第一章 随机事件及其概率
一、随机事件及其运算
1. 样本空间、随机事件
①样本点：随机试验的每一个可能结果，用ω表示； ②样本空间：样本点的全集，用Ω表示； 注：样本空间不唯一.
③随机事件：样本点的某个集合或样本空间的某个子集，用A,B,C,…表示； ④必然事件就等于样本空间；不可能事件()?是不包含任何样本点的空集； ⑤基本事件就是仅包含单个样本点的子集。 2. 事件的四种关系
①包含关系：A B ?，事件A 发生必有事件B 发生；
②等价关系：A B =， 事件A 发生必有事件B 发生，且事件B 发生必有事件A 发生； ③互不相容（互斥）： AB =? ，事件A 与事件B 一定不会同时发生。 ④对立关系（互逆）：A ，事件A 发生事件A 必不发生，反之也成立； 互逆满足A A AA ??=Ω?
=?
?
注：互不相容和对立的关系（对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件。） 3. 事件的三大运算
①事件的并：A B ?，事件A 与事件B 至少有一个发生。若AB =?，则A B A B ?=+； ②事件的交：A B AB ?或，事件A 与事件B 都发生； ③事件的差：-A B ，事件A 发生且事件B 不发生。 4. 事件的运算规律
①交换律：,A B B A AB BA ?=?=
②结合律：()(),()()A B C A B C A B C A B C ??=????=??
③分配律：()()(),()()()A B C A B A C A B C A B A C ??=?????=???
④德摩根（De Morgan ）定律：
,A B AB AB A B
?==? 对于n 个事件，有
111
1
,
n n
i
i
i i n
n
i i
i i A A A A
======
二、随机事件的概率定义和性质
1．公理化定义：设试验的样本空间为Ω，对于任一随机事件),(Ω?A A 都有确定的实值P(A)，满足下列性质：
(1) 非负性：;0)(≥A P (2) 规范性：;1)(=ΩP
(3)有限可加性(概率加法公式)：对于k 个互不相容事件k A A A ,,21 ，有∑∑===k
i i
k i i
A P A P 1
1
)()(.
则称P(A)为随机事件A 的概率. 2．概率的性质
①()1,()0P P Ω=?= ②()1()P A P A =- ③若A B ?，则()(),()()()P A P B P B A P B P A ≤-=-且
④()()()()P A B P A P B P AB ?=+-
()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ??=++---+
注：性质的逆命题不一定成立的. 如若),()(B P A P ≤则B A ?。（×） 若0)(=A P ，则φ=A 。（×） 三、 古典概型的概率计算
古典概型：若随机试验满足两个条件：① 只有有限个样本点, ② 每个样本点发生的概率相同，则称该概率模型为古典概型,()k
P A n
=
。 典型例题：设一批产品共N 件，其中有M 件次品，从这批产品中随机抽取n 件样品，则 (1)在放回抽样的方式下, 取出的n 件样品中恰好有m 件次品（不妨设事件A 1）的概率为
.)()(1n
m
n m m n N M N M C A P --=
(2)在不放回抽样的方式下, 取出的n 件样品中恰好有m 件次品（不妨设事件A 2）的概率为
n
N
m n M
N m M m n A A A C A P --=
)(2.n
N
m n M
N m M C C C --?=
四、条件概率及其三大公式 1.条件概率：()()
(|),(|)()()
P AB P AB P B A P A B P A P B =
= 2.乘法公式：
1212131211()()(|)()(|)
()()(|)(|)(|)
n n n P AB P A P B A P B P A B P A A A P A P A A P A A A P A A A -===
3.全概率公式：若12,,,,,n
n i
i
j
i B B B B B B
i j =
=Ω=?≠ 满足
，则1
()()(|)n
i i i P A P B P A B ==∑。
4.贝叶斯公式：若事件12,,,n B B B A 和如全概率公式所述，且(A)0P >， 1
()(|)
(|)()(|)
i i i n
i
i
i P B P A B P B A P B P A B ==
∑则 .
五、事件的独立 1. 定义：()()(),P AB P A P B =若则称A,B 独立. 推广：若12,,,n A A A 相互独立，11()()()n n P A A P A P A =
2. 在{}{}{}{}
,,,,,,,A B A B A B A B 四对事件中，只要有一对独立，则其余三对也独立。
3. 三个事件A, B, C 两两独立：()()()
()()()()()()
P AB P A P B P BC P B P C P AC P A P C ===
注：n 个事件的两两独立与相互独立的区别。（相互独立?两两独立，反之不成立。） 4.伯努利概型：(),0,1,2,,,1.k
k
n k
n n P k C p q k n q p -===-
1.事件的对立与互不相容是等价的。（X ）
2.若()0,P A = 则A =?。（X ）
3.()0.1,()0.5,()0.05P A P B P AB ===若则。 (X)
4.A,B,C 三个事件恰有一个发生可表示为ABC ABC ABC ++。(∨)
5. n 个事件若满足,,()()()i j i j i j P A A P A P A ?=，则n 个事件相互独立。(X)
6. 当A B ?时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（∨）
第二章 随机变量及其分布
一、随机变量的定义：设样本空间为Ω，变量)(ωX X =为定义在Ω上的单值实值函数，则称X 为随机变量，通
常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。
二、分布函数及其性质
1. 定义：设随机变量X ，对于任意实数x R ∈，函数(){}F x P X x =≤称为随机变量X 的概率分布函数，简称
分布函数。 注：当21x x <时，)(21x X x P ≤<)()(12x F x F -=
(1)X 是离散随机变量，并有概率函数,,2,1),( =i x p i 则有.)()(∑≤=
x
x i
i x p x F
(2) X 连续随机变量，并有概率密度f (x)，则dt t f x X P x F x
?
