数字信号处理实验报告
黎美琪 201300800610 13通
信2
实验一名称：周期卷积、循环卷积和线性卷积比较 一、实验目的
1.理解周期卷积、循环卷积、线性卷积的定义
2.用图像显示上述几种卷积并对其进行直观的比较 二、实验步骤 自行设定：
）它们的线性卷积（）求它们的循环卷积（求它们的周期卷积（两个有限长序列
3)8(2)8)1(20
12,81,1129,1)(,2012,81,0129,8)(21==??
?≤≤≤≤-≤≤=???≤≤≤≤≤≤-=N N n n n n x n n n n n x
实验代码：（大部分语句为图像显示处理）
%循环卷积&线性卷积&周期卷积 %%线性卷积 figure(1);
set(gcf, 'color', 'w')%将图的背景设置为白色
x1=[zeros(1,8),[1:4],zeros(1,4),zeros(1,8)];%原有限长序列x1（n ） x2=[zeros(1,8),ones(1,4),zeros(1,4),zeros(1,8)] ; %原有限长序列x2（n ） L=length(x1)%长度L M=length(x2)%长度M y1=conv(x1,x2) %线性卷积 subplot(311) stem(x1);
title('有限长序列x1（n ）') axis([1 L 0 5]) subplot(312) stem(x2);
title('有限长序列x2（n ）') axis([1 M 0 1]) subplot(313) stem(y1);grid on ; title('线性卷积') axis([1 L+M-1 0 11]) %%循环卷积(圆周卷积) figure(2);
set(gcf, 'color', 'w')%将图的背景设置为白色 %x11=[[1:4],zeros(1,4),[1:4],zeros(1,4),[1:4],zeros(1,4)];
x11=[[1:4],zeros(1,2),[1:4],zeros(1,2),[1:4],zeros(1,2),[1:4],zeros(1,2)]; y2=conv(x2,x11)
P=length(x22)%长度P
subplot(311);
stem(x11);
title('有限长序列x1的周期延拓x11（n）')
axis([1 L 0 5])
subplot(312)
stem(x2);
title('有限长序列x2（n）')
axis([1 M 0 1])
subplot(313)
stem(y2);grid on;
title('循环卷积')
axis([1 P+M-1 0 11])
%%周期卷积
figure(3);
set(gcf, 'color', 'w')%将图的背景设置为白色
x22=[ones(1,4),zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4)]; y2=conv(x1,x22)
Q=length(x22)%长度Q
subplot(311)
%stem(x11);
stem(x11);
%title('有限长序列x1（n）')
title('有限长序列x1的周期延拓x11（n）')
axis([1 L 0 5])
subplot(312);
stem(x22);
title('有限长序列x2的周期延拓x2（n）')
axis([1 Q 0 1])
subplot(313)
stem(y2);grid on;
title('周期卷积')
%axis([1 L+Q-1 0 15])
axis([1 P+Q-1 0 11])
(一)线性卷积
1.线性卷积步骤
1）将序列x2（n）翻褶
2）平行向右移位
3）被卷积两序列对应序号值相乘，再相加
X2(-m)00001111
X2(1-m)00001111Y(8)=1
X2(2-m)00001111Y(9)=3
X2(3-m)00001111Y(10)=6
X2(4-m)00001111Y(11)=10
X2(5-m)00001111Y(12)=9
X26-m)00001111Y(13)=7
X2(7-m)00001111Y(14)=4
X2(8-m)00001111Y(15)=0
X2(9-m)00001111Y(6)=0
X2(10-m)00001111Y(17)=0
X2(11-m)00001111Y(18)=0
X2(12-m)00001111Y(19)=0
X2(13-m)00001111Y(20)=0
X2(14-m)00001111Y(21)=0
X2(15-m)00001111Y(22)=0
注意：为方便比较几种不同卷积的结果，设定的序列的初始位置在n=9。因为前面的平移相乘结果都为0，所以前面省略了一部分，这里列出的是主要部分，且x2（n-m）中的n是在8的基础上向右平移的位数。
3.线性卷积图像：
(二)周期卷积
基本原理：
将h(n) 进行周期延拓，周期为N：
∑∞
-∞
=
+
=
r
rN
n
h
n
h)
(
)(
~
计算)(~n x 与)(~n h 的周期卷积)(~n y N ：
∑∑∑∑∑∑
∑
∞
-∞
=∞
-∞=-=∞
-∞
=-=-=-=+=
-+=+-=-=-=
r r N m r N m N m N m N rN n y m rN n h m x rN m n h m x m n h m x m n h m x n y )
()]
()([)()()(~
)()(~)(~)(~1
1
01
1
1.周期卷积步骤
1）将两个主值序列都进行周期延拓得到x11（n ）和x22（n ） 2）对应序号相乘并相加求和 3）周期性重复
X1(m) 12340000
y （n ） X2(m) 11110000
X11((m))8 12340000 12340000 12340000 X22((m))8 11110000 11110000 11110000 X11(-(m))8 00004321 00004321 00004321
X11(1-(m))8 10000432 10000432 10000432 Y(9)=1 X11(2-(m))8 21000043 21000043 21000043 Y(10)=3 X11(3-(m))8 32100004 32100004 32100004 Y(11)=6 X11(4-(m))8 43210000 43210000 43210000 Y(12)=10 X11(5-(m)8 04321000 04321000 04321000 Y(13)=9 X11(6-(m))8 00432100 00432100 00432100 Y(14)=7 X11(7-(m))8 00043210 00043210 00043210
