泰山学院
毕业论文材料汇编
正定矩阵的判定
所在学院
专业名称
申请学士学位所属学科
年级
学生姓名、学号
指导教师姓名、职称
装订日期 2015 年 6 月 30 日.
材料汇编目录
一、开题报告
二、任务书
三、论文
1. 封面
2. 中文摘要
3. 英文摘要
4. 目录
5. 正文
6. 参考文献
7. 致谢
四、成绩评定书
泰山学院
毕业论文开题报告.
题目正定矩阵的判定
学院
年级
专业
姓名
学号
指导教师签字
学生签字
2014 年 12 月 15 日
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方法二（标准形法）实对称矩阵A 正定的充要条件是A 与单位矩阵E 合同。 方法三（顺序主子式法）对称矩阵A 正定的充要条件是A 的所有顺序主子式全大于零。
方法四（特征值法）对称矩阵A 正定的充要条件是A 的特征值全大于0。 方法五（矩阵分解法）如果矩阵A 有分解式：C C '=A ,则C 列满秩时，
A 正定。
（二）研究方法
主要运用理论知识与举例相结合的方法、经验总结法来研究求一元函数极限的方法。 三、进度安排
1. 调研、收集资料务必于2014年12月10日前完成。
2. 写作初稿务必于2015年4月10日前完成。
3. 修改、定稿、打印务必于2015年5月30日前完成。 四、主要参考文献
[1] 王萼芳，石生明.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1996. [2] 王品超.高等代数新方法[M].济南：山东教育出版社，1989.
[3] 毛纲源.线性代数解题方法技巧归纳[M].武汉：华中理工大学出版社，1993. [4] 钱吉林.高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社，2002.
[5] 北京大学数学系几何与代数教研室. 高等代数( 第三版)[M].北京：高等教育出版
社，2003.
[6] 于增海.高等代数考研选讲[M].北京：国防工业出版社，2012. [7] 杨子胥.高等代数习题集[M].济南：山东科技出版社，2003.
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泰山学院
毕业论文任务书
题目正定矩阵的判定
学院
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专业
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学号
指导教师签字
学生签字
2014 年 12 月 20 日
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泰山学院.
本科毕业论文
正定矩阵的判定
所在学院
专业名称
申请学士学位所属学科
年级
学生姓名、学号
指导教师姓名、职称
完成日期二〇一五年六月.
摘要
矩阵理论是线性代数的核心内容，是数学中最重要的基本概念之一，是代数学研究的主要对象及应用的重要工具，它贯穿于线性代数的各个部分。并且矩阵理论在几何学、物理学、概率论及最优化理论等诸多学科中具有广泛的应用而且一直都是重要的热门课题。矩阵作为科学研究的一项重要工具，在数学、工程技术、自然科学以及经济管理等领域发挥着重要作用，掌握好矩阵理论是学好线性代数必不可少的条件。
正定矩阵作为一类特殊的矩阵在矩阵理论中占有非常重要的地位，而正定矩阵的判定又是正定矩阵研究的重要内容，接下来文中文中给出了定义法、标准型法、顺序主子式法、特征值法、矩阵分解法五种判断实对称矩阵正定的方法，并举例说明如何判断一个实对称方阵是否正定。
关键词：线性代数；正定矩阵；基本概念；性质；判定方法
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ABSTRACT
Matrix theory is the core content of linear algebra, is one of the most important basic concepts in mathematics, is an important tool for the main research object algebra and its application, it runs through every part of linear algebra. And the matrix theory in geometry, physics, probability theory and the optimization theory and other disciplines is widely used and has been a hot topic of. Matrix is an important tool of scientific research, play an important role in the field of mathematics,engineering technology, natural science and economic management, master matrix theory is essential to learn linear algebra.
Positive definite matrix as a kind of special matrix plays a very important role in matrix theory, and determine the positive definite matrix and positive definite matrix is an important content of the research. This paper gives the definition of Chinese method, standard method, sequence analysis, eigenvalue method, matrix decomposition method of five kinds of methods to judge the positive real symmetric matrix, and an example is given to illustrate how to judge whether a real symmetric positive definite matrix.
