极限与导数
● 高考风向标
数学归纳法、数学归纳法应用举例，数列的极限．函数的极限，极限的四则运算，函数的连续性，闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．
导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数．两个函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数，基本导数公式．利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值．
● 典型题选讲
例１求函数2
4
1)1ln()(x x x f -
+=在[0，2]上的最大值和最小值. 讲解 我们知道，在闭区间上连续函数有最大值和最小值，于是，应用导数得
,2111)(x x x f -+=
' 令 ,02
111=-+x x 化简为 ,022
=-+x x 解得122(),1x x =-=舍去．
当)(,0)(,10x f x f x >'<≤时单调增加；当)(,0)(,21x f x f x <'≤<时单调减少．
所以4
1
2ln )1(-
=f 为函数)(x f 的极大值． 又因为),2()1(,013ln )2(,0)0(f f f f >>-== 所以 0)0(=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最小值，4
1
2ln )1(-
=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最大值． 点评 本小题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小值以及综合运算能力．
例２设函数()(1)(),(1)f x x x x a a =-->
（1）求导数/
()f x ; 并证明()f x 有两个不同的极值点12,x x ; （2）若不等式12()()0f x f x +≤成立，求a 的取值范围．
讲解 （I ）.)1(23)(2
a x a x x f ++-='
)(,;0)(,;0)(,:)())((3)(,,,04)1(4.
0)1(23,0)(221121212
122>'><'<<<'<'--='<>≥+-=?=++-='x f x x x f x x x x f x x x f x x x x x f x x x x a a a a x a x x f 时当时当时当的符号如下可判断由不妨设故方程有两个不同实根因得方程令
因此1x 是极大值点，2x 是极小值点.
（II ）因故得不等式,0)()(21≤+x f x f
.
0)(]2))[(1(]3))[((.
0)())(1(21212
212122121212
2213231≤++-++--++≤++++-+x x a x x x x a x x x x x x x x a x x a x x 即
又由（I ）知
???
???
?=+=+.3),1(3
22121a x x a x x 代入前面不等式，两边除以（1+a ），并化简得
.
0)()(,2,)(2
1
2.
0252212成立不等式时当因此舍去或解不等式得
≤+≥≤
≥≥+-x f x f a a a a a 点评 本题是２００４年重庆高考第２０题．我们可以看到由于导数的引入，使得三次函数成为高考命题的热点内容之一．
例３ 设函数f x x ln x m =-+（）（）， 其中常数m 为整数． (1) 当m 为何值时, 0f
x ≥（）； (2) 定理： 若函数g(x) 在[a, b ]上连续,且g(a) 与g(b)异号,则至少存在一点
x 0∈(a,b),使g(x 0)=0.
试用上述定理证明:当整数m>1时,方程f(x)= 0,在[e -ｍ-m ,e 2ｍ
-m ]内有两个实根． 讲解 （１）函数f(x)=x-ln(x+m),x ∈(-m,+∞)连续，且
m x x f m
x x f -==+-
=1,0)(,1
1)(''得令． 当x ∈(-m,1-m)时, ()'
0f
x <，f(x)为减函数,
f(x)>f(1-m)；
当x ∈(1-m, +∞)时, ()'
0f
x >，f(x)为增函数,
f(x)>f(1-m)．
根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m 为极小值，而且 对x ∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m ， 故当整数m ≤1时，f(x) ≥1-m ≥0．
(２)由（I ）知，当整数m>1时，f(1-m)=1-m<0, 函数f(x)=x-ln(x+m),在]1,[m m e
m
--- 上为连续减函数．
,
)1()(,10)ln()(异号与时当整数m f m e
f m e m m e m e m e f m
m m m m -->>=+---=------，
由所给定理知，存在唯一的0)(),1,(11=--∈-x f m m e
x m
使，而当整数m>1时，
2222(21)
()3(11)31230,
2
(1211,)m m m m m f e m e m m m m m m --=->+->++
->>?->上述不等式也可用数学归纳法证明 类似地，当整数m>1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在],1[m e m m
--- 上为连续增函数且
f(1-m)与
)(2m e f m -异号，由所给定理知，存在唯一的
0)(],,,1[22=--∈-x f m e m x m 使，
故当m>1时，方程f(x)=0在],[2m e m e
m m
---内有两个实根．
点评 本题是２００４年广东高考第２１题，试题当中的定理是高等数学中的基本知识，这种给出新的情景，由此来考查学习的潜能，需要读者在复习数学多多重视．
例４ （1）),0(∞+∈x 求证
x x x x 11ln 11<+<+； （2）N n ∈ 2≥n 求证 1
1
211ln 13121-+++<<+++n n n ．
讲解 想办法构造函数，妙用导数知识来证明不等式．
（1）令t x =+
11， 由 0>x 知1>t ， 1
