2013年中考数学压轴题真题分类汇编：三角形
六、三角形 1．（北京）在△ABC 中，BA ＝BC ，∠BAC ＝α，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段P A 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ． （1）若α＝60°且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出∠CDB 的度数； （2）在图2中，点P 不与点B ，M 重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想∠CDB 的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；
（3）对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ ＝QD ，请直接写出α的范围．
2．（北京模拟）已知，点P 是∠MON 的平分线OT 上的一动点，射线P A 交直线OM 于点A ，将射线P A 绕点P 逆时针旋转交射线ON 于点B ，且使∠APB ＋∠MON ＝180°． （1）求证：P A ＝PB ；
（2）若点C 是直线AB 与直线OP 的交点，当S △POB
＝3S △PCB
时，求 PB
PC
的值；
（3）若∠MON ＝60°，OB ＝2，直线P A 交射线ON 于点D ，且满足∠PBD ＝∠ABO ，求OP 的长．
3．（北京模拟）已知△ABC 和△DEC 都是等腰直角三角形，C 为它们的公共直角顶点，连接AD
、BE ，F 为线段AD 的中点，连接CF ．
（1）如图1，当点D 在BC 边上时，BE 与CF 的数量关系是____________，位置关系是____________，请证明；
（2）如图2，把△DEC 绕点C 顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明；
（3）如图3，把△DEC 绕点C 顺时针旋转45°，BE 、CD 交于点G ．若∠DCF ＝30°，求 BG CG 及 AC
DC
的值．
4．（上海模拟）如图，∠ACB ＝90°，CD 是∠ACB 的平分线，点P 在CD 上，CP ＝2．将三角板的直角顶点放置在点P 处，绕着点P 旋转，三角板的一条直角边与射线
CB 交于点E ，另一条直角边与直线CA 、直线CB 分别交于点F 、点G ． （1）当点F 在射线CA 上时
①求证：PF ＝PE ．
②设CF ＝x ，EG ＝y ，求y 与x 的函数解析式并写出函数的定义域． （2）连接EF ，当△CEF 与△EGP 相似时，求EG 的长．
图1 A
B
C Q M (P ) 图2
A B C Q
P M A M T N O M T N O 备用图 M T N
O 备用图 A B E F 图1 A B C D
E
F 图2 A B C D E F 图3
G
5．（上海模拟）已知△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝6，sin B ＝
4
5
．点P 从点B 出发沿射线BA 移动，同时点Q 从点C 出发沿线段AC 的延长线移动，点P 、Q 移动的速度相同，P Q 与直线BC 相交于点D ．
（1）如图①，当点P 为AB 的中点时，求CD 的长；
（2）如图②，过点P 作直线BC 的垂线，垂足为E ，当点P 、Q 在移动的过程中，线段BE 、DE 、CD 中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由；
（3）如图③，当PQ 经过△ABC 的重心G 时，求BP 的长．
6．（上海模拟）如图，三角形纸片ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3
AC 边上的点D 处，折痕与BC 、AB 分别交于点E 、F ．
（1）设BE ＝x ，DC ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围； （2）当△ADF 是直角三角形时，求BE 的长； （3）当△ADF 是等腰三角形时，求BE 的长
（4）过C 、D 、E 三点的圆能否与AB 边相切？若能，求BE 的长；若不能，说明理由．
7．（上海模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，AD ⊥BC 于D ，点E 、F 分别是AB 边和AC 边上的动点，且∠EDF ＝90°，连接EF ．
（1）求
DE
DF
的值；
（2）设AE 的长为x ，△DEF 的面积为S ，求S 关于x 的函数关系式；
（3）设直线DF 与直线AB 相交于点G ，△EFG 能否成为等腰三角形？若能，求AE 的长；若不能，请说明理由．
8．（上海模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝5，D 是BC 边上一点，CD ＝
3，P 是AC 边上一动点（不与A 、C 重合），过点P 作PE ∥BC 交AD 于点E ． （1）设AP ＝x ，DE ＝y ，求y 关于x 的函数关系式；
（2）以PE 为半径的⊙E 与以DB 为半径的⊙D 能否相切？若能，求tan ∠DPE 的值；若不能，请说明理由； （3）将△ABD 沿直线AD 翻折，得到△AB ′D ，连接B ′C ，当∠ACE ＝∠BCB ′
时，求AP 的长．
A D C
B P Q 图② E A D
C B P Q 图① Q
A B C D F A B C C B A D E
F C B A D 备用图 C B A D 备用图
9．（上海模拟）已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点P 是边AB 上的一个动点，连接CP ，过点B 作BD ⊥CP ，垂足为点D .
