第五章向量空间
基础训练题
1. 设V是数域F上向量空间，假如V至少含有一个非零向量α，问V中的向量是有限多还是无限多？有没有n(n ≥ 2)个向量构成的向量空间？
解无限多；不存在n(n ≥ 2)个向量构成的向量空间(因为如果F上一个向量空间V含有至少两个向量, 那么V至少含有一个非零向量α, 因此V中含有α, 2α,3α,4α,…,这无穷多个向量互不相等,因此V中必然含有无穷多个向量).
2. 设V是数域F上的向量空间，V中的元素称为向量，这里的向量和平面解析几何中的向量α，空间解析几何中的向量β有什么区别？
解这里的向量比平面中的向量意义广泛得多,它可以是多项式,矩阵等,不单纯指平面中的向量.
3. 检验以下集合对所指定的运算是否构成数域F上的向量空间.
（1）集合：全体n阶实对称矩阵；F：实数域；运算：矩阵的加法和数量乘法；
（2）集合：实数域F上全体二维行向量；运算：
(a1, b1)+ (a2, b2)＝(a1＋a2, 0)
k? (a1, b1)＝(ka1, 0)
（3）集合：实数域上全体二维行向量；运算：
(a1, b1)+ (a2, b2)＝(a1＋a2, b1＋b2)
k? ( a1, b1)＝(0, 0)
解(1) 是; (2) 不是(因为零向量不唯一);
(3) 不是(不满足向量空间定义中的(8)).
4. 在向量空间中，证明，
(1) a(－α)=－aα=(－a)α ,
(2) (a-b)α＝aα－bα,
a, b是数，α是向量.
证明 (1) a a a a =+-=+-))(()(αααα 0= 0 ααa a -=-∴)(
又 ==+-=+-a a a a a 0))(()(ααα 0 ααa a -=-∴)(
综上, .)()(αααa a a -=-=-
(2) ααααααb a b a b a b a -=-+=-+=-)())(()(.
5. 如果当k 1＝k 2＝…＝k r ＝0时，k 1α1＋k 2α2＋…＋k r αr ＝0, 那么α1, α2, …, αr 线性无关. 这种说法对吗？为什么?
解 这种说法不对. 例如设α1=(2,0, -1), α2=(-1,2,3), α3=(0,4,5), 则0α1+0α2+0α3=0. 但α1, α2, α3线性相关, 因为α1+2α2－α3=0.
6. 如果α1, α2, …, αr 线性无关，而αr ＋1不能由α1, α2, …, αr 线性表示，那么α1, α2,…,
αr , αr ＋1线性无关. 这个命题成立吗？为什么？
解 成立. 反设α1, α2,…, αr , αr ＋1线性相关,由条件α1, α2, …, αr 线性无关知αr ＋1一定能由
α1, α2, …, αr 线性表示,矛盾.
7. 如果α1, α2, …, αr 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合. 这种说法对吗？为什么？
解 对. 反设 αi = k 1α1+k 2α2+…k i -1αi-1+k i+1αi ＋1 +…+k r αr ,则 k 1α1+k 2α2+…k i -1αi-1+(－1) αi +k i+1αi ＋1 +…+k r αr =0. 由于－1≠0, 故α1, α2, …, αr 线性相关.
8. 如果向量α1, α2, …, αr 线性相关，那么其中每一个向量都可由其余向量线性表示. 这种说法对吗？为什么？
解 不对. 设α1=(1,0) , α2=(2,0) , α3=(0,1) , 则α1, α2, α3线性相关, 但α3不能由α1,
α2线性表示.
9. 设α1＝ (1, 0, 0), α2＝ (1, 2, 0), α3＝(1, 2, 3)是F 3中的向量，写出α1, α2, α3的一切线性组合. 并证明F 3中的每个向量都可由{α1, α2, α3}线性表示.
解 k 1α1+k 2α2+k 3α3 k 1, k 2 , k 3∈F .
设k 1α1+k 2α2+k 3α3=0,则有??
?
??==+=++030220332321k k k k k k , 解得 k 1= k 2 =k 3=0.
故α1, α2, α3线性无关.
对任意(a,b,c)∈F 3, (a,b,c)=3213
)32(
))3
22((αααc c b c b
a +
-+-
-,所以F 3
中的每个向量都可
由{α1, α2, α3}线性表示.
10. 下列向量组是否线性相关
(1) α1＝ (1, 0, 0), α2＝ (1, 1, 0), α3＝(1, 1, 1)； (2) α1＝(3, 1, 4), α2＝(2, 5, -1), α3＝(4, -3, 7). 解 (1) 线性无关; (2) 线性无关.
11. 证明，设向量α1, α2, α3线性相关，向量α2, α3, α4线性无关，问： (1) α1能否由α2, α3线性表示？说明理由； (2) α4能否由α1, α2, α3线性表示？说明理由.
解 (1)因为α2, α3线性无关而α1, α2, α3线性相关,所以α1能由α2, α3线性表示; (2)反设α4能由α1, α2, α3线性表示,但α1能由α2, α3线性表示,故α4能由α2, α3线性表示,这与α2, α3, α4线性无关矛盾,所以α4不能由α1, α2, α3线性表示.
12. 设α1＝ (0, 1, 2), α2＝ (3, －1, 0), α3＝(2, 1, 0)，
β1＝ (1, 0, 0), β2＝ (1, 2, 0), β3＝(1, 2, 3)
是F 3中的向量. 证明，向量组{α1, α2, α3}与{β1, β2, β3}等价.
证明 (β1, β2, β3)=(321,,εεε)A
(α1, α2, α3)= (321,,εεε)B
其中A=?????
?
?30
0220
111
, B=???
?
?
?
?-00
2111
230.易验证A , B 均可逆, 这样 (β1, β2, β3) = (α1, α2, α3 )(B -1A )
(α1, α2, α3) = (β1, β2, β3)(A -1B ) , 故向量组{α1, α2, α3}与{β1, β2, β3}等价.
13. 设数域F 上的向量空间V 的向量组{α1, α2, …, αs }线性相关，并且在这个向量组中任意去掉一个向量后就线性无关. 证明，如果∑=s
i i i k 1α＝0 (k i ∈F )，那么或者
k 1＝k 2＝…＝k s ＝0, 或k 1，k 2，…，k s 全不为零.