1
-=
t x ． 于是，原不等式等价于1
1ln 1t t t
-<<-．
一方面，令 t t t f ln 1)(--=， 则有t
t f 1
1)(-='，当),1(∞+∈t ，有
0)(>'t f 从而可以知道，函数()f t 在),1(∞+∈t 上是递增函数，所以有0)1()(=>f t f ，即得 t t ln 1>- ．
另一面，令 t t t g 11ln )(+-= ，则有 221
11)(t
t t t t g -=-=
'，当),1(∞+∈t 时，有0)(>'t g ，从而可以知道，函数()g t 在),1(∞+∈t 上是递增函数，所以有
0)1()(=>g t g ，即得t
t 1
1ln ->．
综上可知
x
x x x 11ln 11<+<+． （2）联系不等式（１）和（２），就会发现，令1,2,
,1x n =- 时，不等式
x
x x x 1
1ln 11<+<+也成立，于是代入，将所得各不等式相加，得
1
1
2111lg 23ln 12ln 13121-+
++<-+++<+++n n n n ， 即 1
1
211ln 13121-+
++<<+++n n n ． 点评 本题的解答中构造的函数与２００４年高考全国２压卷题中显示的函数
f(x )=ln(1+x )－x 没有什么区别．有着高等数学背景的、如同２００４年江苏卷的压轴题相近的不等式证明题似乎是高考命题的又一新的开挖点，昆明市第一次统测21题就是典型例子．
例５×
过点)0,1(P 作曲线k
x y C =:（),0(+∞∈x ，+∈N k ，1>k ）的切线切点为
1Q ，设1Q 点在x 轴上的投影是点1P ；又过点1P 作曲线C 的切线切点为2Q ，设2Q 点在x 轴
上的投影是点2P ；……；依此下去，得到一系列点 ,,,,21n Q Q Q ，设点n Q 的横坐标是
n a ．
（1）求证：n
n k k a )1
(
-=，+∈N n ； （2）求证：1
1-+≥k n
a n ；
（3）求证：k k a i n
i i -<∑=2
1（注：121
n
i n i a a a a ==+++∑）．
讲解：（１）为了求切线的斜率，只要对k
y x =求导数，得/
1
k y kx
-=．
若切点是(,)k n n n Q a a ，则切线方程是1
()k k n n n y a ka x a --=-． 当1n =时，切线过点(1,0)P ，即1
1110(1)k k a ka a --=-，得11
k
a k =
-； 当1n >时，切线过点11(,0)n n P a --，即1
10()k k n n n n a ka a a ---=-，得
11
n n a k a k -=-． 所以数列{}n a 是首项为
1k k -，公比为1k k -的等比数列，n
n k k a )1
(-=，+∈N n ． （２）应用二项式定理，得
1(
)(1)11
n n
n k a k k ==+--
01
2
201
1111()(
)111
111
n
n n n
n n n n n C C C C C C k k k k k =++++≥+=+
-----至少2项
． （３）记12
112
1n n n n n S a a a a --=
+++
+，则23
1
112
1n n n k n n
S k a a a a +--?=+++
+，
两式错位相减，得
12
112
111
111
1(1)n n n n
k n S k a a a a a a a +--
=+++
-<+++
， 11[1()]
1111n
n k k k k S k k k k
---<<---，
故 2
n S k k <-．
点评：本题综合解析几何、导数、数列、二项式定理、不等式等知识点，在解答时，需要较强的思维能力和排除万难的吃苦精神．将函数与数列相综合也是高考命题的一个关注的方向，而数列的不等式证明又是常考不衰的话题．
针对性演练 1.
)1
2112131211(
lim +-+-+-+++-+∞→n n
n n n n n n 的值为（ ）
． A ．1- B.0 C ．1
2 D.1
2.
??
? ??----→2111411
lim x x x x 的值等于（ ）． Ａ．31-
Ｂ．41 Ｃ．41- Ｄ．3
1
3. 已知n
n n
n n e e n ??
? ??
+=??? ??+∞
→∞→311lim ,(11lim 则为常数）等于（ ）
． Ａ．１ Ｂ．E Ｃ．3
1
e Ｄ．3
e 4.
f /
(3)= —2, f(3)=2，则
=--→3)
(32lim 3
x x f x x （ ）. A.－4 B. 0 C.8
D.不存在
5. 下列函数在x ＝０处连续的是（ ）．
Ａ．??
?>-≤-=)
0(1
)0(1)(x x x x f Ｂ．x x f ln )(=
Ｃ．x x x f =)( Ｄ．??
?
??<=>-=)
0(1)0(0
)
0(1)(x x x x f 6. 如图，正方形上连接等腰直角三角形，直角三角形边上再连接正方形，……，无限重复.
设正方形原面积为,,,321S S S ……，三角形的面积为321,,T T T ，……，当1S 的边长为2时，这些正方形和三角形的面积总和为（ ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
7. 函数()y f x =是定义在R 上的可导函数，则()y f x =为R 上的严格单调增函数是
()0f x '>的（ ）
． Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分又不必要条件 8. 已知函数x x f 2sin )(2
=，则)(x f '等于（ ）．
Ａ．x 4sin 2 B ．x 4cos 2 C ．x 2sin 4 D ．x 2cos 4 9. 已知函数1)6()(2
3
++++=x m mx x x f 既存在极大值又存在最小值，则实数m 的取
值范围是（ ）． Ａ
()2,1-
Ｂ．),6()3,(∞+--∞
Ｃ．()6,3- D. ),2()1,(∞+--∞
10. 点P 是曲线2
ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-的最小距离为（ ）．
A.1
B. 2
C.
