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上海市奉贤中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题
试卷副标题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题)
请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题
1．若a 与b c -都是非零向量，则“a b a c ?=?r r r r ”是“()a b c ⊥-r r r ”的（ ）条件
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不
必要 【答案】C 【解析】 【分析】
根据充分条件与必要条件的概念，以及向量数量积运算，即可得出结果. 【详解】
因为a r 与b c -r r
都是非零向量，若a b a c ?=?r r r r ，则0?-?=r r r r a b a c ，即()0?-=r r r a b c ，所以()a b c ⊥-r r r ；因此“a b a c ?=?r r r r
”是“()a b c ⊥-r r r ”的充分条件； 若()a b c ⊥-r r r ，则0?-?=r r r r a b a c ，所以a b a c ?=?r r r r ；因此“a b a c ?=?r r r r ”是“()a b c ⊥-r r r
”的必要条件；
综上，“a b a c ?=?r r r r
”是“()a b c ⊥-r r r ”的充要条件.
故选：C 【点睛】
本题主要考查命题充要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及数量积的运算法则即可，属于常考题型.
试卷第2页，总20页
2．已知直线方程为1
3510231
x y =-，则下列各点不在这条直线上的是（ ）
A ．(2,3)-
B ．(4,7)
C ．(3,5)
D ．1(,4)2
【答案】B 【解析】 【分析】
先由题意得到直线方程为：25190-+=x y ，根据选项，逐项代入验证，即可得出结果. 【详解】
因为1
35152910332519231=-++--=-+-x y x y y x x y ，
所以，由1
3510231
x y =-得，25190-+=x y ；
当2x =-，3y =时，25190-+=x y ，故点(2,3)-在直线25190-+=x y 上； 当4x =，7y =时，251980-+=-≠x y ，故点(4,7)不在直线25190-+=x y 上； 当3x =，5y =时，25190-+=x y ，故点(3,5)在直线25190-+=x y 上； 当12x =
，4y =时，25190-+=x y ，故点1
(,4)2
在直线25190-+=x y 上. 故选：B 【点睛】
本题主要考查点与直线位置关系，只需由点的坐标代入直线方程验证即可，本题需熟记直线的矩阵形式，属于常考题型.
3．动点P 满足1(1)(1)(12)3
OP OA OB OC λλλ??=-+-++??u u u r u u u r u u u r u u u r
（R λ∈），动点P 一定会过ΔABC 的（ ） A ．内心 B ．垂心
C ．重心
D ．外心
【答案】C 【解析】 【分析】
取AB 中点D ，做出简图，由2OA OB OD +=u u u r u u u r u u u r
化简得2(1)123
3
OP OD OC λλ-+=
+u u u r u u u r u u u r ，
………订………__________考号：____………订………根据
2(1)12133
λλ
-++=得P 、C 、D 三点共线，所以点P 一定会通过ABC △重心. 【详解】
取AB 中点D ，做出示意图如下图所示： 由图可知2OA OB OD +=u u u r u u u r u u u r
，
故12(1)12(1)(1)(12)333OP OA OB OC OD OC λλλλλ-+??=-+-++=+??u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 因为
2(1)12133
λλ
-++=，所以P 、C 、D 三点共线，即点P 在AB 的中线CD 所在直线上，
所以点P 一定会过ABC △的重心。 故选：C.