证明 由条件∑=s
i i i k 1
α＝0 (k i ∈F )知
k i αi = - (k 1α1+k 2α2+…k i -1αi-1+k i+1αi ＋1 +…+k s αs ) （*）
(1) 当k i =0时,（*)式左边等于零,故k 1α1+k 2α2+…k i -1αi-1+k i+1αi ＋1 +…+k s αs =0. 由于这s -1个向量线性无关,所以k 1＝k 2＝…＝k s ＝0.
(2) 当k i ≠0时, αi = -
i
k 1(k 1α1+k 2α2+…k i -1αi-1+k i+1αi ＋1 +…+k s αs ),下证对于任意
i j s j ≠∈},,2,1{ 时k j ≠
0. 反设k j =0, 则αi 可由s -2个向量线性表示.这与任意s -1个
向量线性无关矛盾,所以此时k 1,k 2，…，k s 全不为零.
14. 设α1＝(1, 1), α2＝(2, 2), α3＝(0, 1) , α4＝(1, 0)都是F 2中的向量. 写出{α1, α2,
α3, α4}的所有极大无关组.
解 α1, α3 ; α1, α4 ; α2 ,α3 ; α2 ,α4 ; α3 ,α4 . 15. 设 A 1＝????
??-20
01,A 2＝???? ?
?-0021
, A 3＝???? ?
?0120
,A 4＝???
?
?
?-2142
∈M 2×2(F ). 求向量空间M 2×2(F )中向量组{A 1, A 2,A 3, A 4}的秩及其极大无关组.
解 秩{A 1, A 2,A 3, A 4}=3, {A 1, A 2,A 3}是向量组{A 1, A 2, A 3, A 4}的一个极大无关组.
16．设由F 4中向量组｛α1=(3，1，2，5)，α2＝(1，1，1，2)，α3＝(2，0，1，3)，
α4 =(1，－1，0，1)，α5 =(4，2，3，7)｝. 求此向量组的一个极大无关组.
解 (α1,α2,α3,α4,α5)= (4321,,,εεεε)A , 其中
A=????
??
?
?
?-71
3
2
5301122101141213, 则秩A =2. 又(α1,α2 )= (4321,,,εεεε)B , 其中B =????
??
?
?
?251211
13. 秩B =2, 故{α1,α2}线性无关, 它是向量组{α1,α2,α3,α4,α5}的一个极大无关组.
17. 证明，如果向量空间V 的每一个向量都可以唯一表成V 中向量α1, α2, …, αn 的线性组合，那么dim V ＝n .
证明 由条件零向量可唯一的表示成α1, α2, …, αn 的线性组合, 这说明α1, α2, …,
αn 线性无关, 故可作为V 的基, 从而dim V ＝n .
18. 设β1, β2，…，βn 是F 上n (>0)维向量空间V 的向量，并且V 中每个向量都可以由β1, β2，…，βn 线性表示. 证明, {β1, β2，…，βn }是V 的基.
证明 由条件标准正交基{ e 1, e 2, …,e n }可由β1, β2，…，βn 线性表示, 反过来β1,
β2，…，βn 又可由{ e 1, e 2, …,e n }线性表示,所以{ e 1, e 2, …,e n }和{β1, β2，…，βn }等价. 由{ e 1, e 2, …,e n }线性无关知{β1, β2，…，βn }线性无关,又因V 中每个向量都可以由β1,
β2，…，βn 线性表示, 由基的定义知{β1, β2，…，βn }是V 的基.
19. 复数集C 看作实数域R 上的向量空间（运算: 复数的加法，实数与复数的乘法）时，求C 的一个基和维数.
解 基为{1, i }； dim C ＝2.
20. 设V 是实数域R 上全体n 阶对角形矩阵构成的向量空间（运算是矩阵的加法和数与矩阵的乘法）. 求V 的一个基和维数.
解 基为E ii (i =1,2, …,n )； dim V ＝n .
21. 求§5.1中例9给出的向量空间的维数和一个基.
解 任意一个不等于1的正实数都可作为V 的基； dim V ＝1.
22. 在R 3中，求向量α＝(1, 2, 3)在基ε1＝(1, 0, 0)，ε2＝(1, 1, 0)，ε3＝(1, 1, 1)下的坐标.
解 (-1,-1,3)T .
23. 求R 3中由基{α1, α2, αs }到基{β1, β2, β3 }的过渡矩阵，其中
α1＝(1, 0, -1), α2＝(-1, 1, 0), α3＝(1, 2, 3)，
β1＝(0, 1, 1), β2＝(1, 0, 1), β3＝(1, 1, 1).
解 所求过渡矩阵为????
?
??-32
2
042
30061. 24. 设{α1, α2,…, αn }是向量空间V 的一个基，求由这个基到基{α3, α4, …, αn ，α1,
α2}的过渡矩阵.
解 所求过渡矩阵为???
? ??-00
2
2n I
I . 25. 已知F 3中向量α关于标准基
ε1＝(1, 0, 0)，ε2＝(0, 1, 0) ，ε3＝(0, 0, 1)
的坐标是(1, 2, 3)，求α关于基
β1＝(1, 0, 1), β2＝(0, 1, 1), β3＝(1, 1, 3)
的坐标. 解 (1,2,0)T .
26. 判断R n 的下列子集哪些是子空间(其中R 是实数域，Z 是整数集). (1) {(a 1, 0, …, 0, a n )| a 1, a n ∈R }; (2) {(a 1, a 2, …, a n )|∑==n
i i
a 10
，a 1, a 2, …, a n ∈R };
(3) {(a 1, a 2, …, a n )|a i ∈Z , i ＝1, 2, …, n }; 解 (1) 是; (2) 是; (3) 不是(数乘不封闭).
27. 设V 是一个向量空间，且V ≠{0}. 证明，V 不能表成它的两个真子空间的并集.
证明 设W 1与W 2是V 的两个真子空间 (1) 若21W W ?，则W 1?W 2= W 2≠V ; (2) 若21W W ?,则W 1?W 2= W 1≠V ;
(3) 若21W W ?且12W W ?, 取1W ∈α但2W ?α,2W ∈β但1W ?β, 那么1W ?+βα,否则将有1)(W ∈=-+βαβα,这与1W ?β矛盾, 同理2W ?+βα, 所以V 中有向量
21W W ?+βα,即V ≠21W W .
28. 设V 是n 维向量空间，证明V 可以表示成n 个一维子空间的直和.
