上海高考高三数学易错题

上海市2010届高三数学易错题专练（一）整理：卢立臻在高考备考的过程中，熟知这些解题的小结论，防止解题易误点的产生，对提升数学成绩将会起到很大的作用。

1． 理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：弄清元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ；如：)}(|{x f y x =、)}(|{x f y y =、)}(|),{(x f y y x =、}0)(|{=x f x 、}0)(|{>x f x 是几个不同的集合。

要掌握它们的区别和联系。

2． 数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；3.已知集合A 、B ，当∅=⋂B A 时，你是否注意到“极端”情况：∅=A 或∅=B ；求集合的子集时是否忘记∅？例如：（1）()()012222<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取值范围，你讨论了a ＝2的情况了吗？（2）已知集合},121{},52{-<<+=<<-=p x p x B x x A 若A B A =⋃，则实数p 的取值范围是 。

（3≤p ）4.对于含有n 个元素的有限集合M , 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n {可以从哪几个角度来推导 (1)二项式展开式系数(2)排列组合}5.反演律：B C A C B A C I I I ⋂=⋃)(，B C A C B A C I I I ⋃=⋂)(.你会用补集的思想解决有关问题吗？(如：已知下列三个方程03442=+-+a ax x ，0)1(22=+-+a x a x ，0222=-+a ax x 中，至少有一个方程有实数解，求参数a 的取值范围。

)6．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。

本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的66个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。

【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。

例1、 设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B =I ，求实数a 组成的集合的子集有多少个？【易错点分析】此题由条件A B B =I 易知B A ⊆，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a 值产生漏解现象。

解析：集合A 化简得{}3,5A =，由A B B =I知B A ⊆故（Ⅰ）当B φ=时，即方程10ax -=无解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当Bφ≠时，即方程10ax -=的解为3或5，代入得13a =或15。

综上满足条件的a 组成的集合为110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故其子集共有328=个。

【知识点归类点拔】（1）在应用条件A ∪B ＝Ｂ⇔A ∩B ＝Ａ⇔ＡＢ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。

有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：(){}22,|4A x y xy =+=，()()(){}222,|34B x y x y r =-+-=，其中0r >,若A B φ=I 求r的取值范围。

上海高考数学易错总结归纳高考是每位学子都必须经历的一场考试，而数学作为其中的一门科目，在许多考生眼中颇具挑战性。

上海地区的高考数学试卷也以其难度相对较高而著称。

在准备高考数学时，掌握易错知识点和题目的解题技巧成为考生们必不可少的任务。

本文将对上海高考数学易错题目进行总结归纳，并提供解题技巧，帮助考生们更好地备考。

一、函数与方程在数学的函数与方程部分，常见的易错题主要包括解方程、函数的性质以及图像的性质等方面。

1. 解方程解方程作为高中数学的基本知识点，也是数学高考试卷中的常见题型。

常见的易错点包括变量的变换不当、方程两边运算错误和未检查解的合法性等。

为避免这些错误，考生需要牢记以下几点：- 对于含有绝对值的方程，需分段讨论，并分别解方程，最后检查解的合法性。

- 在方程的两边进行运算时，应小心不要遗漏项或运算错误。

- 解得的解应代入原方程进行检验。

2. 函数的性质函数的性质也是考试中常见的易错点。

在考察函数的单调性、最值等问题时，考生需要注意以下几点：- 单调性：当考察函数的单调性时，需要注意函数的定义域、导数变号以及函数值大小等问题。

- 最值：求函数的最值时，要考虑函数的定义域，并使用导数或者其他方法求出最值点。

3. 图像的性质在考察函数图像时，考生需要了解不同函数图像的性质，包括对称性、渐近线、拐点等。

常见易错点包括对图像的性质理解不准确以及计算错误等。

为避免这些错误，考生需要掌握以下几点：- 对称性：掌握正、偶函数的对称性，以及对称轴的计算方法。

- 渐近线：了解水平渐近线、垂直渐近线以及斜渐近线等的计算方法。

- 拐点：掌握拐点的概念，以及计算拐点的方法。

二、解析几何在解析几何部分，常见的易错题主要包括坐标计算、距离计算、平面与直线的交点计算等。

1. 坐标计算坐标计算是解析几何中的常见题目，包括线段中点坐标、圆心坐标等。

为避免坐标计算的错误，考生需要牢记以下几点：- 坐标关系：掌握两点坐标关系的计算方法，包括两点间的距离、中点坐标等。

[高三数学]上海高考数学易错题讲义第一部分集合1.在集合运算中一定要分清代表元的含义.基准1、未知集p?{y|y?x,x?r},q?{y|y?2x,x?r}，谋p?q.【分析：集合p、q分别表示函数y?x2与y?2x在定义域r上的值域，所以p?[0,??)， q?(0,??)，p?q?(0,??).】例2、设a集合1ayy?2，x?r?x?1??，b?xy?x?1，x?r??，则b?___________.【分析：子集p、q分别则表示函数y?x2与y?2x在定义域r上的值域，所以p?[0,??)，q?(0,??)，p?q?(0,??).】2.对于空集?的探讨不要遗漏.例3、若a?{x|x2?a},b?{x|x?2}且a?b??，求a的取值范围.【分析：子集a有可能就是空集.当a?0时，a??，此时a?b??设立；当a?0时，a?(?a,a)，若a?b??，则a?2，有0?a?4.综上知，a?4.注意：在集合运算时必须特别注意学会转变a?b?a?a?b等.】例4、已知集合a?xx2?3x?2?0，x?r，b?xx2?mx?2?0，x?r，a则m的取值范围是_________.【分析：ab?b?b?a，表明b中的求解一定就是a中的求解或者就是难解】例5、【2021年秋季理科】a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0的解集分别为集合m和n，那么“b?b，a1b1c1??”是“m=n”的a2b2c2（）a．充分非必要条件.c．充要条件b．必要非充分条件.d．既非充份又非必要条件.【分析：不要忘记两个不等式均无解】【答案：d】3.区间端点的权衡探讨.例6、【长宁区(文)】已知集合a?xlog2x?2,b?(??,a)，若a?b则实数a的取值范围是_________【答案：?4,】基准7、【闵行2021一模第12题】未知条件p:x?1?2；条件q:x?a，若p就是q的充份不必要条件，则a的值域范围就是．【答案：?1,】br?例8、【2021年上海秋季高考】已知集合a??x|x?1且a??，b??x|x?a?，则实数a的值域范围就是______________________.【答案：a?1】x?k?0，x?r?，且a基准9、若子集a?xx2?2x?8?0，x?r，b??x?x?k?1?，b，则实数k的值域范围就是_______.【答案：(??,?4](1,??)】4.充份必要条件的推论36a例10、【2021年春季高考】若a1,a2,a3均为单位向量，则1??3,3??是a1?a2?a33,6的（）ａ．充分不必要条件ｂ．必要不充分条件ｃ．充份必要条件ｄ．既不充份又不必要条件【答案：b】基准11、【松江区15】设a,b?r，则“a?b?2且ab?1”就是“a?1且b?1”的a．充份不必要条件b．必要不充分条件c．充要条件d．既不充分又不必要条件【答案：b】基准12、【10年一模宝山区15】以下四个命题中的假命题就是……（）（a）“直线a、b就是异面直线”的必要不充分条件就是“直线a、b不平行”；（b）直线“a?b”的充份不必要条件就是“a旋转轴b所在的平面”；（c）两直线“a//b”的充要条件就是“直线a、b与同一平面?阿芒塔角成正比”；（d）“直线a//平面?”的必要不充分条件就是“直线a平行于平面?内的一条直线”．【答案：c】第二部分不等式1.求解分式不等式时特别注意等价变形例1、不等式x?1?0的边值问题就是_______________．x?4【答案：(?4,?1]】例2、不等式2?x?2的边值问题就是_______________．x?4【答案：(?4,?2]】例3、【2021学年青浦区一模第11题)设函数f(x)的定义域为[?4,4]，其图像如下图，那么不等式f(x)?0的解集为____________.sinxy-4-2o14x【答案：[?4,??)[?2,0)[1,?)4】2.特别注意对不等式最低次项系数的探讨（是不是为0，推论正负号）例1、若关于x的不等式kx2?kx?2?0的解集为r，则实数k的取值范围是___________.【答案：{x|?8?x?0}】基准2、【2021年徐汇区一模第21题】已知关于x的不等式(kx?k?4)(x?4)?0，其中k?r。

