第一章三維歐氏空間中的張量
目录：
习题1.1 正交坐标系的转动 (2)
习题1.2 物理量在空间转动变换下的分类 (9)
习题1.3 物理量在空间反演变换下的进一步分类 (10)
习题1.4 量代数 (15)
习题1.5 量分析 (21)
习题1.6 Helmholtz定理 (35)
习题1.7 正交曲线坐标系 (38)
习题1.8 正交曲线坐标系中的微分运算 (42)
习题1.1
1、 设三个矢量,,a b c r r r 形成右（左）旋系，证明，当循环置换矢量,,a b c r r r
的次序，即当考察
矢量,,(,,)b c a c a b r r
r r r r 时，右（左）旋系仍保持为右（左）旋系。
证明：()V a b c =??r r r
，
对于右旋系有V>0.
当循环置换矢量,,a b c r r r
次序时， ()V b c a '=??r r r ＝()0c a b V ??=?r
r r 。（*）
所以，右旋系仍然保持为右旋系 同理可知左旋系情况也成立。 附：（*）证明。由于量方程成立与否与坐标无关，故可以选取直角坐标系，则结论
是明显的。
2、 写出矢量诸分量在下列情况下的变换矩阵：当Cartesian 坐标系绕z 轴转动角度α时。
解：变换矩阵元表达式为 ij i j a e e '=?r r
1112212213233233cos ,sin ,sin ,cos ,0,1
a a a a a a a a αααα===-===== 故()cos sin 0sin cos 000
1R αααα
α??
?
=- ? ??
?
3、 设坐标系绕z 轴转α角，再绕新的y 轴（即原来的y 轴在第一次转动后所处的位置）转
β角，最后绕新的z 轴（即原来的z 轴经第一、二次转动后所处的位置）转γ角；这三
个角称为Euler 角。试用三个转动矩阵相乘的办法求矢量诸分量的在坐标轴转动时的变换矩阵。
解：我们将每次变换的坐标分别写成列向量,,,X X X X ''''''， 则 ()()(),,z y z X R X X R X X R X αβγ'''''''''''''===
∴()()()z y z X R R R X γβα''''''=
绕y '-轴转β角相当于“先将坐标系的y '-轴转回至原来位置，再绕原来的y-
轴（固定轴）转β角，最后将y-轴转至y '-轴的位置”。因而
1()()()()y z y z R R R R βαβα-'=
同理有1
()()()()z y z y R R R R γβγβ-''''=
∴ 1
1
1 ()()()()()()()()
()()()()()()()()()()()()()()()()
z y z y z y y z y z z z y z z z z y z z z z y z R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R γβαβγββαβγααβαγααβααγαβγ-''''''-'-=====
易知：
()cos sin 0sin cos 000
1z R αααα
α??
?=- ? ???，()cos sin 0sin cos 000
1z R γγγγ
γ??
?=- ? ??
?
， ()cos 0sin 0
10sin 0cos y R βββββ-??
?
= ? ??
?
∴()()()(),,z y z R R R R αβγαβγ=＝
cos cos cos sin sin sin cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos γβαγαγβαγαβαγβαγαγβαγα
βαγβγβ
β-+-??
?
---+ ? ??
?
//上面的解答让人疑惑。就结论()()()(),,z y z R R R R αβγαβγ=本身让人觉得没有什么
物理意义，分别绕原来的z 轴，y 轴，z 轴转动怎么可能呢？且绕y ’轴转β角等效于绕原来y 轴转β角，怎么说？
实际上， ()()(),,z y z X R X X R X X R X αβγ'''''''''''''===
∴()()()z y z X R R R X γβα''''''=
而()cos sin 0sin cos 000
1z R α
ααα
α??
?=- ? ??
?
，()''cos sin 0sin cos 000
1z R γγγγγ??
?=-
? ???
， ()'cos 0sin 0
10sin 0cos y R β
ββββ-??
?
= ? ??
?
就直接可以得到：
()()()(),,cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos sin sin cos sin cos cos sin sin sin cos sin sin cos z y z R R R R αβγγβαγβαγαγβαγα
γβγβαγα
γβαγα
γββαβα
β'''=-+-??