Y(15)=4
X11(8-(m))8
00004321 00004321 00004321（周期性重复） Y(16)=0
3.周期卷积的图像：
（三）循环卷积 基本原理：
对于有限长序列x(n)和y(n)( 0<=n<=N-1 ) DFT[()]()
DFT[()]()x n X k y n Y k ==
若
()()()F k X k Y k =
1
0()IDFT[()]()(())()
N N N m f n F k x m y n m R n -===-∑
x(n)和y(n)的N 点循环卷积，记作()()n x n y ?，这个卷积可以看作是周期序列x （n ）和y （n ）做周期卷积后再取主值序列。 1.循环卷积步骤
1）补零（如果两虚列长度不同，需要补零使两序列长度相同） 2）其中一个序列x1（n ）周期延拓为x2（n ） 3）x11（n ）翻褶，截取计算区域 4）循环移位
5）被卷积两序列对应序号值相乘，再相加 6）取主值序列
00004321Y(16)=0 X11(8-(m))8000043210000432
1
3.循环卷积图像：
循环卷积长度N(8)>=N1(4)+N2(4)-1
循环卷积长度N(6)<=N1(4)+N2(4)-1
三、分析总结
1.对比N=8和N=6两种情况下的循环卷积结果：
2.对比周期卷积、循环卷积、线性卷积的结果：
周期卷积
)
(~n y N 是x(n)与h(n)的线性卷积y(n) 的周期延拓。由于)(~n x 与)(~n h 的
周期都为N ，因此它们的周期卷积
)
(~n y N 的周期也为N ，正好等于y(n)的长度，即上式中
???-+≤≤-+≥*=*-+≥-+≥-+201
)()()()(1)(11)()()(21212121211212111N N n N N N n x n x n x n x N N N N N n y N N N N N n y N n f n f N 能代表线性卷积点循环卷积时，即当循环卷积的长度。周期延拓才无混叠现象为周期进行以时，所以只有当的长度为序列。的周期延拓序列的主值为周期以是线性卷积点循环卷积可见，
以N 为周期的周期延拓没有发生混叠，线性卷积y(n)正好是周期卷积
)
(~n y N 的一个周期。
循环卷积又是周期卷积的主值序列，因此，此时循环卷积yN(n)与线性卷积y(n)完全相
同，即：
∑-=-≤≤-===?=1
1
0)
()()()()(~)()()(N m N N N N n m n h m x n y n R n y n h n x n y 四、学习体会
通过此次实验深入了解了周期卷积、循环卷积、线性卷积三者之间的关系，且对其原理也有了更加深刻的理解。通过这次实验为学会了一种新的思想：从比较中找出相同点和不同点，这样对概念的理解会更加深刻。此次实验还遇到了一个问题：stem 图形都是从n=1开始画图的？尝试了多种方法也没能达到目的效果，虽然这个对实验结果没有很大的影响，但是用了多种方法没能成功，且花费了较多时间，没能抓住重点。
循环卷积与线性卷积的实现 1、实验目的：（1）进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积的概 念。 （2）理解掌握二者的关系。 三、实验原理 两个序列的N点循环卷积定义为 从定义中可以看到，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N 点序列的N点循环卷积的结果仍为N点序列，而他们的线性卷积的结果的长度则为2N-1；循环卷积对序列的移位采取循环移位，而线性卷积对序列采取线性位移。正式这些不同，导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。 循环卷积和线性卷积虽然是不用的概念，但是它们之间有一个有意义的公式联系在一起 其中 也就是说，两个序列的N点循环卷积是他们的线性卷积以N为周期的周期延阔。设序列的长度为,序列的长度为，此时，线性卷积结果的序列的点数为;因此如果循环卷积的点数N小于，那么上述周期性延阔的结果就会产生混叠，从而两种卷积会有不同的结果。而如果N满足的条件，就会有 这就会意味着在时域不会产生混叠。因此，我们得出结论：若通过在序列的末尾填充适当的零值，使得和成为店序列，并作出这两个序列的循环卷积与线性卷积的结果在范围内相同。 根据DFT循环卷积性质中的卷积定理 便可通过两种方法求两个序列的循环卷积：一是直接根据定义计算；二是根据性质先分别求两个序列的N点DFT，并相乘，然后取IDFT以得到循环卷积。第二种方法看起来要经过若干个步骤，但由于求序列的DFT和IDFT都有快速算法，因此它的效率比第一种方法要高得多。 同样，根据线性卷积和循环卷积的关系，可以通过计算循环卷积以求得线性卷积，提高计算序列线性卷积的效率。 4、实验内容 输入程序序列如下： n=[0:1:4];m=[0:1:3]; x1=1+n;x2=4-m; %生成函数x1和x2 L1=length(x1)-1;L2=length(x2)-1; %取函数的长度
实验三 线性卷积与圆周卷积的计算 一、 实验目的 1、掌握计算机的使用方法和常用系统软件及应用软件的使用。 2、通过编程，上机调试程序，进一步增强使用计算机解决问题的能力。 3、掌握线性卷积与循环卷积软件实现的方法，并验证二者之间的关系。 二、实验原理 1、线性卷积： 线性时不变系统（Linear Time-Invariant System, or L. T. I 系统）输入、输出间的关系为：当系统输入序列为)(n x ，系统的单位脉冲响应为)(n h ，输出序列为)(n y ，则系统输出为： ∑∞ -∞ ==-= m n h n x m n h m x n y ) (*)()()()( 或 ∑+∞ -∞ ==-= m n x n h m n x m h n y ) (*)()()()( 上式称为离散卷积或线性卷积。 图1.1示出线性时不变系统的输入、输出关系。 )(n δ→ L. T. I —→)(n h —→ —→ 图1.1 线性时不变系统的输入、输出关系 2、圆周卷积 设两个有限长序列)(1n x 和)(2n x ，均为N 点长 )(1n x )(1k X )(2n x )(2k X 如果)()()(213k X k X k X ?= )(n x 0 L. T. I ∑+∞ -∞ =-= m m n h m x n y ) ()()( D F T D F T