上海市闵行区高考数学易错易混填空题精粹填空题含答案有解析1．数列{}n a 满足11a =，11(1)n n a a n n --=-（2n 且*n N ∈），则数列{}n a 的通项公式为n a =________.2．定义运算a b ad bc c d=-，如果sin 1()2cos 5x f x x-=，并且不等式()f x m ＜对任意实数x 恒成立，则实数m 的范围是______.3．已知向量a 、b 满足1a =，4b =，且2a b ⋅=，则a 与b 的夹角为________.4．已知{}n a 是等比数列，且0n a >，243546225a a a a a a ++=，那么35a a +=________________． 5．若223312cos 2cos 2cos ααα+++99992cos 0α++=，()0,απ∈，则α=__________．6．= .7．设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，下列四个命题正确的是________． ①若l ⊥β，则α⊥β；②若α⊥β，则l ⊥m ；③若l ∥β，则α∥β；④若α∥β，则l ∥m. 832，则该三棱锥的外接球的表面积_____． 9．△ABC 中，3sin 5A =，5cos 13B =，则cosC =_____． 10．函数1()ln f x x=的定义域记作集合D ，随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子的每个面上分别标有点数1，2，⋅⋅⋅，6），记骰子向上的点数为t ，则事件“t D ∈”的概率为________.11．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数．当0x ≥时，()()()2502161122xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，关于x 的方程()()20f x af x b ⎡⎤++=⎣⎦，,a b ∈R 有且仅有5个不同实数根，则实数+a b 的取值范围是_____．12．已知三个事件A ，B ，C 两两互斥且0.30.60.2()()()P A P B P C ===，，，则P(A ∪B ∪C)=__________. 13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若553S π=，则24cos()a a +=_______ 14．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 若2222190a b c +=，则tan tan tan (tan tan )A BC A B ⋅⋅+的值为__________.15．有63a 2a ，其余4根均为a ，用它们搭成三棱锥，则其中两条较长的棱所在的直线所成的角的余弦值为 . 16．直线30x y -+=的倾斜角为__________．17．已知一组数据1x ，2x ，，n x 的方差为5，则这组数据132x +，232x +，，32n x +的方差为______．18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若22tan tan a B b A =，则ABC ∆为______三角形．19．（6分）在等差数列{}n a 中，若4670,10a a a =+=，则7a =__________．20．（6分）在z 轴上有一点M ，点M 到点(1,0,2)A 与点(1,3,1)B -的距离相等，则M 点坐标为____________.21．（6分）已知,,a b c 为ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量()3,1m=-，()cos ,sin n A A =．若m n ⊥，且cos cos sin a B b A c C +=，则B=22．（8分）已知函数()()()sin 0,0,f x A x A x R ωϕω=+>>∈在一个周期内的图象如图所示，则()y f x =的解析式是______.23．（8分）已知()()24C 13AB A ==，，，，则AB BC ⋅=________． 24．（10分）不等式21200210321x x +-≥的解集为________. 25．（10分）如图，在ABC 中，7AB =，5AC =，点D 为BC 的中点，设BAD ∠=α，CAD β∠=.sin sin αβ的值为___________.26．（12分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，6350S S -=,则7a 的值为______．27．（12分）将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ACD ⊥平面ABC ，则折起后B ，D 两点的距离为________.28．已知正方形ABCD ，向正方形ABCD 内任投一点P ，则PAB ∆的面积大于正方形ABCD 面积四分之一的概率是______．29．某学校高一年级举行选课培训活动，共有1024名学生、家长、老师参加，其中家长256人．学校按学生、家长、老师分层抽样，从中抽取64人，进行某问卷调查，则抽到的家长有___人30．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 作圆222x y b +=的切线，若两条切线互相垂直，则ab=_____________． 31．若不等式221ax x ax -<-的解集为空集，则实数a 的能为___________.32．在Rt ABC ∆中，30A ∠=︒，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于点M ，则AM AC >的概率为______．33．设x 为实数，[]x 为不超过实数x 的最大整数，如[]2.662=，[]2.663-=-.记{}[]x x x =-，则{}x 的取值范围为[)0,1，现定义无穷数列{}n a 如下：{}1a a =，当0n a ≠时，11n n a a +⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当0n a =时，10n a +=，若a =2019a =________.34．求22222sin 1sin 2sin 3sin 88sin 89︒︒︒︒︒＋＋＋＋＋的值为________．35．函数1sin y x=+的定义域为__________；参考答案填空题含答案有解析 1．12n-【解析】 【分析】利用累加法和裂项求和得到答案. 【详解】1111(1)1n n a a n n n n--==---11223211()()()...()n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+1111111...1212112n a n n n n n=-+-++-+=---- 当1n =时满足 故答案为12n- 【点睛】本题考查了数列的累加法，裂项求和法，意在考查学生对于数列公式和方法的灵活运用. 2．()3,+∞ 【解析】 【分析】先由题意得到()()2cos 3sin ϕ=+=+f x x x x ，根据题意求出()f x 的最大值，即可得出结果. 【详解】由题意得到()sin ()2cos 3sin 2cos ϕ==+=+x f x x x x x，其中tan2ϕ==， 因为x ∈R ，所以()[]()3sin 3,3ϕ=+∈-f x x ，又不等式()f x m ＜对任意实数x 恒成立， 所以3m >. 故答案()3,+∞ 【点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，熟记三角函数的性质即可，属于常考题型. 3．3π【解析】 【分析】直接应用数量积的运算，求出a 与b 的夹角． 【详解】设向量a 、b 的夹角为θ；∵2=a b ，∴1||||cos 4cos 2cos 2a b a b θθθ===⇒=， ∵0θπ≤≤，∴3πθ=.故答案为：3π． 【点睛】本题考查向量的夹角计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题. 4．5 【解析】 【分析】先根据等比数列性质化简方程，再根据平方性质得结果. 【详解】∵{}n a 是等比数列，且0n a >，243546225a a a a a a ++=，∴223355225a a a a ++=，即235()25a a +=，则355a a +=．【点睛】本题考查等比数列性质，考查基本求解能力. 5．23π 【解析】 【分析】由等比数列前n 项公式求出已知等式左边的和，再求解． 【详解】 易知2πα=不合题意，∴cos 0α≠，若2cos 1α=，则223312cos 2cos 2cos ααα+++99992cos 100α++=，不合题意，∴2cos 1α≠，223312cos 2cos 2cos ααα+++10099991(2cos )2cos 012cos ααα-++==-， ∴2cos 1α=-，1cos 2α=-，又()0,απ∈，∴23πα=．故答案为：23π． 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式，解题时需分类讨论，首先对2cos 0α=的情形进行说明，然后按2cos α是否为1分类．6．【解析】试题分析：由三角函数的诱导公式得.【考点】三角函数的诱导公式【名师点睛】本题也可以看作来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题都是通过三角函数公式把一般的三角函数求值化为特殊角的三角函数求值而得解．7．①【解析】【分析】由线面的平行垂直的判定和性质一一检验即可得解.【详解】由平面与平面垂直的判定可知，①正确；②中，当α⊥β时，l，m可以垂直，也可以平行，也可以异面；③中，l∥β时，α，β可以相交；④中，α∥β时，l，m也可以异面．故答案为①.【点睛】本题主要考查了线面、面面的垂直和平行位置关系的判定和性质，属于基础题.8．163π.【解析】【分析】由题意推出球心O到四个顶点的距离相等，利用直角三角形BOE，求出球的半径，即可求出外接球的表面积．【详解】如图，∵正三棱锥A﹣BCD3，底面外接圆半径为13123r==侧棱长为2，BE=1,在三角形ABE中，根据勾股定理得到：高AE3=得到球心O 到四个顶点的距离相等，O 点在AE 上， 在直角三角形BOE 中BO ＝R ，EO =R ，BE ＝1，由BO 2＝BE 2+EO 2，得R 3=∴163π 故答案为163π． 【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 9．1665【解析】试题分析：三角形中，cos cos()cos()cos cos sin sin C A B A B A B A B π=--=-+=-+,由5cos ,013B B π=<<，得12sin ,13B =又123sin sin 135B A =>=,所以有正弦定理得,b a >即,B A >即A 为锐角，由3sin 5A =得4cos 5A =，因此4531216cos .51351365C =-⨯+⨯= 考点：正余弦定理 10．56【解析】 要使函数()1ln f x x=有意义，则ln 0x ≠且0x >，即0x >且1x ≠，即(0,1)(1,)D =⋃+∞，随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子，记骰子向上的点数为t ，则{}1,2,3,4,5,6t ∈，则事件“t D ∈”的概率为56P =.11．5,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】令()f x t =，则原方程为20t at b ++=，根据原方程有且仅有5个不同实数根，则()f x t =有5个不同的解，结合()f x 图像特征，求出t 的值或范围，即为方程20t at b ++=解的值或范围，转化为,a b 范围，【详解】令()f x t =，则原方程为20t at b ++=，当0x ≥时，()()()2502161122xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，且()f x 为偶函数， 做出()f x 图像，如下图所示： 当0t =时，()f x t =有一个解； 当01t <≤或54t =，()f x t =有两个解； 当514t <<时，()f x t =有四个解； 当0t <或54t >时，()f x t =无解.()()20f x af x b ⎡⎤++=⎣⎦，,a b ∈R 有且仅有5个不同实数根，关于t 的方程20t at b ++=有一个解为0，0b =，另一个解为a -，a -在区间5(1,)4上，所以551,144a a <-<-<<-，实数+a b 的取值范围是5,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故答案为:5,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查复合方程根的个数求参数范围，考查了分段函数的应用，利用换元法结合的函数的奇偶性的对称性，利用数形结合是解题的关键，属于难题. 12．0.9 【解析】先计算()P B ，再计算()P A B C【详解】0.60.4()()P B P B =⇒=()()()()0.9P A B C P A P B P C =++=故答案为0.9 【点睛】本题考查了互斥事件的概率计算，属于基础题型. 13．12-【解析】 【分析】利用等差数列前n 项和，可得1523a a π+=；利用等差数列的性质可得1524a a a a +=+，然后求解三角函数值即可． 【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，因为()1555523a a S π+⨯==，所以15252533a a ππ+=⨯=； 又1524a a a a +=+，所以()2421co c 2o s 3s a a π==-+． 故答案为：12-． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质的应用，熟练掌握()12n n a a n S +⨯=和若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+是解题的关键．14．1009 【解析】 【分析】利用余弦定理化简所给等式，再利用正弦定理将边化的关系为角的关系，变形化简即可得出目标比值． 【详解】由2222cos a b ab C c +-=得22cos 2018ab C c =，即22sin sin cos 2018sin A B C C =， 所以()2sin sin 2018sin tan A B A B C =+，故()tan tan 20181009tan tan tan 2A B C A B ==+．本题综合考查正余弦定理解三角形，属于中档题． 15．6 【解析】 【分析】分较长的两条棱所在直线相交，和较长的两条棱所在直线异面两种情况讨论，结合三棱锥的结构特征，即可求出结果. 【详解】当较长的两条棱所在直线相交时，如图所示： 不妨设3AB a =，2BC a =，AC a =，所以较长的两条棱所在直线所成角为ABC ∠， 由勾股定理可得：90ACB ∠=，所以2633BC a ABC AB a∠===， 6； 当较长的两条棱所在直线异面时， 不妨设3AB a =，2CD a =，则BC AC BD AD a ====，取CD 的中点为O ，连接OA ，OB ， 所以CD ⊥OA ，CD ⊥OB ， 而2OA OB ==，所以OA+OB<AB ，不能构成三角形。