证明 设{α1, α2,…, αn }是向量空间V 的一个基, Λ(α1),Λ(α2) ,…, Λ(αn )分别是由α1, α2,…, αn 生成的向量空间, 要证
L(α1+α2+…+αn )=L(α1)⊕L (α2)⊕L ⊕ L (αn )
(1) 因为{α1, α2,…, αn }是V 的一个基, 所以V 中任一向量α都可由α1, α2,…, αn 线性表示, 此即
L (α1+α2+…+αn )= L (α1)+ L (α2)+…+ L (αn ).
(2) 对任意i ≠j ∈{1,2,…, n },下证L (αi )∩L (αj )={0}. 反设存在0 ≠∈x L (αi )∩L (αj ),由∈x Λ(αi )知存在k F ∈使得x =k αi ； 由 x ∈L (αj )知存在F l ∈使得x =l αj , 从而αi =k l
αj , 即α1与α2线性相关, 矛盾, 所以L (αi )∩L (αj )={0}.
综上, L (α1+α2+…+αn )= L (α1)⊕ L (α2)⊕…⊕ L (αn ). 29. 在R 3中给定两个向量组
α1＝(2, -1, 1, -1), α2＝(1, 0, -1, 1), β1＝(-1, 2, -1, 0), β2＝(2, 1, -1, 1).
求L (α1, α2)＋L (β1, β2) 的维数和一个基.
解 取R 4的标准正交基{4321,,,εεεε},于是
(α1, α2, β1, β2)= (4321,,,εεεε)A ,
其中 A =????
??
?
?
?------10
1
111111201
2112 , 秩A = 4. 故α1, α2, β1, β2线性无关, 又因为L (α1, α2)∩L (β1, β2)={0},所以
dim L (α1, α2) + dim L (β1, β2)= 4,{ α1, α2, β1, β2}是它的基. 30. 设W 1, W 2都是向量空间V 的子空间，证明下列条件是等价的： (1) W 1?W 2; (2) W 1∩W 2＝W 1; (3) W 1＋W 2＝W 2.
证明 (i) (1)?(2) 因为W 1?W 2 , 所以W 1∩W 2＝W 1.
(ii) (2)?(3) W 1＋W 2 ={α1+α2 | α1∈W 1, α2∈W 2} 由(2)知对任意α∈W 1, 都有α∈W 2 , 所以W 1＋W 2 ={α1+α2 | α1, α2∈W 2}=W 2 .
(iii) (3)?(1) W 1＋W 2 ={α1,+α2 | α1∈W 1, α2∈W 2}=W 2 , 说明对任意α∈W 1, 都
有α∈W 2 , 此即W 1?W 2 .
31. 设V 是实数域R 上n 阶对称矩阵所成的α2向量空间；W 是数域R 上n 阶上三角矩阵所成的向量空间，给出V 到W 的一个同构映射.
解 对∈?A V (A =(a ij )且a ij = a ji )和B ∈W (B =(a ij ),当i>j 时, a ij =0) 定义f : V → W
A B 易验证f 是V 到W 的一个同构映射.
32. 设V 与W 都是数域F 上的向量空间，f 是V 到W 的一个同构映射，证明{α1, α2, …,
αn }是V 的基当且仅当{f (α1), f (α2), …, f (αn )}是W 的基.
证明 设{α1, α2, …, αn }是V 的基.
(1) 由α1, α2, …, αn 线性无关知f (α1), f (α2), …, f (αn ) 线性无关.
(2) 任取∈ηW , 由f 是同构映射知存在∈ξV 使得f (ξ)=η.但ξ=∑=n
i i i a 1
α, a i ∈F ,
f (ξ)=f (∑=n i i i a 1
α)=)(1
∑=n
i i i f a α=η.
由η的任意性知{f (α1), f (α2), …, f (αn )}是W 的基. 反过来, {f (α1), f (α2), …, f (αn )}是W 的基
(1) 由f (α1), f (α2), …, f (αn )线性无关知α1, α2, …, αn 线性无关. (2) 任取∈ξ
V
, 由f 是同构映射知存在∈ηW 使得f (ξ)=η.但η=∑=n
i i i f k 1
)(α=
f (∑=n
i i i k 1
α), k i ∈F , 从而ξ=∑=n
i i i k 1
α, k i ∈F .
由ξ的任意性知{ α1, α2, …, αn }是V 的基.
利用空间向量求空间角 一、高考考纲要求： 能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题．体会向量法在立体几何中的应用． 二、命题趋势： 在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多. 三、教学目标 知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用； 过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力； 情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标系，方向向量，法向量的魅力. 四、教学重难点 重点：用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角； 难点：将立体几何问题转化为向量问题. 五、教学过程 （一）空间角公式 1、异面直线所成角公式：如图，设异面直线l ，m 的方向向量分别为a r ,b r ,异面直线l ，m
2、线面角公式：设直线l 为平面α的斜线，a r 为l 的方向向量，n r 为平面α的法向量，θ为 l 与α所成的角，则sin cos ,a n θ==r r a n a n ?r r r r . 3、面面角公式：设1n r ，2n r 分别为平面α、β的法向量，二面角为θ，则12,n n θ=r r 或 12,n n θπ=-r r （需要根据具体情况判断相等或互补） ，其中121212 cos ,n n n n n n ?=r r r r r r . α θ O n r a
（二）典例分析 如图，已知：在直角梯形OABC 中，//OA BC ，90AOC ∠=o ，SO ⊥面OABC ，且 1,2OS OC BC OA ====.求： （1）异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值； （2）OS 与面SAB 所成角α的正弦值； （3）二面角B AS O --的余弦值. 解：如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ， (2,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,0,1)S ， 于是我们有(2,0,1)SA =-u u r ，(1,1,0)AB =-u u u r ，(1,1,0)OB =u u u r ，(0,0,1)OS =u u u r ， （1）cos ,5SA OB SA OB SA OB ?== =u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r ， 所以异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值为5 . （2）设平面SAB 的法向量(,,)n x y z =r ， 则0,0, n AB n SA ??=???=??r u u u r r u u r ，即0,20.x y x z -+=??-=? 取1x =，则1y =，2z =，所以(1,1,2)n =r ， sin cos ,3OS n OS n OS n α?∴=== =u u u r r u u u r r u u u r r . （3）由（2）知平面SAB 的法向量1(1,1,2)n =u r ， 又OC ⊥Q 平面AOS ，OC ∴u u u r 是平面AOS 的法向量， 令2(0,1,0)n OC ==u u r u u u r ，则有121212 cos ,n n n n n n ?== =u r u u r u r u u r u r u u r . ∴二面角B AS O --O A B C S
“ 量无论无论是 和具有规具有规律性。 时有时会显得特别探索空间平面法向量的求法与方向的判定 问题，都离不开平面的 成角 ” ” 距离 “ 问题，还是 杨玉春 (铜仁市第二中学，贵州铜仁 554300) 向量具有一套完整的运算体系，可以把几何图形的性质 转化为向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，实 现了“数”与“形”的结合。因此用量知识解决某些立体几 何问题，有时会显得特别简洁和具有规律性。但用向量无论 是解决“成角”问题，还是“距离”问题，都离不开平面的 法向量，可以说平面的法向量是用向量来解决立几问题的瓶 颈，平面法向量的正确求出是关键。而用向量来求二面角的 大小时，往往还需判断法向量的方向，是指向二面角内还是 指向二面角外。本文介绍空间平面法向量的求法与方向的判 定。 一、平面法向量的求法 1、几何法：如图(1)，若λ⊥α，在λ上任取两点A、B， 则或即为平面α的一个法向量。 2、待定系数法(两种设法)：