?
=---+ ?
??
?
这个结果与《物理学中的数学方法》F.W.拜伦 R.W.福勒 著（P12） 结果一致 （上面运算结果由Matlab 验算过）
4 设x a 、y a 与z a 是矢量的Cartesian 坐标，则
)0,x
y z a a ia a a ±=±=
称为矢量a 的循环坐标。设坐标系作一有限转动R(,,αβγ)，这里,,αβγ是相应的Euler 角，试写出矢量诸循环坐标系转动时的变换矩阵。
解：由题意得：0x y z a a a A a a a +-???? ?
?
= ?
? ? ???
?? （1）
00
010A ?? ? ?= ? ? ? ???
所以1
0001
0A -? =
? ??
?
坐标变换后，0a a a +-?? ? ? ???经变换矩阵D 变为''0'a a a +-?? ? ? ?
??，即''00'a a a D a a a ++--????
? ?
= ? ? ? ????? （2）
又''''0''x x y y z z a a a a A a AR a a a a +-??????
? ? ?
== ? ? ? ? ? ???????
，0x y z a a a A a a a +-???? ? ?= ? ? ? ?????
所以''100'a a a ARA a a a ++---????
? ?= ? ? ? ?
????
（3）
所以由（2）、（3）得1
D ARA -=
最后得2()
2
()2()2()cos sin 22cos sin cos 22i i i i i i i i e e e D e e e e e αγγαγαααγγαγββ
βββββββ-+-----+?? ? ? ?= ? ? ? ?
?
? 详细步骤：
1
0 0
cos cos cos sin sin sin cos cos cos sin sin cos 001cos cos sin sin cos sin cos sin cos cos sin sin0
cos sin sin sin cos
0010 D ARA
αβγαγαβγαγβγ
αβγαγαβγαγβγ
αβαββ
-
=
???
?
-+-
?? ?
?=---+
?
? ? ?
?? ?
?
??
?
?2(
0 (cos)(cos)
cos cos sin sin cos0
cos)cos)010
cos
2
i i i
i i i
i
e e e
e e e
e
γγγ
γγγ
αγ
αβααβαβ
αβαββ
αβααβαβ
β
---
-+
?
?
?
??
?
?
= ?
?
?
+ ? ?
????
??
=
)2()
2()2()
sin
2
cos
sin cos
22
i i
i i
i i i
e e
e e
e e e
γαγ
αα
αγγαγ
β
β
βββ
ββ
β
--
-
--+
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2()2()
2()2()
cos sin
22
cos
sin cos
22
i i i
i i
i i i
e e e
D e e
e e e
αγγαγ
αα
αγγαγ
ββ
β
βββ
ββ
β
-+--
-
--+
??
?
?
?
= ?
?
?
?
??
（结果经Matlab验算，正确）
因此三四两题课本给出答案均无误。
5、试证坐标系作无限小转动的变换矩阵可写成α＝I＋ε，其中ε是反对称矩阵，而I是二
阶单位量；并指出
ij
ε的几何意义。
证：
为了清楚起见，我们先用矩阵语言证明ε是反对称矩阵：
()()()
()()()
T
T T
T T T T T T
x I x x x x I I x
x x x I x x I x
εεε
εεεεεε
'''
=+?=++
''
?=+++≈++
r r r r r r
r r r r r r
舍去高阶小量
由于长度是转动变换不变量，T T
x x x x
''=
r r r r
于是()00
T T T
x x
εεεε
+=+=
r r
，即，故ε是反对称矩阵
（上面，A
T
A表示的转置）
下面用分量语言证明：处理时，要特别小心行向量和列向量，因为这在分量语言中是看不出
来的。为了以示区别，i i x x W W
我们用表示行向量，表示列向量
由于是做无限小转动，所以可以写成：
'i i ik k x x x ε=+W W W （1）
又由于''i i i i x x x x = （长度是旋转不变量） （2）
()()()2 =i i i j ji i ik k i i ik k i i ji j ji j ik k i i ik k i i ji j i i j ji ij i s x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x εεεεεεεεεε''==++=+++≈++++W W