上海市闵行区高考数学易错易混选择题精粹选择题含答案有解析1．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，...，960，分组后某组抽到的号码为1．抽到的32人中，编号落入区间[]401,755 的人数为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．132．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的面积为（ ） A ．24πB ．2πC ．12πD ．4π3．矩形ABCD 中，6, 4AB =AD =，若在该矩形内随机投一点P ，那么使得ABP ∆的面积不大于3的概率是（ ） A ．18B ．16C ．14D ．124．10sin 3π⎛⎫-⎪⎝⎭的值等于( ) A ．32B ．32-C ．12D ．12-5．如图所示的阴影部分是由x 轴及曲线sin y x = 围成，在矩形区域OABC 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）A ．2πB ．12C ．1πD ．3π6．对于任意实数a bc d ，，，，下列命题中正确的是（ ） A ．若a b >，则ac bc > B ．若a b >，c d >则ac bd > C ．若22ac bc >，则a b >D ．若a b >，则11a b< 7．已知函数()x f x e x =+，()ln g x x x =+，()h x x x =+的零点分别为a ，b ，c ，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．a c b >>8．函数的最大值为（ ）A ．1B ．C ．D ．29．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1142n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意*N n ∈，都有()143n p S n ≤-≤成立，则实数p 的取值范围是（ ） A ．()2,3B ．[]2,3C ．92,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且2PA AB ==，则直线PB 与平面PAC 所成角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 11．已知关于x 的不等式()()224210a x a x -+--≥的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ）A ．62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．62,5⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．6,25⎛⎤-⎥⎝⎦D ．(][),22,-∞+∞12．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，若222,44b a c S =+-=，则ABC 外接圆的半径为（ ） A ．2B ．22C ．2D ．413．在ABC ∆中，1sin cos sin cos 2a B C c B A b +=且a b >，则B 等于() A ．6π B ．3π C ．23πD ．56π14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则此几何体的表面积为（ ）A ．6223+ B ．(6225+C ．10D ．1215．若,,a b c ∈R ，则下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若a b <，则11a b> C ．若,a b c d >>，则ac bd >D ．若a b >，则a c b c ->-16．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形，则这个圆柱的体积是（ ） A ．22πB ．2πC ．22π D ．23π17．已知四面体ABCD 中，E ，F 分别是AC ，BD 的中点，若2AB =，4CD =，EF 与CD 所成角的度数为30°，则EF 与AB 所成角的度数为（）A ．90°B ．45°C ．60°D ．30°18．己知ABC ∆的周长为2037BC =， 则tan A 的值为（ ） A 3B ．1 C 3D ．219．（6分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2,3,...,960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[]1,450的人做问卷A ，编号落入区间[]451,750的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为（ ） A ．7B ．9C ．10D ．1520．（6分）空间中可以确定一个平面的条件是（ ） A ．三个点B ．四个点C ．三角形D ．四边形21．（6分）若点(2,3),(3,2)A B ----,直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．34k ≤或43k ≥ B ．43k ≤-或34k ≥-C ．3443k ≤≤D ．4334k -≤≤-22．（8分）为了得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，可以将函数2sin 2y x =的图像（ ）A ．向右平移3π个长度单位 B ．向左平移3π个长度单位 C ．向右平移6π个长度单位 D ．向左平移6π个长度单位 23．（8分）在边长为(a 2)a >的正方形内有一个半径为1的圆，向正方形中随机扔一粒豆子（忽略大小，视为质点），若它落在该圆内的概率为35，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ） A ．235a B ．225a C ．25a D ．35a24．（10分）在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线AC 与1BC 所成的角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°25．（10分）已知a ，b ，c ，d ∈R ，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若a ＞b ，则22ac bc > C ．若a ＞b ＞0，则（a ﹣b ）c ＞0D ．若a ＞b ，则a ﹣c ＞b ﹣c26．（12分）在ABC 中，1cos 2A =-，BC =，则ABC 的外接圆半径为（ ）A ．1B ．2C D ．27．（12分）函数cos y x =的最小正周期是（ ）A ．4πB ．2π C ．πD ．2π28．若直线30x y a -+=平分圆22240x y x y ++-=的周长，则a 的值为（ ） A ．-1B ．1C ．3D ．529．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若a ＝3，b ，A ＝4π，则B ＝（ ） A ．6πB ．6π或56πC ．3πD ．3π或23π30．已知向量a ，b 满足(cos ,sin )a αα=，α∈R ，1a b ⋅=-，则(2)a a b ⋅-=（ ） A ．3B ．2C ．1D ．0参考答案选择题含答案有解析 1．C 【解析】 【分析】由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n ＝30n ﹣19，由401≤30n ﹣21≤755，求得正整数n 的个数，即可得出结论． 【详解】∵960÷32＝30，∴每组30人，∴由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列， 又某组抽到的号码为1，可知第一组抽到的号码为11，∴由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列， ∴等差数列的通项公式为a n ＝11+（n ﹣1）30＝30n ﹣19， 由401≤30n ﹣19≤755，n 为正整数可得14≤n≤25，∴做问卷C 的人数为25﹣14+1＝12， 故选C ． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础． 2．C 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式即可求得. 【详解】解：由题意：120,6n R ︒==， 所以扇形的面积为：22120612360360n R S πππ⨯===故选：C 【点睛】本题考查扇形的面积公式，考查运算求解能力，核心是记住公式. 3．C 【解析】 【分析】先求出3PAB S ∆=的P 点的轨迹（一条直线），然后由面积公式可知3PAB S ∆≤时P 点所在区域，计算其面积，利用几何概型概率公式计算概率． 【详解】设P 到AB 的距离为h ，116322PAB S AB h h ∆=⋅=⨯⨯≤，则1h ≤，如图，设1AE BF ==，则P 点在矩形ABFE 内，616ABFE S =⨯=，6424ABCD S =⨯=， ∴所求概率为61244=． 故选C ．【点睛】本题考查几何概型概率．解题关键是确定符合条件P 点所在区域及其面积． 4．A 【解析】10sin 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭=2π3sin 3= ,选A. 5．A 【解析】00sin cos 2S xdx x ππ==-=⎰，所以2P π=，故选A 。

2024年上海市高考数学试卷注意：试题来自网络，请自行参考（含解析）一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题4分，第7-12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1.设全集，集合，则______．【答案】【解析】【分析】根据补集的定义可求.【详解】由题设有，故答案为：2.已知则______．【答案】【解析】【分析】利用分段函数的形式可求.【详解】因故，故答案为：.3.已知则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】求出方程的解后可求不等式的解集.【详解】方程的解为或，故不等式的解集为，故答案为：.4.已知，，且是奇函数，则______．【答案】【解析】【分析】根据奇函数的性质可求参数.【详解】因为是奇函数，故即，故，故答案为：.5.已知，且，则的值为______．【答案】15【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.【详解】，，解得．故答案为：15．6.在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为______．【答案】10【解析】【分析】令，解出，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可.【详解】令，，即，解得，所以的展开式通项公式为，令，则，．故答案为：10．7.已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为______．【答案】【解析】【分析】根据抛物线的定义知，将其再代入抛物线方程即可.【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得，代入抛物线方程，得，解得，则点到轴的距离为．故答案为：．8.某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，他题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______．【答案】0.85【解析】【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案.【详解】由题意知，题库的比例为：，各占比分别为，则根据全概率公式知所求正确率．故答案为：0.85．9.已知虚数，其实部为1，且，则实数为______．【答案】2【解析】【分析】设，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.【详解】设，且.则，，，解得，故答案为：2.10.设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______．【答案】329【解析】【分析】三位数中的偶数分个位是0和个位不是0讨论即可.【详解】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数．首先讨论三位数中的偶数，①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有个；②当个位不为0时，则个位有个数字可选，百位有个数字可选，十位有个数字可选，根据分步乘法这样的偶数共有，最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为个．故答案为：329．11.已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度)【答案】【解析】【分析】设，在和中分别利用正弦定理得到，，两式相除即可得到答案.【详解】设，在中，由正弦定理得，即’即①在中，由正弦定理得，即，即，②因为，得，利用计算器即可得，故答案为：.12.无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】当时，不妨设，则，结合为闭区间可得对任意的恒成立，故可求的取值范围.【详解】由题设有，因为，故，故，当时，，故，此时为闭区间，当时，不妨设，若，则，若，则，若，则，综上，，又为闭区间等价于为闭区间，而，故对任意恒成立，故即，故，故对任意的恒成立，因，故当时，，故即.故答案为：.【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等式恒成立，必要时可利用参变分离来处理.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.13.已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）A气候温度高，海水表层温度就高B.气候温度高，海水表层温度就低C.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势【答案】C【解析】【分析】根据相关系数的性质可得正确的选项.【详解】对于AB，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误.对于CD，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，故C正确，D错误.故选：C.14.下列函数的最小正周期是的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可.【详解】对A，，周期，故A正确；对B，，周期，故B错误；对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；对于选项D，，周期，故D错误，故选：A．15.定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案.【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；对C，由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底，则由能推出，对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故D错误.故选：C．16.已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（）A.存在是偶函数B.存在在处取最大值C.存在是严格增函数D.存在在处取到极小值【答案】B【解析】【分析】对于ACD利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B，构造函数即可判断.【详解】对于A，若存在是偶函数,取,则对于任意,而,矛盾,故A错误；对于B，可构造函数满足集合，当时，则，当时，，当时，，则该函数的最大值是，则B正确；对C，假设存在，使得严格递增，则，与已知矛盾，则C错误；对D，假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，这与已知集合的定义矛盾，故D错误；故选：B.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.如图为正四棱锥为底面的中心．（1）若，求绕旋转一周形成的几何体的体积；（2）若为的中点，求直线与平面所成角的大小．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正四棱锥的数据，先算出直角三角形的边长，然后求圆锥的体积；（2）连接，可先证平面，根据线面角的定义得出所求角为，然后结合题目数量关系求解.【小问1详解】正四棱锥满足且平面，由平面，则，又正四棱锥底面是正方形，由可得，，故，根据圆锥的定义，绕旋转一周形成的几何体是以为轴，为底面半径的圆锥，即圆锥的高为，底面半径为，根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是【小问2详解】连接，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形，由是中点，则，又平面，故平面，即平面，又平面，于是直线与平面所成角的大小即为，不妨设，则，，又线面角的范围是，故.即为所求.18.若．（1）过，求的解集；（2）存在使得成等差数列，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出底数，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；（2）存在使得成等差数列等价于在上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求的取值范围．【小问1详解】因为的图象过，故，故即（负的舍去），而在上为增函数，故，故即，故的解集为.小问2详解】因为存在使得成等差数列，故有解，故，因为，故，故在上有解，由在上有解，令，而在上的值域为，故即.19.为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围学业成绩优秀5444231不优秀1341471374027（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）（3）是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：其中，．）【答案】（1）（2）（3）有【解析】【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可；（2）根据平均数的计算公式即可得到答案；（3）作出列联表，再提出零假设，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论.【小问1详解】由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比，则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为．【小问2详解】估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为．则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时.【小问3详解】由题列联表如下：其他合计优秀455095不优秀177308485合计222358580提出零假设：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关．其中．．则零假设不成立，即有的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．20.已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.（1）若离心率时，求的值．（2）若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标．（3）连接并延长，交双曲线于点，若，求取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据离心率公式计算即可；（2）分三角形三边分别为底讨论即可；（3）设直线，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可.【小问1详解】由题意得，则，．【小问2详解】当时，双曲线，其中，，因为为等腰三角形，则①当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去；②当以为底时，，设，则,联立解得或或，因为点在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；（或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）；③当以为底时，，设，其中，则有，解得，即．综上所述：.小问3详解】由题知，当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则，则设直线，设点，根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知，联立有，显然二次项系数，其中，①，②，，则，因为在直线上，则，，即，即，将①②代入有，即化简得，所以,代入到,得,所以,且，解得，又因为，则，综上知，，．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.21.对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”．（1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；（2）对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；（3）已知在定义域R上存在导函数，且函数在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性．【答案】（1）证明见解析（2）存在，（3）严格单调递减【解析】【分析】（1）代入，利用基本不等式即可；（2）由题得，利用导函数得到其最小值，则得到，再证明直线与切线垂直即可；（3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性.【小问1详解】当时，，当且仅当即时取等号，故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”．【小问2详解】由题设可得，则，因为均为上单调递增函数，则在上为严格增函数，而，故当时，，当时，，故，此时，而，故在点处的切线方程为.而，故，故直线与在点处的切线垂直．【小问3详解】设，，而，，若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，设，则既是的最小值点，也是的最小值点，因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，则存在,使得，即①②由①②相等得，即，即，又因为函数在定义域R上恒正，则恒成立，接下来证明，因为既是的最小值点，也是的最小值点，则，即，③，④③④得即，因为则，解得，则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到，再利用最值点定义得到即可.。

