2017年山东省临沂市临沭县青云中学九年级学科素养大赛数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值是﹣3，那么m的值等于（）
A．10 B．4 C．5 D．6
2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）
A．x2﹣2x﹣99=0化为（x﹣1）2=100 B．x2+8x+9=0化为（x+4）2=25
C．2t2﹣7t﹣4=0化为（t﹣）2=D．3x2﹣4x﹣2=0化为（x﹣）2=
3．已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，当b＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（）
A．b=﹣1 B．b=2 C．b=﹣2 D．b=0
4．如图⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，∠C=60°，若⊙O的半径为2，则下列结论错误的是（）
A．AD=BD B．AE=BE C．AB=D．OD=1
5．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）
A．20 B．12 C．14 D．13
6．如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E=36°，则∠ADC的度数是（）
A．44° B．54° C．72° D．53°
7．已知点P（a，a+3）在抛物线y=x2﹣7x+19图象上，则点P关于原点O的对称点P′的坐标是（）
A．（4，7）B．（﹣4，﹣7）C．（4，﹣7）D．（﹣4，7）
8．若A（﹣，y1），B（，y2），C（，y3）为二次函数y=x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
9．下列图形中阴影部分面积相等的是（）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
10．抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表，从下表可知：
下列说法：①抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），②函数的最大值为6，③抛物线的对
称轴是直线x=，④在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论
①abc＞0；②b2﹣4ac=0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．
其中正确结论的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图，抛物线y=﹣2x2﹣8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向左平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=﹣x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）
A．﹣3＜m＜﹣B．C．﹣2＜m＜D．﹣3＜m＜﹣2
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．如果关于x的方程mx2﹣2x+1=0有两个实数根，那么m的取值范围是．
14．已知圆的一条弦AB把圆分成1：4的两部分，则此弦所对的圆周角等于．
15．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为．
16．已知f（x）=1+，其中f（a）表示当x=a时代数式的值，如f（1）=1+，f（2）=1+，
f（3）=1+，f（a）=1+，则f（1）•f（2）•f（3）•f（4）•…•f=．
17．对于实数a，b，定义运算“⊗”：，例如：5⊗3，因为5＞3，所以5⊗3=5×3﹣32=6．若x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+8=0的两个根，则x1⊗x2= ．
18．如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点C作CF∥AB，在CF
上取一点E，使DE=CD，连接AE，对于下列结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；
④AE为⊙O的切线，一定正确的结论选项是．
三、解答题（本题共3个小题，满分40分）
19．如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．
20．阅读下面的材料：
解方程x4﹣7x2+12=0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，
则x4=y2，∴原方程可化为：y2﹣7y+12=0，解得y1=3，y2=4，当y=3时，x2=3，x=±，当
y=4时，x2=4，x=±2．∴原方程有四个根是：x1=，x2=﹣，x3=2，x4=﹣2，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．
（1）解方程：（x2+x）2﹣5（x2+x）+4=0；
（2）已知实数a，b满足（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣10=0，试求a2+b2的值．
21．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．
2017年山东省临沂市临沭县青云中学九年级学科素养大赛数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值是﹣3，那么m的值等于（）
A．10 B．4 C．5 D．6
【考点】二次函数的最值．
【分析】将二次函数化为顶点式，即可建立关于m的等式，解方程求出m的值即可．
【解答】解：原式可化为：y=（x﹣3）2﹣9+m，
∵函数的最小值是﹣3，
∴﹣9+m=﹣3，
m=6．
故选：D．
2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）
A．x2﹣2x﹣99=0化为（x﹣1）2=100 B．x2+8x+9=0化为（x+4）2=25
C．2t2﹣7t﹣4=0化为（t﹣）2=D．3x2﹣4x﹣2=0化为（x﹣）2=
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．根据以上步骤进行变形即可．
【解答】解：A、∵x2﹣2x﹣99=0，∴x2﹣2x=99，∴x2﹣2x+1=99+1，∴（x﹣1）2=100，故A 选项正确．
B、∵x2+8x+9=0，∴x2+8x=﹣9，∴x2+8x+16=﹣9+16，∴（x+4）2=7，故B选项错误．
C、∵2t2﹣7t﹣4=0，∴2t2﹣7t=4，∴t2﹣t=2，∴t2﹣t+=2+，∴（t﹣）2=，故C选项正确．