W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W
Q
所以()j
ji
ij i x x ε
ε+W W ，由于i x 的任意性，可得到ji ij εε+=0
即｛0,(1,2,3),()
ii ik ki i k i εεε===-≠ 即ij ji εε=-，为反对称矩阵的矩阵元
若不加以区分，很容易得到这样一个错误的结论：
,00
0,ik k i i ji j ik k ji j ij j i i ji j i j j i
ji j i i ji j ji x x x x x x x x x x x x x x εεεεεεεεε←←∴++=?+=?+==即若考虑二阶项，就会得到是一个对称矩阵的错误结论
虽然哑指标可以任意的换字母，但是那里面的,i j x x 在两个项中是不一样的（有行向量和列向量的区别）
由此可将（1）（2）两式写成矩阵形式，
'r r α=r r
，I αε=+
（ I 为二阶单位矩阵，ε的元为之前的ij ε，即是反对称矩阵）
引入矢量δφr
，使2
ijk jk
i
εεδφ-=
，其中
ijk ε为三阶全反对称量，
则因为恒等式()()22
ilm lm lm ijk
jl km jm kl jk εεεεδδδδε-=--=-
得ijk i jk εδφε=- 则 ijk j k ik k x x εδφε= （3）
结合（1）式右边，得出
'r r r δφ=+?r r r
r
由此可知δφr
为坐标系所做的无限小角转动的角位移。 同时，由 ijk j k
ik k x x εδφε=，及()()??????ijk i j k k i j e e e e e e ε=??=??
可知，()??k i ki e
e δφε??=的 所以ki ε本身是矢量()k i e e ?r r
与δφ
r 的标积，ki j j e εδφδφ=?=r r
，其大小就是无穷小
角位移δφr 在j 方向上的分量的j δφr
大小
应该说，这个题目的另一意义在于对叉积可以变成点积运算：r r δφε?=?r r r
，可惜的这只能
在三维空间中成立，关键是2
ijk jk
i
εεδφ-=
只在三维空间中成立。不过也没什么，叉
积本身只在三维空间中有通常意义。
6、试证三维空间的转动变换（1.1.4）矩阵的矩阵元满足关系式（1.1.20）与（1.1.22） 证：由表达式（1.1.4）得
坐标的转动变换：'i ij j x a x = （1）
则'
i ij
j
x a x ?=?， 此即（1.1.20） 式
将（1）式两边同时乘以ik a ，并对指标i 求和
'
i ik ij ik j x a a a x = （2）
由'22
x x = 得
'2ij ik j k i i x a a x x x x ==
可得正交关系ij ik jk a a δ= （3）
代入（2）式可得
'i ik k x a x =
即
'
j ij i x a x =,从而'
j ij i x a x ?=
?
此即（1.1.22）式。
习题1.2
在空间转动变换下
1 若ij T 是一个二阶量，i b 是一个矢量，则i ij j a T b =也是一个矢量。 证： 因为：
'',ij il jm lm j
jk k T a a T b a b ==
所以
'''i ij j il jm lm jk k il jm jk lm k il mk lm k il lm mk k il lm m il l
a T
b a a T a b a a a T b a T b a T b a T b a a δδ=======
故i a 为一矢量
2 若i a 是一个矢量，证明/i j a x ??是一个二阶量。 证：因为
'''''()i il l l k l l
il il il jk j j j j k k
a a a a x a a a a a a x x x x x x ??????====??????
所以,
i
j
a x ??为二阶量
3 若ij S 是一个二阶对称量，ij A 是一个二阶反对称量，则0ij ij S A =。
解：
ij ij ij ij ij ij ij ij i j
i j
i j
S A S A S A S A <>==++∑∑∑
,0ij ji ij A A i j A =-∴==Q 时，
ji
ij ij ij ij ij ij ij ij ji ji
i j
i j
i j
i j
ij ij ij ij i j
i j
S S A S A S A S A S A S A S A <><<<<=∴=+=-=-=∑∑∑∑∑∑Q ij 又S
故原题得证。
4．证明二阶量的对角分量之和是一个标量。 解：设二阶量的对角量之和为： φ＝ii T 经过一转动变换后：'
φ＝'
ii
T
而：'
ii ij ik jk T a a T =＝jk jk T δ＝jj T ，所以：
'jj T φφ== 上式表明φ是一个标量。
5．()2
222φψφψφψψφ?
