一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：
（1）求证：△BEF∽△DCB；
（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；
（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；
（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．
【答案】（1）解：证明：∵四边形是矩形，
在中，
分别是的中点，
（2）解：如图1，过点作于，
（舍）或秒
（3）解：四边形为矩形时,如图所示：
解得：
（4）解：当点在上时，如图2，
当点在上时，如图3，
时，如图4，
时，如图5，
综上所述，或或或秒时，是等腰三角形．
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可证得AD∥BC，∠A=∠C，根据中位线定理可证得EF∥AD，就可得出EF∥BC，可证得∠BEF=∠C，∠BFE=∠DBC，从而可证得结论。（2）过点Q作QM⊥EF，易证QM∥BE，可证得△QMF∽△BEF，得出对应边成比例，可求出QM的值，再根据△PQF的面积为0.6cm2，建立关于t的方程，求解即可。
（3）分情况讨论：当点 Q 在 DF 上时，如图2， PF=QF；当点 Q 在 BF 上时， PF=QF，如图3；PQ=FQ 时，如图4；PQ=PF 时，如图5，分别列方程即可解决问题。
2．已知：如图一，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过A、C两点，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线段BC于点E，D，同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒2个单位速度运动，如图；当点P运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连DP，若点P
运动时间为t秒；设，当t为何值时，s有最小值，并求出最小值．
（3）在的条件下，是否存在t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与相似；若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由直线：知：、；
∵，
∴，即．
设抛物线的解析式为：，代入，得：
，解得
∴抛物线的解析式：
（2）解：在中，，，则；
∵，
∴；
而；
∴，
∴当时，s有最小值，且最小值为1
（3）解：在中，，，则；
在中，，，则；
∴；
以P、B、D为顶点的三角形与相似，已知，则有两种情况：
，解得；
，解得；
综上，当或时，以P、B、D为顶点的三角形与相似
【解析】【分析】（1）由直线与坐标轴相交易求得点A、C的坐标，用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）由题意可将ED、OP用含t的代数式表示出来，并代入题目中的s与OP、DE的关系
式整理可得s=（0 （3）解直角三角形可得BC和CD、BD的值，根据题意以P、B、D为顶点的三角形与 △ABC相似所得的比例式有两种情况：，，将这些线段代入比例式即可求解。 3．如图，抛物线过点，．为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N． （1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式； （2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标； （3）如果以B，P，N为顶点的三角形与相似，求点M的坐标． 【答案】（1）解：设直线的解析式为（） ∵， ∴解得 ∴直线的解析式为 ∵抛物线经过点， ∴解得 ∴ （2）解：∵轴，则， ∴， ∵点是的中点 ∴ ∴ 解得，（不合题意，舍去） ∴ （3）解：∵，， ∴， ∴ ∵ ∴当与相似时，存在以下两种情况： ∴解得 ∴ ∴ ,解得 ∴ 【解析】【分析】（1）运用待定系数法解答即可。 （2）由（1）可得直线AB的解析式和抛物线的解析式，由点M（m,0）可得点N，P用m 表示的坐标，则可求得NP与PM，由NP=PM构造方程，解出m的值即可。 （3）在△BPN与△APM中，∠BPN=∠APM，则有和这两种情况，分别用含m的代数式表示出BP，PN，PM，PA，代入建立方程解答即可。 4．书籍开本有数学开本指书刊幅面的规格大小．