则) ()(~)(~)(10213n R m n x m x n x N N m ??? ???-=∑-= [] ∑---=1 021)()(N m N m n x m x )(1n x =N 10)(2-≤≤N n n x 上式称为圆周卷积。 注：)(~1n x 为)(1n x 序列的周期化序列；)()(~1n R n x N 为)(~1n x 的主值序列。 上机编程计算时，)(3n x 可表示如下： ∑∑-+==-++ -=1 1 2 1 0213) ()()()()(N n m n m m n N x m x m n x m x n x 3、两个有限长序列的线性卷积 序列)(1n x 为L 点长，序列)(2n x 为P 点长，)(3n x 为这两个序列的线性卷积，则)(3n x 为 ∑+∞ -∞ =-= m m n x m x n x ) ()()(2 1 3 且线性卷积)(3n x 的最大长1-+P L ，也就是说当1-≤n 和1-+≥P L n 时 0)(3=n x 。 4、圆周卷积与线性卷积的关系 序列)(1n x 为L 点长，序列)(2n x 为P 点长，若序列)(1n x 和)(2n x 进行N 点的圆周卷积，其结果是否等于该两序列的线性卷积，完全取决于圆周卷积的长度： 当1-+≥P L N 时圆周卷积等于线性卷积，即 )(1n x N )(*)()(212n x n x n x = 当1-+
数字信号处理实验报告 黎美琪 201300800610 13通信2 实验一名称：周期卷积、循环卷积和线性卷积比较 一、实验目的 1.理解周期卷积、循环卷积、线性卷积的定义 2.用图像显示上述几种卷积并对其进行直观的比较 二、实验步骤 自行设定： ）它们的线性卷积（）求它们的循环卷积（求它们的周期卷积（两个有限长序列 3)8(2)8)1(20 12,81,1129,1)(,2012,81,0129,8)(21==?? ?≤≤≤≤-≤≤=???≤≤≤≤≤≤-=N N n n n n x n n n n n x 实验代码：（大部分语句为图像显示处理） %循环卷积&线性卷积&周期卷积 %%线性卷积 figure(1); set(gcf, 'color', 'w')%将图的背景设置为白色 x1=[zeros(1,8),[1:4],zeros(1,4),zeros(1,8)];%原有限长序列x1（n ） x2=[zeros(1,8),ones(1,4),zeros(1,4),zeros(1,8)] ; %原有限长序列x2（n ） L=length(x1)%长度L M=length(x2)%长度M y1=conv(x1,x2) %线性卷积 subplot(311) stem(x1); title('有限长序列x1（n ）') axis([1 L 0 5]) subplot(312) stem(x2); title('有限长序列x2（n ）') axis([1 M 0 1]) subplot(313) stem(y1);grid on ; title('线性卷积') axis([1 L+M-1 0 11]) %%循环卷积(圆周卷积) figure(2); set(gcf, 'color', 'w')%将图的背景设置为白色 %x11=[[1:4],zeros(1,4),[1:4],zeros(1,4),[1:4],zeros(1,4)]; x11=[[1:4],zeros(1,2),[1:4],zeros(1,2),[1:4],zeros(1,2),[1:4],zeros(1
圆周卷积与周期卷积、线性卷积的关系及计算 一、三者关系 设： 1122()01()01 x n n N x n n N ≤≤-≤≤-N ：圆周卷积的点数 ? 圆周卷积是周期卷积的主值序列。 周期卷积：1 120()()()N m y n x m x n m -==-∑ （1） 圆周卷积：1 120 ()()()[()(())]()N c N N N m y n y n R n x m x n m R n -===-∑ 1 210 [()(())]()N N N m x m x n m R n -==-∑ （2） 注意：（2）式直接使用的前提是圆周卷积的点数N 应满足： 12max[,]N N N ≥（一般题目均符合此种情况） ? 周期卷积是线性卷积的周期延拓。 线性卷积：11 12120()()*()()()N l m y n x n x n x m x n m -===-∑ 212 1 2 1 ()()()*()N m x m x n m x n x n -== -=∑ （4） 圆周卷积与线性卷积的关系：()[()]()c l N r y n y n rN R n ∞ =-∞ =+∑ （5） 注意：上述关系式对任意长度的圆周卷积均适合。 二、举例说明 1、对于12max[,]N N N ≥的情况，各教材例题很多，不再举例。 2、12N N N N <<或的情况。 习题8.已知序列()()2(1)(4)3(5)x n n n n n δδδδ=+-+-+-, 4()()y n R n =，求：
（1）()()*()z n x n y n = （2）()()f n x n =○5()y n （5点圆周卷积）。 解：(){1,2,0,0,4,3}, (){1,1,1,1}x n y n == （1）()()(){1,3,3,3,3,4,4,4,3}z n x n y n =*=（过程略） （2）()()f n x n =○5()y n （5点圆周卷积），N =5。 *利用圆周卷积与线性卷积的关系计算* ()[()]()[...(5)()(5)...]() N N r f n z n rN R n z n z n z n R n ∞ =-∞ =+=+-++++∑ 所以：()()f n x n =○5()y n ={5,7,7,6,3} 这种方法计算过程比较简单，但前提是先计算出线性卷积的结果。 三、结论 ? 圆周卷积的计算始终要记住一点：圆周卷积虽然是针对有限长序列的卷积运算，但它是由周期卷积推导而来的，故隐含了周期性。 ? （2）式虽然是圆周卷积的定义式，但要正确理解，灵活应用。它是在满足12max[,]N N N ≥的前提下由周期卷积推导而来的，其适用场合仅限于12max[,]N N N ≥的情况。
