广西五市（桂林、百色、崇左、来宾、贺州）2016届高三5月联合模拟考试
文数试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1.设集合{}10A =-，
，集合{}0,1,2B =，则A B 的子集个数是（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 【答案】C 【解析】
试题分析：{}1,0,1,2A B =-∴ A B 的子集个数是4216= 考点：子集的个数
2.已知i 是虚数单位，则复数()1z i i =-的实部为（ ） A ．1 B ．-1 C ．i D ．i - 【答案】A 【解析】
试题分析：()11z i i i =-=+ ，即复数()1z i i =-的实部为1 考点：复数的概念
3.命题“2
,x R x ?∈是无理数”的否定是（ ） A ．2
,x R x ??不是无理数 B ．2
,x R x ?∈不是无理数 C ．2
,x R x ??不是无理数 D ．2
,x R x ?∈不是无理数 【答案】D 【解析】
试题分析：由命题的否定可知选D 考点：命题的否定
4.已知向量()2,1a =-与(),3b m =平行，则m =（ ） A ．32-
B ．3
2
C ．-6
D ． 6 【答案】C
【解析】
试题分析：因为向量()2,1a =-与(),3b m =平行，60,6m m ∴--=∴=- 考点：向量共线的充要条件
5.某年级有1000名学生，随机编号为0001，0002，…，1000，现用系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（ ） A ．0116 B ．0927 C ．0834 D ．0726 【答案】
B
考点：系统抽样 6.已知函数()()21
log 4,4
12,4
x x x f x x -?-<=?
+≥?则()()20log 32f f +=（ ） A ．19 B ．17 C ．15 D ．13 【答案】A 【解析】
试题分析：()()()51
220log 32log 4521219f f f -+=+=++=
考点：分段函数
7.在 ABC ?
中，sin :sin :sin 2:3:A B C =cos C =（ ）
A
C ．13
D ．14
【答案】D 【解析】
试题分析：sin :sin :sin 2:A B C =
，由正弦定理可知::2:3:a b c =
，不妨设
()2,3,,0a k b k c k ===>，则由余弦定理可得
222
1
cos 24
a b c C ab
+-==
=
，选D 考点：正弦定理，余弦定理
8.将双曲线22
221x y a b
-=的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点所组成的三角形叫做双曲线的“黄金三角形”，
则双曲线22:4C x y -=的“黄金三角形”的面积是（ ）
A 1
B ．2
C ．1
D ．2 【答案】B
考点：双曲线的简单性质
9.已知e 为自然对数的底数，曲线x
y ae x =+的点()1,1ae +处的切线与直线210ex y --=平行，则实数
a =（ ）
A ．
1e e - B ．21e e - C ．12e e - D ．212e e
- 【答案】B 【解析】
考点：利用导数研究曲线上某点处的切线方程
10.给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】C
考点：程序框图
11.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）
A ．82π+
B ．102π+
C ．62π+
D ．122π+ 【答案】A 【解析】
试题分析：根据三视图可知几何体是组合体：上面是半球，下面一个圆柱挖掉了1
3
个半圆柱， 球的半径是1，圆柱的底面圆半径是1，母线长是3， ∴几何体的表面积21
4121312121822
S πππππ=
??+??+??+?+?=+，
故选A ． 考点：三视图，几何体的表面积
12.已知函数()cos sin (0)f x x x ωωω=->在,22ππ??
- ???
上单调递减，则ω的取值不可能为（ ） A ．
15 B ．14 C ．12 D ．34
【答案】
D
考点：正弦函数的单调性
【名师点睛】本题主要考查两角和的余弦公式，余弦函数的单调性，属中档题．解题时利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性求得()f x 的减区间，结合条件可得，
34242
ππππωω-
≤-≥，且，由此求得ω的范围，从而得出结论． 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
13.已知,x y 满足2
10x y x y +≤??
≥??≥?