∞
-=≤=)()()(.
2. 分布函数性质：
（1 F (x )是单调非减函数，即对于任意x 1 →-∞ →x F F x F F x x ，； （3离散随机变量X ，F (x )是右连续函数, 即)0()(+=x F x F ；连续随机变量X ，F (x )在（-∞，+∞）上处处连续。 注：一个函数若满足上述3个条件，则它必是某个随机变量的分布函数。 三、离散随机变量及其分布 1. 定义. 设随机变量X 只能取得有限个数值n x x x ,,,21 ，或可列无穷多个数值,,,,,21 n x x x 且 ),2,1()( ===i p x X P i i ，则称X 为离散随机变量, p i (i =1,2,…)为X 的概率分布，或概率函数 (分布律). 注：概率函数p i 的性质:;,2,1,0)1( =≥i p i 1)2(=∑i i p 2. 几种常见的离散随机变量的分布： （1）超几何分布，X~H(N,M,n)，{} 0,1,2,,k n k M N M n N C C P X k k n C --?=== （2）二项分布，X~B(n.,p)，()(1) 0,1,,k k n k n P X k C p p k n -==-= 当n=1时称X 服从参数为p 的两点分布（或0－1分布）。 若X i (i=1,2,…,n)服从同一两点分布且独立，则1 n i i X X ==∑服从二项分布。 （3）泊松(Poisson)分布，~()X P λ，{}(0),0, 1, 2, ... ! k e P X k k k λ λλ-==>= 四、连续随机变量及其分布 1.定义.若随机变量X 的取值范围是某个实数区间I ，且存在非负函数f(x)，使得对于任意区间I b a ?],(，有 ,)()(?= ≤ a dx x f b X a P 则称X 为连续随机变量; 函数f (x)称为连续随机变量X 的概率密度函数，简称概率密度。 注1：连续随机变量X 任取某一确定值的0x 概率等于0, 即;0)(0==x X P 注2：)()()(212121x X x P x X x P x X x P <≤=≤≤=< =≤<=2 1 )()(21x x dx x f x X x P 2. 概率密度f (x)的性质：性质1：;0)(≥x f 性质2： .1)(=? +∞ ∞ -dx x f 注1：一个函数若满足上述2个条件，则它必是某个随机变量的概率密度函数。 注2：当21x x <时，)(21x X x P ≤<)()(12x F x F -=? =2 1 )(x x dx x f 且在f(x)的连续点x 处，有).()(x f x F =' 3.几种常见的连续随机变量的分布： (1) 均匀分布 ~(,)X U a b ， ?? ?????≥<≤--<=??? ??≤≤-=., 1;,;, 0)(01)(b x b x a a b a x a x x F b x a a b x f 其它 ，， (2) 指数分布~()X e λ,0λ > ?? ?? ?≤>-=???? ?<≥=--.0,0, 0,1)(0 00 )(x x e x F x x e x f x x λλλ，， (3) 正态分布 ),(~2σμN X ，0>σ +∞<<∞-= = ? ∞ --- -- x dt e x F e x f x t x ,21 )(21)(2 22 22)(2)(σμσμσπσ π， 1. 概率函数与密度函数是同一个概念。（ X ） 2.当N 充分大时，超几何分布H (n , M , N )可近似成泊松分布。( X ) 3.设X 是随机变量，有()()P a X b P a X b <<=≤≤。( X ) 4.若X 的密度函数为()f x =cos ,[0, ]2 x x π ∈，则0 (0)cos .P X tdt π π<<=? ( X ) 第三章 随机变量的数字特征 一、期望（或均值） 1．定义：,EX 1,(),k k k x p EX xf x dx ∞ =+∞-∞ ??=???∑?离散型 连续型 2．期望的性质： (1)(),(E C C C =±±为常数) (2)E(CX)=CE(X)(3)E(X Y)=E(X)E(Y) (4)若X 与Y 相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y),反之结论不成立. 3. 随机变量函数的数学期望1(),[()]k k k g x p X E g x X ∞ =∞ ∞ ??=???∑?+-离散型 g(x)f(x)dx ，连续型 4. 计算数学期望的方法 (1) 利用数学期望的定义； (2) 利用数学期望的性质； 常见的基本方法： 将一个比较复杂的随机变量X 拆成有限多个比较简单的随机变量X i 之和,再利用期望性质求得X 的期望. (3)利用常见分布的期望； 1．方差 ??? ??? ?--=-=? ∑∞ +∞ -连续型 离散型 ,)()]([,)] ([)]([)(22 2 dx x f X E x p X E x X E X E X D i i 注：D (X )=E [X -E (X )]2 ≥0；它反映了随机变量X 取值分散的程度,如果D (X )值越大(小)，表示X 取值越分散(集中)。 2．方差的性质 (1)()0,(D C C =±2为常数)(2)D(CX)=C D(X) (3)若X 与Y 相互独立，则D(X Y)=D(X)+D(Y) (4) 对于任意实数C ∈R ，有 E ( X-C )2≥D ( X ) 当且仅当C = E (X )时, E ( X-C )2取得最小值D (X ). (5) (切比雪夫不等式): 设X 的数学期望 E (X ) 与方差D (X ) 存在,对于任意的正数ε，有 (())P |X -E X |ε≥2().D X ε≤ 或 (())P |X -E X |<ε.2 () 1-D X ε ≥ 3. 计算 (1) 利用方差定义；(2) 常用计算公式.)]([)()(22X E X E X D -=(3) 方差的性质；(4) 常见分布的方差. 注：常见分布的期望与方差 1. 若X ～B (n , p ), 则 E(X )=np, D (X ) = npq ; 2. 若;)()(),(~λλ==X D X E P X 则 3. 若X ～U (a , b ), 则;12 )()(,2)(E 2a b X D b a X -=+= 4. 若;1 )(,1 )(),(~2 λ λ λ= = X D X E e X 则 5. 若.)(,)(),,(~2 2σμσμ==X D X E N X 则 三、原点矩与中心矩 （总体）X 的k 阶原点矩：)()(k k X E X v = （总体）X 的k 阶中心矩：k k X E X E X u )]([)(-= 1.只要是随机变量，都能计算期望和方差。( X ) 2.期望反映的是随机变量取值的中心位置，方差反映的是随机变量取值的分散程度。(√) 3.方差越小，随机变量取值越分散，方差越大越集中。( X ) 4.方差的实质是随机变量函数的期望。