“万有引力定律”专题复习
一、知识体系
二、专题分类分析：
(一)
1、“月地迁移”问题
1： 设想人类开发月球,不断地把月球上的矿藏搬运到地球上,假定经过长时间开采后,地球、
月球
仍可看作均匀球体,月球仍沿开采前的轨道做圆周运动,则与开采前相比
A. 地球与月球间的万有引力将变大
B. 地球与月球间的万有引力将变小
C. 月球绕地球运转的周期将变大
D. 月球绕地球运转的周期将变小 2、双星问题：
2： 经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”。“双 星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。如图，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L ，质量之比为2:3:21 m m 。则可知
A.1m 、2m 做圆周运动的线速度之比为3：2
B.1m 、2m 做圆周运动的角速度之比为3：2
C.1m 做圆周运动的半径为
L 52
D.2m 做圆周运动的半径为L 5
2
（二）万有引力定律的应用 1、变轨问题：
3 (2000年全国第3题变形) 人造卫星沿圆轨道环绕地球运动。因受到高空稀薄空气的阻力作用, 其运动的高度将逐渐变化, 由于高度的变化很慢, 在变化过程中的任一时刻, 仍可为卫
星满足匀速圆周运动规律,下述关于卫星运动的一些物理量中变化情况正确的是 A.线速度减小 B.半径增大 C.周期变长 D.向心加速度增大 2、近地卫星：
4：(06全国理综卷Ⅰ第16 题) 我国将发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”,设该卫星轨道是圆形的,且贴近月球表面,已知月球的质量约为地球的1/ 81 ,月球的半径约为地球的1/ 4 ,地球上的第一宇宙速度约为7. 9 km/s ,则该探月卫星绕月运行的速率约为( )km/s . A. 0. 4 B. 1. 8 C. 11 D. 36 3、同步卫星：
5：关于地球同步通讯卫星, 下述说法正确的是 ( ) A. 已知它的质量为1t, 若增为2t, 其同步轨道半径将变为原来的2 倍 B. 它的运行速度应为第一宇宙速度 C. 它可以通过北京的正上方
D. 地球同步通讯卫星的轨道是唯一的———赤道上方一定高度处 4、二绕一问题：
6：(江苏物理卷第14题) 如图1 所示,A 是地球的同步卫星,另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内,离地面高度为h . 已知地球半径为R ,地球自转角速度为ω0 ,地球表面的重力加速度为g ,O 为地球中心. (1) 求卫星B 的运行周期.
(2) 如卫星B 绕行方向与地球自转方向相同,某时刻A 、B 两卫星相距最近(O 、B 、A 在同一直线上) ,则至少经过多长时间,他们再一次相距最近?
5、密度问题
7：一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行.认为行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量 （ ） A.飞船的轨道半径 B.飞船的运行速度 C.飞船的运行周期 D.行星的质量 多星问题：
8：(广东物理卷第17 题) 宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的3 颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用. 已观测到稳定的三星系统存在2 种基本的构成形式:一种是3 颗星位于同一直线上,2 颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆形轨道上运行;另一种形式是3 颗星位于等边三角形的3 个顶点上,并沿外接等边三角形的圆形轨道运行. 设每个星体的质量均为m ,引力常量为G . (1) 试求第1 种形式下,星体运动的线速度和周期.
(2) 假设2 种形式星体的运动周期相同,第2 种形式下星体之间的距离应为多少?
万有引力定律
专题反馈训练卷 时间：45分钟
0、(06重庆理综卷第15 题) 宇航员在月球上做自由落体实验,将某物体由距月球表面高h 处释放,经过时间t 后落到月球表面(设月球半径为R ) . 据上述信息推断,飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为( ) .
A.
t
B.t
C.t
D.