【点睛】
本题主要考查向量的线性运算及其应用，关键在于利用向量的加法法则将已知条件化简成三个共起点的向量的关系，利用三点共线的判定条件判断三点共线，属于中档题. 4．在平面直角坐标系中，A 、B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线3210x y +-=相切，则圆C 面积的最小值（ ） A ．
52
π
B ．
54
π
C ．
56
π
D ．
58
π
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意，得到点O 在圆C 上，（其中O 为坐标原点），由O 向直线3210x y +-=作垂线，垂足为D ，当D 恰为圆C 与直线3210x y +-=的切点时，圆C 的半径最小，根据点到直线距离公式，即可求出结果. 【详解】
因为AB 为直径，90AOB ?∠=，（其中O 为坐标原点）， 所以点O 在圆C 上，
由O 向直线3210x y +-=作垂线，垂足为D ，
…
…
…
…
订
…
…
…
…
○
…
※
订
※
※
线
※
※
内
※
※
答
※
※
题
※
※
…
…
…
…
订
…
…
…
…
○
…
则当D恰为圆C与直线3210
x y
+-=的切点时，圆C的半径最小，
此时圆的直径为点(0,0)
O到直线3210
x y
+-=的距离==
d
此时圆的半径为
1
2
==
r d，
所以圆C面积的最小值为
2
2
min2652
π
ππ
?
==?=
??
S r.
故选：A
【点睛】
本题主要考查直线与圆位置关系的应用，熟记直线与圆位置关系，以及点到直线距离公
式即可，属于常考题型.
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
5．直线l过点A（1,2），且法向量为（1，-3），则直线l的一般式方程为____________
【答案】x-3y+5=0
【解析】
【分析】
先由直线的法向量为（1，-3），求出直线的斜率为
1
3
，再结合直线点斜式方程的求法，
求出直线方程，然后整理为一般式即可.
【详解】
解：由直线的法向量为（1，-3），则直线的斜率为
1
3
，
试卷第4页，总20页
又直线过点A （1,2），由直线点斜式方程可得1
2(1)3
y x
-=-， 整理得350x y -+
=， 故答案为：350x y -+=. 【点睛】
本题考查了直线的法向量及直线的点斜式方程，重点考查了直线一般方程的求法，属基础题.
6．向量(3,4)a =r
在向量(1,1)b =-r 方向上的投影为________.
【答案】 【解析】 【分析】
根据向量在向量方向上的投影公式计算即可. 【详解】
依题意得·
1,a b b =-=r r r a r 在向量b r 方向上的投影为·2a b b
r
r r =-. 【点睛】
本题主要考查了向量在向量方向上的投影及其计算，属于中档题. 720y ++=与直线10x +=的夹角为________ 【答案】6
π
【解析】 【分析】
分别求两直线的倾斜角，即可得出夹角. 【详解】
20y ++=的斜率为k =23
π， 又直线10x +=的倾斜角为2π， 所以两直线夹角为：2326
π
ππ
-=. 故答案为：6
π 【点睛】
本题主要考查求两直线的夹角，熟记斜率的定义，会求倾斜角即可，属于基础题型.
试卷第6页，总20页
…………○…………订…要※※在※※装※※订※※线※※内※※…………○…………订…8．设变量x 、y 满足约束条件01030y x y x y ≥??
-+≥??+-≤?
，则23z x y =+的最大值为________
【答案】8 【解析】 【分析】
先由约束条件作出可行域，化目标函数23z x y =+为233
z
y x =-
+，根据直线233z
y x =-+在y 轴上的截距3
z 越大，z 就越大；结合图像，即可得出结果.
【详解】
由约束条件0
1030y x y x y ≥??
-+≥??+-≤?
作出可行域如下：
因为23z x y =+化为233
z y x =-+， 因此直线233z
y x =-
+在y 轴上的截距3
z 越大，z 就越大； 由图像可得：直线233
z
y x =-+过点A 时，截距最大；
由1030x y x y -+=??
+-=?解得1
2
x y =??=?，即(1,2)A ，
所以max 268=+=z . 故答案为：8 【点睛】
本题主要考查简单的线性规划问题，由约束条件作出可行域，分析目标函数的几何意义，结合图像即可求解，属于常考题型.
9．行列式351
2
36724
---中，元素6-的代数余子式的值为____________. 【答案】29 【解析】 【分析】
由已知得元素6-是第2行第3列元素，根据行列式的元素的代数余子式的定义可求得
6-的代数余子式.