上海市名校高考数学易错解答题解答题含答案有解析1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asinA ＝(2b －c)sinB ＋(2c －b)sinC.. (1)求角A 的大小； (2)若sinB ＋sinC ＝，试判断△ABC 的形状.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:14600O x y mx y +--+=，三个点(2,4)A ，B 、C 均在圆1O 上，（1）求该圆的圆心1O 的坐标； （2）若OA BC =，求直线BC 的方程；（3）设点(0,)T t 满足四边形TABC 是平行四边形，求实数t 的取值范围.3．已知函数()()1212x x f x a R a+-=∈+为奇函数.（1）求实数a 的值并证明函数()f x 的单调性； （2）解关于m 不等式:()()2222f mf m mm +-≤--.4．已知函数()|2||2|f x x a x =++-（其中a R ∈）. （1）当4a =-时，求不等式()6f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式2()3|2|f x a x ≥--恒成立，求a 的取值范围.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O 的方程为2216x y +=，过点(0,1)M 的直线l 与圆O 交于两点A ，B ．（1）若37AB =，求直线l 的方程；（2）若直线l 与x 轴交于点N ，设NA mMA =，NB mMB =，m ，n ∈R ，求m n +的值． 6．如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，1AB =，2BC =，现要将此铁皮剪出一个三角形PMN ，使得，MN BC ⊥.(1)设30MOD ∠=，求三角形铁皮PMN 的面积； (2)求剪下的铁皮三角形PMN 的面积的最大值.7．近年来，某地大力发展文化旅游创意产业，创意维护一处古寨，几年来，经统计，古寨的使用年限x （年）和所支出的维护费用y （万元）的相关数据如图所示，根据以往资料显示y 对x 呈线性相关关系.（1）求出y 关于x 的回归直线方程y bx a =+；（2）试根据（1）中求出的回归方程，预测使用年限至少为几年时，维护费用将超过10万元？ 参考公式：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归方程y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221,ni ii x ynx b a y bx xy nx=--==--∑∑.8．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ,,,,AB AD AB DC E F ⊥分别为,PC DC 的中点,222PA DC AB AD ====.(1)证明:平面PAD 平面EBF (2)求三棱锥P BED -的体积.9．已知圆O 以原点为圆心且与直线22y x =-+ （1）求圆O 的方程；（2）若直线3:23l y x =+与圆O 交于A 、B 两点，过A 、B 两点分别作直线l 的垂线交x 轴于C 、D 两点，求线段CD 的长． 10．已知z 是复数，2z i +与2z i-均为实数，且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．11．在相同条件下对自行车运动员甲､乙两人进行了6次测试，测得他们的最大速度（单位:m/s ）的数据如下: 甲 27 38 30 37 35 31 乙332938342836试判断选谁参加某项重大比赛更合适.12．已知函数2()sin cos 3cos f x x x x =+， (1)求()6f π的值；(2)求()f x 的单调递增区间.13．正四面体是侧棱与底面边长都相等的正三棱锥，它的对棱互相垂直.有一个如图所示的正四面体A BCD -，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，CD 的中点.（1）求证：//AC 面EFG ；（2）求异面直线EG 与AC 所成角的大小. 14．已知直线：（1）求证：不论实数取何值，直线总经过一定点；（2）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求直线的方程．15．若x ，y 为正实数，求证：2211()()224x y y x++≥+，并说明等号成立的条件. 16．已知ABC ∆的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且32,cos 5a B ==. (1)若4b =,求sin A 的值; (2)若4ABC S ∆=,求b,c 的值.17．已知函数()22f x x ax b =+-。