（1）设n=(1,λ,μ)或n=(λ，1，μ)或n=(λ, μ，1)是平面α的一个法向量。a ，b 是平面α内任一两个不共线向量，由 n ·a=0 n ·b=0求出λ，μ即可。 （2）或设n=（x ，y ，z ）是平面a=0 ·b=0 得出关于x 、y 、z 的三元一次方程组的一个解即为平面α的一个法向量。 3、利用空间平面方程：Ax+By+Cz+D=0(其中：A 、B 、C 不同时为零)，则n=（A ，B ，C ）为平面的一个法向量。 4利用向量的向量积：如图(1)，设a=(111,,x y z ),b=（223,,x y z ） 则a ×b= =( ,| |,|) =(122121121221,,y z y z x z x z x y x y ---) 取n=(a ×b )(λ∈R 且λ≠0)是平面α的法向量。 二、空间平面法向量方向的判定 1、由几何法求出的法向量，此时方向看图即可。 2、由向量的向量积求出的法向量，用“右手定则”可确定a ×b 的方向，取n=λ(a ×b),当＞0时，则n 方向与向
§3.2立体几何中的向量方法(二) ——空间向量与垂直关系 课时目标 1.能利用平面法向量证明两个平面垂直.2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系． 1．空间垂直关系的向量表示 空间中的垂直关系 线线垂直线面垂直面面垂直 设直线l的方向向量为a ＝(a1，a2，a3)，直线m 的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?______ 设直线l的方向向量是a＝ (a1，b1，c1)，平面α的法向量 u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α? ________ 若平面α的法向量u＝(a1，b1 ， c1)，平面β的法向量为v＝ (a2，b2，c2)，则α⊥β? ________ 线线垂直线面垂直面面垂直 ①证明两直线的方向向量的数 量积为______． ①证明直线的方向向量与平面的法向 量是______． ①证明两 个平面的 法向量 _________ ___． ②证明两直线所成角为 ______. ②证明直线与平面内的相交直线 ________. ②证明二 面角的平 面角为 ________._ _______. 一、选择题 1．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于() A．1B．2C．3D．4 2．已知A(3,0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2,4，－2)，则△ABC是() A．等边三角形B．等腰三角形 C．直角三角形D．等腰直角三角形 3．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则() A．l∥αB．l⊥α C．l?αD．l与α斜交
4．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交但不垂直 C ．垂直 D ．不能确定 5．设直线l 1的方向向量为a ＝(1，－2,2)，l 2的方向向量为b ＝(2,3,2)，则l 1与l 2的关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交不垂直 D ．不确定 6. 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是上底面中心，则AC 1与CE 的位置关系 是( ) A ．平行 B ．相交 C ．相交且垂直 D ．以上都不是 二、填空题 7．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝______. 8．已知a ＝(0,1,1)，b ＝(1,1,0)，c ＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有______对． 9．下列命题中： ①若u ，v 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β?u·v ＝0； ②若u 是平面α的法向量且向量a 与α共面，则u·a ＝0； ③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直． 正确的命题序号是________．(填写所有正确的序号) 三、解答题 10．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱 CC 1上的点，且CN ＝1 4 CC 1.求证：AB 1⊥MN . 11．已知ABC —A 1B 1C 1是各条棱长均为a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点，求证：平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1.
第五章 向量空间 向量空间或称线性空间是一个重要的代数系统（定义了代数运算的集合），现代数学所涉及的欧氏空间、U 空间、希尔伯特空间等都是建立在向量空间的基础上的. 我们知道,在n 元向量集和n m ?矩阵集中,都分别定义了加法和数乘运算,并且就这两种运算的基本性质而言,在形式上是完全一样的.向量空间就是对这类集合的共性的抽象.学习向量空间的理论,不仅有助于深化对矩阵理论、线性方程组理论等内容的理解,同时也为后面两章内容的讨论奠定了基础.除此之外,向量空间的理论和方法在自然科学、工程技术等领域都有一定的应用. 本章重点是向量空间的定义、基、内积、正交矩阵等. 5.1 向量空间的概念 定义 1 设V 是一个非空集,F 是一个数域．如果： 1) V 中定义了一个加法．α?、∈βV , V 中有唯一确定的元与它们对应,这个元称为 α与β的和,记为α+β. 2) F 到V 有一个数量乘法．k ?∈F ,?α∈V ,V 中有唯一确定的元与它们对应,这个元称为k 与α的数量乘积,记为αk . 3) 加法与数量乘法满足以下算律： ?α、β、γ∈V ,?k 、l ∈F 1 α+β=β+α； 2 (α+β)+γ=α+(β+γ)； 3 0∈V ,称为V 的零元,有0+α=α； 4 α-∈V ,称为α的负元,有α+(α-)=0； 5 βαβαk k k +=+)(； 6 αααl k l k +=+)(； 7 )()(ααl k kl =； 8 αα=1, 那么称V 是数域F 上的一个向量空间. 向量空间V 的元称为向量.定义1中的条件1)和2)可以合并为:F l k V ∈?∈?、、,βα,有V l k ∈+βα.由于运算是线性的,也将向量空间称为线性空间. 例 1 n F 为数域F 上所有n 元向量构成的集,对向量的加法和数乘,n F 是F 上的一个向量空间. 例 2 )(},|){()(F M F a a F M ij n m ij ∈=?对矩阵的加法和数量乘法构成F 上的一个向量空间. 例 3 在解析几何里,平面或空间中从原点出发的一切向量对向量的加法和实数与向量的乘法都构成实数域上的向量空间.分别记为32,V V . 例 4 令],[b a C 为定义在区间],[b a 上的一切连续函数所构成的集.对函数的加法,实数与函数的乘法,],[b a C 是实数域上的向量空间. 例5 复数域C 是实数域R 上的向量空间.任意数域都是它自身上的向量空间. 由定义1,可以推出向量空间V 的如下几个性质： 1. 在向量空间V 中,零向量是唯一的. 事实上,若10与20都是V 的零向量,便有22110000=+=. 2. V 中每一向量的负向量是唯一的. 事实上,V ∈?α,若21,αα都是α的负向量,即有0,021=+=+αααα,那么
