湖南省益阳市桃江一中2018届高三（上）期中数学试卷
（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，集合B={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则A∪B=（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣1，2]
C．（﹣∞，2]∪（3，+∞）D．[﹣2，﹣1）
2．（5分）设复数z满足，则|z|=（）
A．5 B．
C．2 D．
3．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（）
A．4B．2
C．6 D．4
4．（5分）已知函数，若a＜﹣2，b＞2，则“f（a）＞f（b）”是“a+b ＜0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（5分）各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，数列是首项和公差都为2的等差数列，公比为负数的等比数列{b n}，其首项和公比相等，且数列{|b n|}为等差数列，则数列的前2018项的和为（）
A．B．0 C．D．
7．（5分）求（x2+2）（）6的展开式的常数项是（）
A．15 B．﹣15 C．17 D．﹣17
8．（5分）任取实数x，y∈[0，1]，则满足的概率为（）A．B．C．D．
9．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）
A．[，1] B．[，1] C．[，] D．[，1] 10．（5分）两圆x2+y2+2ax+a2﹣4=0和x2+y2﹣4by﹣1+4b2=0恰有三条公切线，若a∈R，B ∈R，且ab≠0，则的最小值为（）
A．B．C．1 D．3
11．（5分）已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0）的一条渐近线为l，圆C：（x﹣a）2+y2=8与l交于A，B两点，若△ABC是等腰直角三角形，且（其中O为坐标原点），则双曲线Γ的离心率为（）
A．B．C．D．
12．（5分）若关于x不等式x ln x﹣x3+x2≤a e x恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[e，+∞）B．[0，+∞）C．D．[1，+∞）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）某沿海四个城市A、B、C、D的位置如图所示，其中∠ABC=60°，∠BCD=135°，AB=80nmile，BC=40+30nmile，CD=250nmile，D位于A的北偏东75°方向．现在有一艘轮船从A出发以50nmile/h的速度向D直线航行，60min后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行，收到指令时城市C对于轮船的方位角是南偏西θ度，则sinθ=．
14．（5分）已知数列{a n}满足a1=，a n+1=（n∈N*），若不等式++ta n
≥0恒成立，则实数t的取值范围是．
15．（5分）A=，点P
∈A，过点P作圆C：（x+2）2+（y+1）2=1的两条切线P A，PB，切点为A，B，则的最小值为．
16．（5分）已知函数f（x）=，若对于任意实数x1，x2，x3，均存在以f（x1），f（x2），f（x3）为三边边长的三角形，则实数k的取值范围是．
三、解答题：本大题共7小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=4，D在线段AC上，∠DBC=．
（1）若△BCD的面积为24，求CD的长；
（2）若，且c=12，求CD的长．
18．（12分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数0 1 2 3 4 ≥5 保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数0 1 2 3 4 ≥5 概率0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
19．（12分）如图（1）所示，已知正方形AMCD的边长为2，延长AM，使得M为AB的中点，连接AC．现将△ACD沿AC折起，使得平面ACD⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图（2）所示．
（1）求证：BC⊥平面ACD；
（2）求平面ACD与平面MCD的夹角的余弦值．
20．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与抛物线C的交点为Q，且|QF|=2|PQ|，过F的直线l与抛物线C相交于A，B两点．
（1）求C的方程；
（2）设AB的垂直平分线l'与C相交于M，N两点，试判断A，M，B，N四点是否在同一个圆上？若在，求出l的方程；若不在，说明理由．
21．（12分）已知函数f（x）=x，函数g（x）=λf（x）+sin x是区间[﹣1，1]上的减函数．（Ⅰ）求λ的最大值；
（Ⅱ）若g（x）＜t2+λt+1在x∈[﹣1，1]上恒成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）讨论关于x的方程的根的个数．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分．[选修4-4：参数方程与极坐标系]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中．
（1）求圆C的普通方程；
（2）直线l的极坐标方程是，射线OM的倾斜角为，射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+1|，不等式f（x）＞4的解集为P．（Ⅰ）求P；
（Ⅱ）证明：当m，n∈P时，|mn+4|＞2|m+n|．
【参考答案】
一、选择题
1．C
【解析】由x2﹣2x﹣3＞0，解得x＜﹣1或x＞3．
∴B={x|x＜﹣1或x＞3}=（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
又集合A={x|﹣2≤x≤2}=[﹣2，2]，
∴A∪B=（﹣∞，2]∪（3，+∞）
故选：C
2．B
【解析】由，得z+1=z﹣2﹣3i?z+6i，即3i?z=﹣3+6i，
∴=，
∴|z|=．
故选：B．
3．D
【解析】由几何体的三视图得到几何体是以俯视图为底面的四棱锥，如图：由网格可得AD最长为=；
故答案为：．
4．C
【解析】由2|x|﹣4＞0，解得x＞2或x＜﹣2，关于原点对称．
又f（﹣x）=f（x）．可得函数f（x）在定义域内为偶函数．
x＞2时，f（x）=5x﹣在（2，+∞）上单调递增．
∴a+b＜0?2＜b＜﹣a?f（b）＜f（﹣a）=f（a），
∴“f（a）＞f（b）”是“a+b＜0”的充要条件．
故选：C．
5．C
【解析】当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，
当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，
当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，
当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，
故输出的n值为4，
故选C．
6．C
【解析】由数列是首项和公差都为2的等差数列，可得，∴，则，
当n≥2时，，
验证适合上式，
∴；
设等比数列{b n}的首项为b1，公比为q（q＜0），
由题意可知，b1=q，且2|b2|=|b1|+|b3|，
∴2q2=﹣q﹣q3，解得b1=q=﹣1．
∴，
∴，
∴的前2018项的和为=．
故选：C．
7．C
【解析】（）6的展开式的通项公式：T r+1=（﹣1）r=（﹣1）r x r﹣6，（r=0，1，2，…，6），
分别令r﹣6=0，r﹣6=﹣2，
解得r=6，r=4．
∴（x2+2）（）6的展开式的常数项是2×+1×=17．
故选：C．
8．D
【解析】任取实数x，y∈[0，1]，对应区域为边长是1 的正方形，面积为1，
而满足的区域面积为==，
所以所求概率为；
故选D．
9．B
【解析】由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪．不妨取AB=2．
在Rt△AOA1中，==．
sin∠C1OA1=sin（π﹣2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1
=，
=1．∴sinα的取值范围是．
故选：B．
10．C