用割补法求面积
2010-05-26 18:37:33| 分类：...公式技巧|字号大中小订阅
本文引用自无声胜有声《用割补法求面积》
引用
无声胜有声的用割补法求面积
在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。
例1求下列各图中阴影部分的面积：
分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB 弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。
π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。
（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。
如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部
分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。
例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。
分析与解：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。
（1）割补法
从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角
（2）拼补法
将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。
积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面
（3）等分法
将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，
注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。
例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。
分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（上页右下图），图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是（9×9-5×5）÷4=14（厘米2）。
例4在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。
分析与解：题中给出了两个似乎毫无关联的数据，无法沟通与矩形的联系。我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形（见右上图）。因为A与A′，B与B′面积分别相等，所以甲、乙两个矩形的面积相等。乙的面积是4×6=24，所以甲的面积，即所求矩形的面积也是24。
例5下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40厘米2。求乙正方形的面积。
分析与解：如果从甲正方形中“挖掉”和乙正方形同样大的正方形丙，所剩的A，B，C三部分之和就是40厘米2（见左下图）。
把C割下，拼补到乙正方形的上面（见右上图），这样A，B，C三块就合并成一个长20厘米的矩形，面积是40厘米2，宽是40÷20=2（厘米）。这个宽恰好是两个正方形的边长之差，由此可求出乙正方形的边长为（20-2）÷2=9（厘米），从而乙正方形的面积为
9×9=81（厘米2）。
练习22
1.求下列各图中阴影部分的面积：
（1）（2）
2.以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧（见下图），直角边长4厘米，求图中阴影部分的面积。
3.在左下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角
梯形（阴影部分）。已知梯形的面积为36厘米2，上底为3厘米，求下底和高。
4.在右上图中，长方形AEFD的面积是18厘米2，BE长3厘米，求CD的长。
5.下图是甲、乙两个正方形，甲的边长比乙的边长长3厘米，甲的面积比乙的面积大45厘米2。求甲、乙的面积之和。
6.求下图（单位：厘米）中四边形ABCD的面积。
四年级第十一讲割补法巧算面积 ◆温故知新： 1. 用割补法把不规则图形变成规则图形计算面积。 2.正方形、等腰直角三角形、等边三角形、正六边形等已知图形分割成小块，与所求图形 面积相联系。 ◆练一练 1、在图中，五个小正方形的边长都是2厘米，求三角形ABC的面积。 2、图中小正方形和大正方形的边长分别是4厘米和6厘米。阴影部分的面积是多少平方厘 米？ ◆例题展示 例题1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积。（单位：厘米）
练习1如图所示，在正方形ABCD内部有一个长方形EFGH。已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE AH 、都等于2厘米。求长方形EFGH的面积。 例题2如图所示，大正方形的边长为10厘米。连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连。 请问：图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？ 练习2如图所示，大正方形的边长为10厘米。连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，再连接大正方形的两条对角线。请问：图中阴影部分的面积总和 等于多少平方厘米？
例题3如图所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点。请问三角形MNP的面积是多少平方厘米？ 练习3 如图所示，正六边形ABCDEF的面积是36平方厘米，M、N、P、Q、R、S分别是AB、BC、CD、DE、EF、FA的中点。请问：阴影正六边形MNPQRS的面积是 多少平方厘米？ 例题4 如图，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点。 已知图a中阴影部分的面积是294平方分米。请问：图b中阴影部分的面积 是多少平方分米？
中考数学小专题复习 ----用割补法求坐标系中三角形的面积（教学设计） 广州市绿翠现代实验学校东陈云兰 【学习背景】 本学期我校初三数学中考总复习资料选用的是《三段六步专题设计》，“三段六步”指的是复习总结教学模式的一个实操性基本程序，三段是指回顾激活原有知识，思考重建认知结构、提取新知迁移巩固三个阶段。经过中考第一轮的基础复习，常会遇到在平面直角坐标系中求与三角形面积有关的综合题。为了能够更好地掌握此类题目的解题方法和解题技巧，特安排此节单课时专题复习课。目的是通过选取与任教班级学生学情相符的一些例题，通过典例分析和巩固练习，学会研究问题时把数和形结合起来考虑，利用割补的方法把一些不能直接计算的三角面积形转化成可以直接计算的三角形，从而求出相关的面积。 【学情分析】 本班学生是初二重新再分班后的第二层次，有一定的基础，但严重缺乏尖子生和自觉学习能力，每次考试均分在100±5分左右，120分以上的同学也就五六个。对最后三大题存在畏难情绪，尤其是对一些少见或稍难的题型，没有较好的解题思路去分析问题和解决问题，所以掌握一种最基础最常见的解题方法（割补法），学会在最后三题的第1，2问多拿分，以增强学生的信心和提升数学中考成绩。 【教学目标】 1、理解并会用割补法求平面直角坐标系中三角形的面积。 2、体会数学中的转化思想和数形结合思想。 【教学重点】 利用割补的方法求面积。 【教学难点】 具有一定的观察能力和化归能力 教学环节：
1、新课引入 例、已知点A（－3，0），点C（0，3），且点B的坐标为（－1，4），计算△ABC的面积。 B C A 2、探究割补（假设如果△ABC的某边和该边上的高无法从已知三点坐标直接求出，必须通过图形的割补，你有何解决方法？）