(√) 5.对于任意的X,Y ，都有()D X Y DX DY -=+成立。( X ) 第四章 正态分布 一、正态分布的定义 1. 正态分布 ⑴),(~2σμN X 概率密度为,,21 )(2 22)(+∞<<∞-=-- x e x f x σμσ π其分布函数为?∞ --- = x t dt e x F 2 22)(21 )(σμσ π 注：2 1)(= μF . 正态密度函数的几何特性： ；对称曲线关于μ=x )1( ； ）（σ π21)(2取得最大值 时，当x f μx = ； ，，轴为渐近线以时当x x f x 0)()3(→±∞→ ;2121 )4(222)(2)(σπσπσμσμ=? =? ? ∞+∞ --- ∞+∞ --- dx e dx e x x 轴作平移变化.图形不变，只是沿着的大小时，f(x)的改变，当固定y μσ）（5 越大,图形越高越瘦；越小,变，对称轴不变而形状在改的大小时改变，当固定（6）σσx f σμ)(， 图形越矮越胖. 2. 标准正态分布 当1,0==σμ时，),1,0(~N X 其密度函数为.,21)(2 2 +∞<<∞-= -x e x x π?且其分布函数为.21)(22 ?∞ -- = Φx t dt e x π )(x Φ的性质：)0()1(Φ;2 1 = ).(1)()3(x x Φ-=-Φ 3.正态分布与标准正态分布的关系 定理：若),,(~2σμN X 则)1,0(~N X Y σ μ -= . 定理：设),,(~2σμN X 则).( )()(1221σ μ σ μ -Φ--Φ=≤ 二、正态分布的数字特征 设),,(~2σμN X 则1. 期望E (X ) μ= μσ πσμ== -- ∞+∞ -? dx e x X E x 22)(21)( 2.方差D (X ) 2σ= 22)(22)(21 )(σμσπσμ=-=-- ∞ +∞ -? dx e x X D x 3.标准差σσ=)(X 三、正态分布的性质 1．线性性. 设),,(~2σμN X 则)0(),(~22≠++=b b b a N bX a Y ，σμ； 2．可加性. 设),,(~),,(~22y y x x N Y N X σμσμ且X 和Y 相互独立，则);,(~2 2y x y x N Y X Z σσμμ+++= 3．线性组合性 设n i N X i i i ,,2,1),,(~2 =σμ，且相互独立，则).,( ~1 221 1 ∑∑∑===n i i i n i i i n i i i c c N X c σ μ 四、中心极限定理 1.独立同分布的中心极限定理 π π 2121)()2(222 2 ? ? ∞+∞ -- ∞ +∞ -- = ? == +∞Φdx e dx e x x 设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立，服从相同的分布，且;,,,2,1,)(,)(2 n i X D X E i i ===σμ 则对于任何实数x ，有?∑∞ --- =∞ →= ???? ? ? ??≤-x t dt e 2 22)(21 σμσ πx σn n μX P n i i n 1lim 定理解释：若n X X X ,,,21 满足上述条件，，充分大时当n 有 （1）)1,0(~* AN Y n σ n n μ X n i i -= ∑=1 ；),(~)2(21 *σμn n AN X Y n i i n ∑==； （3）),(~12 1n AN X n X n i i σμ∑== 2. 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 设),,(~p n B Y n 则?∞ --- ∞ →=??? ? ??≤-x t dt e 2 22)(21 σμσ πx p np np Y P n n )-(1lim 定理解释：若),,(~p n B Y n 当n 充分大时，有 （1） )1,0(~) 1(AN p np np Y n --； （2）))1(,(~p np np AN Y n - 1.若),1,2(~),1,0(~N Y N X 则).2,2(~--N Y X （ X ） 2.若),,(~2 σμN X 则.2 1 )0( = ≤-σ μ X P （ √ ） 3. 设随机变量X 与Y 均服从正态分布：)5,(~),4,(~2 2 μμN Y N X ).(),5();4(21B Y P p X P p 则而+≥=-≤=μμ . ; ;21212121p p D.p p C.p p B.p p A.>==<都有对任何实数才有的个别值只对都有对任何实数都有对任何实数，，，，μμμμ 4.已知连续随机变量X 的概率密度函数为1 22 1)(-+-= x x e x f π 则X 的数学期望为__1____; X 的方差为__1/2____. 第五章 数理统计的基本知识 一、总体 个体 样本 1.总体：把研究对象的全体称为总体 (或母体).它是一个随机变量，记X. 2.个体：总体中每个研究对象称为个体.即每一个可能的观察值. 3.样本：从总体X 中，随机地抽取n 个个体n X X X ,,,21 , 称为总体X 的容量为n 的样本。 注：⑴ 样本),,,(21n X X X 是一个n 维的随机变量；⑵ 本书中提到的样本都是指简单随机样本，其满足2个特性： ① 代表性：n X X X ,,,21 中每一个与总体X 有相同的分布. ② 独立性：n X X X ,,,21 是相互独立的随机变量. 4.样本),,,(21n X X X 的联合分布 设总体X 的分布函数为F (x )，则样本),,,(21n X X X 的联合分布函数为= ),,,(21n x x x F ;)(1∏=n i i x F (1) 设总体X 的概率密度函数为f (x ), 则样本的联合密度函数为= ),,,(21n x x x f ;)(1 ∏=n i i x f (2) 设总体X 的概率函数为),2,1,0(),( =x x p , 则样本的联合概率函数为;)(),,,(1 21∏== n i i n x p x x x p 二、统计量 1. 定义 不含总体分布中任何未知参数的样本函数)(n 21,X ,,X X g 称为统计量,),,,(21n x x x g 是)(n 21,X ,,X X g 的观测值. 注：（1）统计量)(n 21,X ,,X X g 是随机变量； （2）统计量)(n 21,X ,,X X g 不含总体分布中任何未知参数； （3）统计量的分布称为抽样分布. 2. 常用统计量 （1）样本矩：①样本均值 ∑ == n i i X n 1 1 ； 其观测值 ∑== n i i x n x 1 1 . 可用于推断：总体均值 E (X ). ②样本方差 )(11)(111 2212 2 ∑∑==--=--=n i n i i X n X n X X n S i ; 其观测值 ∑ =--= n i i x x n s 12 2 )(1 1 .11122??? ? ??