=?+???+?
证明：
()2222φψφψφψψφ?=?+???+? ()()()
222 =2φψφψψφφψφψφψφψψφ
?=?+?∴?=????+???+?Q
习题1.3
1． 证明：构成右（左）旋系三个矢量a r 、b r 、c r
在空间反演变换后成为左（右）旋系。
证明：对于右旋系来说，
()
0V a b c =??>r r r
空间反演变换后，
()
()()()()()
0V a b c a b c a b c ''''=??=-?-?-=-?? ，变为左旋系。 同理可证左旋系变为右旋系的情况。 2．若ij T 是一个二阶量，ij P 是一个二阶赝量，则ij ij T P 是一个赝标量。 证明：在空间反演变换下， () ij ij ij ij ij ij T P T P T P ''=-=- 而ij ij T P 只有一个值，故ij ij T P 是一个赝标量。 3．证明：当坐标系旋转或偶数个坐标轴反向时，变换行列式等于1；当奇数个坐标轴反向时，变换行列式等于1-。 证明：对坐标系旋转来说， 2 ,1,1T T T a a I a a a a a a =∴===∴=±Q 由坐标旋转的连续性，a 的值要么保持不变，要么连续变化 由于开始时，显然，1a = 所以a 始终等于1 或者这样理解：做两次转动，可以看作一个转动变换，所以a 始终等于1 对坐标轴反向来说，其变换行列式形式为： () ()() 110001100 11---，()11-表示1或1-。 偶数个坐标轴反向时，有偶数个1-，其值为1；当奇数个坐标轴反向时，有奇数个1-，其值为1-。得证。 4. 设i x 是笛卡儿坐标，求当空间坐标系作旋转与反演变换时诸体积积分 ()2ij i j T dvx x f x =?的变换规律，式中() 2f x 是一个标量函数 解: 空间坐标系做旋转变换时,有 ,i ij j x a x '= 22i i ij j ik k j j x x x a x a x x x x '''∴==== 1 23123det det dv dx dx dx J dx dx dx J dv ''''=== 其中11 12 1321222331 32 33det det 1a a a J a a a a a a ?? ??==?????? （ij a 是转动矩阵） 所以dv dv '= 22()()ij i j il l jm m il jm lm T dvx x f x dva x a x f x a a T '''===?? 做反演变换时,有x x '=- 123123dv dx dx dx dx dx dx dv ''''==-=- ()()i i i i i i x x x x x x ''=--= 22()()()()ij i j i j ij T dv x x f x dvx x f x T '=---=-=-?? 5. 使用两矢量的循环分量表示它们的标积（点乘）与矢积（叉乘）；并用球谐函数表示矢径的诸循环分量。 解: 由???)x x a e a e a e --++=- ,???)y y a e a e a e --++=+,00??z z a e a e = ???)x x b e b e b e --++=- ,???)y y b e b e b e --++=+,00??z z b e b e = 0x y z a a a A a a a +-???? ? ? = ? ? ? ????? ，00001A ?? ? ? ?= ? ? ? ?? ? 因此，A 就是变换矩阵，于是我们可得基坐标公式： ()()0,,,,x y z e e e e e e A +-= 于是 000 , ,e e ie e e ie e e ie +---++?=-?=?= 因此： ()()0000a b a e a e a e b e b e b e ++--++--?=++?++v v 00000???()()()i a b a b e i a b a b e i a b a b e +++----++-= ---+- 即有0()()a b i a b a b -++-?=-v v ,00()()a b i a b a b ±±±?=±-v v 是不成立的，因为上式是在直角坐标系中推出的，有赖于直角坐标系的一些特殊性 质 ∵()()0000a b a e a e a e b e b e b e ++--++--?=++?++v v 预先如上面，先计算出方向向量的点积即可 或者： ()()()() 11 00 ,,,,x x y y z z T T a b a b a b a b a a a A A a a a --+-+ - ?=++=v v 求出A -1 即可得到 000,()u u u u a b a b a b a b a b -++--=± ?=- ++= -∑v v ∴0,()u u u u a b a b -=± ?= -∑v v ???sin cos sin sin cos x y z r r e r e r e θ?θ?θ=+ +v 0?????sin cos )sin sin ()cos r e e e e r e θ? θ?θ-+-+=-+-+ 1,11,11,00???()Y e Y e Y e --+?= ++? ∴1,u u r = 6.证明:对(1.3.16) 有det il im ik ijk lmk jl jm jk kl km kk δδδεεδδδδδδ?? ?