在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。 例1求下列各图中阴影部分的面积： 分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB 弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。 π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。 （2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。 如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。
例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。 分析与解：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。 （1）割补法 从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角 （2）拼补法 将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。 积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面
（3）等分法 将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形， 注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。 例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。 分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（上页右下图），图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是（9×9-5×5）÷4=14（厘米2）。 例4在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。
割补法巧算面积
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割补法巧算面积 知识精讲: 分割法：把不规则的的大图形化为规则的小图形 添补法:把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算 例题１ 图中的数字分别表示对应线段的长度,试求下面多边形的面积.（单位:厘米） 练习1 如图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度(单位：米）．这个图形的面积等于多少平方 米？ 例题2 如图，在正方形AＢCD内部有一个长方形．EFＧH．已知正方形AＢＣD的边长是6厘米，图中线段AＥ、AＨ都等于２厘米.求长方形EFGH的面积. 练习2 正方形ＡBＣD的边长是8厘米，它的内部有一个三角形AEF(如图）,线段ＤＦ=3.6厘米，BE=２.８厘米,那么三角形AＥF的面积等于平方厘米. 例题3 如图中,大正方形的边长为10厘米.连接大正方形的各边中点得小正方形,将小正方形每边三等份,再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连,那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?
练习３. 1．如图所示,正方形ABCD的边长acｍ,则图中阴影部分的面积为ｃｍ2. 例题4. 如图1和图2,把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点.已知图１中阴影部分的面积是29４平方分米．请问：图2中的阴影部分的面积是多少平方分米？ 练习4 ７.如图所示,将三个相同的长方形从上到下排列，依次进行两等分、三等分、四等分，各取出其中的一份画上阴影,则阴影部分的面积占全部面积的几分之几？ 选做题 例5 如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形,如果正方形A的面积是３6平方厘米,那么正方形B的面积是多少平方厘米? 例6.
割补法求面积 阴影面积的计算是本章的一个中考热点，计算不规则图形的面积，首先应观察图形的特点，通过分割、接补将其化为可计算的规则图形进行计算． 一、补：把所求不规则图形，通过已知的分割线把原图形分割成的图形进行适当的组合，转化为可求面积的图形． 例题1 如图1，将半径为2cm 的⊙O 分割成十个区域，其中弦AB 、CD 关于点O 对称，EF 、GH 关于点O 对称，连接PM ，则图中阴影部分的面积是_____cm 2（结果用π表示）． 解析：如图1，根据对称性可知：S 1=S 2，S 3=S 4，S 5=S 6，S 7=S 8，因此阴影部分的面积占整个圆面积的 21，应为：ππ222 12=?（cm 2）． 练习：如图2，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，若大圆的半径为2，则图中阴影部分的面积为_______． 答案：2π． 二、割：把不规则的图形的面积分割成几块可求的图形的面积和或差． 例题2 如图3，在Rt △ABC 中，已知∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6cm ，把△ABC 以点B 为中心旋转，使点C 旋转到AB 边的延长线上的点C′处，那么AC 边扫过的图形（图中阴影部分）的面积是_______cm 2（不取近似值）． 解析：把所求阴影部分的面积分割转化，则 S 阴影＝（S 扇形BAA′＋S △A′C′B ）－（S △ACB ＋S 扇形BCC′）
＝S 扇形BAA′－S 扇形BCC′ 360 312036061202 2?-?=ππ=π9． 练习：如图4，正方形ABCD 的边长为1，点E 为AB 的中点，以E 为圆心，1为半径作圆，分别交AD 、BC 于M 、N 两点，与DC 切于P 点，∠MEN ＝60°．则图中阴影部分的面积是_________． 答案：4361-- π． 三、先割后补：先把所求图形分割，然后重新组合成一个规则图形． 例题3 如图5，ABCD 是边长为8的一个正方形，EF 、HG 、EH 、FG 分别与AB 、AD 、BC 、DC 相切，则阴影部分的面积=______． 解析：连接EG 、FH ，由已知可得S 1=S 2，S 3=S 4，所以可把S 1补至S 2，S 3补至S 4． 这样阴影部分的面积就转化为正方形面积的21，因此阴影部分的面积为3282 12=?． 练习：如图6，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是AB 上的三等分点，如果⊙O 的半径为1，P 是线段AB 上的任意一点，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．3π B ．6π C ．2π D ．3 2π 答案：A ．
用割补法求面积 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