--=∑ =n i i x n x n 可用于推断：总体方差D (X). ③样本标准差2 S S = ∑ =--= n i i X X n 1 2 )(1 1 .111 2 2 ??? ? ? ?--= ∑ =n i i X n X n 其观测值 2 s s =∑ =--= n i i x x n 1 2 ) (1 1.111 22??? ? ? ?--= ∑ =n i i x n x n ④样本k 阶原点矩),2,1(,1 1 == ∑ =k X n V n i k i k 其观测值 ∑== n i k i k x n v 1 1 ⑤样本 k 阶中心矩),2,1(,)(1 1 =-= ∑ =k X X n U n i k i k 其观测值 ∑=-= n i k i k x x n u 1 ) (1 注：比较样本矩与总体矩，如样本均值X 和总体均值E (X )；样本方差2S 与总体方差D (X )； 样本k 阶原点矩),2,1(,11 ==∑=k X n V n i k i k 与总体k 阶原点矩),2,1(),( =k X E k ；样本k 阶中心矩 ),2,1(,)(11 =-=∑=k X X n U n i k i k 与总体k 阶原点矩),2,1(,)]([ =-k X E X E k . 前者是随机变量， 后者是常数. (2)样本矩的性质: 设总体X 的数学期望和方差分别为2,σμ==DX EX ，2,S X 为样本均值、样本方差，则 =)(1o X E ;μ =)(2o X D ;1 2σn .)(322o σ=S E 3.抽样分布：统计量的分布称为抽样分布. 三、 3大抽样分布 分布2.1χ： 定义.设k X X X ,,,21 相互独立，且k i N X i ,,2,1),1,0(~ =，则)(~22 22212k X X X k χχ+++= 注：若),1,0(~N X 则).1(~22χX （2）性质（可加性） 设2221χχ和相互独立，且),(~),(~22221221k k χχχχ则).(~2122 2 21k k ++χχχ 2. t 分布： 设X 与Y 相互独立,且),(~),1,0(~2k Y N X χ则).(~k t k Y X t /= 注：t 分布的密度图像关于t =0对称；当n 充分大时，t 分布趋向于标准正态分布N(0,1). 3. F 分布: 定义. 设X 与Y 相互独立，且),(~),(~2212k Y k X χχ则).,(~//212 1 k k F k Y k X F = (2) 性质. 设),(21k ,k X~F 则)(~/112,k k F X . 四、分位点 定义：对于总体X 和给定的),10(<<αα若存在αx ，使得αα=≥)(x X P 则称αx 为X 分布的α分位点。 注：常见分布的分位点表示方法 （1）)(2 k χ分布的α分位点);(2 k αχ （2）)(k t 分布的α分位点),(k t α 其性质： );()(1k t k t αα-=- （3）),,(21k k F α分布的α分位点),,(21k k F α其性质;) ,(1 ),(12211k k F k k F αα= - （4）N(0,1)分布的α分位点,αu 有),(1)(1)(αααu u X P u X P Φ-=<-=≥ 第六章 参数估计 一、点估计:设),,,(21n X X X 为来自总体X 的样本，θ为X 中的未知参数，),,,(21n x x x 为样本值，构造某个统计 量),,,(?21n X X X θ作为参数θ的估计，则称),,,(?21n X X X θ为θ的点估计量，),,,(?21n x x x θ为θ的估计值. 2.常用点估计的方法：矩估计法和最大似然估计法. 二、矩估计法 1.基本思想: 用样本矩（原点矩或中心矩）代替相应的总体矩. 2.求总体X 的分布中包含的m 个未知参数m θθθ,,,21 的矩估计步骤： ① 求出总体矩,即 ,2,1,)]([)(=-k X E X E X E k k 或；② 用样本矩代替总体矩，列出矩估计方程： ,2,1,)]([)(1 )(11 1 =-=-=∑∑ ==k X E X E X X n X E X n k n i k i k n i k i 或 ③ 解上述方程（或方程组）得到m θθθ,,,21 的矩估计量为：m i X X X n i i ,,2,1),,,,(??21 ==θθ ④ m θθθ,,,21 的矩估计值为：m i x x x n i i ,,2,1),,,,(??21 ==θθ 3. 矩估计法的优缺点： 优点：直观、简单; 只须知道总体的矩,不须知道总体的分布形式. 缺点：没有充分利用总体分布提供的信息；矩估计量不具有唯一性；可能估计结果的精度比其它估计法的低 三、最大似然估计法 1. 直观想法：在试验中，事件A 的概率P (A)最大, 则A 出现的可能性就大；如果事件A 出现了，我们认为事件A 的概率最大. 2. 定义 设总体X 的概率函数或密度函数为),(θx p （或),(θx f ），其中参数θ未知，则X 的样本),,,(21n X X X 的联 合概率函数（或联合密度函数）∏==n i i x p L 1 ),()(θθ（或∏==n i i x f L 1 ),()(θθ 称为似然函数. 3. 求最大似然估计的步骤： （1）求似然函数:X 离散：∏== n i i x p L 1 ),()(θθ X 连续： ∏==n i i x f L 1 ),()(θθ （2）求)(ln θL 和似然方程： m i L i ,,2,1,0) (ln ==??θθ （3）解似然方程，得到最大似然估计值：m i x x x n i i ,,2,1),,,,(??21 ==θθ （4）最后得到最大似然估计量：m i X X X n i i ,,2,1),,,,(??21 ==θθ 4. 最大似然估计法是在各种参数估计方法中比较优良的方法，但是它需要知道总体X 的分布形式. 四、 估计量的评价标准 1.无偏性:设)(1n X ,,X θθ ??=是未知参数θ的估计量，若θθE =)(?，则)(1n X ,,X θθ ??=是θ的无偏估计量，)(x 1n x ,,θθ ??=是θ的无偏估计值。 有效性:设)(111n X ,,X θθ ??=和)(122n X ,,X θθ ??=是未知参数θ的无偏估计量， 若θθD θD =<)()(21??，则称1θ?比2 θ?有效。 1.若),,,(21n X X X 是来自总体X 的样本，则n X X X ,,,21 相互独立. （ √） 2.不含总体X 的任何未知参数的样本函数),,,(21n X X X g 就是统计量. ( √ ) 3.样本矩与总体矩是等价的。（ X ） 4.矩估计法的基本思想是用总体矩代替样本矩，故矩估计量不唯一.( X ) 设总体未知，其中2 2 ),,(~σμσμN X ，则估计量∑=-==n i i X X n X 1 22 )(1??σμ ，分别是2σμ，的无偏估计量.