Key words: Linear algebra , Positive definite matrix,The basic concept,Nature, Judging method
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目录
1 引言 (1)
2 正定矩阵的基本概念 (1)
3 正定矩阵的性质 (2)
4 正定矩阵的判定方法 (3)
4.1定义法 (3)
4.2标准形法 (4)
4.3顺序主子式法 (5)
4.4特征值法 (6)
4.5矩阵分解法 (8)
5 参考文献 (10)
6 致谢 (11)
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1 引 言
矩阵理论是线性代数的核心内容，是数学中最重要的基本概念之一，是代数学研究的主要对象及应用的重要工具，它贯穿于线性代数的各个部分。并且矩阵理论在几何学、物理学、概率论及最优化理论等诸多学科中具有广泛的应用而且一直都是重要的热门课题。矩阵作为科学研究的一项重要工具，在数学、自然科学、工程技术以及经济管理等领域发挥着重要作用，掌握矩阵理论是学好线性代数必不可少的条件 。
正定矩阵作为一类特殊的矩阵在矩阵理论中占有十分重要的地位，而正定矩阵的判定又是正定矩阵研究的重要内容，接下来文中文中给出了定义法、标准型法、顺序主子式法、特征值法、矩阵分解法五种判断实对称矩阵正定的方法，并举例说明如何判断一个实对称方阵是否正定。
2 正定矩阵的基本概念
定义 1 实二次型),...,,(21n x x x f 称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数
n c c c ,...,,21，有0),...,,(21>n c c c f
定义2 若实数域上的一个n 元二次型
AX X ==X X =T ==∑∑
)(),...,,(1
1
21ji ij j i n
j ij
n
i n a a a
x x x f 是正定二次型，则称A 为正定
矩阵。其中???????
??=A nn n
n n n a a a a a a a a a 21
22221
11211，??
??
?
?
?
??=X n x x x
21
注：（1）正定二次型和正定矩阵是一一对应的关系。
（2）经非退化的线性替换，新二次型的矩阵和原二次型的矩阵合同。
3 正定矩阵的性质
1、与正定矩阵合同的矩阵一定是正定矩阵。
.
实际上由合同的传递性、正定矩阵均与单位矩阵合同可知结论成立。 2、正定矩阵的主对角线上的元素全大于零。
事实上当实对称矩阵)ij a （=
A 是正定矩阵时，由它确定的二次型)(1
1
ji ij j i n
i ij
n
i a a x x a
==AX X ∑∑
=-T
必为正定二次型。不妨假设011≤a ，取
00100111=====+-n i i i x x x x x ，，，，，， ，代入上式得011≤=AX X T a ，这与
AX X T 正定矛盾，所以假设不成立，即)21(011n i a ，，，
=>。 3、正定矩阵的行列式大于零。
正定矩阵A 与单位矩阵E 合同，∴存在可逆矩阵P ，使得P P =EP P =A T T ，
02
>P =P P =A ∴T ，由此还可看出：正定矩阵一定是可逆矩阵。
4、正定矩阵的元素的绝对值的最大者一定是主对角线上的元素。
设)ij a （=
A 是正定矩阵，其中)(j i a ij ≠为绝对值最大者，则jj ii ij a a a ≥2
，又知道
A 所有主子式都大于零，jj ii ij
jj
ij
ij ii ij
jj ii a a a a a a a a a a <>=
-∴2
2
,0即有，与假设矛
盾，∴正定矩阵A 中元素的绝对值的最大者一定是主对角线上的元素。
注：这个结论常用于判定某些实对称矩阵不是正定的矩阵。这是因为只要有一个非主对角线上的元素的绝对值不小于主对角线上元素的绝对值的最大者，则这个实对称矩阵必定不是正定矩阵。
5、正定矩阵乘积的特征根都大于零。
设B A ，均为正定矩阵，则有可逆矩阵Q 、P ，使得
Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q )()(,11T T T -T T -T T T T P P =P P =P P =AB ∴=B P P =A ，， T P Q 可逆，又)()T T T P P Q Q （是正定矩阵，从而AB 与正定矩阵
)()T T T P P Q Q （相似，而相似矩阵的特征根相同，所以AB 的特征根都大于零。
注：AB 不一定是对称矩阵。
6、若A 是一个n 阶正定矩阵，则T T =A '（其中T 是主对角线上元素全大于零的上三角形矩阵）。
事实上有可逆矩阵Q ,使得,,T ==A T U Q Q Q 又
.
