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高考数学之函数知识点总结

函数

（一）函数

1．了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域.

2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。3．了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。

4．理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。

5．理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值.

6．会运用函数图像理解和研究函数的性质.

（二）指数函数

1．了解指数函数模型的实际背景。

2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

3．理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题。

4．知道指数函数是一类重要的函数模型。

（三）对数函数

1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。

2．理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题.

3．知道对数函数是一类重要的函数模型.

4．了解指数函数与对数函数互为反函数（）。

（四）幂函数

1．了解幂函数的概念。

2．结合函数的图像，了解它们的变化情况。

（五）函数与方程

1．了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。

2．理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数.（六）函数模型及其应用

1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。

2．了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。

3．能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。

定义定义域区间

对应法则

值域

一元二次函数

一元二次不等式

映射

函

数

性

质奇偶性

单调性

周期性

指

数

函

数

根式分数指数

指数函数的图像和性质

指数方程

对数方程

反函数互为反函数的

函数图像关系

对

数

函

数

对数

对数的性质

积、商、幂与

根的对数

对数恒等式

和不等式

常用对数

自然对数

对数函数的图像和性质

函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.

考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.

函数概念

（一）知识梳理

1．映射的概念

设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →: ，f 表示对应法则注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一；

⑵B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。

2．函数的概念 (1)函数的定义：

设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),(

(2)函数的定义域、值域

在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}

A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。

(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； (3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。 4．分段函数

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

（二）考点分析

考点1：映射的概念

例1．（1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；

（2）*

{|2,}A x x x N =≥∈，{}|0,B y y y N =≥∈，2

:22f x y x x →=-+；

（3）{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y →= 上述三个对应是A 到B 的映射．

例2．若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有个，B 到A 的映射有个，A 到B 的函数有个

例3．设集合{1,0,1}M =-，{2,1,0,1,2}N =--，如果从M 到N 的映射f 满足条件：对M 中的每个元素x 与

它在N 中的象()f x 的和都为奇数，则映射f 的个数是（）

()A 8个 ()B 12个 ()C 16个 ()D 18个

答案：1.（2）；2．81,64,81；3. D 考点2：判断两函数是否为同一个函数

例1．试判断以下各组函数是否表示同一函数？

（1）2)(x x f =，33)(x x g =；

（2）x

x x f =

)(，??

?<-≥=;

,01)(x x x g

（3）1212)(++=n n x x f ，1

212)()(--=n n x x g （n ∈N *

）；

（4）x

x f =

)(1+x ，x x x g +=

2)(；

（5）12)(2

--=x x x f ，12)(2

--=t t t g

[答案]（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数

考点3：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；

（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f

题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式

例1．已知二次函数)(x f 满足564)12(2

+-=+x x x f ，求)(x f .

例2．（09湖北改编）已知)11(x x f -+=

211x x +-，则)(x f 的解析式可取为题型2：求抽象函数解析式

例1．已知函数)(x f 满足x x

f x f 3)1(2)(=+，求)(x f

考点4：求函数的定义域

题型1：求有解析式的函数的定义域

（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x 的取值范围，实际操作时要注意：① 分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③ 偶次根式中被开方数应为非负数；④ 零指数幂中，底数不等于0；⑤ 负分数指数幂中，底数应大于0；⑥ 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦ 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。例1.（08年湖北）函数=

)(x f )4323ln(1

22+--++-x x x x x

的定义域为( ) A.),2[)4,(+∞--∞Y ;B.)1,0()0,4(Y -；C. ]1,0()0,4[,Y -;D. )1,0()0,4[,Y -

答案：D

题型2：求复合函数和抽象函数的定义域例1．（2007·湖北）设()x x x f -+=22lg

，则??

? ??+??? ??x f x f 22的定义域为（）

A . ()()4,00,4Y -；

B . ()()4,11,4Y --；

C . ()()2,11,2Y --；

D . ()()4,22,4Y --

答案：B.