【详解】
由题意得元素6-的代数余子式是第2行第3列元素的代数余子式
()()23
35(1)(1)3257297
2
+-??-=-??--?-=??-,
故填：29. 【点睛】
本题考查行列式的代数余子式的概念和求值，余子式的值与元素无关，只与元素的位置有关，属于基础题.
10．关于x 、y 的二元线性方程组25
32x my nx y +=??
-=?
的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵
为103011?? ?
??
，则m
n =________ 【答案】3
5
- 【解析】 【分析】 先由题意，得到3
1
x y =??=?即是原方程组的解，代入原方程组，求出,m n ，即可得出结果. 【详解】
因为关于x 、y 的二元线性方程组25
32x my nx y +=??-=?
的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵
为103011??
???
，
所以31x y =??=?即是原方程组的解，代入原方程组，可得：65332m n +=??-=?
，
试卷第8页，总20页
解得：1
53m n =-??
?=??
，因此35=-m n .
故答案为：3
5
- 【点睛】
本题主要考查由二元一次方程组的增广矩阵求参数的问题，熟记二元一次方程组的矩阵表示即可，属于常考题型.
11．已知(3,2)a =-r ，(1,4)b =-r ，向量a r
与向量a λb +r r 垂直，则实数λ的值为________
【答案】1311
- 【解析】 【分析】
先由题意求出(3,24)+=--+r r
a λ
b λλ，再由向量垂直，得到()
0a
a b λ?+=r r r ，根据向
量数量积的坐标表示，即可得出结果. 【详解】
因为(3,2)a =-r
，(1,4)b =-r ，所以(3,24)+=--+r r a λb λλ，
又向量a r 与向量a λb +r r
垂直，
所以()
0a a b λ?+=r r r
，即3(3)2(24)0---++=λλ，
即11130+=λ，解得：1311
λ=-. 故答案为：1311
- 【点睛】
本题主要考查根据向量垂直求参数的问题，熟记向量数量积的坐标表示即可，属于常考题型.
12．已知||1a =r ，1b r
||=，||a b +=r r ，则||a b -=r r ________
【答案】1 【解析】 【分析】
先由题意求出a b ?r r
，根据向量模的计算公式，即可得出结果. 【详解】
因为||1a =r ，1b r
||=，||a b +=r r ，
所以()
2
2223+=++?=a b
a b a b r r r r r r
，因此12
a b ?=r r ，
所以||1-===a b r r . 故答案为：1 【点睛】
本题主要考查求向量的模，熟记向量模的计算公式即可，属于常考题型.
13．已知定点(0,5)A -，P 是圆22(2)(3)2x y -++=上的动点，则当||PA 取到最小值时，P 点的坐标为________ 【答案】(1,4)- 【解析】 【分析】
先由题意，得到点(0,5)A -在圆22(2)(3)2x y -++=外，记圆22(2)(3)2x y -++=的圆心为(2,3)M -，半径为r =
min =-PA PM r ，
推出P 为AM 的中点，进而可求出结果. 【详解】
因为22(02)(53)82-+-+=>，所以点(0,5)A -在圆22(2)(3)2x y -++=外， 记圆22(2)(3)2x y -++=的圆心为(2,3)M -，半径为r =
则min
=-==PA PM r
此时,,A P M 三点共线， 由1
2
=
PA PM 可得：P 为AM 的中点， 因此P 的坐标为：0253,22+--??
???
，即(1,4)-P . 故答案为：(1,4)- 【点睛】
本题主要考查点与圆位置关系的应用，熟记点与圆位置关系，以及中点坐标公式即可，属于常考题型.
14．如图，已知ABC ?是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，
连结DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ?u u u r u u u r
的值为________
…
…
…
…
○
…
…
…
…
…
…
○
…
…
【答案】
1
8
【解析】
【分析】
先由题意，得到
33
24
DF DE AC
==
u u u r u u u r u u u r
，推出
13
24
=+=+
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
AF AD DF AB AC，再由
BC AC AB
=-
u u u r u u u r u u u r
，根据向量的数量积运算，结合题中条件，直接计算，即可得出结果.