求解线性卷积、循环卷积的课上例题 例：}1,1,1{)()(3==n R n x ，20≤≤n ；}1,2,3,4{)()4()(4=-=n R n n h ，3 0≤≤ n ， 求线性卷积)(*)()(n h n x n y =和L 点循环卷积。 线性卷积： )(*)()(n h n x n y =∑ ∞ -∞ =-= m m n h m x )()(∑∞ -∞ =-= m m n x m h )()( 1 y (n )={4, 7, 9, 6, 3, 1}，50≤≤n ，非零数据长度6=4+3-1 （)(n h 长度为N ，)(n x 长度为M ，y (n )长度为1-+M N ） 2）移位加权和法（以n 为变量） ∑=-= 2 1 ) ()()(m m m m n h m x n y ) 2()2()1()1()()0(-+-+=n h x n h x n h x ，其中}1 1, ,1{)(=m x ，20≤≤ m y (n )={4, 7, 9, 6, 3, 1}5 0≤≤n L 点循环卷积：)())(()()(1 n R m n h m x n y L L m L c ∑ -=-=)())(()(1 n R m n x m h L L m L ∑-=-= 1）矩阵方程法（以m 为变量） 先将x (n )、h (n )补零到L 点长；再将其中一个序列周期延拓、翻褶、取主值区间的值、循环右移构成方阵，将另一个序列写成列矩阵，二者做矩阵乘法运算。 以用x (n )构成方阵为例。方阵第一行的构成：x (0)不动，将其它值从后往前倒过来写。下面各行依次对上一行循环右移一位，共L 行。 例：求)()(3n R n x = ，)()4()(4n R n n h -=的 4点循环卷积)()()(1n h n x n y c ④= 。 ??? ? ? ?????= ????????????????????= ????????????????????= 6987011143 2 114322143 3214123411 10 01111011 110 1)(1n y c y c 1(n )={7, 8, 9, 6}，3 0≤≤ n
求解线性卷积、循环卷积地课上例题 例：x(n)=2(n) ={1,1,1} , 0_n_2 ; h(n) =(4 — n)R4(n)二{4,3,2,1} , 0_n_3 , 求线性卷积y(n) x(n)*h(n)和L点循环卷积. 八、t t ,卄，oo oO 线性卷积：y(n) =x(n)* h(n) -、、' x(m)h(n -m) - h(m)x(n - m) m = m _：■■； 1)列表法(以m为变量，翻褶、移位、相乘、相加) m -2 -1 O 1 2 3 h(m)43 2 1 x(m) 1 1 1 y(n) n=O x(-m) 1 1 1 4 n=1 x(1 -m) 1 117 n=2 x(2-m) 1 1 1 9 n=3 x(3-m) 1 1 1 6 n=4 x(4-m) 1 1 3 n=5 x(5-m) 1 1 y(n)={4, 7, 9, 6, 3, 1}，O En 乞5,非零数据长度6虫3-1 h(n)长度为N，x(n)长度为M，y(n)长度为N M _1) 2)移位加权和法(以n为变量) m2 y(n) = .：x(m)h(n — m) =x(O)h(n) x(1)h(n —1) x(2)h(n —2)，其中x(m)珂1,1,1}，O Em 乞2 m田 n O 1 2 3 4 5 x(0)h(n) 4 3 2 1 x(1)h(n—1) 4 3 2 1 x(2)h(n-2) 4 3 2 1 y(n) 4 7 9 6 3 1 y(n)={4 7, 9, 6, 3, 1}，O 如冬5 L点循环卷积： LA L A y c(n) x(m)h((n — m))L R L(n)=无h(m)x((n — m))L R_(n) mzS 1)矩阵方程法(以m为变量) 先将x(n)、h(n)补零到L点长；再将其中一个序列周期延拓、翻褶、取主值区间地值、 循环右移构成方阵，将另一个序列写成列矩阵，二者做矩阵乘法运算.文档来源网络及个人整理，勿用作商业用途文档来源网络及个人整理，勿用作商业用途 以用x(n)构成方阵为例方阵第一行地构成：x(O)不动，将其它值从后往前倒过来写.下面各行依次对上一行循环右移一位，共L行.文档来源网络及个人整理，勿用作商业用途文档来源网络及个人整 理，勿用作商业用途 例：求x(n) = R3(n)，h(n) =(4 -n)R(n)地4点循环卷积 _1 y c1( n)二1 1 yd(n) =x(n)④h(n).
实验一线性卷积与圆周卷积演示程序的设计 实验报告 学号 专业班级 指导老师 分数
《数字信号处理课程设计》任务书
实验一 线性卷积与圆周卷积演示程序的设计 一、 实验目的 目的：① 熟练掌握MATLAB 工具软件在工程设计中的使用； ② 熟练掌握线性卷积与圆周卷积的关系及LSI 离散时间系统系统响应的求解方法。 要求：① 动态演示线性卷积的完整过程； ② 动态演示圆周卷积的完整过程； ③ 对比分析线性卷积与圆周卷积的结果。 步骤：① 可输入任意2待卷积序列x1(n)、x2(n)，长度不做限定。测试数据为： x1(n)={1,1,1,1,0,0,1,1,1,1,0,0}，x2(n)={0,1,2,1,0,0,0,1,2,1,0,0}； ② 分别动态演示两序列进行线性卷积x1(n)﹡x2(n)和圆周卷积x1(n)⊙x2 (n)的 过程；要求分别动态演示翻转、移位、乘积、求和的过程； ③ 圆周卷积默认使用2序列中的最大长度，但卷积前可以指定卷积长度N 用以进行混叠分析； ④ 根据实验结果分析两类卷积的关系。 ⑤ 假定时域序列x1(n)、x2(n)的长度不小于10000，序列容自定义。利用 FFT 实现快速卷积，验证时域卷积定理，并与直接卷积进行效率对比。 二、实验原理 1、线性卷积： 线性时不变系统（Linear Time-Invariant System, or L. T. I 系统）输入、输出间的关系为：当系统输入序列为)(n x ，系统的单位脉冲响应为)(n h ，输出序列为)(n y ，则系统输出为： ∑∞ -∞ ==-= m n h n x m n h m x n y ) (*)()()()( 或 ∑+∞ -∞ ==-= m n x n h m n x m h n y ) (*)()()()(