（1）如图1，当CP 经过△ABC 的重心时，求证：△BCD ∽△ABC ；
（2）如图2，若BC ＝2厘米，cot A ＝2，点P 从点A 向点B 运动（不与点A 、B 重合），点P 的速度是
5
厘米/秒，设点P 运动的时间为t 秒，△BCD 的面积为S 平方厘米，求S 关于t 的函数解析式，并写出自变量t 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若△PBC 是以CP 为腰的等腰三角形，求△BCD 的面积．
10．（上海模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CE 是斜边AB 上的中线，AB ＝10，tan A ＝
4
3
．点P
是CE 延长线上的一动点，过点P 作PQ ⊥CB ，交CB 延长线于点Q ．设EP ＝x ，BQ ＝y ． （1）求y 关于x 的函数关系式及定义域；
（2）连接PB ，当PB 平分∠CPQ 时，求∠PE 的长；
（3）过点B 作BF ⊥AB 交PQ 于F ，当△BEF 和△QBF 相似时，求x 的值．
11．（上海模拟）如图1，在Rt △AOC 中，AO ⊥OC ，点B 在OC 边上，OB ＝6，BC ＝12，∠
ABO ＋∠C ＝90°，动点M 和N 分别在线段AB 和AC 边上． （1）求证：△AOB ∽△COA ，并求cos C 的值；
（2）当AM ＝4时，△AMN 与△ABC 相似，求△AMN 与△ABC 的面积之比；
（3）如图2，当MN ∥BC 时，以MN 所在直线为对称轴将△AMN 作轴对称变换得△EMN ．设MN ＝x ，△EMN 与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．
12．（上海模拟）把两块边长为4的等边三角板ABC 和DE 如图1放置，使三角板DEF 的顶点D 与三角板ABC 的AC 边的中点重合，DF 经过点B ，射线DE 与射线AB 相交于点M ．把三角板ABC 固定不动，将三角板DEF 绕点D 按逆时针方向旋转，设旋转角为α，其中0°＜α＜90°，射线DF 与线段BC 相交于点Q （如图2）． （1）当0°＜α＜60°时，求AM ·CN 的值； （2）当0°＜α＜60°时，设AM ＝x ，两块三角板重叠部分的面积为y ，求y 与x 的函数关系式并确定自变量x 的取值范围； （3）当BM ＝2时，求两块三角板重叠部分的面积．
C A P B
D \
图1 C A P B D
\图2 C A B 备用图
A
B P
C Q E A B C E 备用图 A B C E 备用图 A O N C B M 图1 A O N E C B M 图2 E
13．（上海模拟）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝2，CD ⊥AB ，垂足为点D ，点E 、F 分别在边AC 、BC 上，且∠EDF ＝60°．设AE ＝x ，BF ＝y ． （1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（2）△BDF 能否成为等腰三角形？如果能，请求出x 的值，如果不能，请说明理由．
14．（上海模拟）如图，P 是线段AB 上任意一点（不与点A 、B 重合），分别以AP 、BP 为边，在AB 的同
侧作等边△APD 和等边△BPC ，连接BD 与PC 交于点E ，连接CD ． （1）当BC ⊥CD 时，试求∠DBC 的正切值；
（2）若线段CD 是线段DE 和DB 的比例中项，试求此时 AP
PB
的值；
（3）记四边形ABCD 的面积为S ，当P 在线段AB 上运动时，S 与BD 2是否成正比例？若成正比例，试求出比例系数；若不成正比例，请说明理由．
15．（上海模拟）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，D 是AC 边的中点，E 是BC 边上一动点（不与端点重合），EF ∥BD 交AC 于F ，交AB 延长线于G ，H 是BC 延长线上的点，且CH ＝BE ，连接FH ．设BE ＝x ，CF ＝y ．
（1）求y 关于x 的函数关系式；
（2）连接AE ，当以GE 为半径的⊙G 和以FH 为半径的⊙F 相切时，求tan ∠BAE 的值；
（3）当△BEG 与△FCH 相似时，求BE 的长．
16．（上海模拟）如图，△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝4，点O 为AB 边的中点，点M 是BC 边上一动
点（不与点B 、C 重合），AD ⊥AB ，垂足为点A ．连接MO ，将△BOM 沿直线MO 翻折，点B 落在点B 1