高考数学易犯的错误（2）
21.定积分几何意义不明致误。

22.忽视角的范围。

23.图像变换方向把握不准。

24.忽视正。

余弦函数的有界性。

25.解三角形时出现漏解或增解。

26.向量加减法的几何意义不明致误。

27.忽视平面向量基本定理的使用条件致误。

28.向量的模与数量积的关系不清致误。

29.判别不清向量的夹角。

30.忽略an＝sn—sn—1的成立条件。

31.等比数列求和时，忽略对q是否为1的讨论。

32.数列项数不清导致错误。

33.考虑问题不全面而导致失误。

34.用错位相减法求和时处理不当。

35.忽视变形转化的等价性。

36.忽视基本不等式应用条件。

37.不等式解集的表述形式错误。

38.恒成立问题错误。

39.目标函数理解错误。

40.由三视图还原空间几何体不准确致误。

41.空间点，线，面位置关系不清致误。

42.证明过程不严谨致误。

43.忽视了数量积和向量夹角的关系而致误。

44.忽视异面直线所成角的范围而致错。

45.用向量法求线面角时理解有误而致错。

46.弄错向量夹角与二面角的关系致误。

47.解折叠问题时没有理顺折叠前后图形中的不变量和改变量致误。

48.忽视斜率不存在的情况。

49.忽视圆存在的条件。

50.忽视零截距致误。

1、 函数f (x )=)2(log 25.0x x +-的单调递增区间2、把由函数y =k x 与y =x +k (k>0)的图像围成的三角形的面积S 表示成k 的函数，则函数解析式为3、f (x )是周期为2的奇函数，当x []1,0∈时，f (x )=x 2,则x []2,1∈时，f (x )=4、设函数f (x )的反函数为1()f x -,给出以下命题； （1）若f(x)是奇函数，则1()f x -必定是奇函数；（2）若y =f(x )和y= 1()fx -的图像有公共点，则公共点必在直线y=x 上；（3）若y =f(x)在[]b a ,上是增函数，则y= 1()f x -在[]b a ,上必定是增函数；则上述命题中真命题的序号是5、若函数f(x)=)22(log 2+-x x a 的最大值为0，则g(x)=21x a -有最 值为6、设函数y={}{}7,5,3,2,1,,⊂q p x pq ,则所得函数是偶函数的概率是7、设P 、Q 、M 三个集合，则“P ⊂Q”是“)()(M Q M P ⋂⊂⋂”成立的 _______ 条件8、A 、B 、C 、是三个集合，写出一个使“)(C B A ⋂⊂”成立的必要不充分条件_______ 9、设f(x)=,234++x x 则()[]x f f 1-= ，()[]x f f 1-=10、函数f(x)=x 2lga-2x+1的图像与x 轴有两个不同的交点，则a 的取值范围是11、若函数y=f(2x+1)是偶函数，则函数y=f(2x)的图像的对称轴的方程是12、对定义在R 上的函数f(x)，若实数x 0满足f(x 0)=x 0,则称x 0为函数f(x 0)的一个不动点，若函数f(x)=ax 2-2x-1只有一个不动点，则实数a 的值是__________13、若函数f(x)=)3(log 221m mx x +-在),2(+∞是减函数，则实数m 的取值范围是 _____14、函数)0(10101010〉-+=--x y xx xx 的反函数是 15、不等式11〈-x ax的解集为A ，若()()()()+∞⋃∞-⊆⊂∞-,21,1,A 则实数a 的取值范围是16、集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z n n x x ,4sinπ的子集的个数是1．直线(1)(1)0x a y b +++=与圆222x y +=的位置关系是 _____2．过点P （2005，2005）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__________3．2y kx =+与221x y -=有且仅有一个公共点，则__________ 4．求焦点在直线34120x y --=上的抛物线的标准方程是_________ 5．抛物线2y px =的焦点坐标为_________6．P 是双曲线221918x y -=上任意一点，F 1、F 2分别为左、右焦点， |PF 1|=8，则|PF 2|= ___7．M 是抛物线220y px p =>上点，A (3,1)，F 是抛物线焦点，则|AM |+|MF |的最小值为_____8．2221211t x y t t==++化为普通方程是________ 9．已知点A (1,2)、B (5,-1)，且A 、B 两点到直线l 的距离都是2，求直线l 方程 _____ 10．若过定点(1,0)M -且斜率为k 的直线与圆22450x x y ++-=在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是_________11．已知抛物线x y 42=的顶点为O ，抛物线上B A ,两点满足0=⋅OB OA ，则点O 到直线AB 的最大距离为_________12．在坐标平面内,与点A （1，2）的距离为1，且与点B （5，5）的距离为d 的直线共有4条，则d 的取值范围是_________．13．已知实数x ，y 满足3x 2+2y 2=6x ，则x 2+y 2的最大值是 14．与圆3)5(22=++y x 相切，且纵截距和横截距相等的直线共有15．如果不论实数b 取何值，直线b kx y +=与双曲线1222=-y x 总有公共点，那么k的取值范围为___________16．以下四个关于圆锥曲线的命题中 ① 设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，k PB PA =-||||，则动点P 的轨迹为双曲线；② 过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若),(21OB OA OP +=则动点P 的轨迹为椭圆；③ 斜率为定值k 的动直线与抛物线相交于A 、B 两点，O 为坐标原点),(21OB OA OP +=则动点P 的轨迹是射线；④ 双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点.其中真命题的序号为________（写出所有真命题的序号）1．数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2 (n ∈N)，则a n =2、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝k·3n ＋1（n ∈N,k,b 为常数且k≠0），则k=______3、等差数列{a n }中，a 1<0，S 5=S 11，那么S n 取得最小值时，n =4、1992年底 世界人口为54.8亿，若人口的年平均增长率为%x ，2010年底世界人口控制在70亿以内 ，那么x 的值至多达到__________ ( 精确到0.01)5、已知,22,33x x x ++,是一个等比数列的前三项，则x 的值为 ______6、已知{a n }是由实数组成的等比数列。

高中数学易错、易混、易忘问题备忘录（育才中学整理）一、集合、逻辑、复数、不等式1.注意元素与集合的关系、集合与集合的关系，要能准确表示这些关系.例1．若}1|{->=x x M ，则下列选项正确的是A ．0⊆MB ．{0}∈MC ．φ∈MD ．{0}⊆M 2.注意区分集合中元素的形式．．：①{}x x y x -=2|，②{}x x y y -=2|，③{}x x y y x -=2|),(；④{}02=-x x ⑤{}0|2=-x x x ；例2．{|3}M x y x ==+， N ＝{}2|1,y y x x M =+∈，则M N =___例3．{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+，}R λ∈，则=N M _____3. 遇到B A ⊆或∅=B A 不要遗忘了∅=A 的情况。

例4.}0158|{2=+-=x x x A ，，}01|{=-=ax x B 若A B ⊆，求实数a 的值.(不要遗忘a =0的情况)例5.}012|{2=--=x ax x A ，如果φ=+R A ，求a 的取值。

4．在应用条件A ∪B ＝Ｂ⇔A ∩B ＝Ａ⇔ＡＢ时，易忽略Ａ是空集Φ的情况．例6、已知集合{}0232=+-=x x x A ，{}022=+-=mx x x B ，且B B A = ，实数m 的取值范围是A ．{}2222<≤-m m B 。

{}2222≤≤-m m C 。

{}2222≤<-m m D 。

{}22223<<-=m m m 或5.常用数集的表示: 自然数集N ；正整数集+*N N 或；有理数集Q ；实数集R ；复数集C .⒍ 原命题: p q ⇒;逆命题: q p ⇒;否命题: p q ⌝⇒⌝；逆否命题: q p ⌝⇒⌝；互为逆否的两个命题是等价的.例7.“βαsin sin ≠”是“βα≠”的 条件。

上海市松江区高考数学易错解答题解答题含答案有解析1．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E ，F 分别是11B C ，AB ，1AA 的中点.（1）求证：EF 平面1A BD ；（2）若1111A B AC =，求证：平面1ABD ⊥平面11BB C C . 2．如图，在直棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，1AC CC =，D ，E 分别是棱AB ，AC 上的点，且//BC 平面1A DE .（1）证明：DE //11B C ； （2）求证：11AC A B ⊥.3．已知等比数列{}n a 的公比12321,14,1q a a a a >++=+是13,a a 的等差中项，数列{}n n a b 的前n 项和为2n S n n =+.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．4．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -（如图所示），并要求正四棱柱的高1OO 是正四棱锥的高1PO 的4倍.（1）若16,2,AB m PO m ==则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？ 5．函数()()23sin cos cos f x x x x x R =-∈.（1）求函数()f x 的周期和递增区间； （2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域. 6．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧远处一山顶D 在西偏北45︒的方向上，仰角为30，行驶4km 后到达B 处，测得此山顶在西偏北60︒的方向上．（1）求此山的高度（单位：km ）；（2）设汽车行驶过程中仰望山顶D 的最大仰角为θ，求tan θ． 7．已知向量(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(3,4)OC m m =-+. （1）若A 、B 、C 三点共线，求OC ； （2）求OAB ∆的面积. 8．已知()231xf x m =++，m 是实常数． （1）当0m =时，判断函数()f x 的奇偶性，并给出证明； （2）若()f x 是奇函数，不等式()()()0ff x f a +<有解，求a 的取值范围．9．某生产企业研发了一种新产品，该产品在试销一个阶段后得到销售单价x （单位：元）和销售量y （单位：万件）之间的一组数据，如下表所示：（1）根据表中数据，建立y 关于x 的线性回归方程；（2）从反馈的信息来看，消费者对该产品的心理价（单位：元/件）在[7,9]内，已知该产品的成本是5元，那么在消费者对该产品的心理价的范围内，销售单价定为多少时，企业才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本） 参考数据：55211392,502.5i ii i i x yx ====∑∑参考公式：1221,ni ii ni i x y n x yb a y bx x nx ==-==--∑∑10．设*1212,,,,(,3)m m a a a R a a a m N m ∈<<<∈≥，若存在01,,,,m x x x d R ⋯∈，使得011223m m x a x a x a a x ≤<≤<≤<≤<，且对任意01i m -，均有1i i x x d +-=（即01,,,m x x x 是一个公差为d 的等差数列），则称数列12,,,m a a a 是一个长度为m 的“弱等差数列”.（1）判断下列数列是否为“弱等差数列”，并说明理由. ①1，3，5，7，9，11； ②2，22，32，42，52.（2）证明：若123a a a <<，则数列123,,a a a 为“弱等差数列”.（3）对任意给定的正整数3m ，若1211,1m m m m x a x a ---=-=-，是否总存在正整数k ，使得等比数列：1(1),1,2,3,,m i i i a k k i m --=+=是一个长度为m 的“弱等差数列”？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由11．已知数列{}n a 满足：11a =，()*133n n n a a n N +-=∈，数列{}n b 满足13nn n a b -=. （1）若数列{}n b 的前n 项和为n S ，求12111nS S S ++⋯+的值； （2）求()12222212341n nb b b b b --+-++-…的值. 12．甲、乙两位同学参加数学应用知识竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：（Ⅰ）分别估计甲、乙两名同学在培训期间所有测试成绩的平均分；（Ⅱ）从上图中甲、乙两名同学高于85分的成绩中各选一个成绩作为参考，求甲、乙两人成绩都在90分以上的概率；（Ⅲ）现要从甲、乙中选派一人参加正式比赛，根据所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？说明理由. 13．如图，四棱锥中，菱形所在的平面，是的中点，是的中点.（1）求证：平面；（2）若，求三棱锥的体积.14．已知圆经过（2，5），（﹣2，1）两点，并且圆心在直线y 12=x 上. （1）求圆的标准方程；（2）求圆上的点到直线3x ﹣4y+23＝0的最小距离. 15．如图，在ABC ∆中，4C π=，角B 的平分线BD 交AC 于点D ，设CBD θ∠=，其中1tan 2θ=．（1）求sin A ；（2）若28CA CB ⋅=，求AB 的长． 16．在ABC ∆中，131cos ,sin sin 2B A C -=-=A 的值。

p p，6 、 Q q， 1 ，若
5
5
【答案】 6
【解析】【解答】
2p 2p ap
6① 5
ap 5
1 2p
，
6
2q 2q aq
1② 5
aq 1 2q
5，
4
ap 1
故 2p
6 a2 pq
1
aq
2p q
6
2q
6
又 2p q 36pq，
2
a pq
所以
1。
36 pq
a a 所以
2
a =36，
=6（
＞ 0）
∣x1 y1 1∣∣x2 y2 ∣1
+
的最大值为 __________
2
2
1 ，则 2
【答案】 3 2
【解析】【解答】设 A(x 1， y1) ， B(x 2， y2) ，
22
故有 x +y =1，使 A， B 在圆上，
又 x1x2+y1y2= 1 ，得出 OA OB 2
1， 2
故 AOB 60 ，
2
3
C.
3
D.0
【答案】 B
【解析】【解答】根据函数性质定义，
A， C， D 在单位圆上取点后会出现一对多的情况舍去，故排除
A，
C， D。
故答案为： B。
【分析】逆时针旋转重合，考虑极坐标可能，代值法求解。
【题型】单选题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
7
【试题地区】上海 【试题来源】 2018 年高考数学真题试卷（上海卷） 三、解答题
【答案】 -3
【解析】【解答】设 E(0 ， y1) ， F(0 ， y 2) ，又 A（ -1 ， 0）， B（ 2， 0），