实验五 循环卷积与线性卷积的实现 一、实验目的 （1） 进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积的概念； （2） 理解掌握二者的关系。 二、实验原理 两个序列的N 点的循环卷积定义为 1 0[()()]()(())N N N k h n x n h m x n m -=?=-∑ (0) n N ≤< 从定义中可以看到，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N 点序列的N 点循环 卷积结果仍为N 点序列，而它们的线性卷积的结果长度则为2N -1；循环卷积对序列的移位采取循环移位，而线性卷积对序列采取线性移位。正是这些不同，导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。 两个序列的N 点循环卷积是它们的线性卷积以N 为周期的周期延拓。设序列()h n 的长度为1N ，序列()x n 的长度为2N ，此时线性卷积结果的序列点数为'121N N N =+-；因此如果循环卷积的点数N 小于121N N +-，那么上述周期性延拓的结果就会产生混叠，从而两种卷积会有不同的结果。而如果满足'N N =的条件，就有循环卷积与线性卷积的结果在0n N ≤<范围内相同。 根据DFT 循环卷积性质中的卷积定理 {[()()]}[()][()]N DFT h n x n DFT x n DFT h n ?=? 因此可以根据性质先分别求两个序列的N 点DFT ，并相乘，然后取IDFT 以得到循环卷积。 三、实验分析 例题：已知有限长序列()x n 与()h n 如下图所示， （1） 画出两者之间的线性卷积 （2） 8点圆卷积。 （3） 5点圆卷积。
解析如下： （1）()x n 与()h n 的线性卷积，由公式可知： ()*()()()m h n x n x m h n m ∞ =-∞ = -∑ ()x m 与()h m -的图形如下： 利用方格平移法： 由方格平移法可知： 当0n =时，()*()0h n x n = 当1n =时，()*()0h n x n = 当2n =时，()*()0*11*11h n x n =+= 当3n =时，()*()2*11*10*13h n x n =++= 当4n =时，()*()3*12*11*10*16h n x n =+++= 当5n =时，()*()3*12*11*10*16h n x n =+++= 当6n =时，()*()3*12*11*16h n x n =++= 当7n =时，()*()3*12*15h n x n =+= 当8n =时，()*()3*13h n x n ==
信号、系统与信号处理实验Ⅱ 实验报告
实验名称：线性卷积与圆周卷积的计算 一、 实验目的 （1） 通过编程、上机调试程序，进一步掌握使用计算机解决问题的能力 （2） 掌握线性卷积和圆周卷积软件实现的方法，并验证二者之间的关系 二、 实验内容与要求 1. 线性卷积 当系统输入序列为x(n),系统的单位冲击响应为h(n)，输出序列为y （n ），则线性时不变系统输入、输出间的关系为： Y （n ）=h （n ）*x （n ） 2. 圆周卷积 设两个有限长序列1()x n 和2()x n ，均为N 点，其N 点的DFT 分别为1()X k 和2()X k ，如果312()()()X k X k X k =?，则 1 3120()[()()]()N N m x n x m x n m R n -==-∑ 1 120()(())N N m x m x n m -==-∑ 1()x n =○ N 2()x n 01n N ≤≤- 已知两个有限长序列： ()()2(1)3(2)4(3)5(4)x n n n n n n δδδδδ=+-+-+-+- ()()2(1)(2)2(3)h n n n n n δδδδ=+-+-+- （1） 实验前，预先笔算好这两个序列的线性卷积及下列几种情况的圆周卷积 ①()x n ⑤()h n ②()x n ⑥()h n ③()x n ⑨()h n ④()x n ⑩()h n （2）编制一个计算两个序列线性卷积的通用程序，计算()()x n h n *。 （3）编制一个计算圆周卷积的通用程序，计算上述4种情况下的两个序列的圆周卷积。 （4）上机调试并记录实验结果 （5）将实验结果和预先笔算的结果比较，验证其正确性。
上海电力学院 信号与系统实验报告 题目：循环卷积与线性卷积的实现 班级：2011023 专业：电气工程及其自动化 学号：20111257 2013年12月17日
循环卷积与线性卷积的实现 一、实验目的 1、进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积的概念； 2、理解掌握二者的关系； 二、实验原理 两个序列的N 点循环卷积的定义为： ()()[]()()()N N k N m n x m h n x n h -=?∑-=10() N N <≤0从定义中可以看到，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N 点序列的N 点循环卷积的结果仍为N 点序列，而它们的线性卷积的结果的长度则为2N-1；循环卷积对序列的位移采取循环位移，而线性卷积对序列采取线性位移。正是这些不同，导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。 循环卷积和线性卷积虽然是不同的概念，但它们之间由一个有意义的公式联系在一起：()()()[]()()n G rN n y n x n h n y N r N ??? ??-'=?=∑∞-∞=其中()()()n x n h n y *='。 也就是说，两个序列的N 点循环卷积是他们的线性卷积以N 为周期延拓。设序列()n h 的长度为N1，序列()n x 的长度为N2，此时，线性卷积结果的序列的点数为121-+='N N N ;因此如果循环卷积的点数N 小于121-+N N ,那么上述周期性延拓的结果就会产生混叠，从而两种卷积会有不同的结果。而如果N 满足N N '=的条件，就会有()()n y n y '=() N n <≤0这就意味着在时域不会产生混叠。因此，我们得出结论：若通过在序列的末尾填充适当的零值，使得()n x 和()n h 成为121-+N N 点序列，并作出这两个序列的121-+N N 循环卷积，那么循环卷积与线性卷积的结果在N n <≤0范围内相同。 根据DFT 循环卷积性质中的卷积定理