第25讲用割补法求面积 在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。 例1求下列各图中阴影部分的面积： 分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。 π×4×4÷4-4×4÷2=。 （2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。 如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。 例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。 分析与解：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。 （1）割补法 从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角 （2）拼补法 将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。 积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面 （3）等分法 将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形， 注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。 例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。 分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（上页右下图），图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是（9×9-5×5）÷4=14（厘米2）。 例4在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。 分析与解：题中给出了两个似乎毫无关联的数据，无法沟通与矩形的联系。我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形（见右上图）。因为A与A′，B与B′面积分别相等，所以甲、乙两个矩形的面积相等。乙的面积是4× 6=24，所以甲的面积，即所求矩形的面积也是24。 例5下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40厘米2。求乙正方形的面积。 分析与解：如果从甲正方形中“挖掉”和乙正方形同样大的正方形丙，所剩的A，B，C三部分之和就是40厘米2（见左下图）。 把C割下，拼补到乙正方形的上面（见右上图），这样A，B，C三块就合并成一个长20厘米的矩形，面积是40厘米2，宽是40÷20=2（厘米）。这个宽恰好是两个正方形的边长之差，由此可求出乙正方形的边长为（20-2）÷2=9（厘米），从而乙正方形的面积为9×9=81（厘米2）。 练习22 1.求下列各图中阴影部分的面积：
割补法巧算面积 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
割补法巧算面积 知识精讲： 分割法：把不规则的的大图形化为规则的小图形 添补法：把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算 例题1 图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米） 练习1 如图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度（单位：米）．这个图形的面积等于多少 平方米 例题2 如图，在正方形ABCD内部有一个长方形．EFGH．已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE、AH都等于2厘米．求长方形EFGH的面积． 练习2 正方形ABCD的边长是8厘米，它的内部有一个三角形AEF（如图），线段DF=厘米，BE=厘米，那么三角形AEF的面积等于平方厘米． 例题3
如图中，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等份，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米 练习3. 1．如图所示，正方形ABCD的边长acm，则图中阴影部分的面积为cm2． 例题4. 如图1和图2，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点．已知图1中阴影部分的面积是294平方分米．请问：图2中的阴影部分的面积是多少平方分米 练习4 7．如图所示，将三个相同的长方形从上到下排列，依次进行两等分、三等分、四等分，各取出其中的一份画上阴影，则阴影部分的面积占全部面积的几分之几 选做题 例5 如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A的面积是36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米
五年级奥数：第22讲用割补法求面积在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。 例1求下列各图中阴影部分的面积： 分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。 π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。 （2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。 如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。 例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。 分析与解：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。
（1）割补法 从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角 （2）拼补法 将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。 积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面 （3）等分法 将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形， 注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。 例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。
小学奥数解析十三用割补法求面积 在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。 例1求下列各图中阴影部分的面积： 分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。 π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。 （2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。 如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。 例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。 分析与解：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。 （1）割补法 从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角
（2）拼补法 将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。 积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面 （3）等分法 将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形， 注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。 例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。 分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（上页右下图），图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是（9×9-5×5）÷4=14（厘米2）。 例4在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。 分析与解：题中给出了两个似乎毫无关联的数据，无法沟通与矩形的联系。我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形（见右上图）。因为A与A′，B与B′
