八、竖直弹簧
1、如图所示，物体B 和物体C 用劲度系数为k 的轻弹簧连接并竖直地静置于水平地面上。将一个物体A 从物体B 的正上方距离B 的高度为
H 0处由静止释放，下落后与物体B 碰撞，碰撞后A 与B 粘合在一起并
立刻向下运动，在以后的运动中A 、B 不再分离。已知物体A 、B 、C
的质量均为M ，重力加速度为g ，忽略空气阻力。
（1）求A 与B 碰撞后瞬间的速度大小。 （2）A 和B 一起运动达到最大速度时，物体C 对水平地面的压力为多大？
（3）开始时，物体A 从距B 多大的高度自由落下时，在以后的运动中才能使物体C 恰好离开地面？
解：（1）设物体A 碰前速度为v 1，对物体A 从H 0高度处自由下落，由机械能守恒定律得： v 1=02gH 。………………………………………………2分
设A 、B 碰撞后共同速度为v 2，则由动量守恒定律得：
Mv 1=2Mv 2，………………………………………………3分
v 2=2
0gH 。………………………………………………2分 （2）当A 、B 达到最大速度时，A 、B 所受合外力为零，设此时弹力为F ，对A 、B 由平衡条件得，F =2Mg 。…………………………………………………………………2分
设地面对C 的支持力为N ，对ABC 整体，因加速度为零，所以N =3Mg 。……3分 由牛顿第三定律得C 对地面的压力大小为N ′=3Mg 。………………………………2分
（3）设物体A 从距B 的高度H 处自由落下，根据（1）的结果，A 、B 碰撞后共同速度
V 2＝2gH
。…………………………………………1分
当C 刚好离开地面时，由胡克定律得弹簧伸长量为X ＝Mg /k 。
根据对称性，当A 、B 一起上升到弹簧伸长为X 时弹簧的势能与A 、B 碰撞后瞬间的势能相等。则对A 、B 一起运动到C 刚好离开地面的过程中，由机械能守恒得：
MgX MV 422
122=，………………………………2分 联立以上方程解得：k Mg H 8=。…………………………………………………1分 2、如图9所示，物体B 和物体C 用劲度系数为k 的轻弹簧连接并竖直
地静置于水平地面上，此时弹簧的势能为E 。这时一个物体A 从物体B
的正上方由静止释放，下落后与物体B 碰撞，碰撞后A 与B 立刻一起
向下运动，但A 、B 之间并不粘连。已知物体A 、B 、C 的质量均为M ，
重力加速度为g ，忽略空气阻力。求当物体A 从距B 多大的高度自由
落下时，才能使物体C 恰好离开水平地面？
解：设物体A 从距B 的高度H 处自由落下，A 与B 碰撞前的速度
为v 1，由机械能守恒定律得 v 1=gH 2。
设A 、B 碰撞后共同速度为v 2，则由动量守恒定律得：
图11
图9
Mv 1＝2Mv 2，
解得： v 2＝2gH
。
当C 刚好离开地面时，由胡克定律得弹簧伸长量为x =Mg /k ，由于对称性，所以弹簧的弹性势能仍为E 。当弹簧恢复原长时A 、B 分离，设此时A 、B 的速度为v 3，则对A 、B 一起运动的过程中，由机械能守恒得：
E Mv Mgx Mv +=222322
12221＋, 从A 、B 分离后到物体C 刚好离开地面的过程中，物体B 和弹簧组成的系统机械能守恒，即
Mgx E Mv +=232
1。 联立以上方程解得：Mg E k Mg H 28+=
。 3．（20分）如图所示，质量均为m 的两物体A 、B 分别与轻质弹簧的两端
相连接，将它们静止放在地面上。一质量也为m 的小物体C 从距A 物体h
高处由静止开始下落。C 与A 相碰后立即粘在一起向下运动，以后不再分
开。当A 与C 运动到最高点时，物体B 对地面刚好无压力。不计空气阻力。
弹簧始终处于弹性限度内。已知重力加速度为g 。求：
（1）A 与C 一起开始向下运动时的速度大小；
（2）A 与C 一起运动的最大加速度大小；
（3）弹簧的劲度系数。（提示：弹簧的弹性势能
只由弹簧劲度系数和形变量大小决定。）
解：（1） 设小物体C 从静止开始运动到A 点时速度为v ，由机械能守恒定律
22
1mv mgh = （2分） 设C 与A 碰撞粘在一起时速度为v '，由动量守恒定律