如图①，将一张矩形印刷用纸对折后可以得到2开纸，再对折得到4开纸，以此类推可以得到8开纸、16开纸…… 若这张矩形印刷用纸的短边长为a． （1）如图②，若将这张矩形印刷用纸ABCD(AB BC)进行折叠，使得BC与AB重合，点C落在点F处，得到折痕BE；展开后，再次折叠该纸，使点A落在E处，此时折痕恰好经 过点B，得到折痕BG，求的值． （2）如图③，2开纸BCIH和4开纸AMNH的对角线分别是HC、HM．说明HC⊥HM．（3）将图①中的2开纸、4开纸、8开纸和16开纸按如图④所示的方式摆放，依次连接点A、B、M、I，则四边形ABMI的面积是________.（用含a的代数式表示，直接写出结果） 【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC ∠C 90°． ∵第一次折叠使点C落在AB上的F处，并使折痕经过点B， ∴∠CBE ∠FBE 45°， ∴∠CBE ∠CEB 45°， ∴BC CE a，BE ． ∵第二次折叠纸片，使点A落在E处，得到折痕BG， ∴AB BE ， ∴ （2）解：根据题意和（1）中的结论，有AH BH ，． ∴． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A ∠B 90°， ∴△MAH∽△HBC， ∴∠AHM ∠BCH． ∵∠BCH ∠BHC 90°， ∴∠AHM ∠BHC 90°， ∴∠MHC 90°， ∴HC⊥HM． （3） 【解析】【解答】解：（3）如图④， 根据题意知（1）中的结论，有BC=AD= a，AF=IG= a，NI=MP= a，OP= a，又∵∠C=∠ADE=90°, ∠BEC=∠AED, ∴?BCE≌?ADE， ∴S ?BCE=S ?ADE, 同理可得，S ?AFH=S ?IGH, S ?INQ=S ?MPQ, ∴四边形ABMI的面积=S矩形ADOF+S矩形IGON+S梯形BMPC = ． 【分析】（1）利用矩形的性质及第一次折叠使点C落在AB上的F处，可得出∠CBE=∠FBE=∠CEB=45°，可得出CE=BC，利用勾股定理可用含a的代数式求出BE的长，再根据第二次折叠纸片，使点A落在E处，得到折痕BG，可用含a的代数式表示出AB的长，然后求出AB与BC的比值。 （2）利用（1）的结论，可用含a的代数式表示出AH、BH、AM的长，就可求出 ，利用矩形的性质可得出∠A = ∠B，再根据相似三角形的性质，证明△MAH∽△HBC，利用相似三角形的性质，去证明∠AHM + ∠BHC = 90°，然后利用垂直的定义可解答。 （3）利用已知条件证明?BCE≌?ADE，可证得S ?BCE=S ?ADE， S ?AFH=S ?IGH, S ?INQ=S ?MPQ，再根据四边形ABMI的面积=S矩形ADOF+S矩形IGON+S梯形BMPC，可求出答案。 5．已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4．P是对角线BD上的一个动点（点P不与点B、D 重合），过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F．联结AP，画∠FPE=∠BAP，PE交BF于点E．设PD=x，EF=y． （1）当点A、P、F在一条直线上时，求△ABF的面积； （2）如图1，当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域； （3）联结PC，若∠FPC=∠BPE，请直接写出PD的长． 【答案】（1）解：如图， ∵矩形ABCD ， ∴， ∴， ∵A、P、F在一条直线上，且PF⊥BD， ∴， ∴， ∴，∵， ∴，∴， ∴； （2）解：∵PF⊥BP ，∴， ∴，∵，∴，∴，又∵∠BAP =∠FPE， ∴∽，∴， ∵AD//BC ，∴， ∴，即， ∵，∴， ∴， ∴ （3）解：∠CPF=∠BPE， ①如图所示，当点F在CE上时， ∵∠BPF=∠FPD=90°，∴∠DPC=∠FPE， ∵∠FPE=∠BAP，∴∠DPC=∠BAP， ∵AB//CD，∴∠ABD=∠CDB， ∴△PAB∽△CPD， ∴PB：CD=AB：PD， ∴PB·PD=CD·AB， ∴x（）=2×2， ∴x= ； ②如图所示，当点F在EC延长线上时， 过点P作PN⊥CD于点N，在CD上取一点M，连接PM，使∠MPF=∠CPF， 则有PC：PM=CH：MH， ∵∠BPF=∠DPF=90°，∴∠BPC=∠DPM， ∵∠BPE=∠CPF，∴∠BPE=∠EPF， ∵∠BAP=∠FPE，∴∠BAP=∠DPM， ∵∠ABD=∠BDC， ∴△PAB∽△MPD， ∴PB：MD=AB：PD， 由PD=x，tan∠PDM=tan∠PFC=2， 易得：DN= ，PN= ，CN=2- ， PH=2x，FH= ，CH=2- x， 由PB：MD=AB：PD可得MD= ，从而可得MN， 在Rt△PCN中利用勾股定理可得PC， 由PC：PM=CH：MH可得PM， 在在Rt△PMN中利用勾股定理可得关于x 的方程， 解得x= ， 综上：PD的长为：或 【解析】【分析】（1）要求三角形ABF的面积，由题意只须求出BF的长即可。