【详解】
因为2
DE EF
=，点D、E分别是边AB、BC的中点，
所以
33
24
DF DE AC
==
u u u r u u u r u u u r
，
因此
13
24
=+=+
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
AF AD DF AB AC，
又BC AC AB
=-
u u u r u u u r u u u r
，ABC
?是边长为1的等边三角形，
所以()22
13131
24244
??
?=+?-=-+-?
?
??
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
AF BC AB AC AC AB AB AC AC AB
1311311
cos60
2442488
?
=-+-?=-+-=
u u u r u u u r
AC AB.
故答案为：
1
8
【点睛】
本题主要考查向量的数量积运算，熟记向量数量积的运算法则，以及平面向量基本定理
即可，属于常考题型.
15．在平面直角坐标系xOy中，已知直线:0
++=
l x y a与点(2,0)
A，若直线l上存
在点M满足2
=
MA MO，（O为坐标原点），则实数a的取值范围是________
【答案】
??
【解析】
【分析】
先设(,)
--
M x x a，根据(2,0)
A，2
=
MA MO，得到22
6(64)340
x a x a
+++-=，
试卷第10页，总20页
○…………装学校:___________姓名○…………装再由题意，得到(
)
2
2
(64)24340?=+--≥a a ，求解，即可得出结果. 【详解】
由题意设(,)--M x x a ， 因为点(2,0)A ，2=MA MO ，
=， 整理得：2
2
6(64)340x a x a +++-=① 因为直线l 上存在点M 满足2=MA MO ，
所以方程①有解，因此(
)
2
2
(64)24340?=+--≥a a ，
解得
2233
-+≤≤
a . 故答案为：2233?-+???
【点睛】
本题主要考查两点间距离公式的应用，熟记公式即可，属于常考题型.
16．如图，已知半圆2
2
1x y +=（0y ≥），点(1,0)A -，点(0,1)D ，点C 在半圆上，
点B 在x 轴上，且ABC ?是以AB 为底边的等腰三角形，若直线AC 与直线BD 平行，则点B 的横坐标为________.
【答案】1【解析】 【分析】
先设(,0)B a ，由题意易得：10a -<<；再由题意，得到1
==-AC BD k k a ，得到直线AC
的方程为：1
(1)=-+y x a
；再由ABC ?是以AB 为底边的等腰三角形，根据直线AC 方
程，得到11,2
2-+??-
???a a C a ，代入22
1x y +=，求解，即可得出结果.
试卷第12页，总20页
【详解】
因为点B 在x 轴上，设(,0)B a ，由题意易得：10a -<<，
因为点(0,1)D ，所以1=-BD k a ，又直线AC 与直线BD 平行，所以1
=-AC k a ，
由点(1,0)A -，可得直线AC 的方程为：1
(1)=-+y x a
；
因为ABC ?是以AB 为底边的等腰三角形，所以C 点横坐标为：1
2
a -，代入1
(1)=-+y x a
，
可得，111122-+??=-+=- ???a a y a a ，即11,2
2-+??
- ???a a C a ， 又因为点C 在半圆22
1x y +=（0y ≥）上，
所以22
11212-+-????+= ? ?
????
a a a ，即2222
(1)4(1)-=-+a a a a ， 即222
(1)321-=--a a a a ，即()()22
(1)311-=+-a a a a ，
即()()
32
1310----=a a a a ，即()()()
32212210??---+--=??a a a a a a ，
即()()()
2
11210-+--=a a a a ，解得：1a =±或1a =，
因为10a -<<，所以1a = 即点B 的横坐标为1故答案为：1 【点睛】
本题主要考查点与圆位置关系的应用，熟记点与圆位置关系，以及直线平行的判定条件即可，属于常考题型. 三、解答题
17．设向量(cos ,sin )a θθ=r ，1(,22
=-r b .