2
2
D.3 11. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图所示，则导函数y=f
(x)可能为
（ ）.
12. 若点Ｐ在曲线23
+-=x x y 上移动，经过点Ｐ的切线的倾斜角为α，则α的取值范围
是（ ）．
Ａ．??????2,0π Ｂ．???
?
????????πππ,432, o Ｃ．???
???ππ
,43 Ｃ．??
?
?????
???43,22,0πππ 13. 如图P 1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下端剪去一个半径为
1
2
的半圆后得到图形P 2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P 3，
x
y
O x
y O A x
y O B
x
y
O C
x y O D
f(x)
P
4
，…..，P n ，…,记纸板P n 的面积为n S ，则n n S ∞
→lim = _.
14.
n ,10<
→lim 存在，则=∞
→n n S lim __________.
15. 曲线10632
3-++=x x x y 的切线中，斜率最小的切线方程是 ３x －y －11＝０.
１６．某汽车启动阶段的路程函数为3
2
()25S t t t =-，则2t =秒时，汽车的瞬时速度是 . 4.
17．已知0>c .设P ：0lim =∞
→n
n c ，Q ：当]2,21
[∈x 时，函数c
x x x f 1
1)(>+
=恒成立. 如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围. 18. 已知函数23)(2+-+
=x x x x f ，1,(-∞∈x ]
（1）判断)(x f 的单调性；（2）求)(lim x f x ∞
→
；（3）求出该函数的值域. 19．已知函数).,()(2
3
R b a b ax x x f ∈++-=
（1）若1=a ，函数)(x f 的图象能否总在直线b y =的下方？说明理由；
（2）若函数)(x f 在[0，2]上是增函数，2=x 是方程)(x f =0的一个根，求证：2)1(-≤f ； （3）若函数)(x f 图象上任意不同的两点连线斜率小于1，求实数a 的取值范围. 20．甲方是一农场，乙方是一工厂. 由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x （元）与年产量t （吨）满足函数关系t x 2000=.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元（以下称s 为赔付价格），
（1）将乙方的年利润w （元）表示为年产量t （吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；
导数的概念及运算 一、选择题 1.设曲线y＝e ax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析∵y＝e ax－ln(x＋1)，∴y′＝a e ax－ 1 x＋1 ，∴当x＝0时，y′＝a－1.∵ 曲线y＝e ax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，∴a－1＝2，即a＝3.故选D. 答案 D 2.若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于( ) A.2 B.0 C.－2 D.－4 解析∵f′(x)＝2f′(1)＋2x，∴令x＝1，得f′(1)＝－2， ∴f′(0)＝2f′(1)＝－4. 答案 D 3.(2017·西安质测)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为( ) A.(1，3) B.(－1，3) C.(1，3)和(－1，3) D.(1，－3) 解析f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故选C. 答案 C 4.(2017·石家庄调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A.e B.－e C.1 e D.－ 1 e 解析y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1 x ，设切点为(x0，ln x0)，则 y′|x＝x 0＝ 1 x ，切线方程为y－ln x0＝ 1 x (x－x0)，因为切线过点(0，0)，所
以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1 e . 答案 C 5.(2016·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则 g ′(3)＝( ) A.－1 B.0 C.2 D.4 解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－1 3，∴f ′(3)＝－ 1 3 ，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×? ???? －13＝0. 答案 B 二、填空题 6.(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数， f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________. 解析 f ′(x )＝a ? ? ???ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )，由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ， 又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案 3 7.(2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________. 解析 设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，f (x )＝ln x －3x ， f ′(x )＝1 x －3，f ′(1)＝－2，切线方程为y ＝－2x －1. 答案 2x ＋y ＋1＝0