第一部分 集合1. 在集合运算中一定要分清代表元的含义.例1、 已知集{|},{|2,}x P y y x R Q y y x R ==∈==∈，求Q P I .【分析：集合P 、Q 分别表示函数2x y =与xy 2=在定义域R 上的值域，所以),0[+∞=P ，),0(+∞=Q ，),0(+∞=Q P I .】例2、 设集合211A y y x x ⎧⎫==∈⎨⎬+⎩⎭R ，，{}B x y x ==∈R ，则A B =I ___________.【分析：集合P 、Q 分别表示函数2x y =与xy 2=在定义域R 上的值域，所以),0[+∞=P ，),0(+∞=Q ，),0(+∞=Q P I .】2. 对于空集∅的讨论不要遗漏.例3、 若}2|{},|{2>=<=x x B a x x A 且∅=B A I ，求a 的取值范围.【分析：集合A 有可能是空集.当0≤a 时，∅=A ，此时∅=B A I 成立；当0>a 时，),(a a A -=，若∅=B A I ，则2≤a ，有40≤<a .综上知，4≤a .注意：在集合运算时要注意学会转化B A A B A ⊆⇔=I 等.】例4、 已知集合{}2320A x x x x =-+=∈R ，，{}220B x x mx x =-+=∈R ，，A B B =I ，则m 的取值范围是_________.【分析：A B B B A =⇒⊆I ，说明B 中的解一定是A 中的解或者是无解】例5、 【2003年秋季理科】a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2+b 1x +c 1>0和a 2x 2+b 2x +c 2>0的解集分别为集合M 和N ，那么“212121c c b b a a ==”是“M=N ”的 （ ）A ．充分非必要条件.B ．必要非充分条件.C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件.【分析：不要忘记两个不等式均无解】 【答案：D 】3. 区间端点的取舍讨论.例6、 【长宁区(文)】已知集合{}2log 2,(,)A x x B a =≤=-∞，若A B ⊆则实数a 的取值范围是_________ 【答案：()4,+∞】例7、 【闵行2011一模第12题】已知条件:12p x +≤；条件:q x a ≤，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是 ． 【答案：[)1,+∞】例8、 【2009年上海秋季高考】已知集合{}|1A x x =<，{}|B x x a =>，且A B R ⋃=，则实数a 的取值范围是______________________ . 【答案：1a ≤】例9、 若集合{}2280A x x x x =+-≥∈R ，，01x kB xx x k ⎧⎫-=≤∈⎨⎬--⎩⎭R ，，且A B ≠∅I ，则实数k 的取值范围是_______. 【答案：(,4](1,)-∞-+∞U 】4. 充分必要条件的判断例10、 【2010年春季高考】若123,,a a a r r r 均为单位向量，则133a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r是123a a a ++=r r r的 （ ）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分又不必要条件【答案：B 】例11、 【松江区15】设,a b R ∈，则“2a b +>且1ab >”是“1a >且1b >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案：B 】例12、 【10年一模宝山区15】以下四个命题中的假命题是……（ ） （A ）“直线a 、b 是异面直线”的必要不充分条件是“直线a 、b 不相交”； （B ）直线“b a ⊥”的充分不必要条件是“a 垂直于b 所在的平面”；（C ）两直线“a //b ”的充要条件是“直线a 、b 与同一平面α所成角相等”； （D ）“直线a //平面α”的必要不充分条件是“直线a 平行于平面α内的一条直线”． 【答案：C 】第二部分 不等式1. 解分式不等式时注意等价变形 例1、 不等式104x x +≥+的解集是_______________． 【答案：(4,1]--】 例2、 不等式224xx -≥+的解集是_______________． 【答案：(4,2]--】例3、 【2008学年青浦区一模第11题) 设函数()f x 的定义域为[4,4]-，其图像如下图，那么不等式()0sin f x x≤的解集为____________.【答案：{}[4,)[2,0)[1,)4ππ---U U U 】2. 注意对不等式最高次项系数的讨论（是不是为0，判断正负号）例1、 若关于x 的不等式220kx kx --≤的解集为R ，则实数k 的取值范围是___________. 【答案：{|80}x x -≤≤】例2、 【2011年徐汇区一模第21题】已知关于x 的不等式2(4)(4)0kx k x --->，其中k R ∈。

高考数学易错题专项训练(一)一、正误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)1.若A⊆B，但∃x∈B，且x∉A，则A是B的真子集；∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.()2.A⊆B说明集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素.()3.若集合A中含有n个元素，则集合A的子集的个数为2n个，真子集的个数为2n－1个，非空真子集的个数为2n－2个.()4.交集的补集等于补集的并集，即∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；并集的补集等于补集的交集，即∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B).()5.A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A⊆B．()6.若p⇒q且q⇒/p，则p是q的充分不必要条件，綈p是綈q的必要不充分条件.()7.全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.()8.否命题是原命题的条件与结论同时否定，命题的否定是仅仅否定原命题的结论，而命题的条件不变.()9.函数y＝f(x)的零点是方程f(x)＝0的实数根，所以方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.()10.函数y＝f(x)的图象与直线x＝a(a∈R)的交点可能是0个、1个或2个.()11.f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称，f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称.存在既是奇函数又是偶函数的函数：f(x)＝0.()12.奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性.()13.若满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)是周期函数，T＝2a；若满足f(x＋a)＝1f（x），则f(x)是周期函数，T＝2a(a≠0，a为常数).()14.若f(a＋x)＝f(a－x)，则y＝f(x)的图象关于x＝a对称；如果f(x)满足f(x)＝－f(2a－x)，则函数f(x)的图象关于点(a，0)对称.()15.函数y＝a x与y＝log a x(a>0，a≠1)的图象关于直线y＝x对称，且两函数在各自定义域上具有相同的单调性.()16.如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上有f(a)·f(b)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0.如果f(x)在(a，b)上单调，则y＝f(x)在(a，b)内有唯一的零点.()17.在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增；如果f′(x)<0.那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递减.()18.函数f(x)在x0处有f′(x0)＝0，且在点x＝x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)叫做函数y＝f(x)的极大值；若在点x＝x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)叫做函数y＝f(x)的极小值，函数的极大值可能会小于函数的极小值.()19.f′(x0)是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线斜率，相应的切线方程是y－y0＝f′(x0)(x－x0).()20.f′(x)≥0是可导函数f(x)在x∈(a，b)内是增函数的充要条件；f′(x0)＝0是可导函数在x＝x0处取得极值的必要条件.()二、矫正训练(一)选择题(共10小题)1.集合A＝{x||x＋1|≤3}，B＝{y|y＝x，0≤x≤4}.则下列关系正确的是()A ．A ∪B ＝R B ．A ⊆∁R BC ．B ⊆∁R AD ．∁R A ∁R B2.已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数且是(0，＋∞)上的增函数，则m 的值为( )A ．2B ．－1C ．－1或2D ．03.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝x 2＋sin xB ．y ＝x 2－cos xC ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x ＋sin 2x 4.设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(13，＋∞) 5.已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a6.设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0，1] C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞) 7.如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 B ．(1，2) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(2，3) 8.已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．－2C ．3或－2D ．129.已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a ≤－2或a ＝1}B ．{a |a ≤－2}C ．{a |a ≤－2或1≤a ≤2}D ．{a |－2≤a ≤1}10.已知函数y ＝f (x )是定义在实数集R 上的奇函数，且当x >0，f (x )＋xf ′(x )>0(其中f ′(x )是f (x )的导函数)，设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 124f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 124，b ＝2f (2)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >b >cD ．a >c >b(二)填空题(共6小题)11.已知命题p ：x 2－2x －3<0，命题q ：x >a ，若命题p 是命题q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________.12.如果f ′(x )是二次函数，且f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是________.13.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧（a －2）x －1，x ≤1，log a x ，x >1.若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________.14.若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________.15.若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2，(a ＞0且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________.16.已知f (x )＝x e x ，g (x )＝－(x ＋1)2＋a ，若∃x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则实数a 的取值范围是________.参考答案一、1.√ 2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.√ 8.√9.√10.×解析：不符合函数的定义，不会有2个及2个以上的交点.11.√ 12.√ 13.√ 14.√ 15.√16.×解析：不满足零点存在定理的条件，即没有明确图象是连续不断的一条曲线.17.√18.×解析：没有理解函数的极大(小)值的概念，本题把极大值与极小值定义弄反了.19.√20.×解析：错误理解函数单调性与导数的关系.二、1.解析：没有分析清楚集合中的元素导致错误.D [A ＝{x ||x ＋1|≤3}＝{x |－4≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}＝{y |0≤y ≤2}，所以∁R B ＝{y |y >2或y <0}，∁R A ＝{x |x <－4或x >2}，所以∁R A∁R B ，选D ．] 2.解析：容易遗漏幂函数的系数是1，且当α>0时，g ＝x α在(0，＋∞)上为增函数而导致错误.B [因为函数为幂函数，所以m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1.因为幂函数在(0，＋∞)上是增函数，所以－5m －3>0，即m <－35，所以m ＝－1.选B ．]3.解析：判断函数的奇偶性时，应注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，这一点易忽略.A [函数f (x )＝x 2＋sin x 的定义域为R ，关于原点对称，因为f (1)＝1＋sin 1，f (－1)＝1－sin 1，所以函数f (x )＝x 2＋sin x 既不是奇函数，也不是偶函数；函数f (x )＝x 2－cos x 的定义域为R ，关于原点对称，因为f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，所以函数f (x )＝x 2－cos x 是偶函数；函数f (x )＝2x ＋12x 的定义域为R ，关于原点对称，因为f (－x )＝2－x ＋12－x ＝12x ＋2x ＝f (x )，所以函数f (x )＝2x ＋12x 是偶函数；函数f (x )＝x ＋sin 2x 的定义域为R ，关于原点对称，因为f (－x )＝－x ＋sin(－2x )＝－x －sin 2x ＝－f (x )，所以函数f (x )＝x ＋sin 2x 是奇函数.故选A ．]4.解析：此类问题易于忽略的是首先判断函数的奇偶性和单调性，从而避免讨论.A [由 f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2可知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上增函数，所以f (x )＞f (2x －1)⇔f (|x |)＞f (|2x －1|)⇔|x |＞|2x －1|⇔13＜x ＜1，故选A ．]5.解析：此类问题易于忽略的是判断函数的单调性和转化到同一单调区间上讨论问题.C [因为函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，所以m ＝0，即f (x )＝2|x |－1，所以a ＝f (log 0.53)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 213＝f (log 23) b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )＝f (0)，因为log 25＞log 23＞0，而f (x )＝2|x |－1在[0，＋∞)上为增函数，所以c ＜a ＜b ，故选C ．]6.解析：忽略了由f (f (a ))＝2f (a )直接得到f (a )≥1，从而解不等式或利用数形结合的方法解决问题.C [由f (f (a ))＝2f (a )可知f (a )≥1，则⎩⎨⎧a ≥12a ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜13a －1≥1，解得a ≥23，答案选C ．] 7.解析：忽略利用函数的图象求出a ，b 的范围导致错误.C [由函数图象可知0<b <1，f (1)＝0，从而－2<a <－1，f ′(x )＝2x ＋a ，所以g (x )＝ln x ＋2x ＋a ，函数g (x )＝ln x ＋2x ＋a 在定义域内单调递增，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋1＋a <0，g (1)＝ln 1＋2＋a >0，所以函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，选C ．] 8.解析：忽略函数的定义域导致错误.A [函数的定义域为(0，＋∞)，函数的导数为y ′＝x 2－3x ，由y ′＝x 2－3x ＝12，得x 2－x －6＝0，解得x ＝3或x ＝－2(舍去)，选A ．]9.解析：不能分析清楚存在与恒成立的区别导致错误.A [由x 2－a ≥0，得a ≤x 2，x ∈[1，2]，所以a ≤1.要使q 成立，则有Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0，解得a ≥1或a ≤－2.因为命题“p ∧q ”是真命题，则p ，q 同时为真，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≥1或a ≤－2，即a ≤－2或a ＝1，选A ．] 10.解析：不会构造函数，不能判断函数的奇偶性导致错误.C [令函数F (x )＝xf (x )，则函数F (x )＝xf (x )为偶函数.当x >0时，F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0，此时函数递增，则a ＝F (log 124)＝F (－log 24)＝F (－2)＝F (2)，b ＝F (2)，c ＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15＝F (－lg 5)＝F (lg 5)，因为0<lg 5<1<2<2，所以a >b >c ，选C ．] 11.解析：忽略从集合的角度解决充要条件的应用问题而导致错误.(－∞，－1] [M ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}，因为N ＝{x |x >a }且M ⊆N ，所以有a ≤－1.]12.解析：忽略倾斜角的范围以及正切函数的单调性导致错误.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2 [由题意可设f ′(x )＝a (x －1)2＋3，(a >0)，即函数切线的斜率为k ＝f ′(x )＝a (x －1)2＋3≥3，即tan α≥3，所以π3≤α<π2.]13.解析：忽略了第一段函数的最大值小于或等于第二段函数的最小值导致错误.(2，3][要使函数f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a －2>0，f （1）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >2，a －2－1≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >2，a ≤3.解得2<a ≤3，即a 的取值范围是(2，3].]14.解析：忽略函数的f (x )极大值＝f (－1)＝2＋a >0，f (x )极小值＝f (1)＝a －2<0导致错误. (－2，2) [由f (x )＝x 3－3x ＋a ＝0，得f ′(x )＝3x 2－3，当f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，由图象可知f (x )极大值＝f (－1)＝2＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －2，要使函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则有f (x )极大值＝f (－1)＝2＋a >0，f (x )极小值＝f (1)＝a －2<0，即－2<a <2，所以实数a 的取值范围是(－2，2).]15.解析：分段函数的值域是各段函数值域的并集，应首先求出各段函数的值域，易于忽略. (1，2] [当x ≤2，故－x ＋6≥4，要使得函数f (x )的值域为[4，＋∞)，只需f 1(x )＝3＋log a x (x ＞2)的值域包含于[4，＋∞)，故a ＞1，所以f 1(x )＞3＋log a 2，所以3＋log a 2≥4，解得1＜a ≤2，所以实数a 的取值范围是(1，2].]16.解析：由于是存在性的问题，易忽略g (x )的最大值大于或等于f (x )的最小值导致错误. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1e ，＋∞ [f ′(x )＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ，当x >－1时，f ′(x )>0函数递增；当x <－1时，f ′(x )<0函数递减，所以当x ＝－1时f (x )取得极小值即最小值f (－1)＝－1e .函数g (x )的最大值为a ，若∃x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则有g (x )的最大值大于或等于f (x )的最小值，即a ≥－1e .]。