（1）若//a b r
r
，且(0,)θπ∈，求θ；
（2）若33+=-a b a b r r r r ，求a b +r
r 的值.
【答案】（1）23
π
θ=；（2. 【解析】 【分析】
（1）根据题中条件，结合向量共线的坐标表示，得到1
cos sin 022
θθ+=，进而可求出结果；
（2）先由题意得到1==a b r r ，0a b ?=r r ，再由向量模的计算公式，即可得出结果.
【详解】
（1）因为(cos ,sin )a θθ=r ，1(2=-r b ，//a b r r ，
1
sin 02
θθ+=，因此tan θ=， 又(0,)θπ∈，所以23
π
θ=
； （2）因为(cos ,sin )a θθ=r ，1(2=-r b ，所以1==a b r r ，
由33+=-a b a b r r r r 得22229669+?+=-?+a a b b a a b b r r r
r r r r r ，
即961169+?+=-?+a b a b r r
r r ，因此0a b ?=r r ，
所以+==
=a b r
r
【点睛】
本题主要考查由向量共线求参数，以及由向量的模求向量模的问题，熟记向量共线的坐标表示，以及向量模的计算公式即可，属于常考题型. 18．已知关于x 、y 的方程组（*）60
(2)32x my m x y m
++=??
-+=-?.
（1）写出方程组（*）的增广矩阵； （2）解方程组（*），并对解的情况进行讨论. 【答案】（1）1
6232m m m -??
?--??
；
（2）当1m =-时，无解；当3m =时，有无穷组解；当1m ≠-且3m ≠时，有唯一解. 【解析】 【分析】
试卷第14页，总20页
（1）根据方程组得到6
(2)32x my m x y m +=-??
-+=-?
，即可直接写出其增广矩阵；
（2）分别讨论1m =-，3m =，1m ≠-且3m ≠三种情况，即可得出结果. 【详解】
（1）因为方程组（*）60(2)32x my m x y m ++=??-+=-?可化为6
(2)32x my m x y m +=-??-+=-?
，
因此，其增广矩阵为：1
6232m m m -??
?--??
；
（2）当1m =-时，方程组（*）可化为6
332x y x y -=-??-+=?
，此时方程组无解；
当3m =时，方程组（*）可化为36
36
x y x y +=-??
+=-?，此时方程组有无穷组解；
当1m ≠-且3m ≠时，由6(2)
32x my m x y m +=-??-+=-?解得261
41m x m y m +?=-?
?+??=-
?+?
，显然只有唯一解.
【点睛】
本题主要考查求方程组的系数矩阵，以及解方程组的问题，熟记二元一次方程组的矩阵表示，以及二元一次方程组的解法即可，属于常考题型.
19．已知(2,1)P ，直线
l 分别交x 轴、y 轴的正半轴于A 、B
两点，O 为坐标原点. （1）若直线l 方程为y x b =-+（0b >），且1ABP S =V ，求b 的值；
（2）若直线l 经过点P ，设l 的斜率为k ，M 为线段AB 的中点，求OM OP ?uuu r uu u r
的最小值.
【答案】（1）1或2；（2）92
【解析】 【分析】
（1）先由题意得到(,0)A b 、(0,)B b ，AB =，根据点到直线距离公式得到点(2,1)P 到直线y x b =-+的距离为：=
=
d ，再由三角形面积公式，得到
31
122
-=
?==ABP b b S AB d V ，求解，即可得出结果；
（2）先由题意得到直线l的方程为：1(2)
y k x
-=-，求出A、B两点坐标，由题意确定k0
<，求出M点坐标，再由向量数量积的坐标表示，以及基本不等式，即可求出结果.