利用空间向量求空间角考点与题型归纳 一、基础知识 1．异面直线所成角 设异面直线a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝|a ·b | |a ||b | ? ， 其中a ，b 分别是直线a ，b 的方向 向量． 2．直线与平面所成角 如图所示，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量， φ为l 与α所成的角，则sin φ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n | |a ||n | ? . 3．二面角 (1)若AB ，CD 分别是二面角α-l -β的两个平面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量AB ―→与CD ―→ 的夹角，如图(1)． (2)平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，〈n 1，n 2〉＝θ，则二面角α -l -β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝ |n 1·n 2| |n 1||n 2| ? ，如图(2)(3)． 两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为(0，π)，所以公式中要加绝对值． 直线与平面所成角的范围为????0，π 2，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以公式中要加绝对值． 利用公式与二面角的平面角时，要注意〈n 1，n 2〉与二面角大小的关系，是相等还是互
补，需要结合图形进行判断． 二、常用结论 解空间角最值问题时往往会用到最小角定理 cos θ＝cos θ1cos θ2. 如图，若OA 为平面α的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在平面α内的射影，OC 为平面α内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角，θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么cos θ＝cos θ1cos θ2. 考点一 异面直线所成的角 [典例精析] 如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°.点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，P A ＝AC ＝4，AB ＝2. (1)求证：MN ∥平面BDE ； (2)已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为7 21 ，求线段AH 的长． [解] 由题意知，AB ，AC ，AP 两两垂直，故以A 为原点，分别以AB ―→，AC ―→，AP ―→ 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．依题意可得A (0，0,0)，B (2，0,0)，C (0,4,0)，P (0，0,4)，D (0,0,2)，E (0,2,2)，M (0，0,1)，N (1,2,0)． (1)证明：DE ―→＝(0,2,0)，DB ―→ ＝(2,0，－2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面BDE 的法向量， 则????? n ·DE ―→＝0，n ·DB ―→＝0， 即????? 2y ＝0，2x －2z ＝0. 不妨取z ＝1，可得n ＝(1,0,1)．
空间向量的坐标运算 第一课时空间直角坐标系 教学目标： ㈠知识目标： ⒈空间直角坐标系； ⒉空间向量的坐标表示； ⒊空间向量的坐标运算； ⒋平行向量、垂直向量坐标之间的关系； 5.中点公式。 ㈡能力目标： ⒈掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标； ⒉掌握空间向量坐标运算的规律； 3.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直； 4.会用中点坐标公式解决有关问题。 教学重点：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算 教学难点：向量坐标的确定 教学方法：讨论法． 教具准备：多媒体投影． 教学过程： 复习回顾 空间向量基本定理 探索研究 1、空间右手直角坐标系的概念 ⑴单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表示。 ⑵空间直角坐标系O－xyz 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以点O 为原点，分别以i、j、k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个直角坐标系O－xyz，点O叫做原点，向量i,j,k叫做坐标向 量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz平面，zOx平面。 ⑶空间直角坐标系的画法作空间直角坐标系O－xyz 时，一般使∠xOy＝135°(或45°),∠yOz＝90°。 注：在空间直角坐标系O－xyz中，让右手拇指指向x轴 的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指能指向z轴的正 方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。 ⑷空间向量的坐标表示给定一空间直角坐标系和向
向量的直角坐标运算设a=(a 1,a 2,a 3),b=(b 1,b 2,b 3)，则a+b=(a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3) a －b=(a 1－ b 1,a 2－b 2,a 3－b 3)λa=(λa 1,λa 2,λa 3) a ?b=a 1 b 1+a 2b 2+a 2b 2 a//b a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3(λ∈R)a ⊥b a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0设A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2)，则 AB ＝OB －OA ＝(x 2－x 1,y 2－y 1,z 2－z 1) 量a ，且设i,j,k 为坐标向量（如图），由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a 1,a 2,a 3）叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标，可简记作a ＝（a 1,a 2,a 3）。 在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任一点A ，对应一个向量OA ，若 ,k z j y i x OA ++=则有序数组(x,y,z)叫做点A 在 此空间直角坐标系中的坐标，记为A(x,y,z)，其中x 叫做A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。 ⑸空间任一点P 的坐标的确定 过P 分别作三个与坐标平面平行的平面（或垂面），分别交坐标轴于A 、B 、C 三点，|x|=|OA|,|y|=|OB|,|z|=|OC|,当OA 与i 方向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理可确定y 、z （如图） 例1已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E 、F 分别是BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标。 分析：要求点E 的坐标，过点E 与x 轴、y 轴垂直的平面已存在，只要过E 作平面垂直于z 轴交E ‘ 点，此时|x|＝|,|DA |y|＝|,|DC |z|＝||'DE ，当DA 的方向与x 轴正向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理确定y 、z 的符号，这样可求得点E 的坐标。 解：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)， A 1(2,0,2)， B 1(2,2,2)， C 1(0,2,2)，, D 1(0,0,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0) 2、向量的直角坐标运算 注：3 32 21 1i 321321b a b a b a b //a 1,2,3),0(i b ),b ,b ,(b b ),a ,a ,(a a = = ? =≠==则若