导数和导数的极限 函数 )(x f 在 0x 点的左导数定义为 )(0x f -'x x f x x f x ?-?+=-→?)()(lim 000 。 函数 )(x f 在 0x 点的右导数定义为 )(0x f +'x x f x x f x ?-?+=+→?)()(lim 000 。 函数 )(x f 在 0x 点导数的左极限定义为 )0(0-'x f )(lim 0 0x f x x '=-→ 。 函数 )(x f 在 0x 点导数的右极限定义为 )0(0+'x f )(lim 0 0x f x x '=+→ 。 在很多情况下，导数的左极限 )(lim 0 0x f x x '-→ 往往就是左导数 )(0x f -' ，导数的右极限 )(lim 00x f x x '+→ 往往就是右导数 )(0x f +' 。 例如，函数 ?????≥<=1 11)(2x x x x x f 。 在 1=x 点的左导数为 )1(-'f 1111lim )1()1(lim 00-=?-?+=?-?+=-→?-→?x x x f x f x x ；导数的左极限为 )(lim 01x f x '-→1)1(lim )1(lim 20101-=-='=-→-→x x x x ，两者是一样的。 在 1=x 点的右导数为 21)1(lim )1()1(lim )1(200=?-?+=?-?+='+→?+→?+x x x f x f f x x ；导数的右极限为 )(lim 01x f x '+→2)2(lim )(lim 0 1201=='=+→+→x x x x ，两者也是一样的。 但有时候，导数的左极限 )(lim 0 0x f x x '-→ 并不等于左导数 )(0x f -' ，导数的右极限 )(lim 00x f x x '+→ 并不等于右导数 )(0x f +' 。
一、极限 极限是考研数学每年必考的内容，在客观题和主观题中都有可能会涉及到平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大。极限的计算是核心考点，考题所占比重最大。熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键。考研教育\网 极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。 四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度；在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效；夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算；单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。 与极限计算相关知识点包括： 1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左、右极限，分段函数的连续性问题关键是分界点处的连续性，或按定义考察，或分别考察左、右连续性； 2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数的定义直接计算或检验，存在的定义是极限存在，求极限时往往会用到推广之后的导数定义式； 3、渐近线（水平、垂直、斜渐近线）； 4、多元函数微分学，二重极限的讨论计算难度较大，多考察证明极限不存在。 二、导数 求导与求微分每年直接考查的知识所占分值平均在10分到13分左右。常考题型：（1）利用定义计算导数或讨论函数可导性；（2）导数与微分的计算（包括高阶导数）；（3）切线与法线；（4）对单调性与凹凸性的考查；（5）求函数极值与拐点；（6）对函数及其导数相关性质的考查。 对于导数与微分，首先对于它们的定义要给予足够的重视，按定义求导在分段函数求导 中是特别重要的。应该熟练掌握可导、可微与连续性的关系。求导计算中常用的方法是四则运算法则和复合函数求导法则，一元函数微分法则中最重要的是复合函数求导法及相应的一阶微分形式不变性，利用求导的四则运算法则与复合函数求导法可求初等函数的任意阶导数。幂指函数求导法、隐函数求导法、参数式求导法、反函数求导法及变限积分求导法等都是复合函数求导法的应用。 导数计算中需要掌握的常见类型有以下几种： 1、基本函数类型的求导； 2、复合函数求导； 3、隐函数求导，对于隐函数求导，不要刻意记忆公式，记住计算方法即可，计算的时候要注意结合各种求导法则；
导数的概念及运算 一、填空题 1.设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为________. 解析 由f (x )＝x ln x ，得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. 答案 e 2.设y ＝x 2e x ，则y ′＝________. 解析 y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝()2x ＋x 2 e x . 答案 (2x ＋x 2)e x 3.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于________. 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 答案 －1 4.(2015·苏北四市模拟)设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝________. 解析 由y ′＝2ax ，又点(1，a )在曲线y ＝ax 2上，依题意得k ＝y ′|x ＝1＝2a ＝2，解得a ＝1. 答案 1 5.(2015·湛江调研)曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为________. 解析 y ′|x ＝0＝(－2e －2x )|x ＝0＝－2，故曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线方程为y ＝－2x ＋2，易得切线与直线y ＝0和y ＝x 的交点分别为(1，0)，? ?? ?? 23，23，故围 成的三角形的面积为12×1×23＝1 3. 答案 13 6.(2015·长春质量检测)若函数f (x )＝ln x x ，则f ′(2)＝________. 解析 ∵f ′(x )＝1－ln x x 2，∴f ′(2)＝1－ln 2 4.
高等数学习题库 淮南联合大学基础部 2008年10月
第一章 映射，极限，连续 习题一 集合与实数集 基本能力层次： 1: 已知：A ＝{x|1≤x ≤2}∪{x|5≤x ≤6}∪{3},B={y|2≤y ≤3} 求：在直角坐标系内画出 A ×B 解：如图所示A ×B ＝{（x,y ）| ,x A y B ∈∈ }. 2： 证明：∵ P 为正整数，∴p ＝2n 或p ＝2n+1，当p ＝2n+1时，p 2＝4n 2+4n+1，不能被2整除，故p ＝2n 。即结论成立。 基本理论层次： 习题二 函数、数列与函数极限 基本能力层次 1： 解： 2： 证明：由得cxy ay ax b -=+即 ay b x cy a += -，所以 ()x f y = 所以命题成立
3： （1）2 2x y -= （2）lg(sin )y x = （3 []y x = （4）0,01,0x y x ≥?? =??取N ＝[1 ω ]，则当n>N 时,就有 11|1|n n n ω--=<有定义变知1lim 1n n n →∞-=成立 5：求下列数列的极限 （1）lim 3n n n →∞ （2）222 3 12lim n n n →∞+++ （3） （4）lim n 解：（1） 233n n n n <,又 2lim 03n n x →∞=,所以 0lim 03n n n →∞≤≤ , 故：lim 3n n n →∞＝0 （2）由于 222 3 312(1)(21)111 (1)(2)6n n n n n n n n n ++ +++= =++ 又因为：1111 lim (1)(2)63 n n n n →∞++=,所以：2223121 lim 3 n n n →∞+++ （3）因为： 所以： （4） 因为：111n n ≤+，并且1 lim(1)1n n →∞+=, 故由夹逼原理得 1n =