【详解】
（1）因为直线l方程为y x b
=-+（0
b
>）l分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，
所以(,0)
A b
、(0,)
B b，因此AB，
又点(2,1)
P到直线y x b
=-+
的距离为：==
d1
ABP
S=
V
，
所以
3
11
1
222
-
=?===
ABP
b b
S AB d
V
，
因此232
-=±
b b，由232
-=
b b，解得=
b因为0
b>，所以=
b
由232
-=-
b b，解得1
b=或2
b=，
综上，b的值为1或2
（2）由题意得，直线l的方程为：1(2)
y k x
-=-，
由0
x=得12
y k
=-，所以(0,12)
-
B k；由0
y=得
1
2
x
k
=-，所以
1
2,0
A
k
??
-
?
??
；又A、B两点分别在x轴、y轴的正半轴上，
所以
1
20
120
k
k
?
->
?
?
?->
?
，解得k0
<；
因为M为线段AB的中点，所以
11
1,
22
??
--
?
??
M k
k
，
因此()
115159
212
22222
????
?=-+-=+-+-≥+=
? ?
????
OM OP k k
k k
uuu r uu u r
，
当且仅当
1
-=-
k
k
，即1
k=-时，取等号.
故OM OP
?
uuu r uu u r
的最小值为
9
2
.
…
○
…
…
…
…
线
※
※
…
○
…
…
…
…
线
【点睛】
本题主要考查直线方程的应用，以及向量数量积的最值，熟记直线方程的常用形式，点
到直线距离公式，以及向量数量积的运算法则，灵活运用基本不等式即可，属于常考题
型.
20．如图，扇形OAB的圆心角为
3
π
，半径为1，圆心为原点O，点A在x轴正半轴上.
（1）求点B的坐标；
（2）已知
1
(0,)
3
M-，直线:
3
k
l y kx
=+，点P在直线l上，点Q在弧AB上，且
2+0
MP MQ=
uuu r uuu r r
，求k的取值范围.
【答案】（1）
1
(
2
；（2）(,6[3,)
-∞--+∞
U
【解析】
【分析】
（1）先由题意得到
3
AOB
π
∠=，在单位圆内，即可取出坐标；
（2）先设00
(,)
P x y，(,)
Q x y，根据题意，得到
2
1
2
x
x
y
y
?
=-
??
?
+
?=-
??
，推出
3
(1)
31
2
32
311
23
-++
===
+-+-
y
y y
k
x x x
，表示弧AB上的点与定点
2
,1
3
??
-
?
??
N连线的斜率，结
合图像，即可得出结果.
【详解】
（1）因为扇形OAB的圆心角为
3
π
，所以
3
AOB
π
∠=，又扇形所在圆的半径为1，
所以：
1
1cos
2
=?∠=
B
x AOB，1sin
=?∠=
B
y AOB，
即点B的坐标为
1
(,
22
；
试卷第16页，总20页
……○…………………○…………订___________班级：___________考……○…………………○…………订（2）设00(,)P x y ，
(,)Q x y ，因为1
(0,)3M -，所以001,3??=+ ???MP x y uuu r ，1,3??=+ ??
?MQ x y uuu r ， 由2+0MP MQ =uuu r uuu r r 得002021
2033x x y y +=???+++=??，所以002
12x x y y ?
=-???+?=-??
， 又点P 在直线:3
k
l y kx =+
上， 所以003=+k y kx ，即003(1)
3123231123
-++===+-+-y y y k x x x ，
又点(,)Q x y 在弧AB 上， 所以
1
23
+=
-y k x 表示弧AB 上的点与定点2,13??
- ???N 连线的斜率，
由图像可得：
013213
+≥==-AN
k k ，或12612
23
+≤==---BN k k ；
故k 的取值范围为(,6[3,)-∞--+∞U . 【点睛】
本题主要考查直线与圆的综合应用，根据三角函数定义，以及平面向量坐标运算处理，利用数形结合的思想，即可求解，属于常考题型.
21．如图，圆224x y +=与x 轴交于A 、B 两点，动直线:l y kx b =+（0k >）与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，与圆交于C 、D 两点（点D 纵坐标大于点C 纵坐标）.