第25讲用割补法求面积 在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。 例1求下列各图中阴影部分的面积： 分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。 π×4×4÷4-4×4÷2=。 （2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。 如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。 例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。 分析与解：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。 （1）割补法 从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角 （2）拼补法 将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。
积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面 （3）等分法 将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形， 注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。 例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。 分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（上页右下图），图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是（9×9-5×5）÷4=14（厘米2）。 例4在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。 分析与解：题中给出了两个似乎毫无关联的数据，无法沟通与矩形的联系。我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形（见右上图）。因为A与A′，B与B′面积分别相等，所以甲、乙两个矩形的面积相等。乙的面积是4×6=24，所以甲的面积，即所求矩形的面积也是24。 例5下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40厘米2。求乙正方形的面积。 分析与解：如果从甲正方形中“挖掉”和乙正方形同样大的正方形丙，所剩的A，B，C三部分之和就是40厘米2（见左下图）。 把C割下，拼补到乙正方形的上面（见右上图），这样A，B，C三块就合并成一个长20厘米的矩形，面积是40厘米2，宽是40÷20=2（厘米）。这个宽恰好是两个正方形的边长之差，由此可求出乙正方形的边长为（20-2）÷2=9（厘米），从而乙正方形的面积为9×9=81（厘米2）。 练习22
第五讲割补法巧算面积 在上一讲中，我们学习了如何计算格点图形的面积，介绍了正方形格点图形和三角形格点图形的面积计算公式．根据公式，我们可以求出正方形格点图形的面积是最小正方形面积的几倍，或者求出三角形格点图形面积是最小正三角形面积的几倍．随着几何学习的步步深入，大家会发现除了用公式法直接求面积之外，还有很多间接求面积的方法．尤其是对于不规则图形，我们并不知道这些图形的面积公式，但是可以把它们通过分割、添补等各种方式变换为规则的图形．
例题1 图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米） 「分析」这是一个不规则图形，我们能不能把它切成很多规则的小块，一块一块地求面积呢？ 练习1 图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米） 我们可以看到，在没有格点的情况下，割补的方法仍然可以使用．我们将来做几何面积计算时，就要视情况灵活运用割补法． 例题2 如图所示，在正方形ABCD 内部有一个长方形EFGH ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 都等于2厘米．求长方形EFGH 的面积． 「分析」所求长方形的长、宽都是未知且不可求的，但是正方形面积以及周围四个直角三角形面积都是可以计算出来的，那么长方形面积怎么计算呢？ 1 2 2 3 4 5 3 2 4 3 4 12 4 9 D G
如图所示，在正方形ABCD 内部有三角形CEF ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AF 都等于2厘米．求三角形CEF 的面积． 例题3 如图所示，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？ 「分析」阴影部分零零散散，能不能通过割补的方法把它变成规则的图形嗯？ 练习3 如图所示，大正三角形的面积为10平方厘米．连接大正三角形的各边中点得到四个小正三角形，取各个小正三角形的中心，再将每个小正三角形的中心和顶点相连，得到三个一样的小三角形，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？ 例题4 如图，把两个相同的正三角形的各边分别三等分和四等分，并连接这些等分点．已知图1中阴影部分的面积是48平方分米．请问：图2中阴影部分的面积是多少平方分米？ 「分析」图1和图2中最小正三角形的面积是不一样的，但两个大正三角形面积却是一 样的，你能求出大正三角形的面积吗？ D 图2
割补法巧算面积 知识精讲： 分割法：把不规则的的大图形化为规则的小图形 添补法：把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算例题1 图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积. （单位：厘米） 3 练习1 如图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度（单位：米）?这个图形的面积等于多少平 5 2| 3 31 4 方米？-------------------- 例题2 如图，在正方形ABCD内部有一个长方形. EFGH .已知正方形ABCD的边长是6厘米, 图中线段 AE、AH都等于2厘米.求长方形EFGH的面积. 练习2 正方形ABCD的边长是8厘米，它的内部有一个三角形AEF （如图），线段DF=3.6厘米, BE=2.8厘米，那么三角形AEF的面积等于_______________ 平方厘米. 例题3 如图中，大正方形的边长为10厘米.连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等 份，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和 等于多少平方厘米？
例题4.如图1和图2，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分 点.已知图1中阴影部分的面积是 294平方分米.请问：图2中的阴影部分的面积是多少平 方分米？ 练习4 7.如图所示，将三个相同的长方形从上到下排列，依次进行两等分、三等分、四等分，各 取出其中的一份画上阴影，则阴影部分的面积占全部面积的几分之几？ 例6. 练习3. 1如图所示，正方形 ABCD 的边长acm ,则图中阴影部分的面积为 2 ____________ cm ? 选做题 例5如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形 A 的面积是36 平方厘米，那么正方形 B 的面积是多少平方厘米 ?