导数极限知识总结——仅作了解切忌深究 一．洛必达法则是什么（鄙人觉得高中数学神器） 洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。 在导数问题的3）问中通常会出现形似 的式子，而一般会出现求其导数，极值，甚至是某一点极限的问题，洛必达法则就是解决这一类而且不能用普通导数解决的问题。 引入：试求 试求 x x x x x sin sin lim +-∞→ 显而易见，这两个极限在以往的算法中一个是 式，一个则是∞ ∞ ，无法求导，这时就需要用到高端大气上 档次的洛必达法则了。 1.使用条件 定理1 若函数)(x f 与函数)(x g 满足下列条件： （1）在a 的某去心邻域)(x v 内可导，且0)('≠x g （2）0)(lim 0 =+→x f a x 0)(lim 0 =+→x g a x （3）A x g x f a x =+→)(')('lim 0 则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→) (') ('lim )()(lim 00（包括A 为无穷大的情形） 定理2 若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件 （1）在a 的某去心邻域)(x v 内可导，且0)('≠x g （2）∞=+→)(lim 0 x f a x ∞=+→)(lim 0 x g a x （3） A x g x f a x =+→)(')('lim 则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→) (') ('lim )()(lim 00（包括A 为无穷大的情形） 此外法则所述极限过程对下述六类极限过程均适用： -∞→+∞→∞→→→→- + x x x x x x x x x ,,,,,000。 简而言之，当满足 或 ∞ ∞的不定式时，A x g x f x g x f a x a x ==+→+→) (')('lim )() (lim 0000 PS ：一次求导不行仍未不定式，则多次求导 于是上面的两个式子可以这样解 例一． = = = 例二．1)sin sin (lim cos 1cos 1lim sin sin lim -=-=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x (此为错解)
学号：0 学年论文 求极限的方法总结 Method of Limit 学院理学院专业班级 学生指导教师（职称） 完成时间年月日至年月日
摘要 极限的概念是高等数学中最重要、最基本的概念之一。许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的。因此掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的。但求极限的方法因题而异，变化多端，有时甚至感到变幻莫测无从下手，通过通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。本文主要对了数学分析中求极限的方法进行一定的总结，以供参考。 关键词：极限洛必达法则泰勒展开式定积分无穷小量微分中值定理
Abstract The concept of limit is the most important mathematics,one of the most basic important concepts such as continuity,derivative,definite integral,infinite series and generalized integrals and are defined by the mater the methods the Limit learn mathematics integrals and are defined by the limit varies by title,varied,anf sometimes even impossible to start very unpredictable,and summarized through the adoption,we set out the requirements of some commonly used this paper,the mathematical analysis of the method of seeking a certain limit a summary for reference. Keyword:Limit Hospital's Rule Taylor expansion Definite integral Infinitesimal Mean Value Theorem
导数概念与计算 1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（ ） A ．1- B ．2- C ．2 D ．0 2．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为（ ） A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,1) D ．(1,0) 3．已知()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ） A ．2e B ．e C ． ln 2 2 D ．ln 2 4．曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（ ） A ．1 B ．2 C ．e D ．1e 5．设0()s i n f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，…，1()'()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x = 等于（ ） A ．sin x B ．sin x - C ．cos x D ．cos x - 6．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =（ ） A ．e - B ．1- C ．1 D ．e 7．曲线ln y x =在与x 轴交点的切线方程为________________． 8．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________． 9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式： （1）1 ()2ln f x ax x x =-- （2）2 ()1x e f x ax =+ （3）21 ()ln(1)2 f x x ax x =--+ （4）cos sin y x x x =- （5）1cos x y xe -= （6）1 1 x x e y e +=-