(其中U 是正交矩阵，T 是一个上三角矩阵且主对角线上的元素均为正数)。
T T =T T =T T =A ∴'''')()()U U U U （。
7、正定矩阵的逆矩阵必为正定矩阵。
正定矩阵与单位矩阵合同，∴存在可逆矩阵P ，使得P P =EP P =A ’‘
，取逆矩阵‘’‘）（，记）（）（）（1-1-1-1-1-1-P =P E P =P E P =A Q ，即有
Q Q E =A ’1-，则1-A 与单位矩阵合同，1-A ∴ 是正定矩阵。
4 正定矩阵的判定方法
正定矩阵是一类特殊重要的矩阵，正定矩阵的判定又是正定矩阵讨论的重要内容，以下给出了五种正定矩阵的判定方法。
4.1 定义法
n 阶实对称矩阵A 称为正定矩阵，如果对于任意的n 维实非零列向量X ，都有
0>AX X T .正定的实对称矩阵A 简称为正定矩阵，记作：0>A 。
例1 设A 是正定矩阵，B 是非奇异实方阵，则AB B T 也是正定矩阵。
证明 A 是实对称矩阵，AB B ∴T 也是实对称矩阵，又对任何实的非零列向量X ，
由于0≠BX ，0>BX A BX =X AB B X ∴T T T ）（）（）（，即AB B T 是正定矩阵
例 2 设）（）和（ij ij b a =B =A 都是n 阶正定矩阵，证明：)(ij ij b a C =也是正定矩
阵。
证明 显然矩阵C 是实对称矩阵，任取0,0,0),,(1>B >A ≠=X T 则由矩阵n x x 知
01
1>=AX X ∑∑
==T
n
k k j jk jk
n
j x x b a
，由0>B ，知存在n 阶可逆矩阵)(lj q Q =，使得
Q Q T
=B ,即),,1,(1
n k j q q b n
i lk lj jk ==∑=，
所以
∑∑∑
∑∑∑∑
∑==========n
k lk k lk j jk
n j n
l n k k j n
i lk lj
jk
n
k n
j k j jk jk
n j q x q x a
x x q q
a x x
b a
1
1
1
1
1
1
1
1
))((）（
.
对任意的0),,(1≠=X T n x x ，因为Q ，所以总存在一个l ， 使得0)(ln 11≠r n l q x q x ，又0>A 有：
0))((1
1
>∑∑==n
k lk k lj j ij
n j q x q x a
对以上的l 成立。所以01
1
>∑∑
==n
k k j jk jk
n
j x x b a
，即
0)(>=ij ij b a C 。
注：用定义证明矩阵A 正定需证明两点：
1）A 为实对称矩阵。
2）对任何的非零实列向量X ，.0>AX X T
4.2标准形法（合同变换法）
下面五个陈述是等价的：
1）n 阶实对称矩阵A 是正定的； 2）正惯性指数等于n ； 3）A 合同于单位矩阵E ；
4）存在可逆矩阵C ，使得C C T =A ； 5）A 的特征值全大于零。
推论 与正定矩阵合同的实对称矩阵也是正定矩阵。
例2 证明：若A 是正定矩阵，则1-A 也是正定矩阵。
证明 A 是正定矩阵，A ∴是实对称矩阵，A 可逆，且
1-1
-1-A =A =A T T ）（）（，即1-A 也是实对称矩阵。
例 3 设A 是n 阶实对称矩阵，0≠A ，证明：A 为正定矩阵的充要条件为对所有的正定矩阵B 恒有.0)(>AB tr
证明 必要性 由B A ,正定，则存在实可逆矩阵11,B A ，
使得1'
11'1
,B B =B A A =A ，于是 .0)()())(()()('
11''11'11'111'11'1>B A B A =B A A B =B B A A =AB tr tr tr tr
充分性 设A 不是正定的，由0≠A ，A 必有负特征值，设为.1λ由A 实对称,
则存在正交矩阵T ,使得
.
???
?
? ??=AT T n λλ 1',
这里.,,2,1,0n i i =≠λ令∑=<=>=B n
i i
i i n n i diag 1
11,0,,,2,1,0),,,(μ
λμμμ
则1B 正定.令
T '????
? ??T =B n μμ 1,
则B 正定,但是
0))(()(11<++=BT T 'AT T '=B T 'AT T 'T =AB n n tr tr tr μλμλ ,矛盾.