v m m mv '+=)( （3分）
求出 gh v 22
1=' （1分） （2） A 与C 一起将在竖直方向作简谐运动。当A 与C 运动
到最高点时，回复力最大，加速度最大。
A 、C 受力图，
B 受力图如右图 （2分）
B 受力平衡有 F = mg （1分）
对A 、C 应用牛顿第二定律
F + 2mg = 2ma （2分）
求出 a = 1.5g （1分）
（3） 设弹簧的劲度系数为k
开始时A 处于平衡状态，设弹簧的压缩形变量为△x
C
mg F A 、C F mg
对A 有 mg x k =? （1分）
当A 与C 运动到最高时，设弹簧的拉伸形变量为△x ′
对B 有 mg x k ='Δ （1分）
由以上两式得 x x '=ΔΔ （1分）
因此，在这两个位置时弹簧的弹性势能相等：E 弹＝E 弹′
对A 、C ，从原平衡位置到最高点，根据机械能守恒定律
E 弹＋)(2)(212x x mg v m m '+='+??＋ E 弹′ （3分） 解得 h
mg k 8= （2分） 4、如图所示，一轻质弹簧竖直固定在地面上，自然长度为lm ，上面连
接一个质量为m 1=1 kg 的物体，平衡时物体离地面0.9 m ．距物体m 1正
上方高为0. 3 m 处有一个质量为m 2=1 kg 的物体自由下落后与弹簧上物体m 1碰撞立即合为一体，一起在竖直面内做简谐运动．当弹簧压缩量
最大时，弹簧长为0. 6 m ．求（S 取10 m/s 2):
(1)碰撞结束瞬间两物体的动能之和是多少？
(2)两物体一起做简谐运动时振幅的大小？
(3)弹簧长为0.6m 时弹簧的弹性势能大小？
解：(1）设m 2与m 1碰前瞬间速度为v 0，则
s m gh v v m gh m /62,2
102022=== m 2与m 1碰撞瞬间竖直方向近似动量守恒，设共同速度为v 1，有 2,)(0111202v v v m m v m =
+=, J v m m E K 5.1)(212112=+= (2）当弹簧压缩量最大时，振动物体的速度大小为零，此时物体向下离开平衡位置距离最大，设为A 即为所求振幅，则
m
x L A m x kx g m m m N k kx g m 2.06.0,2.0,)(,
/100,2221211=--===+==
(3 ) m 2与m 1碰后，系统机械能守恒．当弹簧长为0.6 m 时，物体速度恰为零．则弹簧的弹性势能为J mgA E P 82==.
5、如图8所示为一个竖直放置的弹簧振子，物体沿竖直方向在A 、B 之间做简谐运动，O 点为平衡位置，A 点位置恰好为弹簧的原长。物体由C 点运动到D 点(C 、D 两点未在图上标出)的过程中，弹簧的弹性势能增加了3.0J ，重力势能减少了2.0J 。对于这段过程有如下
说法
① 物体的动能增加1.0J
② C 点的位置可能在平衡位置以上
③ D 点的位置可能在平衡位置以上
④ 物体经过D 点时的运动方向可能指向平衡位置 以上说法正确的是（ A ）
A. ②和④
B. ②和③
C. ①和③
D. 只有④
A 图8
B O A B 新平衡位置 原平衡位置 弹簧原长位置 最高点 △x △x ′ v ′ C
6、一根自由长度为10cm 的轻弹簧，下端固定，上端连一个质量为m 的物块P 。在P 上再放一个质量也是m 的物块Q 。系统静止后，弹簧长度为6cm ，如图所示。如果迅速向上移去Q 。物块P 将在竖直方向做简谐运动。此后，弹簧的最大长度是 （C ）
A ． 8cm
B ． 9cm
C ． 10cm
D ．
11cm
7、如图
a 所示，水平面上质量相等的两木块 A 、B 用一轻弹簧相连接，整个系统处于平衡状态。现用一竖直向上的力 F 拉动木块A ，使木块A 向上做匀加速直线运动，如图
b 所示 。研究从力 F 刚作用在木块A 的瞬间到
木块 B
位移 x 之间关系的是（A ）
8、如图所示，一质量为m 的小球从弹簧的正上方H 高处自由下落，接触弹簧后将弹簧压缩，在压缩的全过程中（在弹性限度内且忽略空气阻力）以下说法正确的是A
A ．小球所受弹力的最大值一定大于