割补法巧算面积 Revised by BETTY on December 25,2020
割补法巧算面积 知识精讲： 分割法：把不规则的的大图形化为规则的小图形 添补法：把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算 例题1 图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米） 练习1 如图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度（单位：米）．这个图形的面积等于多少 平方米？ 例题2 如图，在正方形ABCD内部有一个长方形．EFGH．已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE、AH都等于2厘米．求长方形EFGH的面积． 练习2 正方形ABCD的边长是8厘米，它的内部有一个三角形AEF（如图），线段DF=厘米，BE=厘米，那么三角形AEF的面积等于平方厘米． 例题3 如图中，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等份，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米 练习3. 1．如图所示，正方形ABCD的边长acm，则图中阴影部分的面积为cm2． 例题4. 如图1和图2，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点．已知图1中阴影部分的面积是294平方分米．请问：图2中的阴影部分的面积是多少平方分米？ 练习4 7．如图所示，将三个相同的长方形从上到下排列，依次进行两等分、三等分、四等分，各取出其中的一份画上阴影，则阴影部分的面积占全部面积的几分之几？ 选做题 例5 如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A的面积是36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米？ 例6. 已知一个四边形ABCD的两条边的长度和三个角（如下图所示），求四边形ABCD的面积是多少？ 作业：
第22讲用割补法求面积 在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。 例1求下列各图中阴影部分的面积： 分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。 π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。 （2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。 如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。 例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。 分析与解：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。 （1）割补法 从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角
（2）拼补法 将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。 积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面 （3）等分法 将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形， 注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。 例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。 分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（上页右下图），图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是（9×9-5×5）÷4=14（厘米2）。 例4在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。 分析与解：题中给出了两个似乎毫无关联的数据，无法沟通与矩形的联系。我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形（见右上图）。因为A与A′，B与B′面积分别相等，所以甲、乙两个矩形的面积相等。乙的面积是4×6=24，所以甲的面积，即所求矩形的面积也是24。 例5下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40厘米2。求乙正方形的面积。
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割补法巧算面积 知识精讲： 分割法：把不规则的的大图形化为规则的小图形 添补法：把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算 例题1 图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米） 练习1 如图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度（单位：米）．这个图形的面积等于多少 平方米？ 例题2 如图，在正方形ABCD内部有一个长方形．EFGH．已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE、AH都等于2厘米．求长方形EFGH的面积． 练习2 正方形ABCD的边长是8厘米，它的内部有一个三角形AEF（如图），线段DF=3.6厘米，BE=2.8厘米，那么三角形AEF的面积等于平方厘米． 例题3 如图中，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等份，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米 练习3. 1．如图所示，正方形ABCD的边长acm，则图中阴影部分的面积为cm2． 例题4. 如图1和图2，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点．已知图1中阴影部分的面积是294平方分米．请问：图2中的阴影部分的面积是多少平方分米？ 练习4 7．如图所示，将三个相同的长方形从上到下排列，依次进行两等分、三等分、四等分，各取出其中的一份画上阴影，则阴影部分的面积占全部面积的几分之几？ 选做题 例5 如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A的面积是36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米？ 例6. 已知一个四边形ABCD的两条边的长度和三个角（如下图所示），求四边形ABCD的面积是多少？ 作业：
小学奥数解析十三 用割补法求面积 在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。 例1求下列各图中阴影部分的面积： 分析与解：(1)如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。 (2)在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分 之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。 如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5X 5=25。 例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段 (见右图)，求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。 分析与解：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。 (1)割补法 从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角 nX 4X 4-4-4X 4- 2=4.56。