第七节 空间向量的应用(一) 平行与垂直 高考概览：1.理解直线的方向向量与平面的法向量；2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系；3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理． [知识梳理] 1．直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a 的有向线段所在直线与直线l 平行或重合，则称此向量a 为直线l 的方向向量． (2)平面的法向量：直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量． 2．空间位置关系的向量表示 [辨识巧记] 1．确定平面的法向量的两种方法 (1)直接法：观察是否有垂直于平面的法向量，若有可直接确定． (2)待定系数法：取平面的两条相交向量a ，b ，设平面的法向量 为n ＝(x ，y ，z )，由? ???? n ·a ＝0，n ·b ＝0解方程组求得．
2．方向向量和法向量均不为零向量且不唯一． [双基自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的．( ) (2)若直线a 的方向向量和平面α的法向量平行，则a ∥α.( ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( ) (4)若直线a 的方向向量与平面α的法向量垂直，则a ∥α.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2．(选修2－1P 104练习2改编)已知平面α，β的法向量分别为n 1 ＝(2,3,5)，n 2＝(－3,1，－4)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥β C ．α，β相交但不垂直 D ．以上均不对 [解析] 不能确定唯一的实数λ，使n 1＝λn 2，所以n 1与n 2不平行，故α与β不平行；n 1·n 2＝－6＋3－20＝－23，故α与β不垂直．所以α与β相交但不垂直．故选C. [答案] C 3．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是( ) A ．(－1,1,1) B ．(1，－1,1) C.? ???? －33，－33，－33 D.? ?? ?? 33，33，－33 [解析] 设n ＝(x ，y ，z )为平面ABC 的法向量， 则?? ? n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，化简得? ???? －x ＋y ＝0， －x ＋z ＝0， ∴x ＝y ＝z .故选C. [答案] C 4．(2019·陕西黄陵模拟)若两点A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB →|取最小值时，x 的值等于( )
高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用 平面的法向量 仁定义：如果a _ ：，那么向量a 叫做平面二的法向量。平面.：＞ 的法向量共有两大类(从方向上分) ，无 数条。 2、平面法向量的求法 斗 ■ 4 方法一(内积法)：在给定的空间直角坐标系中， 设平面「的法向量n =(x,y,1)［或n =(x,1,z)，或n =(1yZ ］， 在平面:内任找两个不共线的向量 a,b 。由n _ ：?，得n a = 0且n b = 0，由此得到关于 x, y 的方程组，解此 i 方程组即可得到n 。 方法二：任何一个 x, y, z 的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是 Ax By Cz ^0 (代B,C 不同时为0)，称为平面的一般方程。其法向量 n -(A, B,C)；若平面与3个坐 标轴的交点为R(a,0,0), P 2(0,b,0), P 3(0,0, c),如图所示，则平面方程为?上 ］--1,称此方程为平面的截距 a b c 式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法)：设 ，.为空间中两个不平行的非零向量，其外积 a b 为一长度等于|a||b|sinr , ( 9为 ..,.两者交角，且Ou :::二)，而与..，.皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 .. 例 1、 已知，al(2,1,0),b'(-1,2,1), T T —f —f 试求(1): a^b ； (2)： b 汉a. T T T T Key: (1) a b =(1,-2,5)；⑵ b a =(-1,2,5) 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 7 T T T 的方向转为 匸的方向时，大拇指所指的方向规定为a b 的方向 ^( x i ,y i ,z i ),^(x 2, r 「 T T 丫2二2),则:a b = Z 2 X 1乙 X 2 Z 2 X 1 X 2 y 1 y 2 (注：1、二阶行列式 =ad —cb ； d 2、适合右手定 则。 x, y, z 的一次方程。
第五章向量空间 基础训练题 1. 设V是数域F上向量空间，假如V至少含有一个非零向量α，问V中的向量是有限多还是无限多？有没有n(n ≥ 2)个向量构成的向量空间？ 解无限多；不存在n(n ≥ 2)个向量构成的向量空间(因为如果F上一个向量空间V含有至少两个向量, 那么V至少含有一个非零向量α, 因此V中含有α, 2α,3α,4α,…,这无穷多个向量互不相等,因此V中必然含有无穷多个向量). 2. 设V是数域F上的向量空间，V中的元素称为向量，这里的向量和平面解析几何中的向量α，空间解析几何中的向量β有什么区别？ 解这里的向量比平面中的向量意义广泛得多,它可以是多项式,矩阵等,不单纯指平面中的向量. 3. 检验以下集合对所指定的运算是否构成数域F上的向量空间. （1）集合：全体n阶实对称矩阵；F：实数域；运算：矩阵的加法和数量乘法； （2）集合：实数域F上全体二维行向量；运算： (a1, b1)+ (a2, b2)＝(a1＋a2, 0) k? (a1, b1)＝(ka1, 0) （3）集合：实数域上全体二维行向量；运算： (a1, b1)+ (a2, b2)＝(a1＋a2, b1＋b2) k? ( a1, b1)＝(0, 0) 解(1) 是; (2) 不是(因为零向量不唯一); (3) 不是(不满足向量空间定义中的(8)). 4. 在向量空间中，证明， (1) a(－α)=－aα=(－a)α , (2) (a-b)α＝aα－bα, a, b是数，α是向量.
证明 (1) a a a a =+-=+-))(()(αααα 0= 0 ααa a -=-∴)( 又 ==+-=+-a a a a a 0))(()(ααα 0 ααa a -=-∴)( 综上, .)()(αααa a a -=-=- (2) ααααααb a b a b a b a -=-+=-+=-)())(()(. 5. 如果当k 1＝k 2＝…＝k r ＝0时，k 1α1＋k 2α2＋…＋k r αr ＝0, 那么α1, α2, …, αr 线性无关. 这种说法对吗？为什么? 解 这种说法不对. 例如设α1=(2,0, -1), α2=(-1,2,3), α3=(0,4,5), 则0α1+0α2+0α3=0. 但α1, α2, α3线性相关, 因为α1+2α2－α3=0. 6. 如果α1, α2, …, αr 线性无关，而αr ＋1不能由α1, α2, …, αr 线性表示，那么α1, α2,…, αr , αr ＋1线性无关. 这个命题成立吗？为什么？ 解 成立. 反设α1, α2,…, αr , αr ＋1线性相关,由条件α1, α2, …, αr 线性无关知αr ＋1一定能由α1, α2, …, αr 线性表示,矛盾. 7. 如果α1, α2, …, αr 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合. 这种说法对吗？为什么？ 解 对. 反设 αi = k 1α1+k 2α2+…k i -1αi-1+k i+1αi ＋1 +…+k r αr ,则 k 1α1+k 2α2+…k i -1αi-1+(－1) αi +k i+1αi ＋1 +…+k r αr =0. 由于－1≠0, 故α1, α2, …, αr 线性相关. 8. 如果向量α1, α2, …, αr 线性相关，那么其中每一个向量都可由其余向量线性表示. 这种说法对吗？为什么？ 解 不对. 设α1=(1,0) , α2=(2,0) , α3=(0,1) , 则α1, α2, α3线性相关, 但α3不能由α1, α2线性表示. 9. 设α1＝ (1, 0, 0), α2＝ (1, 2, 0), α3＝(1, 2, 3)是F 3中的向量，写出α1, α2, α3的一切线性组合. 并证明F 3中的每个向量都可由{α1, α2, α3}线性表示.