A B C D E D A C B P E D
A C
B P
E 备用图 A B
C D E F G H A B C D 备用图 A B C D 备用图
处，直线MB 1与AC 、AD 分别交于点F 、N ． （1）当∠CMF ＝120° 时，求BM 的长；
（2）设BM ＝x ，y ＝
△CMF 的周长
△ANF 的周长
，求y 关于x 的函数关系式。并写出自变量x 的取值范围；
（3）连接NO ，与AC 边交于点E ，当△FMC ∽△AEO 时，求BM 的长．
17．（上海模拟）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，cos B ＝ 3
5
，点D 在射线AB 上，DE ∥BC 交射线AC 于
点E ，点F 在AE 的延长线上，且EF ＝ 1
4
AE ，以DE 、EF 为邻边作□DEFG ，连接BG ．
（1）当EF ＝FC 时，求△ADE 的面积；
（2）设AD ＝x ，□DEFG 与△ABC 重合部分的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并求出S 的最大值； （3）当△DBG 是等腰三角形时，求AD 的长．
18．（上海模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，cos ∠BAC ＝ 1
3
，点O 在AB 上，且CA ＝CO ＝6．将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到△AB ′C ′，且C ′ 落在CO 的延长线上，连接BB ′ 交CO 的延长线于点D ， （1）求证：△COA ∽△BOD
（2）求BD 的长．
19．（安徽）如图1，在△ABC 中，D 、E 、F 分别为三边的中点，G 点在边AB 上，△BDG 与四边形ACDG 的周长相等，设BC ＝a 、AC ＝b 、A B ＝c ． （1）求线段BG 的长；
（2）求证：DG 平分∠EDF ；
（3）连接CG ，如图2，若△BDG 与△DFG 相似，求证：BG ⊥CG ．
20．（浙江金华、丽水）在△ABC 中，∠ABC ＝45°，tan ∠ACB ＝
3 5 ．如图，把△AB C 的一边BC 放置在x 轴上，有OB ＝14，OC ＝ 10
3
34，AC 与y 轴交于点E ． A B C G F E 图1 A B C G F E 图2 D A C
B N O F M
B 1 A D E G F A 备用图 A
B O B ′ D
C C ′
（1）求AC 所在直线的函数解析式；
（2）过点O 作OG ⊥AC ，垂足为G ，求△OEG 的面积；
（3）已知点F （10，0），在△ABC 的边上取两点P ，Q ，是否存在以O ，P ，Q 为顶点的三角形与△OFP 全等，且这两个三角形在OP 的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
21
5，∠
到△A 1BC 1（1）如图1CC 11（2）如图2，连接AA 1、CC 1．若△ABA 1的面积为4，求△CBC 1的面积；
（3）如图3，点D 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是点P 1，求线段DP 1长度的最大值与最小值．
22．（浙江模拟）如图，在边长为2的等边△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，点P 是边AB 上的一个动点，过点
P 作PF ∥AC 交线段BD 于点F ，作PG ⊥AB 交AD 于点E ，交线段CD 于点G ，设BP ＝x ．
（1）用含x 的代数式表示线段DG 的长，并写出自变量x 的取值范围；
（2）记△DEF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并求出S 的最大值； （1）设BP ＝x ，△DEF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式；
（3）以P 、E 、F 为顶点的三角形与△EDG 是否可能相似？如果能，求出BP 的长；如果不能，请说明理由．
23．（江苏淮安） 阅读理解
如图1，△ABC 中，沿∠BAC 的平分线AB 1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B 1A 1C 的平分线A 1B 2