( X ) 第四章作业题解 4.1 甲、乙两台机床生产同一种零件, 在一天内生产的次品数分别记为 X 和 Y . 已知 ,X Y 的概率分布如下表所示: 如果两台机床的产量相同, 问哪台机床生产的零件的质量较好？ 解： 11.032.023.014.00)(=?+?+?+?=X E 9.0032.025.013.00)(=?+?+?+?=Y E 因为 )()(Y E X E >，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好。 4.2 袋中有 5 个球, 编号为1,2,3,4,5, 现从中任意抽取3 个球, 用X 表示取出的3 个球中的 最大编号，求E (X ). 解：X 的可能取值为3,4,5. 因为1.01011)3(35 == = =C X P ；3.010 3)4(35 2 3== = =C C X P ； 6.010 6)5(3 5 24=== =C C X P 所以 5.46.053.041.03)(=?+?+?=X E 4.3 设随机变量X 的概率分布1 {}(0,1,2,),(1) k k a P X k k a +===+ 其中0a >是个常 数，求()E X 解: 1 1 2 1 1 1 ()(1) (1) (1) k k k k k k a a a E X k k a a a -∞ ∞ +-=== = +++∑∑ ，下面求幂级数11 k k k x ∞ -=∑的和函数， 易知幂级数的收敛半径为1=R ，于是有 1 2 1 1 1()( ),1,1(1) k k k k x k x x x x x ∞ ∞ -==''=== <--∑ ∑ ·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： * 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 《概率论与数理统计》实验报告 学生姓名李樟取 学生班级计算机122 学生学号201205070621 指导教师吴志松 学年学期2013-2014学年第1学期 实验报告一 成绩 日期 年 月 日 实验名称 单个正态总体参数的区间估计 实验性质 综合性 实验目的及要求 1．了解【活动表】的编制方法； 2．掌握【单个正态总体均值Z 估计活动表】的使用方法； 3．掌握【单个正态总体均值t 估计活动表】的使用方法； 4．掌握【单个正态总体方差卡方估计活动表】的使用方法； 5．掌握单个正态总体参数的区间估计方法． 实验原理 利用【Excel 】中提供的统计函数【NORMISINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值Z 估计活动表】，在【单个正态总体均值Z 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【总体标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 1设总体2~(,)X N μσ，其中2σ已知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为 样本的观测值 于是得到μ的置信水平为1-α 的置信区间为 利用【Excel 】中提供的统计函数【TINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值t 估计活动表】，在【单个正态总体均值t 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【样本标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 2.设总体2~(,)X N μσ，其中2 σ未知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为样本的观测值 整理得 /2/21X z X z n n P αασαμσ? ?=-??? ?-<<+/2||1/X U z P n ασμα????==-??????- 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+ ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A； （2）随机变量（X，Y）的分布函数； （3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12(34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k 概率论与数理统计知识点 总结详细 Newly compiled on November 23, 2020 《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P 概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝ 。 ！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望 习题2参考答案 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36 解：根据 1)(0 ==∑∞ =k k X P ，得10 =∑∞ =-k k ae ，即111 1 =---e ae 。 故 1-=e a 解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2, 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2, (1)两人投中的次数相同 P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}= 1 1 2 2 020********* 2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ?+?+?=(2)甲比乙投中的次数多 P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}= 1 2 2 1 110220022011222222 0.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ?+?+?=解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155 ++= (2)P{ 解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++L =11[1()] 14 41314 k k lim →∞-=- （2）P{X ≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}=111 1244 --= 解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，2 12341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719 ???