= ? ??? 对哑指标求和,此时有3kk δ=,且有 3det det det il im il im jl jm ijk lmk jk ik jl jm kl km kl km δδδδδδεεδδδδδδδδ?????? =-+ ? ? ??????? 令det il im jk kl km δδδδδ?? ???中k j =,令det jl jm ik kl km δδδδδ?? ???中k i =,合并后有 det il im ijk lmk il jm im jl jl jm δδεεδδδδδδ?? ==- ??? 得证. 对(1.3.17) 由(1.3.16)有,det il ij ijk ljk il jj ij jl jl jj δδεεδδδδδδ?? ==- ??? 此时有3jj δ=,故有32!ijk ljk il il il εεδδδ=-= 故2!3!ijk ijk ii εεδ== 习题1.4 1．证明：()()()0A B C B C A C A B ??+??+??=v v v v v v v v v 证明：()()()A B C A C B A B C ??=??-?v v v v v v v v v ( )( ) ()B C A B A C B C A ??=?-?v v v v v v v v v ( )( )( ) C A B C B A C A B ??=?-?v v v v v v v v v 且 ,,A B B A A C C A B C C A ?=??=??=?v v v v v v v v v v v v 所以，()()()0A B C B C A C A B ??+??+??=v v v v v v v v v 2．将下述量写成矢量表达式 1）inl irs lmp stp n r m t a a b c εεεε 2）inl krs lmp stp i k m n r t a b c d e f εεεε 解：1） ()() () () () 2222()()=()3()()()inl irs lmp stp n r m t nr ls ns lr ls mt lt ms n r m t nr ls ls mt nr ls lt ms ns lr ls mt lt ms ns lr n r m t a a b c a a b c a a b c a b c a b c a b c a b a c a b c a b a c εεεεδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ=----+=?-?-?+??=?+??v v v v v v v v v v v v v v v v 2) ()() ()()()() ()()()()()() inl krs lmp stp i k m n r t stp krs k r t lmp inl i n m a b c d e f b e f a d c b e f a d c f e b c d a εεεεεεεε==????=????v v v v v v v v v v v v 关键一点:若是点乘：找脚标相同的； 若是叉乘：找ijk ε，按顺序，(),,, i j k a b c a b c ??v v v 3．设I 为二阶单位量，试证： ()()()() a b c I a b c b c a c a b ??=?+?+?v v v v v v v v v v v v 证明：先验证恒等式 lmn ij il jmn im jnl in jlm εδδεδεδε=++ （*） 方程两边同乘以in δ得 () 3ij lmn ij ij il jmn im jnl in jlm lmn lmn mnl nlm lmn lmn δεδδδεδεδεεεεεεε?=++=++=即 ,即 上式只是证明了当i=j 时是成立的 当i j ≠时，左边为0， 对于右边：因为i j ≠，所以当0 ik δ≠时，必有0j ε??= （此时j 必与某个脚标相同） 所以右边也等于0 当i j =时，i 必与m,n,l 中的某一个形同，不妨设为m 。而m,n,l 互不相同，若 不然ε???为0；所以右边等于lmn ε （*）两边同乘以l m n a b c 得： ()()()() ()() ()() () [][]l m n lmn ij l m n il jmn im jnl in jlm ij i i i j j j ij ij a b c a b c a b c a b c b c d c a b a b c I a b c b c a c a b εδδεδεδεδ?=?++??=?+?+???=?+?+?v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v 即()()()( ) a b c I a b c b c a c a b ??=?+?+?v v v v v v v v v v v v 证毕。 4．证明：若对任意矢量B v ，i i A B 是一个标量（或赝标量）；则是A v 一个矢量（或轴矢量）。 若对任意轴矢量B v ，i i A B 是一个标量（或赝标量），则A v 是一个轴（或极）矢量。 证： 先证明A v 是矢量。 