折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠B n A n C 的平分线A n B n +1折叠，点B n 与点C 重合．．，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC 是△ABC 的好角．
小丽展示了确定∠BAC 是△ABC 的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形△ABC 顶角∠BAC 的平分线AB 1折叠，点B 与点C 重合；情形二：如图3，沿△ABC 的∠BAC 的平分线AB 1折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿∠B 1A 1C 的平分线A 1B 2折叠，此时点B 1与点C 重合． 探究发现
A 图3 A
B
C 1 1 图2 A
C 1 A 1
图1 C A D F B E
G P A B C B 1 B 2 B n B n +1 A 1 A 2 A n 图1 …
A B C B 1 图2 A B C 1图3 2A 1
（1）△ABC 中，∠B ＝2∠C ，经过两次折叠，∠BAC 是不是△ABC 的好角？_________（填“是”或“不
是”）．
（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC 是△ABC 的好角，请探究∠B 与∠C （不妨设∠B ＞∠C ）之间的等量
关系．
根据以上内容猜想：若经过n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角，则∠B 与∠C （不妨设∠B ＞∠C ）之间的等量关系为________________． 应用提升
（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°，60°，105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．
请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．
24．（江苏宿迁）（1）如图1，在△ABC 中，BA ＝BC ，D ，E 是AC 边上的两点，且满足∠DBE ＝
1
2 ∠ABC （0°＜∠CBE ＜
1
2
∠ABC ）．以点B 为旋转中心，将△BEC 按顺时针方向旋转∠ABC ，得到△BE ′A （点C 与点A 重合，点E 到点E ′ 处），连接DE ′．求证：DE ′＝DE ．
（2）如图2，在△ABC 中，BA ＝BC ，∠ABC ＝90°，D ，E 是AC 边上的两点，且满足∠DBE ＝
1
2
∠ABC （0°＜∠CBE ＜45°）．求证：DE 2＝AD 2＋EC 2．
25．（江苏镇江）等边△ABC 的边长为2，P 是BC 边上的任一点（与B 、C 不重合），连接AP ，以AP 为边向两侧作等边△APD 和等边△APE ，分别与边AB 、AC 交于点M 、N （如图1）． （1）求证：AM ＝AN ； （2）设BP ＝x ．
①若BM ＝
3
8
，求x 的值；
②记四边形ADPE 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式以及S 的最小值； ③连接DE ，分别与边AB 、AC 交于点G 、H （如图2），当x 取何值时，∠BAD ＝15°？并判断此时以DG 、GH 、HE 这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由．
26．（江苏模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2，2），点P 是线段OA 上的一个动点（不与端点重合），过点P 作PQ ⊥x 轴于Q ，以PQ 为边向右作正方形PQMN ．连接AN 并延长交x 轴于点B ，连接ON ，设OQ ＝t ．
（1）求tan ∠BON 的值； （2）用含t 的代数式表示△OAB 的面积S ；
（3）是否存在点P ，使以B 、M 、N 为顶
A
C 图2
E D A C E ′
图1 E
D A B C
E D M N 图1 A B C
E
D M
N 图2
G H
点的三角形与△MON 相似，若存在，请求出B 点的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（江苏模拟）在平面直角坐标系中，点C 的坐标为（0，4），A （t ，0）是x 轴上一动点，M 是线段AC 的中点．把线段AM 绕点A 按顺时针方向旋转90°，得到线段AB ，过点B 作x 轴的垂线，过点C 作y 轴的垂线，两直线交于点D ，直线DB 交x 轴于点E ．