= 1123412342341234{1}{}{}{}{} 2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795 P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=???+???+???+???= 12323 {2}1{0}{1}1199595 P X P X P X ==-=-==- -= 解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4, 34 314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+= (2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5, 3 4 5 324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++= （1）X ～P(λ)=P ×3)= P 0 1.51.5{0}0! P X e -=== 1.5 e - （2）X ～P(λ)=P ×4)= P(2) 0122 222{2}1{0}{1}1130!1! P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=- 概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020 一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案： 解： 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案： 解答： 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案： 解答： 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为 概率论与数理统计课后习题答案 第七章参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σμ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1）X c θc θc c θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θ n n n i i x x x c θ x f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL 概率论与数理统计 实验报告 概率论部分实验二 《正态分布综合实验》 实验名称：正态分布综合实验 实验目的：通过本次实验，了解Matlab在概率与数理统计领域的应用，学会用matlab做概率密度曲线，概率分布曲线，直方图，累计百分比曲线等简单应用；同时加深对正态分布的认识，以更好得应用之。 实验内容： 实验分析： 本次实验主要需要运用一些matlab函数，如正态分布随机数发生器normrnd函数、绘制直方图函数hist函数、正态分布密度函数图形绘制函数normpdf函数、正态分布分步函数图形绘制函数normcdf等；同时，考虑到本次实验重复性明显，如，分别生成100,1000,10000个服从正态分布的随机数，进行相同的实验操作，故通过数组和循环可以简化整个实验的操作流程，因此，本次实验程序中要设置数组和循环变量。 实验过程： 1.直方图与累计百分比曲线 1）实验程序 m=[100,1000,10000]; 产生随机数的个数 n=[2,1,0.5]; 组距 for j=1:3 for k=1:3 x=normrnd(6,1,m(j),1); 生成期望为6，方差为1的m(j)个 正态分布随机数 a=min(x); a为生成随机数的最小值 b=max(x); b为生成随机数的最大值 c=(b-a)/n(k); c为按n(k)组距应该分成的组数 subplot(1,2,1); 图形窗口分两份 hist(x,c);xlabel('频数分布图'); 在第一份里绘制频数直方图 yy=hist(x,c)/1000; yy为各个分组的频率 s=[]; s(1)=yy(1); for i=2:length(yy) s(i)=s(i-1)+yy(i); end s[]数组存储累计百分比 x=linspace(a,b,c); subplot(1,2,2); 在第二个图形位置绘制累计百分 比曲线 plot(x,s,x,s);xlabel('累积百分比曲线'); grid on; 加网格 figure; 另行开辟图形窗口，为下一个循 环做准备 end end 2）实验结论及过程截图 实验结果以图像形式展示，以下分别为产生100,1000,10000个正态分布随机数，组距分别为2,1,0.5的频数分布直方图和累积百分比曲线，从实验结果看来，随着产生随机数的数目增多，组距减小，累计直方图逐渐逼近正态分布密度函数图像，累计百分比逐渐逼近正态分布分布函数图像。 天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 第一章 随机变量 习题一 1、写出下列随机试验的样本空间 (1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和 Ω= { }1843,,,Λ (2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数 Ω= { }Λ,,1110 (3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”， 如连续查出2个次品就停止，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。用“0”表示次品，用“1”表示正品。 Ω={111111101101011110111010110001100101010010000,,,,,,,,,,,} (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标 Ω= }|),{(122<+y x y x (5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度 Ω=},,,|),,{(1000=++>>>z y x z y x z y x 其中z y x ,,分别表示第一、二、三段的长度 (6 ) .10只产品中有3只次品 ，每次从其中取一只(取后不放回) ，直到将3只次品都取出 ， 写出抽取次数的基本空间U = “在 ( 6 ) 中 ，改写有放回抽取” 写出抽取次数的基本空间U = 解: ( 1 ) U = { e3 ， e4 ，… e10 。