2t
1．北斗卫星导航系统是中国自行研制开发的三维卫星定位与通信系统(CNSS)，它包括5颗同步卫星和30颗非静止轨道卫星，其中还有备用卫星在各自轨道上做匀速圆周运动．设地球半
径为R ，同步卫星的轨道半径约为6.6R .如果某一备用卫星的运行周期约为地球自转周期的1
8
，
则该备用卫星离地球表面的高度约为( )
A ．0.65R
B ．1.65R
C ．2.3R
D ．3.3R
2．2010年10月1日，我国第二颗探月卫星“嫦娥二号”成功发射，10月9日，在顺利完成了第三次近月制动后，“嫦娥二号”卫星成功进入距月面h ＝100 km 的环月圆形工作轨道，按计划开展了各项科学试验与在轨测试．若“嫦娥二号”在地球表面的重力为G 1，在月球表面的重力为G 2，已知地球半径为R 1，月球半径为R 2，地球表面处的重力加速度为g ，则( )
A ．月球表面处的重力加速度为G 2
G 1
g
B ．月球的质量与地球的质量之比为G 1R 22
G 2R 21
C ．月球的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为G 1R 2
G 2R 1
D ．“嫦娥二号”在月球表面轨道上做匀速圆周运动的周期为2πR 2G 1
gG 2
3．2010年10月1日，“嫦娥二号”卫星发射成功．作为我国探月工程二期的技术先导星，“嫦娥二号”的主要任务是为“嫦娥三号”实现月面软着陆开展部分关键技术试验，并继续进行月球科学探测和研究．如图4－1所示，“嫦娥二号”卫星的工作轨道是距月面100公里的环月圆轨道Ⅰ，为对“嫦娥三号”的预选着陆区——月球虹湾地区(图中B 点正下方)进行精细成像，“嫦娥二号”在A 点将轨道变为椭圆轨道Ⅱ，使其近月点在虹湾地区正上方B 点，大约距月面15公里．下列说法中正确的是( )
A ．沿轨道Ⅱ运动的周期大于沿轨道Ⅰ运动的周期
B ．在轨道Ⅱ上A 点的速度大于在轨道Ⅰ上A 点的速度
C ．完成任务后，卫星返回工作轨道Ⅰ时，在A 点需加速
D ．在轨道Ⅱ上A 点的加速度大于在轨道Ⅰ上A 点的加速度
4．甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道．以下判断正确的是( )
A ．甲的周期大于乙的周期
B ．乙的速度大于第一宇宙速度
C ．甲的加速度小于乙的加速度
D ．甲在运行时能经过北极的正上方
5．欧盟和我国合作的“伽利略”全球定位系统的空间部分由平均分布在三个轨道面上的30颗轨道卫星组成，每个轨道平面上等间距部署10颗卫星，从而实现高精度的导航定位．现假设“伽利略”系统中每颗卫星均绕地心O 做匀速圆运动，一个轨道平面上某时刻10颗卫星所在位置分布如图4－2所示．若卫星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g ，不计卫星间的相互作用力，则以下判断中正确的是( )
A ．这些卫星的运行速度均小于7.9 km/s
B ．这些卫星的加速度大小均小于g
C ．这些卫星处于完全失重状态
D ．若已知这些卫星的周期和轨道半径，可求出卫星的质量
6．某飞船顺利升空后，在离地面340 km 的圆轨道上运行了73圈．运行中需要多次进行轨道维持．所谓“轨道维持”就是通过调整飞船上发动机的点火时间、推力的大小和方向，使飞船能保持在预定轨道上稳定运行．如果不进行轨道维持，由于飞船在轨道上运动受阻力的作用，轨道高度会逐渐缓慢降低，在这种情况下，下列说法正确的是( )
A ．飞船受到的万有引力逐渐增大，线速度逐渐减小
B ．飞船的向心加速度逐渐增大，周期逐渐减小，线速度和角速度都逐渐增大
C ．飞船的动能、重力势能和机械能都逐渐减小
D ．飞船的重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能逐渐减小
7．某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆．每过N 年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如图4－3所示．该行星与地球的公转半径比为( )
A.????N ＋1N 23
B.????N N －123
C.????N ＋1N 32
D. ????N N －13
2