知识网 数学归纳法、数列的极限与运算1．数学归纳法： (1)由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法. 归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法. ①不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出一般结论的推理方法. ②完全归纳法: 根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法 数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律, 用数学归纳法证明结论. (2)数学归纳法步骤: ①验证当n取第一个 n时结论 () P n成立; ②由假设当n k =（ , k N k n + ∈≥）时,结论() P k成立，证明当1 n k =+时,结论(1) P k+成立; 根据①②对一切自然数 n n ≥时，() P n都成立. 2.数列的极限 (1)数列的极限定义:如果当项数n无限增大时,无穷数列{}n a的项n a无限地趋近于某个常数a(即 n a a -无限地接近于),那么就说数列 {} n a以a为极限,或者说a是数列{} n a的极限.记为 lim n n a a →∞ =或当n→∞时， n a a →. (2)数列极限的运算法则: 如果{}n a、{}n b的极限存在，且lim,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==， 那么lim() n n n a b a b →∞ ±=±；lim(); n n n a b a b →∞ ?=?lim(0) n n n a a b b b →∞ =≠ 特别地，如果C是常数，那么lim()lim lim n n n n n C a C a Ca →∞→∞→∞ ?=?=. ⑶几个常用极限: ①lim n C C →∞ =（C 为常数）②lim0 n a n →∞ = k （,a k 均为常数且N* ∈ k） ③ （1) 1 lim0(1) (1或1) 不存在 n n q q q q q ④首项为 1 a，公比为q（1 q<）的无穷等比数列的各项和为lim 1 n n a S q →∞ = - . 注：⑴并不是每一个无穷数列都有极限. ⑵四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. 数 学 归 纳 法 、数 列 的 极 限 与 运 算 例 1. 某个命题与正整数有关，若当) (* N k k n∈ =时该命题成立，那么可推得当 = n1 + k时该命题也成立，现已知当5 = n时该命题不成立，那么可推得（） (A)当6 = n时，该命题不成立(B)当6 = n时，该命题成立 (C)当4 = n时，该命题成立(D)当4 = n时，该命题不成立 例2.用数学归纳法证明:“)1 ( 1 1 1 2 1 2≠ - - = + + + + + +a a a a a a n n ”在验证1 = n时，左端 计算所得的项为 ( ) (A)1 (B)a + 1 (C)2 1a a+ + (D)3 2 1a a a+ + + 例3.2 2 21 lim 2 n n n →∞ - + 等于( ) (A)2 (B)－2 (C)－ 2 1 (D) 2 1 例4. 等差数列中，若 n n S Lim ∞ → 存在，则这样的数列( ) (A)有且仅有一个(B)有无数多个 (C)有一个或无穷多个(D)不存在 例5.lim(1) n n n n →∞ +-等于( ) (A) 1 3 (B)0 (C) 1 2 (D)不存在 例6.若2 012 (2)n n n x a a x a x a x +=++++， 12 n n A a a a =+++，则2 lim 83 n n n A A →∞ - = + ( ) (A) 3 1 -(B) 11 1(C) 4 1(D) 8 1 - 例7. 在二项式(13)n x +和(25)n x+的展开式中，各项系数之和记为,, n n a b n是正整 数，则 2 lim 34 n n n n n a b a b →∞ - - =. 例8. 已知无穷等比数列{}n a的首项N a∈ 1 ，公比为q，且 n n a a a S N q + + + = ∈ 2 1 , 1， 且3 lim= ∞ → n n S，则= + 2 1 a a_____ . 例9. 已知数列{ n a}前n项和1 1 (1) n n n S ba b =-+- + , 其中b是与n无关的常数，且0 ＜b＜1，若lim n n S →∞ =存在，则lim n n S →∞ =________． 例10.若数列{ n a}的通项21 n a n =-，设数列{ n b}的通项 1 1 n n b a =+，又记 n T是数 列{ n b}的前n项的积． （Ⅰ）求 1 T， 2 T， 3 T的值；（Ⅱ）试比较 n T与 1+ n a的大小，并证明你的结论． 例 1.D 2.C 例 3.A 例 4.A例 5.C将分子局部有理化，原式 =11 lim lim 2 11 11 n n n n n n →∞→∞ == ++ ++ 例6.A例7. 1 2 例8. 3 8 例9.1 例10(见后面)
导数第一课时 学习目标： 1.理解极限的含义 2.体会生活中的平均变化率与瞬时变化率，为导数概念作铺垫 学习过程： 导数的引入步骤一：补充极限 一：感受极限 1． 已知数列： ,1,,31,21, 1n 考察当n 越来越大时，数列的项n 1的取值的变化情况 2． 已知函数x y 1=，考察当x 越来越大时，函数x y 1=的取值的变化情况 考察当x 越来越接近2时，函数x y 1=的取值的变化情况 3．已知函数12+=x y ，考察当x 越来越接近0时，函数12+=x y 的取值的变化情况 二：引入极限符号 1．01lim =∞→n n 2． 01lim =∞→x x ， 211lim 2=→x x 3．1)1(20lim =+→x x 三：极限的运算法则 设b x g a x f x x x x ==→→)(,)(lim lim 00 ，则有： 1． b a x g x f x x ±=±→)]()([lim 0 2．b a x g x f x x ?=?→)]()([lim 0 3．)0()()(lim 0≠=→b b a x g x f x x 导数的引入步骤二：变化率问题 一：回顾熟悉的变化率 1． 位移的变化率是什么？ 2． 速度的变化率是什么？
3． 位移的平均变化率是什么？ 4． 速度的平均变化率是什么？ 5． 速度与平均速度有何联系？ 在自由落体运动中，运动方程为221gt s =，则v t s t t s s v t t t t 001212lim lim lim 12→?→?→=??=--= 二：生活中的变化率问题 1． 气球的平均膨胀率与膨胀率 2． 高台跳水的平均速度与速度 已知105.69.4)(2++-=t t t h ， （1）计算运动员在49 650≤≤t 这段时间内的平均速度 （2）计算运动员在1s 末的速度 三：函数的变化率 1． 什么叫函数)(x f 从1x 到2x 的平均变化率？ 2． 什么叫函数在0x x =处的瞬时变化率？
