2018海淀区高三理科数学二模试题及答案
海淀区高三年级第二学期期末练习
数 学（理科） 2018.5
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在
每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
（1）已知全集{1,2,3,4,5,6},U = 集合{1,2,4},{1,3,5}A B ==，则
(
)U
A B
=
（A ）{1} （B ）{3,5} （C ）{1,6} （D ）{1,3,5,6}
（2）已知复数z 在复平面上对应的点为(1,1)-，则 （A ）+1z 是实数 （B ）+1z 是纯虚数
（C ）+i z 是实数 （D ）+i z 是纯虚数
（3）已知0x y >>，则
（A ）11
x y
> （B ）
11()()22
x y >
（C ）cos cos x y > （D ）ln(1)ln(1)x y +>+ （4）若直线0x y a ++=是圆2220x y y +-=的一条对称轴，则a 的值为
（7） 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是
（A ）求首项为1，公比为2的等比数列的前2017项的和
（B ）求首项为1，公比为2的等比数列的前2018项的和 （C ）求首项为1，公比为4的等比数列的前
1009项的和
（D ）求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和
（8）已知集合
*
{|115}M x x =∈≤≤N ，集合123,,A A A 满足 ① 每个集合都恰有5个元素 ②
123A A A M =．
集合i A 中元素的最大值与最小值之和称为集合i A 的特征数，记为i X （1,2,3i =），则123X X X ++的值不可能为（ ）．
（A ）37 （B ）39 （C ）48 （D ）57
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）极坐标系中，点
(2,)
2
π
到直线cos 1ρθ=的距离为
开始S = 0，n = 1
S = S + 2n - 1n = n + 2n > 2018
输出 S 结束
是
否
________.
（10）在5
2()x x +的二项展开式中，
3
x 的系数
为 .
（11）已知平面向量a ，b 的夹角为
3
π
，且满足||2=a ，||1
=b ，则?=a b ，2+=|a b | .
（12）在ABC ?中，::4:5:6a b c =，则tan A = .
（13）能够使得命题“曲线22
1(0)4x y a a -=≠上存在四
个点P ，Q ，R ，S 满足四边形PQRS 是正方形”为真命题的一个实数a 的值为 . （14）如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1D P 垂直于
CM ，则PBC ?的面积的最小值为_________.
A B C D
A 1
B 1
C 1
D 1
M
P
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题13分）
如图，已知函数()sin()f x A x ω?=+(0,0,)
2
A π
ω?>><
在一个
周期内的图象经过
(
,0)
6
B π
，2
(,0)3
C π，
5(,2)12
D π三点．
（Ⅰ）写出A ，ω，?的值；
（Ⅱ）若52(
,)123
ππα∈，且()1f α=，求cos2α的值．
16. （本小题共13分）
某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩．记录的数据如下：
1
号 2
号 3
号 4
号 5
号 6
号 7
号 8
号 9
号 10
号
第一轮测试成
96 89 88 88 92 90 87 90 92 90 x
y
D
C
B O
绩
第二轮测试成绩
90 90 90 88 88 87 96 92 89 92 (Ⅰ)从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率； (Ⅱ)从考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率；
(Ⅲ)记抽取的10名学生第一轮测试成绩的平均数和方差分别为1
x ，2
1
s ，考核成绩的平均数和方
差分别为2
x ，22
s ，试比较1x 与2
x ，21s 与22
s 的大小. （只
需写出结论）
17. （本小题共14分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC AB ===，1AB ⊥平面ABC ，1AC AC ⊥，D ，E 分别是AC ，11B C 的中点．
（Ⅰ）证明：11AC B C ⊥
（Ⅱ）证明：//DE 平面11AA B B ；
A
C
1
A 1
C
B
1
B
D
E