，则2z x y =+的最大值为___________．
【答案】3 【解析】
试题分析：画出可行域如图所示，由图可知，当目标函数2z x y =+经过点
()1,1A 时取得最大值max 1213z =+?=
考点：简单的线性规划
14.已知函数()f x 是奇函数，且0x ≥时，()()2log 2f x x a =++，则()2f -的值为__________ 【答案】1-
考点：奇函数的性质
15.在长方体1111ABCD A B C D -中，13,2,1AB BC AA ===，点,,M N P 分别是棱1,,AB BC CC 的中点，则三棱锥1C MNP -的体积为__________． 【答案】
1
8
【解析】
试题分析：
∵,,M N P 分别是棱1,,AB BC CC 的点,11111111 1222224NPC S CC BC ∴=??=??= ． 111
1111131
33428
C MNP M NPC NPC AB BB C C V V S MB --⊥∴===?=?? 平面，． 故答案为1
8
．
考点：几何体的体积 16.若圆()2
2
2
:0C x y r r +=>的周长被直线()()()221210t x ty t t R -+-+=∈分为1：
3两部分，则r 的值是_________．
【答案】r =
考点：直线与圆的网线
三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列{}n a 的前n 项和2*3,4
n n n
S n N +=∈．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设44n a
n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和．
【答案】（1）1
2
n n a +=；（2）22243n n T n n +=--- 【解析】
试题分析：（1）当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，利用1n n n a S S -=-即可求出数列{}n a 的通项公式，注意验证1n =时是否符合；（2）由（1）知()1
221n n b n +=-+，利用分组求和法求和即可
试题解析：（1）当1n =时，111a S ==；
当2n ≥时，()()2
2113131
442
n n n n n n n n a S S --+-++=-=-=
因为11a =也适合上式，因此，数列{}n a 的通项公式为1
2
n n a +=
（2）由（1）知，12
n n a +=，故()112
1444
42212
n n a
n n n n b a n +++=-=-=-+
记数列{}n b 的前n 项和为n T ，则()
()2312222231n n T n +=+++-++++
记()2
3
1
222
,2231n A B n +=+++=++++ ，
则()24122412
n n A +-=
=--，
()()
2212231232
n n B n n n ++=++++==+
故数列{}n b 的前n 项和为22243n n T n n +=--- 考点：数列的通项公式的求法，分组求和法
18.某校高三（1
）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下，据此解答下列问题：
（1）求全班人数及分数在[)80,90之间的频数；
（2）若要从分数在[]80,100之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[]90,100之间的概率．
【答案】（1）班人数为25人，分数在[)8090，
之间频数为4；（2）3
5
P
= （2）先对分数在[]80,100之间的分数进行编号，并统计出从中任取两份的所有基本事件个数，及至少有一份分数在[]90,100之间的所有基本事件个数，代入古典概型概率计算公式可得答案． 试题解析：（1）
2
250.00810
=?
25214-=
即全班人数为25人，分数在[)8090，
之间频数为4
（2）记这6份试卷代号分别为1，2，3，4，5，6．其中5，6是[]90100，
之间的两份，则所有可能的抽取情况有：()()()()()()()()()()()()()()()121314151623242526343536454656，，，，，，，，，；，，，，，，；，，，，，，，，；，
，其中含有5或6的有9个，故93
155
P =
=． 考点：频率分布直方图，茎叶图，古典概型
19.如图，在三棱锥P ABC -中，090PAB PAC ACB ∠=∠=∠=． （1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；
（2）若1,2PA AB ==，当三棱锥P ABC -的体积最大时，求BC 的长．
【答案】（1）见解析；（2）当三棱锥P ABC -的体积最大时，BC =【解析】
试题分析：（1）由线线垂直证线面垂直，再由线面垂直证面面垂直即可；
（2）根据棱锥的体积公式，构造函数，通过求函数的最大值，求得三棱锥的体积的最大值及最大值时的条件．
（2）解：法1：由已知及（1）所证可知，PA ⊥平面ABC ，所以PA 是三棱锥P ABC -的高， 因为1,AB 2PA ==，设()02BC x x =<<，KS5U
所以AC ===
因为()224111136623
P ABC
ABC x x V S PA -?+-=?==≤?=
当且仅当224x x =-，即x =
时等号成立．所以当三棱锥P ABC -的体积最大时，BC =
考点：平面与平面垂直的判断，几何体的体积
20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>
过点? ?，过右焦点且垂直于x 轴的直线截椭圆所得弦长是1． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设点,A B 分别是椭圆C 的左，右顶点，过点()1,0的直线l 与椭圆交于,N M 两点（,M N 与,A B 不重合），证明：直线AM 和直线BN 交点的横坐标为定值．
【答案】（1）椭圆C 的标准方程是2214
x y +=；（2）见解析.
【解析】
试题分析：（1
）由已知可知，点? ?及点1,2c ?? ???在椭圆上，代入，由222c a b =-即可解得22
,,a b 则椭圆方程可求；（2）由（1）知点()()2,0,2,0A B -，设()()1122:1,,,,l x my M x y N x y =+，联立方程
22
1
14
x my x y =+???+=??，消去x 得()22
4230m y my ++-=， 进而得到1212,y y y y +，设直线()()1212:2,:222
y y
AM y x BN y x x x =
+=-+-联立方程()()11
222222y y x x y y x x ?
=+?+??
?=-?-?
，解得1212124263my y y y x y y -+=+，将1212,y y y y +，可得4x =，即直线AM 和直线BN 交点的横坐标为定值4．
试题解析：（1）由题知2
22222
231
411
41a b
a b a b ?