第十四章 极限与导数 一、基础知识 1．极限定义：（1）若数列{u n }满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|u n -A|<ε成立（A 为常数），则称A 为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限，记为 )(lim ),(lim x f x f x x -∞ →+∞ →，另外)(lim 0 x f x x +→=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A ，称右 极限。类似地)(lim 0 x f x x -→表示x 小于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。 2．极限的四则运算：如果0 lim x x →f(x)=a, 0 lim x x →g(x)=b ，那么0 lim x x →[f(x)±g(x)]=a ±b, lim x x →[f(x)?g(x)]=ab, 0 lim x x →).0()()(≠=b b a x g x f 3.连续：如果函数f(x)在x=x 0处有定义，且0 lim x x →f(x)存在，并且0 lim x x →f(x)=f(x 0)，则称f(x)在x=x 0处连续。 4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。 5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时（Δx 充分小），因变量y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0)).若x y x ??→?0lim 存在，则称f(x)在x 0 处可导，此极限值称为f(x)在点x 0处的导数（或变化率），记作'f (x 0)或0'x x y =或 x dx dy ， 即0 00) ()(lim )('0 x x x f x f x f x x --=→。由定义知f(x)在点x 0连续是f(x)在x 0可导的必要条件。 若f(x)在区间I 上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点x 0处导数'f (x 0)等于曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率。 6．几个常用函数的导数：（1）)'(c =0（c 为常数）；（2）1 )'(-=a a ax x （a 为任意常数）；（3） ;cos )'(sin x x =(4)x x sin )'(cos -=;(5)a a a x x ln )'(=;(6)x x e e =)'(;（7）)'(log x a x x a log 1= ；（8）.1 )'(ln x x = 7．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x 处可导，且u(x)≠0,则 （1）)(')(')]'()([x v x u x v x u ±=±；（2）)(')()()(')]'()([x v x u x v x u x v x u +=；（3） )(')]'([x u c x cu ?=（c 为常数）；（4） )()(']')(1[2x u x u x u -=；（5）) () ()(')(')(]')()([2x u x v x u x v x u x u x u -=。
一、函数、极限、连续练习题 1．01lim sin x x x →?=( ). A ．1 B ． 0 C ．不存在 D ．∞ 2. 设()f x 的定义域是[0,1]，则(tan )f arc x 的定义域为( )． A.[0,1] B.[0,]4π C.[0,tan1] D.(,)22 ππ- 3．1()3arctan f x x x =-+的连续区间为( ). A ．(,3)-∞ B ．(,3]-∞ C ．(,0)(0,3]-∞和 D ．(,0)(0,3)-∞和 4．当x →+∞时，对数函数ln x 、幂函数()n x n 为正整数、指数函数(0)x e λλ> 增大速度最快的是( )． A. ln x B. n x C . x e λ D. 一样快 5．当0x →时，2 cos x x x e e -是n x 的同阶无穷小，则n 为( )． A ．5 B ．4 C ．52 D ．2 6.已知2 lim()01 x x ax b x →∞--=+，其中a,b 是常数，则（ ）。 ()1,1()1,1()1,1()1,1A a b B a b C a b D a b ===-===-=-=- 7. 设函数22132 x y x x -=-+，则1x =是它的( )． A ．跳跃间断点 B ．可去间断点 C ．无穷间断点 D ．振荡间断点 8．设函数11,0()ln(1),10 x e x f x x x -??>=??+-<≤? 则0x =是( ). A ．可去间断点 B ．跳跃间断点 C ．无穷间断点 D ．振荡间断点 9.设()f x 在2x =连续，且2()3lim 2 x f x x →--存在，则(2)f =________. 10.设22,0,0(),()2,0,0x x x x g x f x x x x x -≤?-≥?? ，则[()]g f x =_____________.
第1讲 导数的概念及其运算 1.已知函数3 2 ()32f x ax x =++,若f′(-1)=4,则a 的值等于( ) A.193 B.163 C.133 D.103 【答案】 D 【解析】 f′2 ()36x ax x f =+,′(-1)=3a 10643 a -=,=. 2.设y=-2e x sinx,则y′等于( ) A.-2e x cosx B.-2e x sinx C.2e x sinx D.-2e (x sinx+cosx) 【答案】 D 【解析】 ∵y=-2e x sinx, ∴y′=(-2e )x ′sinx+(-2e )(x sinx)′ =-2e x sinx-2e x cosx =-2e (x sinx+cosx). 3.已知3 270()x m f x mx m <,=+,且f′(1)18≥-,则实数m 等于( ) A.-9 B.-3 C.3 D.9 【答案】 B 【解析】 由于f′2 27()3x mx m =+,故f′27(1)183m m ≥-?+≥ -18 , 由m<0得2 27318318270m m m m +≥-?++≤?2 3(3)m +0≤,故m=-3. 4.设曲线11 x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a 等于( ) A.2 B.12 C.12 - D.-2 【答案】 D 【解析】 因为y′22(1) x -= ,-所以切线斜率k=y′|3 x ==1 2-,而此切线与直线ax+y+1=0垂直, 故有()1k a ?-=-,因此12a k ==-. 5.已知12()f x =sin2x+sinx,则f′(x)是( ) A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值又有最小值的偶函数 C.仅有最大值的偶函数 D.非奇非偶函数 【答案】 B 【解析】 f′12()x =cos 22x ?+cosx=cos2x+cosx =2cos 21x -+cosx=2(cos 29148)x +-. 故f′(x)是既有最大值2,又有最小值98-的偶函数,选B 项.