（1）若t ＝3，则点B 的坐标为____________，若t ＝－3，则点B 的坐标为____________； （2）当t 为何值时，△BCD 的面积等于6
？
（3）是否存在t ，使得以B 、C 、D 为顶点的三角形与△AOC 相似？若存在，求此时t 的值；若不存在，请说明理由．
28
BAE ＝135°，AC
＝22，AD ＝1，F 为BE 的中点．
（1）求CF
的长；
（2）将△ADE 绕点A 旋转一周，求点F 运动路径的长．
29．（江苏模拟）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10cm ，BC ＝12cm ，点D 为AC 边上一点，且AD ＝
8cm ．动点E 从点B 出发，以1cm /s 的速度沿线段BC 向终点C 运动，F 是射线CA 上的动点，且∠DEF ＝
∠B ．设运动时间为t s ，CF 的长为y cm ．
（1）求y 与t 之间的函数关系式及点F 运动路线的长；
（2）当以点B 为圆心，BE 长为半径的⊙B 与以点C 为圆心，CF 长为半径的⊙C 相切时，求t 的值； （3）当△CEF 为等腰三角形时，求t 的值．
30．（江苏模拟）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，AB ＝8，tan C ＝
4
3
，BD ＝
CD ，E 、F 分别是线段BC 、BDC 上的动点（点E 与点B 、C 不重合），且∠DEF ＝∠ADB ．设CE ＝x ，DF ＝y ．
（1）求BC 和BD 的长；
（2）求y 与x 的函数关系式；
（2）当△DEF 为等腰三角形时，求x 的值．
31
．
（江苏模拟）如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝
90°，AB ＝
C
A B D
E F C C 备用图 A
B
C D M E F M
AC ，D 是BC 的中点，E 是AC 上一点，点G 在BE 上，连接DG 并延长交AE 于F ，若∠FGE ＝45°． （1）求证：BD ·BC ＝BG ·BE ； （2）求证：AG ⊥BE ；
（3）若E 是AC 的中点，求
EF
DF
的值．
32．（河北）如图1，点E 是线段BC 的中点，分别以B ，C 为直角顶点的△EAB 和△EDC 均是等腰直角三角形，且在BC 的同侧．
（1）AE 和ED 的数量关系为______________，
AE 和ED 的位置关系为______________；
（2）在图中，以点E 为位似中心，作△EGF 与△EAB 位似，点H 是BC 所在直线上的一点，连接GH ，
HD ，分别得到了图2和图3．
①在图2中，点F 在BE 上，△EGF 与△EAB 的相似比是1 :
2，H 是EC 的中点． 求证：GH ＝HD ，GH ⊥HD ．
②在图3中，点F 在BE 的延长线上，△EGF 与△EAB 的相似比是k :
1，若BC ＝2，请直接写出CH 的长为多少时，恰好使得GH ＝HD 且GH ⊥HD （用含k 的代数式表示）．
33．（河北）如图1和图2，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，cos ∠ABC ＝
5 13
．
探究 如图1，AH ⊥BC 于点H ，则AH ＝__________，AC ＝__________，△ABC 的面积S △ABC
＝__________．
拓展 如图2，点D 在AC 上（可与点A ，C 重合），分别过点A ，C 作直线BD 的垂线，垂足为E ，F ．设BD ＝x ，AE ＝m ，CF ＝n ．（当点D 与A 重合时，我们认为S △ABD
＝0） （1）用含x ，m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD
；
（2）求( m ＋n )与x 的函数关系式，并求( m ＋n
)的最大值和最小值；
（3）对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值范围．
发现 请你确定一条直线，使得A ，B ，C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．
34．（河北模拟）如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，在△ABC 中，BC ＝2AB ，点B 的坐标为
（－4，0），点D 是BC 的中点，且tan ∠ACB ＝ 1
2
．
（1）求点A 的坐标；