根据同角的余角相等可得∠BAF=∠ADB，所以tan∠PBF=tan∠ADB=,结合已知即可求得 BF的长，三角形ABF的面积=AB BF； （2）要求y与x之间的函数关系式，由题意只须证得ΔBAP∽ΔFPE，从而得出比例 式;,现在需求出PF的长，代入比例式即可得y与x的关系式。 （3）由已知条件过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F可知，点F可能在线段CE上，也可在CE的延长线上，所以分两种情况求解即可。 6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a＜0）从左到右依次交x轴于A、B两点，交y轴于点C． （1）求点A、C的坐标； （2）如图1，点D在第一象限抛物线上，AD交y轴于点E，当DE=3AE，OB=4CE时，求a 的值； （3）如图2，在（2）的条件下，点P在C、D之间的抛物线上，连接PC、PD，点Q在点B、D之间的抛物线上，QF∥PC，交x轴于点F，连接CF、CB，当PC=PD，∠CFQ=2∠ABC，求BQ的长． 【答案】（1）解：当x=0时，y=3，∴C（0，3）． 当y=0时，ax2+（a+3）x+3=0， （ax+3）（x+1）=0，解得x1=- ，x2=-1． ∵a＜0， ∴- ＞0， ∴A（-1，0） （2）解：如图1，过点D作DM⊥AB于M． ∵OE∥DM， ∴， ∴OM=3， ∴D点纵坐标为12a+12． ∵tan∠EAO= =3a+3， ∴OE=3a+3， ∴CE=OC-OE=3-（3a+3）=-3a． ∵OB=4CE， ∴- =-12a， ∵a＜0， ∴a=- （3）解：如图2，过点D作DT⊥y轴于点T，过点P作PG⊥y轴于点G，连接TP． ∵a=- ， ∴抛物线的解析式为y=- x2+ x+3，D（3，6），DT=3，OT=6，CT=3=DT， 又∵PC=PD，PT=PT， ∴△TCP≌△TDP， ∴∠CTP=∠DTP=45°，TG=PG． 设P（t，- t2+ t+3）， ∴OG=- t2+ t+3，PG=t， ∴TG=OT-OG=6-（- t2+ t+3）= t2- t+3， ∴ t2- t+3=t，解得t=1或6， ∵点P在C、D之间， ∴t=1． 过点F作FK∥y轴交BC于点K，过点Q作QN⊥x轴于点N，则∠KFC=∠OCF，∠KFB=∠CON=90°． ∵FQ∥PC， ∴∠PCF+∠CFQ=180°，∠PCF+∠PCG+∠OCF=180°， ∴∠CFQ=∠PCG+∠OCF， ∴∠CFK+∠KFQ=∠PCG+∠OCF， ∴∠KFQ=∠PCG． ∵P（1，5），∴PG=1，CG=OG-OC=5-3=2， ∴tan∠PCG= ， ∵tan∠ABC= ， ∴∠PCG=∠ABC， ∴∠KFQ=∠ABC． ∵∠CFQ=2∠ABC， ∴∠CFQ=2∠KFQ， ∴∠KFQ=∠KFC=∠OCF=∠ABC， ∴tan∠OCF= ， ∴OF= ． 设FN=m，则QN=2m，Q（m+ ，2m）， ∵Q在抛物线上， ∴- （m+ ）2+ ×（m+ ）+3=2m， 解得m= 或m=- （舍去）， ∴Q（4，5）， ∵B（6，0）， ∴BQ= ． 【解析】【分析】（1）令x=0，求出y的值，得到C点坐标；令y=0，求出x的值，根据a＜0得出A点坐标；（2）如图1，过点D作DM⊥AB于M．根据平行线分线段成比例定理求出OM=3，得到D点纵坐标为12a+12．再求出OE=3a+3，那么CE=OC-OE=-3a．根据 OB=4CE，得出- =-12a，解方程求出a=- ；（3）如图2，过点D作DT⊥y轴于点T，过点P作PG⊥y轴于点G，连接TP．利用SSS证明△TCP≌△TDP，得出∠CTP=∠DTP=45°，那么 TG=PG．设P（t，- t2+ t+3），列出方程 t2- t+3=t，解方程求得t=1或6，根据点P在C、D之间，得到t=1．过点F作FK∥y轴交BC于点K，过点Q作QN⊥x轴于点N，根据平行线的性质以及已知条件得出∠KFQ=∠PCG，进而证明∠KFQ=∠KFC=∠OCF=∠ABC，由 tan∠OCF= =tan∠ABC= ，求出OF= ．设FN=m，则QN=2m，Q（m+ ，2m），根据 Q在抛物线上列出方程- （m+ ）2+ ×（m+ ）+3=2m，解方程求出满足条件的m的值，得到Q点坐标，然后根据两点间的距离公式求出BQ． 7．在平面直角坐标系中，点 A 点 B 已知满足 . （1）点A的坐标为________，点B的坐标为________； （2）如图1，点E为线段OB上一点，连接AE，过A作AF⊥AE，且AF=AE，连接BF交轴于点D，若点D(-1,0)，求点E的坐标； （3）在(2)的条件下，如图2，过E作EH⊥OB交AB于H，点M是射线EH上一点(点M不在线段EH上)，连接MO，作∠MON=45°，ON交线段BA的延长线于点N，连接MN，探究线段MN与OM的关系,并说明理由。 