题目：已知两个有限长序列 x(n>=δ(n>+2δ(n-1>+3δ(n-2>+4δ(n-3>+5δ(n-4> h(n>=δ(n>+2δ(n-1>+δ(n-2>+2δ(n-3> 计算以下两个序列的线性卷积和圆周卷积 <1）x(n>⑤y(n> (2>x(n>⑥y(n> (3>x(n>⑨y(n> (4>x(n>⑩y(n>b5E2RGbCAP ●调用函数circonv function yc=circonv(x1,x2,N> %用直接法实现圆周卷积 %y=circonv(x1,x2,N> %y:输出序列 %x1,x2:输入序列 %N:圆周卷积的长度 if length(x1>>N error。 end if length(x2>>N error。 end %以上语句判断两个序列的长度是否小于N x1=[x1,zeros(1,N-length(x1>>]。%填充序列x1(n>使其长度为N，序列h(n>的长度为N1,序列x(n>的长度为N2p1EanqFDPw x2=[x2,zeros(1,N-length(x2>>]。
%填充序列x2(n>使其长度为N n=[0:1:N-1]。 x2=x2(mod(-n,N>+1>。 %生成序列x2((-n>>N，镜像，可实现对x(n>以N为周期的周期延拓，加1是因为MATLAB向量下标只能从1开始。DXDiTa9E3d H=zeros(N,N>。%生成N行N列的零矩阵 for n=1:1:N H(n,:>=cirshiftd(x2,n-1,N>。%该矩阵的k行为x2((k-1-n>>N end yc=x1*H'。%计算圆周卷积 ●调用函数cirshiftd function y=cirshiftd(x,m,N> %直接实现序列x的圆周移位 %y=cirshiftd(x,m,N> %x:输入序列，且它的长度小于N %m:移位位数 %N：圆周卷积的长度 %y:输出的移位序列 if length(x>>N error('x的长度必须小于N'>。 end x=[x,zeros(1,N-length(x>>]。
循环卷积与线性卷积的实现 一、 实验目的：（1）进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积的概念。 （2）理解掌握二者的关系。 三、实验原理 两个序列的N 点循环卷积定义为 ()()[]()()()()N n m n x m h n x n h N k N N <≤-= ?∑-=01 从定义中可以看到，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N 点序列的N 点循环卷积的结果仍为N 点序列，而他们的线性卷积的结果的长度则为2N-1；循环卷积对序列的移位采取循环移位，而线性卷积对序列采取线性位移。正式这些不同，导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。 循环卷积和线性卷积虽然是不用的概念，但是它们之间有一个有意义的公式联系在一起 ()()()[]()()n G rN n y n x n h n y N r N ?? ? ??-'=?=∑∞-∞= 其中()()()n x n h n y *=' 也就是说，两个序列的N 点循环卷积是他们的线性卷积以N 为周期的周期延阔。设序列()n h 的长度为1N ,序列()n x 的长度为2N ，此时，线性卷积结果的序列的点数为121-+='N N N ;因此如果循环卷积的点 数N 小于12 1-+N N ，那么上述周期性延阔的结果就会产生混叠，从 而两种卷积会有不同的结果。而如果N 满足N N '=的条件，就会有 ()()()N n n y n y <≤'=0
这就会意味着在时域不会产生混叠。因此，我们得出结论：若通过在序列的末尾填充适当的零值，使得()n x 和()n h 成为121-+N N 店序 列，并作出这两个序列的12 1-+N N 循环卷积与线性卷积的结果在 N n <≤0范围内相同。 根据DFT 循环卷积性质中的卷积定理 ()()[]{}()[]()[]n h DFT n x DFT n x n h DFT N ?= ? 便可通过两种方法求两个序列的循环卷积：一是直接根据定义计算；二是根据性质先分别求两个序列的N 点DFT ，并相乘，然后取IDFT 以得到循环卷积。第二种方法看起来要经过若干个步骤，但由于求序列的DFT 和IDFT 都有快速算法，因此它的效率比第一种方法要高得多。 同样，根据线性卷积和循环卷积的关系，可以通过计算循环卷积以求得线性卷积，提高计算序列线性卷积的效率。 四、 实验内容 输入程序序列如下： n=[0:1:4];m=[0:1:3]; x1=1+n;x2=4-m; %生成函数x1和x2 L1=length(x1)-1;L2=length(x2)-1; %取函数的长度 y1=conv(x1,x2); %直接用函数conv 计算线性卷积 n1=[0:1:L1+L2]; subplot(3,1,1);stem(n1,y1) %绘制线性卷积图形
1.实验目的 1) 通过编程，上机调试程序，进一步增强使用计算机解决问题的能力。 2) 掌握线性卷积与圆周卷积软件实现的方法，并验证两者之间的关系。 2.基本原理 线性卷积；圆周卷积；两个有限长序列的线性卷积；圆周卷积与线性卷积的关系。 3.实验内容及要求 已知两个有限长序列 X(n)= S (n)+2 -?+3 S -2)+4 S -3)+5 S (rt) h(n)= S (n)+2-1S+(n S -2)+2 S (3) 1.编制一个计算两个线性卷积的通用程序，计算x(n)*h(n) 。 2?编制一个计算圆周卷积的通用程序，计算上述4种情况下两个序列x(n)与h(n)的圆周卷积。 3.上机调试并打印或记录实验结果。 4.将实验结果与预先笔算的结果比较，验证真确性。 4.相应程序及图像 1 )编制一个计算两个序列线性卷积的通用程序，计算x(n)*h(n). clear all; xn=[1 2 3 4 5]; hn=[1 2 1 2]; yln=conv(xn,hn); ny=[0:1:length(yln)-1]; stem(ny,yln); xlabel('时间序号n'); ylabel('信号幅度'); title('线性卷积');