} 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 …、 10 ( 2 ) U = { e3 ， e4 ，… } 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 … 2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系 (1)δ<-||a x 与δ≥-||a x 互不相容 (2)20>x 与20≤x 对立事件 (3)20>x 与18 概率论与数理统计必考大题解题索引 编制：王健 审核： 题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。 【相关公式】 全概率公式： ()()()()()() n 1122S P()=|()||()() (|)() =()(|)()(|). i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++= =+12设实验的样本空间为，为的事件，B ，B ，……，B 为的划分，且>0,则有： P ?…其中有：。特别地：当n 2时，有： 贝叶斯公式： ()()i 1 00(1,2,,),()(|)() (|)()(|)() =()(|)() (|)()(|)()(|)() i i i i n i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>===== +∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ，B ，……，B 为S 的一个划分，且P ，……则有：特别地： 当n 2时，有： 【相关例题】 1.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求： （1）恰好取到不合格品的概率； （2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。 解：设事件 表示：“取到的产品是不合格品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工 厂生产的”（i =123，，）。 则Ω== 3 1i i A ，且P A i ()>0，321A A A 、、两两互不相容，由全概率公式得 （1）∑=?=3 1 )|()()(i i i A A P A P A P 1000/37100 210035100410025100510040=?+?+?= 概率论与数理统计实验报告 一、实验目的 1.学会用matlab求密度函数与分布函数 2.熟悉matlab中用于描述性统计的基本操作与命令 3.学会matlab进行参数估计与假设检验的基本命令与操作 二、实验步骤与结果 概率论部分： 实验名称：各种分布的密度函数与分布函数 实验内容： 1.选择三种常见随机变量的分布，计算它们的方差与期望<参数自己设 定）。 2.向空中抛硬币100次，落下为正面的概率为0.5,。记正面向上的次数 为x， （1）计算x=45和x<45的概率， （2）给出随机数x的概率累积分布图像和概率密度图像。 3.比较t(10>分布和标准正态分布的图像<要求写出程序并作图）。 程序： 1.计算三种随机变量分布的方差与期望 [m0,v0]=binostat(10,0.3> %二项分布，取n=10,p=0.3 [m1,v1]=poisstat(5> %泊松分布，取lambda=5 [m2,v2]=normstat(1,0.12> %正态分布，取u=1,sigma=0.12 计算结果： m0 =3 v0 =2.1000 m1 =5 v1 =5 m2 =1 v2 =0.0144 2.计算x=45和x<45的概率，并绘图 Px=binopdf(45,100,0.5> %x=45的概率 Fx=binocdf(45,100,0.5> %x<45的概率 x=1:100。 p1=binopdf(x,100,0.5>。 p2=binocdf(x,100,0.5>。 subplot(2,1,1> plot(x,p1> title('概率密度图像'> subplot(2,1,2> plot(x,p2> title('概率累积分布图像'> 结果： Px =0.0485 Fx =0.1841 3.t(10>分布与标准正态分布的图像 subplot(2,1,1> ezplot('1/sqrt(2*pi>*exp(-1/2*x^2>',[-6,6]> title('标准正态分布概率密度曲线图'> subplot(2,1,2> ezplot('gamma((10+1>/2>/(sqrt(10*pi>*gamma(10/2>>*(1+x^2/10>^(-(10+1>/2>',[-6,6]>。b5E2RGbCAP title('t(10>分布概率密度曲线图'> 结果： 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图： 概率论与数理统计试题 与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1) 概率统计模拟题一 一、填空题（本题满分18分，每题3分） 1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。 2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ，若9 5 )1(= ≥X p ，则=≥)1(Y p 。 3、设X 与Y 相互独立，1,2==DY DX ，则=+-)543(Y X D 。 4、设随机变量X 的方差为2，则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。 5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2 χ的样本，则统计量∑==n 1 i i X Y 服从 分布。 6、设正态总体),(2σμN ，2σ未知，则μ的置信度为α-1的置信区间的长度 =L 。（按下侧分位数） 二、选择题（本题满分15分，每题3分） 1、 若A 与自身独立，则（ ） (A)0)(=A P ； (B) 1)(=A P ；(C) 1)(0< 概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤 (浙江大学) 浙大第四版（高等教育出版社） 第一章 概率论的基本概念 1.[一] 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1） ??? ????