?+=????-?+=??，解得2241a b ?=?=?，故椭圆C 的标准方程是2214x y += （2）由（1）知点()()2,0,2,0A B -，设()()1122:1,,,,l x my M x y N x y =+，联立方程22
1
14
x my x y =+??
?+=??，消去x 得()
224230m y my ++-=，
所以121222
23
,44m y y y y m m +=-
=-++则直线()()1212:2,:222
y y AM y x BN y x x x =+=-+-联立方程()()
11222222y y x x y y x x ?
=+?+???=-?-?
，消去y 得()()12122222y y x x x x +=-+-．
解得()()12211212121221121222242623x y x y y y my y y y x x y x y y y y y +-+-+=
=-+++因为121222
23
,44
m y y y y m m +=-=-++，所以
121223y y m y y +=，即()121223my y y y =+，所以1212
12
62643y y y y x y y -+==+，即直线AM 和直线BN 交
点的横坐标为定值4．
考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系 21.设函数()21
ln 2
f x x x =-
． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若()()1
2
g x f x ax =+
在区间()1,+∞上没有零点，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）函数()f x 的单调增区间是1,2??+∞
???，单调减区间是10,2??
???
；（2）[)2,
a ∈-+∞ 试题解析：（1）()21
ln 2
f x x x =-，定义域为()0,+∞，()()()21211222x x f x x x x -+'=-
=， 令()0f x '>，得12x >
；令()0f x '<，得1
02
x <<， 故函数()f x 的单调增区间是1,2??+∞
???，单调减区间是10,2??
???
（2）()2
11
ln 22
g x x x ax =-+，由()214120222a x ax g x x x x +-'=-+==
得x =
设0x =，∴()g x 在(]00,x 上是减函数，在[)0,x +∞上为增函数，
又()g x 在()1,+∞上没有零点，∴()0g x >在()1,x ∈+∞上恒成立 由()0g x ≥得
1ln 22x a x x
≥-， 令ln 2x
y x x
=-，则222
22ln 22ln 4144x x x y x x ---'=-=，当1x ≥时，0y '< ∴ln 2x
y x x
=-在[)1,+∞上是减函数，∴1x =时，max 1y =- ∴
1
12
a ≥-，即[)2,a ∈-+∞ 考点：利用导数研究函数的性质
【名师点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属中档题．解第（2）问时，要根据()g x 单调性，将问题转化为求函数ln 2x
y x x
=-的单调性，根据函数的单调性求出a 的范围是解题的关键，也是本题的难点所在.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-1：几何证明选讲
已知点P 是圆O 外的一点，过P 作圆O 的切线,PA PB ，切点为,A B ，过P 作一割线交圆O 于点,E F ，若2PA PF =，取PF 的中点D ，连接AD ，并延长交圆于H ．
（1）求证：,,,O A P B 四点共圆； （2）求证：2
2PB AD DH = ． 【答案】（1）（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）利用对角互补，证明,,,O A P B 四点共圆；
（2）由切割线定理证明出2PE PA =，由相交弦定理可得AD DH ED DF = ，即可证明2
2PB AD DH =
试题解析：（1）
连接,OA OB ．
因为,PA PB 为切线，可知,OA PA OB PB ⊥⊥ ∴0180PAO PBO ∠+∠=， 所以,,,O A P B 四点共圆
考点：四点共圆，相交弦定理 23.选修4-4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系xOy 中，圆锥曲线C 的参数方程为2cos sin x y θ
θ=??=?
（θ为参数），定点(12
0,,,A F F 是圆锥曲线C 的左、右焦点，直线l 过点1A F ，． （1）求圆锥曲线C 及直线l 的普通方程；
（2）设直线l 与圆锥曲线C 交于,E F 两点，求弦EF 的长．
【答案】（1）圆锥曲线C 的普通方程为2214x y +=，直线l 的直角坐标方程为0x y ++=；（2）8
5
EF = 【解析】
试题分析：（1）利用22cos sin 1θθ+=即可消去参数，得到圆锥曲线C 普通方程，直线l 过点
(()
10,,A F 可得直线l 的普通方程；（2）利用弦长公式可求弦EF 的长．
（2
）联立2
2140x y x y ?+=???++=?
，消去y
得2
580x ++=，
则12128
5
x x x x +==
85
= 考点：参数方程与普通方程的互化，弦长公式 24.选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x a x =-++． （1）当1a =，解不等式()5f x <；
（2）对任意x R ∈，不等式()32f x a ≥-都成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）不等式的解集为()3,2-；（2）实数a 的取值范围是(],2-∞
【解析】
试题分析：（1）把不等式()5f x <等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．KS5U
（2）由题意可得函数()f x 的图象不能在32y
a =-的图象的下方，数形结合求得a 的范围．
（2）()22f x x a x a ≥---=+ 由题意得232a a +≥-2a ≤ 即实数a 的取值范围是(],2-∞ 考点：绝对值不等式