线性卷积 1 1 T — 2)编制一个计算圆周卷积的通用程序，计算上述4种情况下两个序列x(n)与h(n)的圆周卷 积。 主程序： clear all clc N=[5 6 9 10];%圆周卷积的长度向量 xn=[1 2 3 4 5]; hn=[1 2 1 2]; y1n=conv(xn,hn)%计算线性卷积 ny仁0:length(y1 n)-1;%分别计算x (n)和h ( n)的5点，6点，9点和10点圆周卷积 yc1=circ onv(xn,hn,N ⑴) yc2=circo nv(x n,h n,N(2)) yc3=circo nv(x n,h n,N(3)) yc4=circonv(xn,hn,N(4))%分别作出线性卷积和取不同点数的圆周卷积的图像比较 subplot(1,2,1) stem (n y1,y1 n); xlabel('时间序号n'); ylabel('信号幅度'); title('线性卷积'); subplot(1,2,2) stem(0:N(1)-1,yc1); xlabel('时间序号n'); ylabel('信号幅度'); title('5点圆周卷积'); figure subplot(1,2,1) stem(ny1,y1n); xlabel(' 时间序号n'); ylabel(' 信号幅度');
大连理工大学实验报告 学院（系）：电信专业：生物医学工程班级：**1101 姓名：**** 学号：201181*** 组：___ 实验时间：实验室：实验台： 指导教师签字：成绩： 实验一线性卷积和圆周卷积 一、实验程序 1.给出序列x=[3,11,7,0,-1,4,2]，h=[2,3,0,-5,2,1]；用两种方法求两者的线性卷积y，对比结果。 a)直接调用matlab内部函数conv来计算。 b)根据线性卷积的步骤计算。 clear; clc; x=[3 11 7 0 -1 4 2];n1=0:1:length(x)-1; h=[2 3 0 -5 2 1];n2=0:1:length(h)-1; y=conv(x,h);n3=0:1:length(x)+length(h)-2; figure(1); subplot(121);stem(n1,x,'.');axis([0 6 -15 15]);title('x(n)序列');grid; subplot(122);stem(n2,h,'.');axis([0 5 -10 10]);title('h(n)序列');grid; figure(2); subplot(121);stem(n3,y,'.');axis([0 12 -60 60]);title('调用conv函数的线性卷积后序列');grid; N=length(x);M=length(h);L=N+M-1; for(n=1:L) y1(n)=0; for(m=1:M)
k=n-m+1; if(k>=1&k<=N) y1(n)=y1(n)+h(m)*x(k); end; end; end; subplot(122);stem(n3,y1,'*');axis([0 12 -60 60]);title('按步骤计算的线性卷积后序列');grid; 结果 2.卷积后结果y=[ 6 , 31 , 47 , 6 , -51 , -5 , 41 , 18 , -22 , -3 , 8 , 2]。 将函数conv 稍加扩展为函数conv_m ，它可以对任意基底的序列求卷积。格式如下： function [y,ny]=conv_m(x,nx,h,nh) x(n)序列 h(n)序 列 调用conv 函数的线性卷积后序列 按步骤计算的线性卷积后序列
实验四 循环卷积与线性卷积的实现 一、仿真实验目的 1）进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积的概念； 2）理解掌握二者的关系。 二、实验分析和计算 两个序列的N 点循环卷积定义为 10 [()()]()(())N N N k h n x n h m x n m -=?=-∑ (0)n N ≤< 从定义中可以看到，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N 点序列的N 点循环卷积的结果仍为N 点序列，而它们的线性卷积的结果的长度为2N-1；循环卷积对序列的移位采取循环移位，而线性卷积对序列采取线性移位。正是这些不同，导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。 循环卷积和线性卷积虽然是不用的概念，但它们之间由一个有意义的公式联系在一起 ()[()()](())() N N r y n h n x n y n rN G n ∞ =-∞ '=?=-∑ 其中()()()y n h n x n '=*。 也就是说，两个序列的N 点循环卷积是它们线性卷积以N 为周期的周期延拓。设序列还()h n 的长度为1N ，序列()x n 的长度为2N ，此时，线性卷积结果的序列 的点数为121N N N ' =+-；因此如果循环卷积的点数N 小于121N N +-，那么上述周期性延拓的结果就会产生混叠，从而两种卷积会有不同的结果。而如果N 满足N N '=的条件，就会有 ()()y n y n '= (0)n N ≤< 这就意味着时域不会产生混叠。因此，我们得出结论：若通过在序列的末尾填充适当的零值，使得()x n 和()h n 成为121N N +-点序列，并作为这两个序列的121N N +-循环卷积，那么循环卷积与线性卷积的结果在0n N ≤<范围内相同。 根据DFT 循环卷积性质中卷积定理 {[()()]}[()][()]N DFT h n x n DFT x n DFT h n ?=? 便可通过两种方法求两个序列的循环卷积：一直直接根据定义计算；二是根据性质先分别求两个序列的N 点DFT ，并相乘，然后取IDFT 以得到循环卷积。第二
卷积、线性卷积、循环卷积与OFDM 中的循环前缀CP 摘要：本文主要讲述了卷积的定义及如何理解卷积，用离散样值近似计算连续卷积的方法，用循环卷积计算线性卷积的方法，用线性卷积计算循环卷积的方法，以及后者在OFDM 中的应用（循环前缀CP ），并给出了相关的Matlab 代码和实例进行验证和说明。目的是为了建立起连续信号处理与离散信号处理之间的联系。与本人在百度文库中的连续时间傅立叶变换与离散时间傅里叶变换之间的关系、从DTFT 到DFT ，计算频谱，并由频谱反求时间样点，为三部曲。 1. 连续信号卷积的定义及实质 众所周知，当信号x(t)通过具有单位冲击响应为h(t)的因果LTI 系统时，其输出信号y(t)是前二者之间的线性卷积： ()()()()0 ()()*()T t t T y t x t h t h x t d x h t d t t t t t t -== -= -蝌 (1) 其中假设单位冲击响应在[0 T]之外的值都是0。 从数学上来看，要得到第二个积分公式中的h(t-τ)，需先把h(τ)先以τ＝0的轴进行时域翻转，然后再向右移动t 个单位。 h(τ) h(-τ )