8．纵观月球探测的历程，人类对月球探索认识可分为三大步——“探、登、驻”．我国为探月活动确定的三小步是“绕、落、回”，目前正在进行的是其中的第一步——绕月探测工程.2007年10月24日18时05分，“嫦娥一号”卫星的成功发射标志着我国探月工程迈出了关键的一步．我们可以假想人类不断向月球“移民”，经过较长时间后，月球和地球仍可视为均匀球体，地球的总质量仍大于月球的总质量，月球仍按原轨道运行，以下说法正确的是( ) A ．月地之间的万有引力将变小 B ．月球绕地球运动的周期将变大
C ．月球绕地球运动的向心加速度将变小
D ．月球表面的重力加速度将变大
9．2011年3月11日，日本东北地区发生里氏9.0级大地震，并引发海啸．某网站发布了日本地震前后的卫星图片，据了解该组图片是由两颗卫星拍摄得到的．这两颗卫星均绕地心O 做匀速圆周运动，轨道半径均为r ，某时刻两颗卫星分别位于轨道上空的A 、B 两位置，两卫星与地心的连线间的夹角为60°，如图4－4所示．若卫星均沿顺时针方向运行，地球表面处的重力加速度为g ，地球半径为R ，不计卫星间的相互作用力．下列判断正确的是( )
A ．这两颗卫星的加速度大小均为R 2g
r
2
B ．卫星2向后喷气就一定能追上卫星1
C ．卫星1由位置A 第一次运动到位置B 所用的时间为πr 3R r
g
D ．卫星1由位置A 运动到位置B 的过程中，它所受的万有引力做功为零
10．已知地球的半径为6.4×106 m ，地球自转的角速度为7.29×10－
5 rad/s ，
地面的重力加速度为9.8 m/s 2，在地球表面发射卫星的第一宇宙速度为7.9×103 m/s ，第三宇宙速度为16.7×103 m/s ，月球到地球中心的距离为3.84×108 m ．假设地球上有一棵苹果树长到了接近月球那么高，则当苹果脱离苹果树后，将( )
A ．落向地面
B ．成为地球的同步“苹果卫星”
C ．成为地球的“苹果月亮”
D ．飞向茫茫宇宙
11．如图4－5所示，A 为静止于地球赤道上的物体，B 为绕地球沿椭圆轨道运行的卫星，C 为绕地球做圆周运动的卫星，P 为B 、C 两卫星轨道的交点．已知A 、B 、C 绕地心运动的周期相同．相对于地心，下列说法中正确的是( )
A ．物体A 和卫星C 具有相同大小的加速度
B ．卫星
C 的运行速度大于物体A 的速度
C ．可能出现：在每天的某一时刻卫星B 在A 的正上方
D ．卫星B 在P 点的运行加速度大小与卫星C 在该点运行加速度大小相等
12．如图4－6所示，极地卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极 (轨道可视为圆轨道)．若已知—个极地卫星从北纬30°的正上方按图示方向第一次运行至南纬60°正上方时所用时间为t ，地球半径为R (地球可看作球体)，地球表面的重力加速度为g ，引力常量为G .由以上条件可以求出( )
A ．卫星运行的周期
B ．卫星距地面的高度
C ．卫星的质量
D ．地球的质量
13．已知引力常量为G ，则在下列给出的各种情景中，能求出月球密度的是( ) A ．在月球表面上让一个小球做自由落体运动，测出下落的高度H 和时间t
B ．测出月球绕地球做匀速圆周运行的周期T 和轨道半径r
C ．发射一颗绕月球做匀速圆周运动的卫星，测出卫星的轨道半径r 和卫星的周期T
D ．发射一颗贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的探月飞船，测出飞船运行的周期T
14．2007年10月24日，中国首颗探月卫星“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心发射升空，准确进入预定轨道．随后，“嫦娥一号”经过变轨和制动成功进入环月轨道．如图4－7所示，阴影部分表示月球，设想飞船在距月球表面高度为3R 的圆形轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，到达A 点时经过短暂的点火变速，进入椭圆轨道Ⅱ，在到达轨道Ⅱ近月点B 点时再次点火变速，进入近月圆形轨道Ⅲ，而后飞船在轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动．已知月球半径为R ，月球表面的重力加速度为g 0，引力常量为G .不考虑其他星体对飞船的影响，求：
(1)飞船在轨道Ⅰ、Ⅲ上的速度之比； (2)飞船在轨道Ⅰ上的运动周期；
(3)飞船从轨道Ⅱ上远月点A 运动至近月点B 所用的时间．
1．A 【解析】 同步卫星周期T 1与地球自转周期相等，由开普勒第三定律????R 1R 2
3＝????T 1T 2
2
，
备用卫星离地球表面的高度h ＝R 2－R ＝R 1·3????T 2
T 12
－R ＝0.65R .