例2．已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域例3．已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域

例4．已知(21)y f x =-的定义域是（-2，0），求(21)y f x =+的定义域(-3

1．求值域的几种常用方法

（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，

如求函数4cos 2sin 2

+--=x x y ，可变为2)1(cos 4cos 2sin 2

+-=+--=x x x y 解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数)32(log 2

1++-=x x y 就是利用函数u y 2

1log =和322++-=x x u 的值域来求。

（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数2

+-+=

x x x y 的值域]2133,2133[+- （4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数1

cos 3

cos 2+-=x x y 的值域，因为

（5）利用基本不等式求值域：如求函数4

x x

y 的值域（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数])2,1[(222

-∈+-=x x x y 的值域（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域

（8）导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数3

()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。（－48）

（9）对勾函数法像y=x+m

x ，（m>0）的函数，m<0就是单调函数了三种模型：（1）如4

y x x

=+，求（1）单调区间（2）x 的范围[3,5]，求值域（3）x ∈ [-1,0 )?(0,4],求值域

（2）如 4

4y x x =+

+，

求（1）[3,7]上的值域（2）单调递增区间（x ≤0或x ≥4）

（3）如 1

y x x =+

- ，（1）求[-1,1]上的值域（2）求单调递增区间

函数的单调性

（一）知识梳理

1、函数的单调性定义：

设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ?，如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有

)()(21x f x f <，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间；如果对于区间I

内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间。

如果用导数的语言来，那就是：设函数)(x f y =，如果在某区间I 上0)(>'x f ，那么)(x f 为区间I 上的增函数；如果在某区间I 上0)(<'x f ，那么)(x f 为区间I 上的减函数；

2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法：

（1）①定义法（取值――作差――变形――定号）；②导数法（在区间(,)a b 内，若总有()0f x '>，则()f x 为增函数；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数，则()0f x '≥，

（2）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意(0b

y ax a x

=+>,0)b >型函数的图

象和单调性在解题中的运用：增区间为(,)-∞+∞，减区间为[.

（3）复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减

（4）若)(x f 与)(x g 在定义域内都是增函数（减函数），那么)()(x g x f +在其公共定义域内是增函数（减函数）。

3、单调性的说明：

（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；

（2）函数单调性定义中的1x ，2x 有三个特征：一是任意性；二是大小，即)(2121x x x x <<；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；

（3）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数x

y 1

=分别在)0,(-∞和),0(+∞内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即),0()0,(+∞-∞Y 内是单调递减的，只能说函数x

y 1

=的单调递

减区间为)0,(-∞和),0(+∞。

4、函数的最大（小）值

设函数)(x f y =的定义域为A ，如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≤恒成立，那么称

)(0x f 为)(x f y =的最大值；如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≥恒成立，那么称)(0x f 为)(x f y =的最小值。

（二）考点分析

考点1 函数的单调性

题型1：讨论函数的单调性

例1．（1）求函数2

0.7log (32)y x x =-+的单调区间；

（2）已知2()82,f x x x =+-若2

()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性．解：（1）单调增区间为：(2,),+∞单调减区间为(,1)-∞，

（2）2

()82(2)(2)g x x x =+---42

28x x =-++，3

()44g x x x '=-+，

令 ()0g x '>，得1x <-或01x <<，令 ()0g x '<，1x >或10x -<< ∴单调增区间为(,1),(0,1)-∞-；单调减区间为(1,),(1,0)+∞-．例2. 判断函数f(x)=12

-x 在定义域上的单调性.

解：函数的定义域为{x|x ≤-1或x ≥1}, 则f(x)= 12

-x ,

可分解成两个简单函数.

f(x)=)(,)(x u x u =x 2

-1的形式.当x ≥1时，u(x)为增函数，)(x u 为增函数.

∴f （x ）=12

-x 在［1，+∞)上为增函数.当x ≤-1时，u （x)为减函数，)(x u 为减函数，

∴f(x)=12

-x 在（-∞,-1］上为减函数.

题型2：研究抽象函数的单调性

例1．已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ?=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=，

（1）求证：()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）解不等式2

(21)2f x -<．解：（1）令121x x ==，得(1)2(1)f f =，∴(1)0f =，令121x x ==-，得∴(1)0f -=， ∴()(1)(1)()()f x f x f f x f x -=-?=-+=，∴()f x 是偶函数．（2）设210x x >>，则

221111()()()()x f x f x f x f x x -=?