=n n n n o S 1001, ，n 表小班人数 （3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2） S={10，11，12，………，n ，………} （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。 （[一] (3)） S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生。 表示为： C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C ) （2）A ，B 都发生，而C 不发生。 表示为： C AB 或AB －ABC 或AB －C （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 表示为：A+B+C （4）A ，B ，C 都发生， 表示为：ABC （5）A ，B ，C 都不发生， 表示为：C B A 或S － (A+B+C)或C B A ?? （6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生 相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：C A C B B A ++。 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生。 相当于：C B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：ABC C B A 或++ （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 相当于：AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。故 表示为：AB +BC +AC 6.[三] 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0. 7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：由P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7即知AB ≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.6+0.7=1.3>1与P (A ∪B )≤1矛盾）. 从而由加法定理得 P (AB )=P (A )+P (B )－P (A ∪B ) (*) （1）从0≤P (AB )≤P (A )知，当AB =A ，即A ∩B 时P (AB )取到最大值，最大值为 P (AB )=P (A )=0.6， （2）从(*)式知，当A ∪B=S 时，P (AB )取最小值，最小值为 P (AB )=0.6+0.7－1=0.3 。 7.[四] 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4 1 )()()(=== ==BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 解：P (A ，B ，C 至少有一个发生)=P (A +B +C )= P (A )+ P (B )+ P (C )－P (AB )－P (BC ) 概率论与数理统计数学实验 目录 实验一几个重要的概率分布的MATLAB实现 p2-3 实验二数据的统计描述和分析 p4-8 实验三参数估计 p9-11 实验四假设检验 p12-14 实验五方差分析 p15-17 实验六回归分析 p18-27 实验一 几个重要的概率分布的MATLAB 实现 实验目的 (1) 学习MATLAB 软件与概率有关的各种计算方法 (2) 会用MATLAB 软件生成几种常见分布的随机数 (3) 通过实验加深对概率密度，分布函数和分位数的理解 Matlab 统计工具箱中提供了约20种概率分布，对每一种分布提供了5种运算功能，下表给出了常见8种分布对应的Matlab 命令字符，表2给出了每一种运算功能所对应的Matlab 命令字符。当需要某一分布的某类运算功能时，将分布字符与功能字符连接起来，就得到所要的命令。 例1 求正态分布()2,1-N ，在x=1.2处的概率密度。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： normpdf(1.2,-1,2) 结果为： 0.1089 例2 求泊松分布()3P ，在k=5，6，7处的概率。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： poisspdf([5 6 7],3) 结果为： 0.1008 0.0504 0.0216 例3 设X 服从均匀分布()3,1U ，计算{}225P X .-<<。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： unifcdf(2.5,1,3)-unifcdf(-2,1,3) 结果为： 0.75000 例4 求概率995.0=α的正态分布()2,1N 的分位数αX 。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： norminv(0.995,1,2) 结果为： 6.1517 例5 求t 分布()10t 的期望和方差。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： [m,v]=tstat(10) m = 0 v = 1.2500 例6 生成一个2*3阶正态分布的随机矩阵。其中，第一行3个数分别服从均值为1，2，3；第二行3个数分别服从均值为4，5，6，且标准差均为0.1的正态分布。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： A=normrnd([1 2 3;4 5 6],0.1,2,3) A = 1.1189 2.0327 2.9813 3.9962 5.0175 6.0726 例7 生成一个2*3阶服从均匀分布()3,1U 的随机矩阵。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： B=unifrnd(1,3,2,3) B = 1.8205 1.1158 2.6263 2.7873 1.7057 1.0197 注：对于标准正态分布，可用命令randn(m,n);对于均匀分布()1,0U ,可用命令rand(m,n)。概率论与数理统计第4章作业题解
(完整版)概率论与数理统计课后习题答案
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