，由1，2，3中的某2个数字组成的五位数共有53(22)?-个，由1，2，3中的某1个数字组成的五位数共有3个，所以符合题意的五位数共有5533(22)3150-?--=(个)。
3．35
【解析】(法1)乘法原理．按题意，分别站在每个人的立场上，当自己被选中后，另一个被选中的，可以是除了自己和左右相邻的两人之外的所有人，每个人都有7种选择，总共就有71070?=种选择，但是需要注意的是，选择的过程中，会出现“选了甲、乙，选了乙、甲”这样的情况本来是同一种选择，而却算作了两种，所以最后的结果应该是(10111---)10235?÷=(种)．
(法2)排除法．可以从所有的两人组合中排除掉相邻的情况，总的组合数为210C ，而被选的
两个人相邻的情况有10种，所以共有210
10451035C -=-=(种)。 4．512
【解析】每吃完一块，都有两种选择：继续吃和明天吃；1块是1种，2块是2种，3块是4种，4块是8种，5块是16种…推算规律为2的n ﹣1次方，一共有2的9次方，即有512种吃法．
解：29=512（块）；
答：他一共有512种不同的吃法．
故答案为：512．
点评：解答此题应根据排列组合的计算公式进行解答即可．
5．84
【解析】分三种情况来考虑：
⑴ 当小红最多一天吃4块时，其余各每天吃1块，吃4块的这天可以是这七天里的任何一天，有7种吃法；
⑵当小红最多一天吃3块时，必有一天吃2块，其余五天每天吃1块，先选吃3块的那天，有7种选择，再选吃2块的那天，有6种选择，由乘法原理，有7642
?=种吃法；
⑶当小红最多一天吃2块时，必有三天每天吃2块，其四天每天吃1块，从7天中选3天，
有3
7765
35 321
C
??
==
??
(种)吃法。
根据加法原理，小红一共有7423584
++=(种)不同的吃法．
还可以用挡板法来解这道题，10块糖有9个空，选6个空放挡板，有63
9984
==
C C(种)不同的吃法。
6．78
【解析】(法1)先给每人2个，还有14个苹果，每人至少分一个，13个空插2个板，有2
1378
C=
种分法．
(法2)也可以按分苹果最多的人分的个数分类枚举。
7．36
【解析】如图：○○|○○○○|○○○○，将10粒糖如下图所示排成一排，这样每两颗之间共有9个空，从头开始吃，若相邻两块糖是分在两天吃的，就在其间画一条竖线隔开表示之前的糖和之后的糖不是在同一天吃掉的，九个空中画两条竖线，一共有98236
?÷=种方法．
8．27
【解析】由于有儿童乘坐的游船上必须至少有1个成人陪同，所以儿童不能乘坐C船．
⑴若这5人都不乘坐C船，则恰好坐满A B
、两船，①若两个儿童在同一条船上，只能在A船
上，此时A船上还必须有1个成人，有1
33
C=种方法；②若两个儿童不在同一条船上，即分
别在A B
、两船上，则B船上有1个儿童和1个成人，1个儿童有1
22
C=种选择，1个成人有
1 33
C=种选择，所以有236
?=种方法．故5人都不乘坐C船有369
+=种安全方法；
⑵若这5人中有1人乘坐C船，这个人必定是个成人，有1
33
C=种选择．其余的2个成人与2个儿童，①若两个儿童在同一条船上，只能在A船上，此时A船上还必须有1个成人，有
1 22
C=种方法，所以此时有326
?=种方法；②若两个儿童不在同一条船上，那么B船上有
1个儿童和1个成人，此时1个儿童和1个成人均有1
22
C=种选择，所以此种情况下有32212
??=种方法；故5人中有1人乘坐C船有61218
+=种安全方法．所以，共有91827
+=种安全乘法．
9．（1）14112（2）43758（3）1001（4）42757
【解析】⑴恰有3名女生入选，说明男生有5人入选，应为35
81014112
C C
?=种；
⑵要求至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合要求．运用包含与排除的方法，从所有可能的选法中减去不符合要求的情况：
⑶4人必须入选，则从剩下的14人中再选出另外4人，有4
141001
C=种；
第 3 页 ⑷从所有的选法818C 种中减去这4个人同时入选的414C 种：
⑸分三类情况：4人无人入选；4人仅有1人入选；4人中有2人入选，共：
10．（1）120（2）246（3）196（4）191
【解析】⑴ 先从6名内科医生中选3名，有3665420321
C ??==??种选法；再从4名外科医生中选2名， 共有2443621
C ?==?种选法．根据乘法原理，一共有选派方法206120?=种． ⑵ 用“去杂法”较方便，先考虑从10名医生中任意选派5人，有51010987625254321
C ????==???? 种选派方法；再考虑只有外科医生或只有内科医生的情况．由于外科医生只有4人，所以不
可能只派外科医生．如果只派内科医生，有516
66C C ==种选派方法．所以，一共有2526246-=种既有内科医生又有外科医生的选派方法。
⑶ 如果选1名主任，则不是主任的8名医生要选4人，有488765221404321
C ????=?=???种选派方法；如果选2名主任，则不是主任的8名医生要选3人，有388761156321C ???=?
=??种选派方法．根据加法原理，一共有14056196+=种选派方法．
⑷ 分两类讨论：
①若选外科主任，则其余4人可任意选取，有4998761264321
C ???==???种选取方法； ②若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余4人不能全选内科医生，用“去杂法”有
4485876554326543214321
C C ??????-=-=??????种选取法． 根据加法原理，一共有12665191+=种选派方法。
11．185
【解析】按具有双项技术的学生分类：
⑴ 两人都不选派，有3554310321
C ??==??(种)选派方法； ⑵ 两人中选派1人，有2种选法．而针对此人的任务又分两类： 若此人要安装电脑，则还需2人安装电脑，有25541021
C ?==?(种)选法，而另外会安装音响设备的3人全选派上，只有1种选法．由乘法原理，有10110?=(种)选法； 若此人安装音响设备，则还需从3人中选2人安装音响设备，有2332321C ?=
=?(种)选法，需从5人中选3人安装电脑，有3554310321
C ??==??(种)选法．由乘法原理，有31030?=(种)选法．
根据加法原理，有103040+=(种)选法；
综上所述，一共有24080?=(种)选派方法．
⑶ 两人全派，针对两人的任务可分类讨论如下：
①两人全安装电脑，则还需要从5人中选1人安装电脑，另外会安装音响设备的3人全选上安装音响设备，有515?=(种)选派方案；