【答案】（1）（-4,0）；（0，-4） （2）解：作FH⊥OA于H， ∵AF⊥AE， ∴∠FAE=∠AHF=∠AOE=90°， ∴∠FAH+∠OAE=90°，∠FAH+∠AFH=90°， ∴∠AFH=∠OAE, ∵AF=OA， ∴△AFH≌△EAO， ∴FH=OA， ∵点A（-4,0），点B（0，-4） ∴FH=OA=OB=4， ∵∠FHD=∠BOD=90°，∠FDH=∠BDO, ∴△FDH≌△BDO， ∴OD=DH=1， ∴AH=OH=OE=2， ∴E（0，-2） （3）解：结论：MN=OM,MN⊥OM， 理由：连接OH，OM与BN交于G， ∵OA=OB,∠AOB=45°， ∴∠OAB=45° ∵OE=EB=2，EH∥OA, ∴AH=BH,OH⊥AB,∠AHM=∠OAB=45°， ∵∠MON=45° ∴∠GON=∠GHM, ∵∠NGO=∠MGH, ∴△NGO∽△MGH， ∴ = , ∴ = , ∵∠NGM=∠OGH, ∴△NGM∽△OGH， ∴∠NMG=∠OHG=90°， ∴△OMN是等腰直角三角形 ∴MN=OM,MN⊥OM. 【解析】【解答】（1）∵ =0, ∴a=-4，b=-4, ∴点A的坐标为（-4,0），点B的坐标为（0，-4） 【分析】（1）先将式子变形为完全平方公式的形式，再根据平方的非负性求解;（2）如图1中，作FH⊥OA于H，由△AFH≌△EAO，推出FH=OA,由△FDH≌△BDO,推出 AH=OH=OE=2;（3）连接OH，OM与BN交于G，由△NGO∽△MGH，推出 = ,再推出 = ,再得出△NGM∽△OGH，推出∠NMG=∠OHG=90°，推出△OMN是等腰直角三角形即可解决问题. 8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D从点C出发，以2cm/s 的速度沿折线C→A→B向点B运动，同时点E从点B出发，以1cm/s的速度沿BC边向点C运动，设点E运动的时间为t（单位：s）（0＜t＜8）. （1）当△BDE 是直角三角形时，求t的值； （2）若四边形CDEF是以CD、DE为一组邻边的平行四边形，①设它的面积为S，求S关于t的函数关系式；②是否存在某个时刻t，使平行四边形CDEF为菱形?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）解：如图1，当∠BED=90°时，△BDE是直角三角形， 则BE=t，AC+AD=2t， ∴BD=6+10-2t=16-2t， ∵∠BED=∠C=90°， ∴DE∥AC， ∴， ∴， ∴DE= ， ∵sinB= ， ∴， t= ； 如图2，当∠EDB=90°时，△BDE是直角三角形， 则BE=t，BD=16-2t， cosB= ， ∴， ∴t= ； 答：当△BDE是直角三角形时，t的值为或 （2）解：①如图3，当0＜t≤3时，BE=t，CD=2t，CE=8-t， ∴S?CDEF=2S△CDE=2× ×2t×（8-t）=-2t2+16t， 如图4，当3＜t＜8时，BE=t，CE=8-t，过D作DH⊥BC，垂足为H， ∴DH∥AC， ∴， ∴， ∴DH= ， ∴S?CDEF=2S△CDE=2× ×CE×DH=CE×DH=（8-t）× = t2? t+ ； ∴S于t的函数关系式为：当0＜t≤3时，S=-2t2+16t， 当3＜t＜8时，S= t2? t+ ； ②存在，如图5，当?CDEF为菱形时，DH⊥CE， 由CD=DE得：CH=HE， BH= ，BE=t，EH= ， ∴BH=BE+EH， ∴ =t+ ， ∴t= ， 即当t= 时，?CDEF为菱形． 【解析】【分析】（1）因为△BDE 是直角三角形有两种情况： ①当∠BED=90°时，可得DE∥AC，根据平行于三角形一边的直线和其它两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似可得,于是可得比例式将DE 用含t的代数式表示，再根据sinB=可得关于t的方程，解方程即可求解； ② 当∠EDB=90°时，同理可求解； （2）①当0＜t≤3时，S?CDEF=2S△CDE可得s与t的关系式；当3＜t＜8时，过D作DH⊥BC，垂足为H，根据平行于三角形一边的直线和其它两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似可得,于是可得比例式将DH用含t的代数式表示，则S?CDEF=2S△CDE可得s与t的关系式；当3＜t＜8时，同上； ②存在，当?CDEF为菱形时，DH⊥CE，根据BH=BE+EH可得关于t的方程，解方程即可求解。 9．如图，抛物线y=ax2+bx+c过原点O、点A （2，﹣4）、点B （3，﹣3），与x轴交于点
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