形拼成一个长方形〔见下图）°显然，阴影部分正好是长方形的 2, 所以 将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。 显然，图中阴影面积占平行四边形面积的苓根据商不变性质.将阴影面 积和平行四边行面积同时除以2,商不变。所以原题阴影部分占整个图形面积的！ （3）等分法 将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，所以阴影部分占整个圈形面积的I 注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。 例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积 分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（上页右下图），图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是（9X 9-5X 5）十4=14 （厘米2）。 例4在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。 （2）拼补法
小升初几何之---用割补法求面积 在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。 例1求下列各图中阴影部分的面积： 分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB 弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。 π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。
（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。 如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。 例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。 分析与解：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。 （1）割补法 从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角 （2）拼补法
将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。 积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面 （3）等分法 将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形， 注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。 例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。 分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考
右图中的数字分别表示对应线段的长度，图中多边形的面积是多少？ 4 2 3 2 3 3 4 3 3 4 3 12 练习 1
D E 如右图所示，在正方形ABCD 内部有梯形EHGF 。已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 、BF 、DG 都等于2厘米。则梯形EHGF 的面积是多少平方厘米？ 如右图所示，在六边形ABCDEF 中，阴影六边形的面积是多少？ A F A H D E G B E C D B F C 右图中空白部分的面积是100，D 、E 是AC 边上的两个三等分点，那么阴影正方形的面积是多少？ 如图，ABCD 是长方形，EF 与宽平行，GH 与长平行，AB 的长是8厘米，BC 的长是6厘米， 那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ A A E B G H D C F B C 练习 2 练习 4 练习 3 练习 5
45° 如图，ABEFT CDEF 都是长方形，AB 的长是4厘米，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 如图，在直角梯形ABCD 中，三角形ABE 和三角形CDE 都是等腰直角三角形，且BC=20厘米。那么直角梯形ABCD 的面积是多少？ B A A B E E F D C C D 如图，平行四边形的一边长为15厘米，这条边上的高为6厘米，一条线段将此平行四边形分成了两部分，它们的面积相差18平方厘米，请问：其中梯形的上底是多少厘米？ 15 挑战 1 挑战 2 6 练习 8
挑战 3 如图，梯形ABCD的上底AD长5厘米，下底BC长12厘米，腰CD的长为8厘米，过B点向CD 作出的垂线BE的长为9厘米，那么梯形ABCD的面积是多少？ A D E B C
用割补法计算图形面积的教学设计方案 课例名称用割补法求图形的面积 学科数学年级小学四年级 课时 1 教学对象三班与四班 设计者魏老师教龄15年 课型□概念课■活动课□技能课□复习课 教材版本及单元数学第九册，人民教育出版社；第四单元 教材分析 本单元属于空间与图形模块知识。前面教材的长方形、正方形的面积知识适用学生做本节知识的迁移式学习，学习的重点是学生掌握“割补”的数学图形转换方法，使多个图形模块的知识，如：长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形等知识点形成有逻辑联系的知识体系。 学情分析 学生年龄在10岁左右，处于逻辑思维能力发展的关键期。本班学生普遍性格外向、活泼，善于表现自己。学生的表达具有初步的逻辑性，能理解同伴的语言表达意图，具有一定的合作学习的意识。 学生基本上全部能够熟练掌握长方形和正方形的基础知识，掌握了平行线的概念、角的概念，大部分同学已经能够初步理解旋转的涵义。 学习目标 知识与技能 1.自主推导出平行四边形面积公式； 2.培养学生合作学习的习惯和能力； 3.以割补法为核心方法，归纳出多种平面图形转换的一般规律； 4.在图形转化的训练中发展空间知觉能力。 过程与方法 1.通过动手操作，让学生观察图形转换，总结概括出割补法的一般应用步骤； 2.能够清晰地意识到图形间转换的思维过程。 情感、态度与价值观 1.学生在运用数学知识解决实际问题过程中感受数学魅力和小组合作学习
的作用； 2.能够意识到数学知识的实际运用价值。 教学重难点 重点： 1.掌握割补法，并能够运用其初步解决实际问题； 2.运用图形转化的思想，能够自主推导三角形与梯形的面积公式； 3.平面图形的面积公式能够解决生活中的实际问题。 难点： 1.自主推导三角形与梯形的面积公式； 2.掌握多种图形之间的相互转换，能够灵活运用割补法。 教学资源 用于信息展示和支持学生自主操作的白板课件；用于展示学生活动作品和小组合作学习成果的实物投影仪；，链接的视频、图片与flash动画等多媒体资源展示七巧板拼接过程及结果；纸质的三角形、平行四边形、梯形等学具提供给学生自主操作材料，等等。 教学环境 普通教室； 安装有1台多媒体计算机和1块交互式电子白板。 课前预习 学生课前玩“七巧板”拼图游戏，要能拼出书本上涉及到的正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形等形状，在拼玩的过程中，按照“什么变了？什么没有变？”的思路积极思考，并能在上课时提出自己认为有价值的或还不明白的相关数学问题。 课堂流程