（2）点P 从C 点出发，沿线段CB 以每秒5个单位的速度向终点B 匀速运动，过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，PE 交直线AC 于点F ，设EF 的长为y （y ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求y 与t 之间的函数关系式（直接写出自变量t 的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点O 作OQ ∥AC 交A B 于Q 点，连接DQ ．是否存在这样的t 值，使△FDQ 是以
B A D
C 图2 G B A
D C 图1 B
E A D C 图3
G
F H A C B 图1 A C E B
图2 D F
DQ 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
35．（山西模拟）如图1，在平面直角坐标系中，直线l
将Rt △AOB 绕原点O 逆时针旋转得到Rt △A ′OB ′． （1）求直线l 的解析式；
（2）若OA
′⊥AB ，垂足为D ，求点D 的坐标；
（3）如图2，若将Rt △AOB 绕原点O 逆时针旋转90°，A ′B ′ 与直线l 相交于点F ，点E 为x 轴上一动点．试探究：是否存在点E ，使得以点A ，E ，F 为顶点的三角形和△A ′BB ′ 相似．若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
36．（陕西）如图，正三角形ABC 的边长为3＋3．
（1）如图①，正方形EFPN 的顶点E 、F 在边AB 上，顶点N 在边AC 上．在正三角形ABC 及其内部，以点A 为位似中心，作正方形EFPN 的位似正方形E ′F ′P ′N ′，且使正方形E ′F ′P ′N ′
的面积最大（不要求写作法）； （2）求（1）中作出的正方形E ′F ′P ′N ′
的边长；
（3）如图②，在正三角形ABC 中放入正方形DEMN 和正方形EFPH ，使得DE 、EF 在边AB 上，点P 、N 分别在边CB 、CA 上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．
37．（陕西模拟）（1）如图1，△ABC 在平面坐标系内，点A （0，33），B （－
3，0），C （2，0）．一动点由点A 沿y 轴向下运动，运动到线段OA 上的G 点时，再沿GC 到达C ．若由A 到G 方向的速度是G 到C 方向的速度的2倍，要使动点由A －G －C 所用的时间最短，求点G 的坐标； （2）如图2，A 、B 两村相距10千米，且tan A ＝
3
4
，现计划修一条公路把A 、B 两村连接起来，由于A 、B 两村之间有些重要的建筑物不能直接经过，故计划先沿水平AC 方向修到某处M ，再由M 处沿山坡修到B 村．
①若由A 到M 的速度是M 到B 的速度的 2
倍，要尽快完成任务，求AM 的长； ②若由A 到M 的速度是M 到B 的速度的3倍，要尽快完成任务，求AM 的长；
③若由A 到M 的速度是M 到B 的速度的n 倍，要尽快完成任务，直接写出AM 的长．
B C A 图① E F P N B
C A 图② E F M N P
D H
B 图1 图2
38．（新疆乌鲁木齐）如图，已知点A （－12，0），B （3，0），点C 在y 轴的正半轴上，且∠ACB ＝90°． （1）求点C 的坐标；
（2）求Rt △ACB 的角平分线CD 所在直线l 的解析式；
（3）在l 上求出满足S △PBC
＝
1 2
S △ACB 的点P 的坐标； （4）已知点M 在l 上，在平面内是否存在点N ，使以O 、C 、M 、N 为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
39．（内蒙古赤峰）
如图所示，要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A 、B
两镇供气，已知A 、B 到l 的距离分别是3km 、4km （即AC ＝3km ，BE ＝4km ），AB ＝x km ，现设计两种方案；
方案一：如图①所示，AP ⊥l 于点P ，泵站修建在P 处，该方案中管道长度a 1＝AB ＋AP ；
方案二：如图②所示，点A ′
与点A 关于l 对称，A ′B 与l 相交于点P ，泵站修建在点P 处，该方案中管道长度a 2＝AP ＋BP
（1）在方案一中，a 1＝____________km （用含x 的式子表示）；
（2）在方案二中，a 2＝____________km （用含x 的式子表示）；
（3）请你分析要使铺设的输气管道最短，应选择方案一还是方案二．
C A B E
l P A B
l 图①
P A B l
图②
C