高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或( 1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得0n a ?=且0n b ?=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。 方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。 0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。其法向量),,(C B A n =→ ;若平面与3个坐 标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++c z b y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→ → ?b a 为一长度等于θsin ||||→ → b a ，（θ 为 ,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为→→?b a 的方向,→ →→→?-=?a b b a 。 :),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→ → ??=?→ → 21y y b a ,2 1z z 21x x - ,21z z 21x x ???? 21y y （注：1、二阶行列式:c a M = cb ad d b -=；2、适合右手定则。 ） 例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→ → b a ， 试求（1）：;→ → ?b a （2）：.→ →?a b Key: (1) )5,2,1(-=?→ → b a ;)5,2,1()2(-=?→ → a b 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， 求平面AEF 的一个法向量n 。 )2,2,1(:=?=→ →→AE AF n key 法向量
第五章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其线性运算 一、内容要点 ⒈向量的定义 向量是即有大小、又有方向的量 。 ⑴向量的几何表示 有向线段 ﹙与起点无关，称为自由向量﹚. ⑵向量的坐标表示：),,(z y x a a a =a ，其中x a 、y a 、z a 为向量a 在三个坐标 轴上的投影.以),,(0000z y x M 为起点、),,(0z y x M 为终点的向量 ),,(0000z z y y x x ---=M M . ⑶向量的分解表示k j i a z y x a a a ++=，其 中)0,0,1(=i ，)0,1,0(=j ，)1,0,0(=k ⒉向量的模与方向余弦 设),,(z y x a a a =a 则向量的模2 2 2 z y x a a a ++= a 方向余弦为 a a a z y x a a a = = = γβαcos ,cos ,cos .其中α、β、γ分别为a 与x 轴、y 轴、z 轴正向的夹角﹙称为a 的方向角﹚， 1cos cos cos 222=++γβα ⒊向量的加法与数乘运算 向量的加法有平行四边形法则和三角形法则. 运算的代数表示：设),,(z y x a a a =a ,),,,(z y x b b b =b 则 (1)),,(z z y y x x b a b a b a +++=+b a ; (2)).,,(z y x a a a λλλλ=a 线性运算律为 ,a b b a +=+ ),()(c b a c b a ++=++ ,)(b a b a λλλ+=+ a a )()(λμμλ= 基本定理：设0a ≠，则 R b a ∈??λ，使得 a b λ= ； 或 设0a ≠=),,(z y x a a a ),,(z y x b b b =b ，则a \\z z y y x x a b a b a b ==? b . 利用数乘 ,任何向量a 可表示为a e a a =，其中a e 表示与a 同方向的单位向量.
利用空间向量解决空间中的“夹角”问题 学习目标 ： 1.学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法； 2.能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3.提高分析与推理能力和空间想象能力。 重点 ： 利用空间向量解决空间中的“夹角” 难点 ： 向量夹角与空间中的“夹角”的关系 一、复习引入 1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形） 2．向量的有关知识： （1）两向量数量积的定义：><=?,cos |||| （2）两向量夹角公式：| |||,cos b a >= < （3）平面的法向量：与平面垂直的向量 二、知识讲解与典例分析 知识点1：异面直线所成的角（范围：]2 , 0(π θ∈） （1）定义：过空间任意一点o 分别作异面直线a 与b 的平行线a′与b′，那么直线a′与b′ 所成的锐角或直角，叫做异面直线a 与b 所成的角. （2）用向量法求异面直线所成角 设两异面直线a 、b 的方向向量分别为和， 问题1： 当与的夹角不大于90 的角θ与 和 的夹角的关系？问题 2：a 与b 的夹角大于90°时，，异面直线a θ与a 和b 的夹角的关系？ 结论：异面直线a 、b 所成的角的余弦值为| ||||,cos |cos n m = ><=θ a
例1如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2，求1AC 和1CB 所成的角. 解法步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。 2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。 解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则 )2,,0(),0,21,23(),2,21,23(),0,0,0(11a a B a a C a a a C A -- ∴ )2,21,23(1a a a AC -=，)2,21 ,23(1a a a CB = 即21 323||||,cos 22 111111==>=<,与θ的关系？ 例2、如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2，求1AC 和B B AA 11面所成角的正弦值. 分析：直线与平面所成的角步骤： 1. 求出平面的法向量 2. 求出直线的方向向量 3. 求以上两个向量的夹角，(锐角)其余角为所求角 解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则),0,,0(),2,0,0(1a a AA ==)2,21 ,23(1a a a AC -= 设平面B B AA 11的法向量为),,(z y x n = x y
空间平面法向量求法 一、法向量定义 定义：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 二、平面法向量的求法 1、内积法 在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量=（x,y,1）[或=（x,1,z)或=（1，y,z）]， 在平面内任找两个不共线的向量,。由，得·=0且·=0，由此得到关于x,y的 方程组，解此方程组即可得到。 2、 任何一个x,y,z的一次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。 Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为0)，称为平面的一般方程。其法向量=(A,B,C);若平面与3 个坐标轴的交点为P(a,0,0),P(0,b,0),P(0,0,c),则平面方程为:,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 3、外积法 设,为空间中两个不平行的非零向量，其外积×为一长度等于||||sinθ，（θ为两 者交角，且0<θ<π，而与,, 皆垂直的向量。通常我们采取“右手定则”，也就是右手四指 由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为×的方向,×=-×。 设=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2),则×= （注：1、二阶行列式:；2、适合右手定则。） Code public double[] GetTriangleFunction(ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point1, ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point2, ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point3) { try { double a = 0, b = 0,c=0; //方程参数
利用空间向量求空间角和距离 A 级——夯基保分练 1.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知M ，N 分别是BD 和AD 的中点，则B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为( ) A.30 30 B ．3015 C. 3010 D. 1515 解析：选C 建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则B 1(2,2,2)，M (1,1,0)，D 1(0，0,2)，N (1,0,0)，∴B 1M ―→ ＝(－1，－1，－2)，D 1N ―→ ＝(1,0，－2)， ∴B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为|B 1M ―→·D 1N ―→ | |B 1M ―→|·|D 1N ―→|＝ |－1＋4|1＋1＋4×1＋4＝30 10 . 2.如图，已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝3，E 为线段AB 上一点，且AE ＝1 3AB ，则DC 1与平面D 1EC 所成角的 正弦值为( ) A.33535 B ．277 C.33 D.24 解析：选A 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C 1(0,3,1)，D 1(0,0,1)，E (1,1,0)，C (0,3,0)， ∴DC 1―→＝(0,3,1)，D 1E ―→＝(1,1，－1)，D 1C ―→ ＝(0,3，－1)． 设平面D 1EC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则????? n ·D 1E ―→＝0，n · D 1C ―→＝0，即????? x ＋y －z ＝0，3y －z ＝0，取y ＝1，得n ＝(2,1,3)． ∴cos DC 1―→，n ＝DC 1―→·n |DC 1―→|·|n| ＝33535， ∴DC 1与平面D 1EC 所成的角的正弦值为335 35 .