4.3 顺序主子式法
1）A 的所有顺序主子式全大于零。 2）A 的所有主子式全大于零。
注：类似的我们可以得到半正定矩阵的7个等价命题：
a ）n 阶实对称矩阵A 是半正定的； b)A 负惯性指数为零；
c)A 合同于???
?
??E -?-)()(r
0r n r n )r 0n ≤≤（；
d)存在n 阶矩阵S ,使得S S T =A ； e)A 的特征值全非负。 例4 判断二次型11
1
1
i 2+-==∑∑+=
i n i i n
i
x x x
f 是否正定。
.
解 二次型f 的矩阵为三角矩阵???????
???
?
? ??=A 121211
121211
A 的任意的k 阶顺序主子式k A =0)1()21
(>+k k ，所以矩阵A 为正定矩阵，
∴原二次型为正定二次型。
例5 t 取何值时，二次型2
3322
231212
154222x x tx x x x x x x f +++-+= 是正定二次型。
解 二次型f 对应的矩阵为????
?
??--=A 521221111t t 要使二次型f 正定，则A 的各阶顺序主子式全大于零，即满足：
0)344(5
21t 22
1
1
-11
,012
111,012321>-+-=-==>==
>=t t t
A d d d 得到2123<<-t ，)2
1
,23(t ,-∈∴当 时，二次型f 为正定二次型。
4.4 特征值法
A 的特征值全大于零，于是存在正交矩阵T ，使得
????
? ??=AT T n 1λλ ‘
，0>i λ，n i ,...,2,1=，即存在正交线性替换T Y =X ，使得
2
222211...n n y y y f λλλ+++=，0>i λ，.,...,2,1n i =
例6 证明：二次型∑∑≤≤≤=+=n
j i j
i
n
i i
n x
x x
x x f 11
212
2
),...,(为正定二次型。
.
证 设f 的矩阵为A ，则????
??
? ??=A 211121112
由)1(1--1
--=A E -n n λλλ）（，可知A 的特征值1,111+====-n n n λλλ ，由于特
征值全为正数，所以A 是正定矩阵，从而f 为正定二次型。
例7 设R b a x x b x
a
f n
i n
i i n i i
∑∑==+-∈+=X 1
1
12,,)(,问b a ,满足什么条件)(X f 正定。
解 （1）当变元的个数为偶数m 2时，f 的矩阵为
????
????
?
?
??=A a b a b b
a b a
， 于是
m m b a b a a
b
a
b
b
a
b
a
)()(--+-=--------=
A -E λλλλλλλ
，
故A 的特征值为b a b a -+,（均为m 重），故
f 正定.b a b a >?±>?
（2）当变元的个数为奇数12+m 时，
1)()(+--+-=A -E m m b a b a λλλ，
故A 的特征值为f b a b a ,,-+正定.b a >? 综上所述，.b a f >?正定
.
4.5矩阵分解法
如果矩阵A 有分解式:C C '=A ，则C 列满秩时，A 正定；C 行满秩时，A 半正定。
一般地，如果矩阵A 能分解成若干个简单矩阵的和、积等，则可能将问题化难为易，矩阵分解也是一种解决问题的方法。
例8 证明：n
n ij ?????
??=A 1是半正定矩阵。 证明：因为
C C n n ij n n '121112111???? ????????
?
? ??=???? ??=A ? ， 其中C 是行满秩的，所以A 是半正定矩阵。
例9 设n 为A 阶实对称矩阵，而且A 正定，求证：存在正定矩阵B ，使2B =A ，且B 是唯一的。
证明 由A 正定，则存在正交矩阵Q ，使得
'
1Q Q n ????
? ??=A λλ ， 这里.,,2,1,0n i i =>λ令
'1Q Q n ????
?
?
?
?=B λλ
， 则B 是正定矩阵，且.2B =A
下证唯一性。
设存在正定矩阵,,C B 使得22C =B =A ,则
G C C C C ?B -B =-B +B ))((
是反对称矩阵，于是G 的特征值为零和纯虚数。
若能证明G 的特征值全为零，则0=G 。由C +B 正定，则存在正定矩阵S ，使得
2S C =+B ，于是.)())(('11S C S S C C S GS S -B =-B +B =--
由S C S )('-B 实对称，则其特征值皆为实数，
又知GS S 1-的特征值皆为实数，于是G 的特征值皆为实数。 由G 的特征值为0和纯虚数，则G 的特征值全为0，故