极 限 的 概 念（4月27日） 教学目的：理解数列和函数极限的概念； 教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限； 教学难点：数列和函数极限的理解 教学过程： 一、实例引入： 例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。（1）求第n 天剩余的木棒长度n a (尺)，并分析变化趋势；（2）求前n 天截下的木棒的总长度n b (尺)，并分析变化趋势。 观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数n 无限增大时，数列的项n a 无限趋近于某个常数A （即A a n -无限趋近于0）。n a 无限趋近于常数A ，意指“n a 可以任意地靠近A ，希望它有多近就有多近，只要n 充分大，就能达到我们所希望的那么近。”即“动点n a 到A 的距离A a n -可以任意小。 二、新课讲授 1、数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．． 某个常数A （即A a n -无限趋近于0） ，那么就说数列}{n a 的极限是A ，记作 A a n n =∞ →lim 注：①上式读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于A ”。“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思。A a n n =∞ →lim 有时也记作当n →∞时，n a →A ②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________ ③思考：是否所有的无穷数列都有极限？ 例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由 （1）1， 21，31，…，n 1，… ；（2）21，32，43，…，1 +n n ，…；
导数的概念与计算练习 题带答案 公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-
导数概念与计算 1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（ ） A ．1- B ．2- C ．2 D ．0 2．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点 P 的坐标为（ ） A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,1) D ．(1,0) 3．已知()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ） A ．2e B ．e C ．ln 22 D ．ln 2 4．曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（ ） A ．1 B ．2 C ．e D ．1e 5．设0()sin f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，…，1()'()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x =等 于（ ） A ．sin x B ．sin x - C ．cos x D ．cos x - 6．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =（ ） A ．e - B ．1- C ．1 D ．e 7．曲线ln y x =在与x 轴交点的切线方程为________________． 8．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________． 9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式： （1） 1 ()2ln f x ax x x =-- （2） 2 ()1x e f x ax = + （3）21()ln(1)2 f x x ax x =--+ （4）cos sin y x x x =- （5）1cos x y xe -= （6）1 1 x x e y e +=-
第十二章 极限和导数 一、数学归纳法： 1、数学归纳法的步骤：“两步一结论”. 2、数学归纳法的应用：主要用于证明与自然数有关的恒等式和不等式. 3、重要的数学思想和方法：“归纳—猜想—证明”. 习题：① 用数学归纳法证明：1111111 1 1234 21212 2n n n n n - +-++ -=+++ -++. ② 用数学归纳法证明： 111 1 122334 (1) n n n +++
二、极限 1、数列极限： （1）公式：lim n C C →∞ =（C 为常数）；1 lim 0p n n →∞=（p>0）； 0 1lim 1 1 11n n q q q q q →∞ ?=-? 不存在或. （2）运算法则： 若数列{}n a 和{}n b 的极限都存在，则{}n a 和{}n b 的和、差、积、商的极限等于{}n a 和{}n b 的极限的和、差、积、商. 例题：① 将直线1:10l x y +-=、2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-=（* n N ∈，2n ≥）围成的三角形面积记为n S ，则lim n n S →∞ = . ② 已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111lim 111p q n n n ∞ ??+- ???=??+- ??? → ． 习题：① 135(21) lim (21) n n n n →∞++++-=+ . ② 设0 考研数学极限与导数复习方法 我们在进行考研数学的备考复习时，需要掌握好极限与导数的复习方法。小编为大家精心准备了考研数学极限与导数复习秘诀，欢迎大家前来阅读。 考研数学极限与导数复习技巧 极限 极限是考研数学每年必考的内容，在客观题和主观题中都有可能会涉及到平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大。极限的计算是核心考点，考题所占比重最大。熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键。 极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极 限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。 四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练 的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效;夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行 计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则 凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来 证明数列极限存在，并求递归数列的极限。 与极限计算相关知识点包括：1、连续、间断点以及 间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左、右极限，分段函数的连续性问题关键是分界点处的连续性，或按定义考察，或分别考察左、右连续性;2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数的定义直接计算或检验，存在的定义是极限存在，求极限时往往会用到推广之后的导数定义式;3、渐近线(水平、垂直、斜渐近线);4、多元函数微分学，二重极限的讨论计算难度较大，多考察证明极限不存在。 导数 求导与求微分每年直接考查的知识所占分值平均在 10分到13分左右。常考题型：(1)利用定义计算导数或讨论 函数可导性;(2)导数与微分的计算(包括高阶导数);(3)切线与法线;(4)对单调性与凹凸性的考查;(5)求函数极值与拐点;(6)对函数及其导数相关性质的考查。 函数极限的运算法则（4月30日） 教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限 教学重点：运用函数极限的运算法则求极限 教学难点：函数极限法则的运用 教学过程： 一、引入： 一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如o x x x x x x o ==→∞→lim ,01lim .若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算. 二 、新课讲授 限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）. 说明：当C 是常数，n 是正整数时，)(lim )]([lim x f C x Cf o o x x x x →→= n x x n x x x f x f o o )](lim [)]([lim →→= 这些法则对于∞→x 的情况仍然适用. 三 典例剖析 例1 求)3(lim 2 2x x x +→ 例2 求1 12lim 231++-→x x x x 例3 求4 16lim 24--→x x x 分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数 4 162--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，由此即可求出函数的极限. 例4 求1 33lim 22++-∞→x x x x 分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2 x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。 总结：),(lim ,lim *N k x x C C k o k x x x x o o ∈==→→ )(01lim ,lim *N k x C C k x x ∈==∞→∞→考研数学极限与导数复习方法
高中数学教案：极限与导数函数极限的运算法则
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