3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 3.2.2 空间线面关系的判定(一) 学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题. 知识点一直线的方向向量与平面的法向量 思考怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？ 梳理(1)用向量表示直线的位置 条件 直线l上一点A 表示直线l方向的向量a(即直线的________) 形式在直线l上取AB → ＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得AP → ＝________ 作用定位置点A和向量a可以确定直线的________ 定点可以具体表示出l上的任意________ (2)用向量表示平面的位置 ①通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定： 条件平面α内两条相交直线的方向向量a，b和交点O 形式对于平面α上任意一点P，存在有序实数对(x，y)使得OP→＝x a＋y b
②通过平面α上的一个定点A和法向量来确定： 平面的法向量直线l⊥α，直线l的________________叫做平面α的法向 量 确定平 面位置 过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的(3)直线的方向向量和平面的法向量 直线的方向向量能平移到直线上的________向量a，叫做直线l 的一个方向向量 平面的法向量直线l⊥α，取直线l的______，n叫做平面α的法向量 (4)空间中平行关系的向量表示 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则 线线平行l∥m?________?a＝k b(k∈R) 线面平行l∥α?a⊥μ?________ 面面平行α∥β?μ∥v?________ 知识点二利用空间向量处理平行问题 思考(1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量.若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系. (2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？ (3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？ 梳理利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.
第五章 向量代数与空间解析几何 本章主要知识点 ◆ 矢量运算 ◆ 平面方程 ◆ 直线方程 ◆ 常见曲面及方程 第一节 向量代数 【主要考点】 （1） 理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，，会球单位向量‘方向余弦、向量在坐标轴 上的投影。 （2） 掌握向量的线性运算，、向量的数量积与向量积的计算方法。 （3） 掌握二向量平行、垂直的条件。 【考点精要】 一、空间直角坐标系 从空间某定点O 做三条互相垂直的数轴，都以O 为原点，有相同的长度单位，分别称 为x 轴，y 轴，z 轴，符合右手法则，这样就建立了空间直角坐标系，称O 为坐标原点。 1. 两点间的=距离 设点()1111,,z y x M ，),,(2222z y x M 为空间两点，则这两点间的距离可以表示为 21221221221)()()(z z y y x x M M d -+-+-== 2. 定比分点公式 ),,(z y x M 是AB 的分点：λ=MB AM 点B A ,的坐标为),,(),,,(222111z y x B z y x A 则 λ λλλλλ++=++=++= 1,1,12 12121z z z y y y x x x 当M 为中点时， 2 ,2,22 12121z z z y y y x x x +=+=+= 二、向量 1.向量的基本概念 （1） 向量的定义 既有大小，又有方向的概量，称为向量或矢量。 （2） 向量的模 向量的大小称为向量的模，用|a |→ AB 或表示向量的模。
（3） 单位向量 模为1的向量称为单位向量。 （4） 零向量 模为0的向量称为零向量，零向量的方向是任意的。 （5） 向量的相等 大小相等且方向相同的向量称为相等的向量。 （6） 自由向量 在空间任意地平行移动后不变的向量，称为自由向量。 （7） 向径 终点为P 的向量→ OP 称为点P 的向径，记为→ OP 。 2.向量的线性运算 （1）向量的加法 ①三角形法则 若将向量a 的终点与向量b 的起点放在一起，则以a 的起点为点， 以b 的终点为中点的向量称为向量a 与b 的和向量，记为a+b 。这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则。 ② 平行四边形法则 将两个向量a 和b 的起点放在一起，并以a 和b 为邻边作平行四边形，则从起点到对角顶点的向量称为 a + b 。这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。 向量的加法满足下列运算律 交换律：a + b=b + a 结合律：（a + b ） + c=a + (b + c) （2）向量与数的乘法运算 实数λ与向量a 的乘积是一个向量，称为向量a 与数λ的乘积，记作λa ，并且规定： ①|λa |=|λ||a |; ②当λ>0时，λa 与a 的方向相同；当λ<0时，λa 与a 的方向相反; ③当λ=0时，λa 零向量。 设λ，μ都是实数，向量与数的乘法满足下列运算律： 结合律：λ（μa ）=（λμ）a=μ（λa ） 分配律：（λ+μ）a=λa +μa ，λ（a + b ） =λa +μa 向量的加法运算和向量与数的乘法运算统称为向量的线性运算。 （3）求与a 同向的单位向量的方法 设向量a 是一个非零向量，则与a 同向的单位向量 a a e a = (4)负向量 当λ= -1时，记（-1）a=-a ，则-a 与a 的方向相反，模相等，-a 称为向 量a 的负向量。 （5）向量的减法 两向量的减法（即向量的差）规定为a – b= a +（-1）b 向量的减法也可以按三角形法则进行，只要把a 与b 的起点放在一起，a – b 即是以b 的终点为起点，以a 的终点为终点的向量。 3.向量的坐标表示 （1）基本单位向量i,j,k 分别为与x 轴，y 轴，z 轴同向的单位向量。 （2）向径的坐标表示 点P(321,,a a a )的向径→ OP =k a j a i a 321++或简记为