在空间转动' i ij j x a x =下，由i i A B 是标量可知： ''' ()i i i i i i A B A B A B == 又B v 是极矢量，' i ij j B a B = 所以， ' i ij j i i Aa B A B = 即 ' j ji i i i A a B AB = ' i ji j A a A = 所以，A u v 是矢量 当空间反演变化时，' i i B B =- 由于i i A B 是标量，''' ()i i i i i i A B A B A B == 即' i i A A =- 所以，A u v 是极矢量 同理可证，其它三种情形 5．证明：()()()a b c a c b a b c ??=?-?r r r r r r r r r 证明： ()()()()()()()i j k i j k i j k i jkm m i j k jkm iml l i j k jl ki ji kl l i i l j j l l a b c a b c e e e a b c e e a b c e a b c e a c b a b c e a c b a b c εεεδδδδ??=??=?==-=-=?-??r r r u r u u r u u r u r u u r u r u r u r r r r r r r 6．证明：()()a b c b c a ??=??r r r r r r ()()()()()()a b c d a c b d a d b c ???=??-??r r r u r r r r u r r u r r r ()()[()][()]a b c d a b d c a b c d ???=??-??r r r u r r r u r r r r r u r 1()2(), 2 ik i k k i i ijk jk T a b a b a b T ωωε-=??=u r r r 证明：1） ()()()i j k i j k i j k ijk i j k jki a b c a b c e e e a b c a b c b c a εε??=??===??r r r u r u u r u u r r r r 2）由第一问可得: ()()(())a b c d b c d a ???=???r r r u r r r u r r (()())b a c d a d c =??-?r r r u r r u r r ()()()()a c b d a d b c =??-??r r r u r r u r r r 3) ()()(())(())a b c d a b d c a b c d ???=???-???r r r u r r r u r r r r r u r [()][()]a b d c a b c d =??-??r r u r r r r r u r 4) 2()2l m n lmn a b a b ωωε??=u r r r 1 22 ljk jk m n lmn T a b εε=? ()jk m n jm kn jn km T a b δδδδ=-- ()jk j k k j T a b a b =-()ik i k k i T a b a b =- 7．证明：1 04i i n d n π= Ω=? 11 43i j i j ij n n d n n δπ=Ω=? 1 04i j k i j k n n n d n n n π =Ω=? ()11 415 i j k l i j k l ij kl ik jl il jk n n n n d n n n n δδδδδδπ=Ω=++? 证明：1） 0i i i n n n ∴=Q 为一阶不变张量，即不变矢量为零矢量，即 2）i j i j ij n n n n δ∴∝Q 是不变二阶张量 1 ..........i=j 1 41 .......... 1 (3) i j ij i i ii n n d n n λδπλδλ=Ω=∴=∴=?u r u r g 令，取，原式得证 3） ,i j k i j k ijk n n n n n n A A ε∴=Q 为三阶不变张量其中为一常数 但是，i j k i k j n n n n n n =（因为n 矩阵容不变，所以可以交换） 而ijk ε是两两反对称的，所以A 只能为零 4） ()..........()1()()14............()(3333)15 1..........i j k l i j k l ij lk il jk ik jl i j k l ij lk il jk ik jl i i k k ii kk ik ik ik ik n n n n n n n n n n n n d n n n n δδδδδδλδδδδδδπλδδδδδδλλλ∴∝++=++Ω=++=?++==∴= ? u u r u r u u u r u u r g g 为四阶不变张量令，取i=j,k=l 则由1 (15) 原式得证 不错的证明！！！ 当然，也可以实际计算：()sin , sin cos sin sin ,cos d d d n θθ?θ?θ?θΩ==,， 写出关于n 的各阶量，逐个检验分量。工作量很大，也比较烦。 8、 证明：以下假定1.42式已证 利用a v 是常矢量，可以提出平均符号外 1).0a n ?=v v 0i i i i a n a n a n ?