2．AD 【解析】 “嫦娥二号”在地球和月球上的质量相同，由G 1＝mg ，G 2＝mg 月，解
得g 月＝G 2g G 1；对近地卫星，由G M 1m R 21＝mg 得，地球质量M 1＝gR 21
G ，对近月卫星，由G M 2m R 22
＝
mg 月得，月球质量M 2＝g 月R 22G ，月球质量与地球质量之比M 2M 1＝G 2R 22G 1R 21；对近地卫星，由mg ＝m v 21
R 1
得，地球的第一宇宙速度v 1＝gR 1，对近月卫星，由mg 月＝m v 22
R 2
得，月球的第一宇宙速度v 2
＝g 月R 2，v 2v 1＝G 2R 2G 1R 1；对“嫦娥二号”，由mg 月＝m ????2πT 月2R 2得，T 月＝2πR 2g 月
＝2πG 1R 2
G 2g .
所以选项AD 正确．
3．C 【解析】 由开普勒第三定律，“嫦娥二号”沿轨道Ⅱ运动的周期小于沿轨道Ⅰ运
动的周期；卫星沿轨道Ⅰ经过A 点时有G Mm R
2＝m v 2
A Ⅰ
R ，卫星沿轨道Ⅱ经过A 点后做向心运动时
有G Mm R
2>m v 2
A Ⅱ
R ，解得v A Ⅰ>v A Ⅱ，即在A 点减速变轨为轨道Ⅱ，同理返回时需要在A 点加速变
轨；卫星在轨道Ⅱ上经A 点时受到的万有引力与在轨道Ⅰ上经A 点的相同，根据牛顿第二定律，加速度相同．只有选项C 正确．
4．AC 【解析】 由万有引力提供向心力G Mm
r
2＝m v 2r ＝mω2r ＝m ????2πT 2r ＝ma 可以推出T ＝2πr 3GM 、v ＝GM r 、a ＝GM
r 2
.轨道半径越大，周期越大，A 项正确．轨道半径越大，线速度越小，第一宇宙速度的数值是按其轨道半径为地球的半径来计算的，B 项错误．由a ＝GM
r
2可
知，轨道半径越大，加速度越小，C 项正确．地球同步卫星只能在赤道的上空运行，D 项错误．
5．ABC 【解析】 因卫星的线速度随轨道半径的增大而减小，近地卫星的线速度即第一宇宙速度大于所有绕地球做圆周运动的卫星；因卫星的加速度随轨道半径的增大而减小，近地卫星的加速度即重力加速度大于其他卫星的加速度；卫星做匀速圆周运动时，受到的万有引力提供向心力，处于完全失重状态；根据卫星的周期和轨道半径，可求出地球的质量，但不能求出卫星的质量．
6．BD 【解析】 飞船轨道高度缓慢降低，飞船处于一系列稳定的动态变化状态中，该
过程万有引力做正功，飞船速度增大．由G Mm
r
2＝ma ＝m v 2r ＝mω2r ＝m ????2πT 2r 得，选项B 正确；飞船轨道半径减小时，重力势能减少，动能增大，因克服阻力做功，故机械能减小，选项D 正确．
7．B 【解析】 由图可知行星的轨道半径大、周期长．每过N 年，该行星会运行到日地连线的延长线上，说明从最初在日地连线的延长线上开始，每一年地球都在行星的前面比行星多转圆周的N 分之一，N 年后地球转了N 圈，比行星多转1圈，即行星转了N －1圈从而再次
在日地连线的延长线上．所以行星的周期是N
N －1年，根据开普勒第三定律有r 3地r 3行＝T 2地T 2行
，故B 正
确．