2021届高考数学一轮复习专题05 易错题汇编一．选择题1．函数f（x）＝+lg（x﹣2）的定义域是（）A．[﹣1，4] B．（﹣1，4] C．[2，4] D．（2，4]【答案】D【解析】函数f（x）＝+lg（x﹣2）中，令，即，解得，即2＜x≤4；所以函数f（x）的定义域是（2，4]．故选：D．2．下列命题说法错误的是（）A．若a∥α，b⊥α，则a⊥bB．若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥bC．若α∥β，a⊥α，则a⊥βD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β【答案】D【解析】对A，若a∥α，根据线面平行的性质定理，存在平面β，有a⊂β，α∩β＝c，使得a∥c，由于b⊥α，所以b⊥c，即有a⊥b，A正确；对B，根据面面平行的性质定理可知，B正确；对C，根据一条直线和两个平行平面中的一个垂直，则它和另一个平面也垂直，C正确；对D，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行，也可能相交，D错误．3．以下命题正确的是（ ） ①幂函数的图象都经过（0，0） ②幂函数的图象不可能出现在第四象限③当n ＝0时，函数y ＝x n 的图象是两条射线（不含端点） ④f （x ）＝x ﹣3是奇函数，且f （x ）＝x﹣3在定义域内为减函数A ．①②B ．②④C ．②③D ．①③【答案】C 【解析】 （1）幂函数y ＝x﹣1不经过点（0，0），故①错误；（2）幂函数y ＝x a ，显然不论a 取何值，当x ＞0时，x a ＞0，故幂函数图象不可能经过第四象限，故②正确；（3）当n ＝0时，y ＝x n ＝1（x ≠0），故y ＝x 0的图象为两条射线（不含端点），故③正确； （4）f （x ）的定义域为{x |x ≠0}，且f （x ）＝x ﹣3＝，∴f （﹣x ）＝＝﹣＝﹣f （x ），故f （x ）＝x ﹣3是奇函数，又当x ＜0时，f （x ）＜0，当x ＞0时，f （x ）＞0，故f （x ）在定义域内不是减函数，故④错误．故选：C ．4.若矩阵12a b -⎛⎫⎪⎝⎭是线性方程组321x y x y -=⎧⎨-=⎩的系数矩阵，则（ ） A. 1,1a b ==-B. 1,1a b ==C. 1,1a b =-=D.1,1a b =-=-【答案】A 【解析】 矩阵12a b -⎛⎫⎪⎝⎭是线性方程组321x y x y -=⎧⎨-=⎩的系数矩阵，则1,1a b ==-. 故选：A .5．若a ＝20.3，b ＝log 20.3，c ＝log 32，则实数a ，b ，c 之间的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．b ＞a ＞c【解析】由题意可知a＝20.3＞20＝1，b＝log20.3＜log22﹣1＝﹣1，0＜c＝log32＜log33＝1，∴a＞c＞b．故选：B．6．下列各组函数是同一函数的是（）①与②与③f（x）＝x0与④f（x）＝x2﹣2x﹣1与f（t）＝t2﹣2t﹣1A．②④B．③④C．②③D．①④【答案】B【解析】对于①，函数f（x）＝﹣x（x≤0），与g（x）＝x（x≤0）的对应关系不同，不是同一函数；对于②，函数f（x）＝＝x（x＞0），与g（x）＝＝|x|（x∈R）的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数；对于③，函数f（x）＝x0＝1（x≠0），与g（x）＝＝1（x≠0）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于④，函数f（x）＝x2﹣2x﹣1（x∈R），与g（x）＝t2﹣2t﹣1（t∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；综上知，是同一函数的序号是③④．故选：B．7．复数z满足（1+i）z＝|1﹣i|，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．D．【答案】C【解析】因为（1+i）z＝|1﹣i|，∴z＝＝＝＝＝﹣i．故选：C．8．设a，b都是不为1的正数，则“l og a3＜log b3”是“3a＞3b＞3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由log a3＜log b3，得，＜，得0＜b＜a＜1或0＜a＜1＜b或a＞b＞1，由3a＞3b＞3，得a＞b＞1，∴“log a3＜log b3”是“3a＞3b＞3”的必要不充分条件．故选：B．9．若对任意的a∈R，不等式e2a+a2+b2﹣2ab≥20恒成立，则实数b的取值范围是（）A．b B．b≥3+ln2 C．b≥4+ln2 D．b≥5+ln2【答案】C【解析】令f（x）＝e2x+x2+b2﹣2bx﹣20，f′（x）＝2e2x+2x﹣2b，f″（x）＝4e2x+2＞0，所以f′（x）在R上单调递增，又∵，所以存在x0使得f′（x0）＝0，代入化简可得，那么f（x）在（﹣∞，x0）单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．∴＝，又∵f（x0）≥0，即．令，则t2+t≥20，解得：t≤﹣5 （含去），t≥4，即x0≥ln2，∴，故选：C．10．定义：若平面点集A中的任一个点（x0，y0），总存在正实数r，使得集合{（x，y）|＜r}⊆A，则称A为一个“K集”给出下列集合：①{（x，y）|x2+y2＝1}；②{（x，y）|x+y＜6}；③{（x，y）|x+y+2≥0}；④{（x，y）|0＜x2+（y﹣）2＜1}．其中是“K集”的是（）A．①④B．②③C．②④D．③④【答案】C【解析】①：x2+y2＝1表示以原点为圆心，1为半径的圆，则在该圆上任意取一点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足{（x，y））|＜r}⊆A，故①不是“K集”；②A＝{（x，y）|x+y＜6}时，在平面点集A中的任取一点（x0，y0），则该点到直线的距离为d，取r＝d，则满足{（x，y）|＜r}⊆A，故②该集合是“K集”；③A＝{（x，y）|x+y+2≥0}，在曲线x+y+2＝0任意取点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足{（x，y）|＜r}⊆A，故③该集合不是“K集”；④A＝{（x，y）|0＜x2+（y﹣）2＜1}表示以点（0，）为圆心，1为半径除去圆心和圆周的圆面，在该平面点集A中的任一点（x0，y0），则该点到圆周上的点的最短距离为d，取r＝d，则满足{（x，y）|＜r}⊆A，故④该集合是“K集”．故选：C．二．填空题11．若实数x，y满足约束条件则z＝3x+y的最大值为14．【答案】14．【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，5）．化目标函数z＝3x+y为y＝﹣3x+z，由图可知，当直线y＝﹣3x+z过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3×3+5＝14．故答案为：14．12．定义p（n）为正整数n的各位数字中不同数字的个数，例如p（555）＝1，p（93）＝2，p（1714）＝3．在等差数列{a n}中，a2＝9，a10＝25，则a n＝2n+5，数列{p（a n）}的前100项和为227．【答案】见解析【解析】解：在等差数列{a n}中，a2＝9，a10＝25，公差d＝＝2，∴a n＝9+2（n﹣2）＝2n+5．∵a1＝7，a100＝205．a n为奇数，∴a n＝7，9，11，33，55，77，99，111时，p（a n）＝1．a n＝101，113，115，117，119，121，131，133，141，151，155，161，171，177，181，191，199时，p（a n）＝2．在{a n}中，小于100的项共有47项，这47项中满足p（a n）＝2的共有47﹣7＝40项，故数列{p（a n）}的前100项和为：1×8+2×（40+17）+3×（100﹣8﹣40﹣17）＝227．故答案为：2n+5，227．13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，sin（A+C）＝，且A，B，C成等差数列，则C的大小为．