图1.从上到下依次为h(τ), h(-τ), h(1-τ), x(τ), h(1-τ)* x(τ) 在上面这个图形例子中，取t=1，故公共区间为[0,1]这个区间，故卷积积分的区间也是这个公共区间，即 ()()1 0(1)y x h t d t t t = - ò (2) 上面图中的卷积结果将是一个分段函数。 上面的例子中，由于h(t)是连续的，故其与x(t)卷积的意义并不直观。下面我们令 h()()0.2(t 0.1)0.1(0.2)t t t d d d =+--- (3) 这是一个典型的多径时延信道的抽头延迟线（TDL ）模型的单位冲击响应。由于 ()()()()()000*x t t t x t t d x t t d t d t t ￥ ￥ -= --=-ò－ (4) 所以x(t)通过(3)式表示的信道h(t)后得到： ()()()()() ()()() **()0.2(t 0.1)0.1(0.2)0.20.10.10.2y t x t h t x t t t x t x t x t d d d ==+---=+--- (5) h(1-τ ) x(τ ) 移位对齐后相乘并积分（t=1）
实验三 线性卷积与循环卷积 1、实验目的 （１）掌握线性卷积的计算机编程方法，利用卷积的方法观察系统响应的时域特性。 （２）掌握循环卷积的计算机编程方法，并比较与线性卷积的差别，验证二者之间的关系。利用循环卷积的方法观察、分析系统响应的时域特性。 2、实验原理 （１）线性卷积： 线性时不变系统（Linear Time-Invariant System, or LTI 系统）输入、输出间的关系为：当系统输入序列为)(n x ，系统的单位脉冲响应为)(n h ，输出序列为)(n y ，则系统输出为： ∑∞ -∞=-= *=m m n h m x n h n x n y )()()()()( 上式称为线性卷积。 （２）循环卷积 设两个有限长序列)(1n x 和)(2n x ，长度分别为1N 和2N ， )()(11k X n x D FT N ???→←点 )()(22k X n x D F T N ???→←点 如果 )()()(21k X k X k X ?= 则∑---= =1021)())(()()]([)(N m N N n R m n x m x k X IDFT n x 上式称为)(1n x 和)(2n x 的循环卷积。 （３）两个有限长序列的线性卷积 序列)(1n x 和)(2n x ，长度分别为L 点和M 点，)(3n x 为这两个序列的线性卷积，则)(3n x 为 ∑∞-∞=-= *=m m n x m x n x n x n x )()()()()(21213 且线性卷积)(3n x 的非零值长度为L +M -1点。 （４）循环卷积与线性卷积的关系 序列)(1n x 为L 点长，序列)(2n x 为M 点长，若序列)(1n x 和)(2n x 进行N 点的循环卷积)(n x c ，其结果是否等于该两序列的线性卷积)(n x l ，完全取决于循环卷积的长度。 由教材相关推导，得∑∞-∞=+= q N l c n R qN n x n x )()()(，也就是说，循环卷积是线性卷积 的周期延拓序列再取主值区间。 当N ≥L+P-1时循环卷积等于线性卷积，即)()(n x n x l c =； 当N 实验五 线性卷积与循环卷积的计算 一 实验目的 （1） 进一步加深对线性卷积的理解和分析能力； （2） 通过编程，上机调试程序，进一步增强使用计算机解决问题的能力； （3） 掌握线性卷积与循环卷积软件实现的方法，并验证二者之间的关系。 二 实验原理与方法 1、线性卷积 线性时不变系统（Linear Time-Invariant System, or L. T. I 系统）输入、输出间的关系为：当系统输入序列为，系统的单位脉冲响应为，输出序列为，则系统输出为： 或 上式称为离散卷积或线性卷积。 图1示出线性时不变系统的输入、输出关系。 → L. T. I —→ —→ —→ 图1 线性时不变系统的输入、输出关系 2、循环卷积 设两个有限长序列和，均为点长 如果 )(n x )(n h )(n y ∑∞ -∞ ==-= m n h n x m n h m x n y ) (*)()()()(∑+∞ -∞ ==-= m n x n h m n x m h n y ) (*)()()()()(n δ)(n h )(1n x )(2n x N )(1n x )(1k X )(2n x )(2k X )()()(213k X k X k X ?= )(n x L. T. I h(n) ∑+∞ -∞ =-=m m n h m x n y ) ()()(D F T D F T 则 ○N 上式称为循环卷积或圆周卷积 注：为序列的周期化序列；为的主值序列。 上机编程计算时，可表示如下： 3、两个有限长序列的线性卷积 序列为点长，序列为点长，为这两个序列的线性卷积，则为 且线性卷积的最大长，也就是说当和时 。 4、循环卷积与线性卷积的关系 序列为点长，序列为点长，若序列和进行N 点的循环卷积，其结果是否等于该两序列的线性卷积，完全取决于循环卷积的长度： 当时循环（圆周）卷积等于线性卷积，即 ○N 当时，循环卷积等于两个序列的线性卷积加上相当于下式的时间混叠，即 ) ()(~)(~)(10213n R m n x m x n x N N m ??? ???-=∑-=[] ∑---=1 021)()(N m N m n x m x )(1n x =10) (2-≤≤N n n x )(~ 1n x )(1n x )()(~1n R n x N )(~1n x )(3n x ∑∑-+==-++ -=1 1 2 1 213)()()()()(N n m n m m n N x m x m n x m x n x )(1n x L )(2n x P )(3n x )(3n x ∑+∞ -∞ =-= m m n x m x n x )()()(2 1 3)(3n x 1-+P L 1-≤n 1-+≥P L n 0)(3=n x )(1n x L )(2n x P )(1n x )(2n x 1-+≥P L N )(1n x )(*)()(212n x n x n x =1-+
实验五线性卷积与循环卷积的计算
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