8．BCD 【解析】 设移民质量为Δm ，未移民时的万有引力F 引＝G Mm
r
2与移民后的万有
引力F 引′＝G (M －Δm )(m ＋Δm )
r 2
比较可知，由于M >m ，所以F 引′>F 引；由F 引′＝
G (M －Δm )(m ＋Δm )r
2
＝(m ＋Δm )r ????2πT 2＝(m ＋Δm )a ，由于地球的质量变小，因而月球绕地球运动的周期将变大，月球绕地球运动的向心加速度将变小；由月球对其表面物体的万有引力等于其重力可知，由于月球质量变大，因而月球表面的重力加速度将变大．
9．ACD 【解析】 由G Mm R 2＝mg 和G Mm r 2＝ma ，得a ＝R 2g r
2；由ma ＝mω2r ，得ω＝a
r
＝R r g r ，卫星1由位置A 第一次运动到位置B 所用的时间为t ＝θω＝πr 3R r g
，选项AC 正确；卫星2向后喷气，速度增大，做离心运动，一定不能追上卫星1，卫星1由位置A 运动到位置B 的过程中，万有引力不做功，选项B 错误，D 正确．
10．D 【解析】 如果地球上有一棵苹果树长到了接近月球那么高，苹果脱离苹果树后的速度为v ＝ωr ＝2.80×104 m/s ，此速度比第三宇宙速度1.67×104 m/s 还要大，苹果所受的万有引力肯定不够其做圆周运动所需的向心力，所以苹果将飞向茫茫宇宙，选项D 正确．
11．BCD 【解析】 物体A 和卫星C 因周期相同，故角速度相同，据a ＝ω2r 可知，两者加速度大小不同，故A 不正确；又v ＝ωr ，所以卫星C 的运行速度大于物体A 的速度，B 正确；因为A 、B 绕地心运动的周期相同，显然C 有可能，C 正确；卫星B 在P 点与卫星C 在
该点加速度均由万有引力产生，故均为a ＝GM
r
2，D 正确．
12．ABD 【解析】 极地卫星从北纬30°的正上方按图示方向第一次运行至南纬60°正上
方时所用时间为t ，则卫星转过的圆心角为90°，t ＝T 4，即T ＝4t ，故选项A 正确；由G Mm
r
2＝
m ????2πT 2r 和G Mm R 2
＝mg ，其中r ＝R ＋h ，可求得卫星距地面的高度h ，选项B 正确；知道卫星的周期和半径，能求得地球(中心天体)的质量，故选项C 错误，D 正确．
13．D 【解析】 对选项A ，只能测出月球表面的重力加速度g ，选项A 错误；对选项B ，
只能测出地球的质量，选项B 错误；对选项C ，只能测出月球的质量，选项C 错误；由GMm
R
2＝
m 4π2
T 2R ，ρ＝M V ，V ＝43πR 3，联立解得月球的密度为ρ＝3π
GT
2，故选项D 正确． 14．【解析】 (1)在轨道Ⅰ有：G Mm (4R )2＝m v 2Ⅰ4R 在轨道Ⅲ有：G Mm
R 2＝m v 2ⅢR 解得v Ⅰv Ⅲ＝12
(2)设飞船在轨道Ⅰ上的运动周期为T 1，在轨道Ⅰ有G Mm (4R )2＝m 4π2
T 2Ⅰ
·4R
在月球表面有G Mm R 2＝mg 0联立解得T Ⅰ＝16πR
g 0
(3)设飞船在轨道Ⅱ上的运动周期为T Ⅱ，轨道Ⅱ的半长轴为2.5R .