试卷第18页，总20页
（1）若b=C与点A重合，求点D的坐标；
（2
）若b=CE FD
=
uur uu
u r
，求直线l将圆分成的劣弧与优弧之比；
（3）若1
b=，设直线AD、CB的斜率分别为1k、2k，是否存在实数k使得1
2
2
k
k
=？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由.
【答案】（1）
2
(
3
；（2）1:2；（3）存在，
3
2
k=
【解析】
【分析】
由题意得到(2,0)
A-，(2,0)
B，
（1）由b=:=+
l y kx C与点A重合，得到(2,0)
C-在直线
:=+
l y kx k=
果；
（2）取EF中点为P，连结OP，由题意得到OP CD
⊥，推出OE OF
=，从而求出直线:=+
l y x
2
3
COD
π
∠=，进而可求出结果；
（2）设()
11
,
C x y、()
22
,
D x y，联立直线与圆的方程，得到
1
22
122
2
1
3
1
k
x x
k
x x
k
?
+=-
??+
?
?=-
?+
?
，再由题意得()
121
212
(2)
2
2
-
=
=
+
k y x
k y x，推出
()
121
2
310120
+++=
x x x x，
求出
3
2
k=或
1
6
k=，根据120
y y<得到2
1
4
k>，进而可求出结果.
【详解】
因为圆224
x y
+=与x轴交于A、B两点，所以(2,0)
A-，(2,0)
B，
（1）由b=:=
l y kx，又点C与点A重合，直线l与圆224
x y
+=交于C、D两点，
所以(2,0)
C-在直线:=+
l y kx
因此20
-=
k，所以k=
○
…
…
…
…
装
…
…
…
…
○
学
校
:
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
姓
名
：
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
班
○
…
…
…
…
装
…
…
…
…
○
由
224
y x
x y
?
=
?
?
?+=
?
得2
3440
+-=
x x，所以
4
3
?=-
C D
x x，因此
2
3
=
D
x，
所以
2
3
=+=
D
y
2
,
33
?
??
D；
（2）取EF中点为P，连结OP，因为CE FD
=
uur uu u r
，所以P为CD中点，
所以OP CD
⊥，因此OE OF
=，
所以直线:l y kx b
=+的斜率为1
k=，由b=:=+
l y x
由点到直线距离公式可得：1
==
OP，又2
OD=，
所以
1
cos
2
∠=
POD，故
3
π
∠=
POD，所以
2
3
COD
π
∠=，
因此劣弧CD的长度为：
24
2
33
ππ
?=，
又圆的周长为：224
ππ
?=，
所以直线l将圆分成的劣弧与优弧之比为
44
:41:2
33
ππ
π
??
-=
?
??
.
（3）设()
11
,
C x y、()
22
,
D x y，因为1
b=，所以:1
l y kx
=+，代入圆224
x y
+=可得：
22
(1)4
++=
x kx，整理得：22
(10
3
)2
+-
+=
x kx
k，
所以
122
122
2
1
3
1
k
x x
k
x x
k
?
+=-
??+
?
?=-
?+
?
，
又2
1
2
2
=
+
y
k
x、
1
2
1
2
=
-
y
k
x，所以()
121
212
(2)
2
2
-
==
+
k y x
k y x，
试卷第20页，总20页
又22114=-y x ，22
224=-y x ，
所以
()
()()()()
()()()()
22222121212
2
221212124222(2)
4
22242-----=
=
=+++-+x x x x y x x x y x x x ，
即()1212310120+++=x x x x ，即22
92011120-
-+++=k
k k ， 整理得：2122030k k -+=，解得3
2k =或16
k =，
又()12,2,2∈-x x ，
()
121212(2)
202-==>+k y x k y x ，所以120y y <， 即12(1)(1)0++ 1212()10++ 所以22 4101-+<+k k ，解得2 14k >，所以32k =. 【点睛】 本题主要考查直线与圆位置关系的应用，通常需要联立直线与圆的方程，结合韦达定理，点到直线距离公式等求解，属于常考题型.
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