【答案】见解析【解析】△ABC中，A，B，C成等差数列，可得2B＝A+C＝π﹣B，即B＝，sin（A+C）＝，即为sin B＝，即有b2＝c2+ac，由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac，即有a＝2c，b＝c，cos C＝＝＝，由C为三角形的内角，可得C＝．故答案为：．14．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BCD＝60°，CB＝CD＝2．若点M为边BC上的动点，则•的最小值为．【答案】见试题解答内容【解析】如图所示：以B为原点，以BA所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴，过点D做DP⊥x轴，过点D做DQ⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，，∴B（0，0），A（2，0），C（0，2），D（3，），设M（0，a），则＝（﹣2，a），＝（﹣3，a﹣），故•＝6+a（a﹣）＝≥，故答案为：．15．已知a＞0，b＞0，且，则的最小值为4．【答案】见解析【解析】正数a，b满足，∴b＝＞0，解得a＞1，同理b＞1，则＝+＝+4（a﹣1）≥2 ＝4，当且仅当a ＝时取等号（此时b＝3）．∴的最小值为4．故答案为：4．故答案为：4．16．已知，f（1，1）＝1，f（m，n）∈N*（m，n∈N*）且对任意m，n∈N*都有①f（m，n+1）＝f（m，n）+2；②f（m+1，1）＝2f（m，1）．则f（2007，2008）的值＝22006+4014．【答案】见试题解答内容【解析】∵f（m，n+1）＝f（m，n）+2∴{f（m，n）}是以1为首项，2为公差的等差数列∴f（1，n）＝2n﹣1又∵f（m+1，1）＝2f（m，1）∴{f（m，1）}是以1为首项2为公比的等比数列，∴f（n，1）＝2n﹣1∴f（m，n+1）＝2m﹣1+2n∴f（2007，2008）＝22006+4014故答案为：22006+4014．17．已知函数为偶函数，为奇函数，其中a、b为常数，则（a+b）+（a2+b2）+（a3+b3）+…+（a100+b100）＝﹣1．【答案】见解析【解析】∵f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，∴，即，解得；∴复数a、b是方程x2+x+1＝0的两个根，解得，a＝﹣+i，b＝﹣﹣i；∴a3＝b3＝1已知a+b＝﹣1，ab＝1；则a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝﹣1，a3+b3＝2，同理可求a4+b4＝﹣1，a5+b5＝﹣1，a6+b6＝2，…，归纳出有周期性且T＝3，∴（a+b）+（a2+b2）+（a3+b3）+…+（a100+b100）＝99[（a+b）+（a2+b2）+（a3+b3）]+（a+b）＝﹣1．故答案为：﹣1．18．已知函数f（x）是定义在[1，+∞）上的函数，且f（x）＝，则函数y＝2xf（x）﹣3在区间（1，2016）上的零点个数为11．【答案】见解析【解析】令函数y＝2xf（x）﹣3＝0，得到方程f（x）＝，当x∈[1，2）时，函数f（x）先增后减，在x＝时取得最大值1，而y＝在x＝时也有y＝1；当x∈[2，22）时，f（x）＝，在x＝3处函数f（x）取得最大值，而y＝在x＝3时也有y＝；当x∈[22，23）时，f（x）＝，在x＝6处函数f（x）取得最大值，而y＝在x＝6时也有y＝；…；当x∈[210，211）时，f（x）＝，在x＝1536处函数f（x）取得最大值，而y＝在x＝1536时也有y＝．∴函数y＝2xf（x）﹣3在区间（1，2016）上的零点个数为11．故答案为：11．三．解答题19．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x|．（1）解不等式f（x）≥0；（2）若存在x∈R，使得不等式f（x）≤2a成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）{x|x≤﹣1或x≥﹣}；（2）{x|x≤﹣1或x≥﹣}．【解析】（1）f（x）≥0即为|2x+1|≥|x|，两边平方可得4x2+4x+1≥x2，即3x2+4x+1≥0，解得x≥﹣或x≤﹣1，则原不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥﹣}；（2）存在x∈R，使得不等式f（x）≤2a成立，等价为f（x）min≤2a，由f（x）＝|2x+1|﹣|x|＝|x+|+（|x+|﹣|x|）≥|﹣+|﹣|x+﹣x|＝﹣，当x＝﹣时，f（x）取得最小值﹣，则2a≥﹣，解得a≥﹣，故实数a的取值范围为{x|x≤﹣1或x≥﹣}；20．已知a∈R，函数f（x）＝log2（+a）．（1）当a＝﹣5时，解关于x的不等式f（x）＞0；（2）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差都不超过1，求实数a的取值范围．【答案】见解析【解析】（1）a＝﹣5时，f（x）＝log2（﹣5），令f（x）＞0，即﹣5＞1，0＜x＜，故不等式的解集是（0，）；（2）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即log2（+a）﹣log2（+a）≤1，即+a≤2（+a），即a≥﹣＝，设1﹣t＝r，则0≤r≤，＝＝，当r＝0时，＝0，当0＜r≤时，＝，∵y＝r+在（0，）上递减，∴r+≥+4＝，∴＝≤＝，∴实数a的取值范围是a≥．21．数列{a n}的通项公式是a n＝，前n项和为S n，计算（1）；（2）S n．【答案】见解析【解析】（1）n＞2，＝＝0．（2）n＞2时，S n＝+0+＝+．S n＝＝．22．已知等差数列{a n}，公差d＞0，前n项和为S n，且满足a2a3＝45，a1+a4＝14．（1）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（2）设，①求证{b n}是等差数列．②求数列的前n项和T n．③求．【答案】见解析【解析】（1）∵{a n}是等差数列，∴，∴a2＝5，a3＝9，则d＝a3﹣a2＝4，故a n＝a2+（n﹣2）d＝4n﹣3，S n＝（1+4n﹣3）n＝2n2﹣n；（2）①证明：∵，∴b n+1﹣b n＝2，即{b n}为等差数列；②，前n项和T n＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝；③＝＝＝＝．23．已知函数．（1）求函数f（x）的周期和单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求f（B）的取值范围．【答案】（1）2π，[﹣+2kπ，+2kπ]（k∈Z）；（2）（﹣，﹣]．【解析】＝sin x﹣（cos x+1）+＝sin x﹣cos x＝sin（x﹣），（1）根据f（x）的解析式可得T＝＝2π，令﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，解得x∈[﹣+2kπ，+2kπ]（k∈Z），即f（x）的单调递增区间为：[﹣+2kπ，+2kπ]（k∈Z）；（2）因为，即c2+a2﹣b2≥ac，则由余弦定理cos B＝，因为B∈（0，π），所以≤cos B＜1，则0＜B≤，所以﹣＜B﹣≤﹣，则sin（B﹣）∈（﹣，﹣]，即f（B）的值域为：（﹣，﹣]．24．已知圆M经过点（0，1）且与直线y＝﹣1相切，圆心M的轨迹为曲线C，点A（a，1）（a＞0）为曲线C上一点．（1）求a的值及曲线C的方程；（2）若M，N为曲线C上异于A的两点，且AM⊥AN．记点M，N到直线x＝﹣2的距离分别为d1，d2，判断d1d2是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）x2＝4y．（2）16．【解析】（1）圆M经过点（0，1）且与直线y＝﹣1相切，圆心M的轨迹为曲线C，M （x，y），由题意，化简可得x2＝4y，所求轨迹方程为x2＝4y．（2）直线AM的斜率不存在不成立，设AM斜率为k且k≠0，则直线AN的斜率为，设M、N坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），∵A（2，1），∴直线AM的方程为y﹣1＝k（x﹣2），则，得x2﹣4kx+4（2k﹣1）＝0，则2•x1＝4（2k﹣1），∴x1＝2（2k﹣1），直线AN的方程为，同理可得，d1•d2＝|x1﹣（﹣2）|•|x2﹣（﹣2）|＝＝，d1d2为定值16．。