===v v 2).22 ()||/3a n a ?=v v v 2222222()()/3||/3i i i i i i i i a n a n a n a n a a a ?=====v v v 3)./3a nb n a b ??=?v v v v v v /3/3i i j j i j i j i j ij a nb n a n b n a b n n a b a b δ??====?v v v v v v 4)./3a nn a ?=v vv v /3/3/3i i j j i j ij i i a nn a n n e a e a e a δ?====v vv v v v v 5).22()2||/3a n a ?=v v v 2()/3/3ijk j k ilm l m lm ijk ilm j l ijk ilk j l a n a n a n a a a a εεδεεεε?===v v =2 2!/32/32||/3jl j l j j a a a a a δ==v 6).()()2/3a n b n a b ???=?v v v v v v ()()/3/3ijk j k ilm l m ijk ilm j l km ijk ilk j l a n b n a n b n a b a b εεεεδεε???===v v v v =2!/32/3jl j l a b a b δ=?v v 7).()/15a nb nc nd n a bc d a cb d a db c ????=??+??+??v v v v v v vv v v vv v v v v v v v v ()/15i j l m i j l m i j l m ij lm il jm im jl a nb nc nd nn a b c d n n n n a b c d δδδδδδ????==++v v v v vv v v =()/15()/15i i l l i i j j i i j j a bc d a c b d a d b c a bc d a cb d a db c ++=??+??+??v v v v vv v v v v v v 9、证明： ()u v I vu uv ??=-v v vv vv 证明： ()()()ijk j k l lim m ijk ilm j k l m jl km jm kl j k l m j k k j l m l m u v I u v e e I u v e e u v e e u v e e u v e e vu uv εεεεδδδδ??==-=--=-=-r r r r r r r r g r r r r r r rr 10、证明： ()()()u I v I u v I vu u vI ??=??=-r r r r r r r r g g 证明： 先证：()()u I v I vu u vI ??=-r r r r r r g g 证明如下： ()()()j ijk k l lim m ijk ilm j l k m jl km jm kl j l k m j k k j j j k k u I v I u e Iv e I u v e e u v e e u v e e u v e e vu u vI εεεεδδδδ??==-=--=-=-r r r r r r r r g g g r r r r r r r r g 再证：()u v I vu u vI ??=-r r r r r r g ()()j ijk i klm l m kij klm j l i m il jm im jl j l i m j i i j j j i i u v I u e v e I u v e e u v e e u v e e u v e e vu u vI εεεεδδδδ??===-=-=-r r r r r r r r g r r r r r r r r g 所以有()()()u I v I u v I vu u vI ??=??=-r r r r r r r r g g 上面普遍处理了一个基本式： ()()??j i ijk k ijk j i k u I e u e e I u e e εε?=??=v v v vv 与一般的两向量的矢量积比较，就是k 分量由标量变为矢量。所以只要处理好?i e 位置就可以了。 并且我们可以得到一个更强的结论：a T T a ?=?r r ，T 是对称的二阶量 这其实是很显然的，因为叉乘只涉及一个指标，对左边，只涉及第一个指标，对右边只涉及第二个指标，而由于T 的对称性，行向量等于列向量，即第一个指标和第二个指标等同，因此结论成立。 可想而知，对点乘也应成立，但是这里有一个细节，a T ?r 是一个行向量，T a ?r 是一个列向量，但是根据上面分析，他们的元素必然是相等的。 这从矩阵语言中可以清楚看到：()T T T T Ta a T a T ==r r r （点乘就是普通的矩阵乘法,对向量 加一个转置） 下面根据上面的讨论，给出一个形式化的证明： ()()()()(u v I I u v I v u I u v vu uv ??=??=?-?=-v v v v v v v v vv vv 交换原因在于后面是通常给出的叉积形式）
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