-221111

()()()()x x f x f f x f x x =+-= ∵210x x >>，∴

211x x >，∴21

()x

f x 0>，即21()()0f x f x ->，∴21()()f x f x > ∴()f x 在(0,)+∞上是增函数．

（3）(2)1f =Q ，∴(4)(2)(2)2f f f =+=，

∵()f x 是偶函数∴不等式2

(21)2f x -<可化为2

(|21|)(4)f x f -<，

又∵函数在(0,)+∞上是增函数，∴2

|21|4x -<，解得：x <<

即不等式的解集为(．题型3：函数的单调性的应用

例1．若函数2)1(2)(2

+-+=x a x x f 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数a 的取值范围是______(答：

3-≤a ）)；

例2．已知函数1()2ax f x x +=

+在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围_____（答：1

(,)2

+∞）；考点2 函数的值域（最值）的求法

求最值的方法：（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。（2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。（3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。（4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法（5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。题型1：求分式函数的最值

例1．（2007上海）已知函数x a x x x f ++=2)(2).,1[,+∞∈x 当2

=a 时，求函数)(x f 的最小值。

[解析]当21=

a 时，221

1)(',221)(x

x f x x x f -=++= Θ1≥x ，∴0)(>'x f 。∴)(x f 在区间),1[+∞上为增函数。 ∴)(x f 在区间),1[+∞上的最小值为2

)1(=

f 。题型2：利用函数的最值求参数的取值范围

例2．（2008广东）已知函数x

x x x f ++=2)(2).,1[,+∞∈x 若对任意[1,),()0x f x ∈+∞>恒成立,试求实数a 的

取值范围。

[解析]Θ02)(2>++=

x x x f 在区间),1[+∞上恒成立；∴022>++a x x 在区间),1[+∞上恒成立；∴a x x ->+22在区间),1[+∞上恒成立；Θ函数x x y 22+=在区间),1[+∞上的最小值为3，∴3<-a 即

3->a

函数的奇偶性

（一）知识梳理

1、函数的奇偶性的定义：①对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-〔或0)()(=+-x f x f 〕

，则称)(x f 为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。②对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-〔或0)()(=--x f x f 〕，则称)(x f 为偶函数. 偶函数的图象关于y 轴对称。 ③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函

数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）

2.函数的奇偶性的判断：

（1）可以利用奇偶函数的定义判断()()f x f x =±-

（2）利用定义的等价形式, ()()0f x f x ±-=，

()

1()

f x f x -=±（()0f x ≠）（3）图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称 3．函数奇偶性的性质：

（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.

（2）若奇函数()f x 定义域中含有0，则必有(0)0f =.故(0)0f =是()f x 为奇函数的既不充分也不必要条件。

（3）定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如设)(x f 是定义域为R 的任一函数， ()()

()2

f x f x F x +-=

，()()()2f x f x G x --=。

（4）复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

（5）设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=

偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇．

（二）考点分析

考点1 判断函数的奇偶性及其应用题型1：判断有解析式的函数的奇偶性例1．判断下列函数的奇偶性：

（1）f （x ）=|x +1|－|x －1|；（2）f （x ）=（x －1）·

-+11；

（3）2|2|1)(2

-+-=x x x f ；（4）??

?>+<-=).

0()

1(),0()1()(x x x x x x x f

题型2：证明抽象函数的奇偶性

例1 .(09年山东)定义在区间)1,1(-上的函数f (x )满足：对任意的)1,1(,-∈y x ，都有)1(

)()(xy

x f y f x f ++=+. 求证f (x )为奇函数；

[解析]令x = y = 0，则f (0) + f (0) = )0()0

f f =++∴ f (0) = 0 令x ∈(－1, 1) ∴－x ∈(－1, 1)∴ f (x) + f (－x) = f (2

x --) = f (0) = 0

∴ f (－x) =－f (x)∴ f (x) 在(－1，1)上为奇函数

例2．（1）函数)(x f ，R x ∈，若对于任意实数b a ,，都有)()()(b f a f b a f +=+，求证：)(x f 为奇函数。

（2）设函数)(x f 定义在),(l l -上，证明)()(x f x f -+是偶函数，)()(x f x f --是奇函数。考点2 函数奇偶性、单调性的综合应用

例1．已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数，若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围。 [解析] Q )(x f 是定义在)2,2(-上奇函数∴对任意x ∈)2,2(-有()()f x f x -=- 由条件0)12()1(>-+-m f m f 得(1)(21)f m f m ->--=(12)f m -

Q )(x f 是定义在)2,2(-上减函数∴21212m m ->->->，解得12

m -<< ∴实数m 的取值范围是12

23m -

例2．设函数)(x f 对于任意的R y x ∈,，都有)()()(y f x f y x f +=+，且0>x 时0)(

（2）试问当33≤≤-x 时，)(x f 是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由。

例3．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f (2a 2

+a +1)

－2a +1).求a 的取

值范围，并在该范围内求函数y =(

1)1

32+-a a 的单调递减区间. [解析]设0

∴f (－x 2)