2mg B ．小球的加速度的最大值一定大于2g
C ．小球刚接触弹簧上端时动能最大
D ．小球的加速度为零时重力势能与弹性势能之和最大
9、如图所示，用细线将A 物体悬挂在顶板上。B 物体放在水平地面上。 A 、B 间有一根处于压缩状态的轻弹簧，此时弹簧的弹力为2N 。已知
A 、
B 两物体的质量分别是0.3kg 和0.4kg 。重力加速度为10m/s 2。则
细线的拉力及B 对地面的压力的值分别是C
A ．7N 和0N
B ．5N 和2N
C ．1N 和6N
D ．2N 和5N
A B C
D
10、如图所示，质量为m 的物体从竖直轻弹簧的正上方自由落下，落到弹簧上，将弹簧压缩。已知物体下落h 高，经过时间为t ，物体压在弹簧上的速度为v ，
在此过程中，地面对弹簧的支持力做功为W ，支持力的冲量大小为I ，则
有 （ C ）
A. 212W mgh mv =-
B. 212W mv mgh =
- C. I mgt mv =-
D. I mv mgt =-
11、如图所示，竖直放置在水平面上的轻质弹簧上端叠放着两个物块A 、
B ，它们的质量均为2.0kg ，并处于静止状态。某时刻突然将一个大小为
10N 的竖直向下的压力加在A 上，则此时刻A 对B 的压力大小为（g 取
10m/s 2）B
A ．30N B. 25N C. 10N D. 5N
12、如图所示，竖直放置的劲度系数为k 的轻质弹簧，上端与质量为m 球连接，小球与弹簧绝缘，下端与放在水平桌面上的质量为M 的绝缘物块相连。物块、弹簧和小球组成的系统处于静止状态。现突然加一个方向竖直向上，大小为E 的匀强电场，某时刻物块对水平面的压力为零，则从加上匀强电场到物块对水平面的压力为零的过程中，小球电势能改变量的大小为（ A ）
A ．k m)g Eq(M +
B ．k
m)g Eq(M － C ．k EqMg D ．k Eqmg
13、如图所示，质量均为m 的物块A 和B 用弹簧连结起来，将它们悬于空中静
止，弹簧处于原长状态，A 距地面高度H=0.90m ，同时释放两物块，A 与地面
碰撞后速度立即变为零，由于B 的反弹，A 刚好能离开地面。若B 物块换为质
量为2m 的物块C （图中未画出），仍将它们悬于空中静止且弹簧为原长，从A
距地面高度为H’处同时释放，设A 也刚好能离开地面。已知弹簧的弹性势能E P
与弹簧的劲度系数k 和形变量x 的关系是：E P =12
kx 2。试求：（1）B 反弹后，弹簧的最大伸长量。（2）H’的大小
答案：（1）A 落地时，B 的速度为
υB =2gH ①
设反弹后上升的最大高度为x ，
A 恰好离开地面时 kx=mg ②
由系统机械能守恒 12 mυB 2=mgx+12
kx 2 ③ h m A B M
m
由①②③联立得 x=0.6m
（2）将B 换成C 后，A 落地时，C 的速度为 υC =2gH' C 反弹后上升到最高时A 刚好离开地面， 故仍有 kx=mg
由系统机械能守恒
1/2·2mυc 2=2mgx+12
kx 2 解得：H’=0.75m 14、如图所示的装置可以测量飞行器在竖直方向上做匀加速直线运动的加速度．该装置是在矩形箱子的上、下壁上各安装一个可以测力的传感器，分别连接两根劲度系数相同（可拉伸可压缩）的轻弹簧的一端，弹簧的另一端都固定在一个滑块上，滑块套在光滑竖直杆上．现将该装置固定在一飞行器上，传感器P 在上，传感器Q 在下．飞行器在地面静止时，传感器P 、Q 显示的弹力大小均为10 N ．求：
(1)滑块的质量．（地面处的g=10 m/s 2)
(2)当飞行器竖直向上飞到离地面4R
处，此处的重力加速度为多大？(R 是地球的半径）
(3)若在此高度处传感器P 显示的弹力大小为F'=20 N ，此时飞行器的加速度是多大？
解析：(1)kg kg g F g G m 2101022=?===
(2) 22,)4(R Mm G mg R R Mm G
g m =+='
解之得2
2
2
/4.6)4(s m g R R R g =+='
(3)由牛顿第二定律，得ma g m F ='-'2,
所以
2/6.132s m m g m F a ='-'=