根据开普勒定律得T 2Ⅱ(2.5R )3＝T 2Ⅰ(4R )
3解得T Ⅱ＝7.9πR
g 0 飞船从A 到B 所用时间为t ＝T Ⅱ2≈4πR
g 0
专题5 万有引力定律 1.（15江苏卷）过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b ”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕.“51 peg b ”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径为 1 20 ，该中心恒星与太阳的质量比约为 A ． 1 10 B ．1 C ．5 D ．10 答案：B 解析：根据2224T r m r GMm π?=，得2 3 24GT r M π=， 所以 14 365201)()(23251351=?=?=）（）（地地日恒T T r r M M . 2.（15北京卷）假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么 A.地球公转周期大于火星的公转周期 B ．地球公转的线速度小于火星公转的线速度 C ．地球公转的加速度小于火星公转的加速度 D ．地球公转的角速度大于火星公转的角速度 答案：D 解析：根据万有引力公式与圆周运动公式结合解题.再由地球环绕太阳的公转半径小于火星环绕太阳的公转半径，利用口诀“高轨、低速、大周期”能够非常快的判断出，地球的轨道 “低”，因此线速度大、周期小、角速度大.最后利用万有引力公式a=2 R GM ,得出地球的 加速度大. 因此为D 选项. 3.（15福建卷）如图，若两颗人造卫星a 和b 均绕地球做匀速圆周运动，a 、b 到地心O 的距离分别为r 1、r 2, 线速度大小分别为v 1 、 v 2.则 （ ） 12. v A v = 12B.v v = 21221C. ()v r v r = 21122 C.()v r v r =
万有引力与天体运动 一、开普勒三定律 1．开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个__________上． 2．开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的__________相等． 3．开普勒第三定律：所有行星的轨道的__________的三次方跟__________的二次方的比值都相等． 二、万有引力定律 1．内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成________，跟它们的距离的二次方成________． 2．公式：________________ (其中引力常量G ＝6.67×10－11 N·m 2/ kg 2)． 3．适用条件：公式适用于质点间的相互作用．当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点，均匀的球体视为质点时，r 是两球心间的距离． 【对点检测】 一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，该星球的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是它在地球上所受万有引力的( ) A ．1 4 B ．1 2 C ．2倍 D ．4倍 三、天体运动问题的分析 1．运动学分析：将天体或卫星的运动看成_________________运动．
2．动力学分析：(1)万有引力提供__________，即F 向＝G Mm r 2＝ma ＝m v 2r ＝mω2 r ＝m ? ??? ?2πT 2r .(2)在星球表面附近物体所受万有引力近似等于__________，即G Mm r 2＝mg (g 为星球表面的重力加速度)． 考点一 万有引力的计算和应用 1．万有引力的特点：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向沿两物体的连线且相反，分别作用在两个物体上，其作用效果一般不同． 2．万有引力的一般应用： 万有引力的一般应用问题主要涉及万有引力的基本计算、天体质量和密度的计算等．在这类问题的分析中应注意：(1)万有引力公式F ＝G m 1m 2 r 2中的r 应为两物体球心间距，如果某一物体内部存在球形空腔，则宜采取“割补法”分析；(2)万有引力提供向心力情景下的天体运动，根据万有引力定律和牛顿第二定律有G m 1m 2 r 2＝m 1a ，且a ＝ω2r ＝v 2r ＝? ????2πT 2r ；(3)根据万有引力等于重力，得G Mm R 2＝mg ，GM ＝gR 2(黄金代换公式)，利用黄 金代换公式进行天体质量和天体重力加速度之间的代换． 例 1 [2014·北京卷]万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性． (1)用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果．已知地球质量为M ，自转周期为T ，引力常量为G .将地球视为半径为R 、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，弹簧测力计的读数是F 0. ①若在北极上空高出地面h 处称量，弹簧测力计读数为F 1，求比值F 1 F 0 的表达式，并就h ＝1.0%R 的情形算出具体数值(计算结果保留两位有效数字)； ②若在赤道地面称量，弹簧测力计读数为F 2，求比值F 2 F 0 的表达式．
高考物理万有引力定律的应用的技巧及练习题及练习题(含答案)及解析 一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用 1．一宇航员在某未知星球的表面上做平抛运动实验：在离地面h 高处让小球以某一初速度水平抛出，他测出小球落地点与抛出点的水平距离为x 和落地时间t ，又已知该星球的半径为R ，己知万有引力常量为G ，求： （1）小球抛出的初速度v o （2）该星球表面的重力加速度g （3）该星球的质量M （4）该星球的第一宇宙速度v （最后结果必须用题中己知物理量表示） 【答案】(1) v 0=x/t (2) g=2h/t 2 (3) 2hR 2/(Gt 2) (4) t 【解析】 （1）小球做平抛运动，在水平方向：x=vt ， 解得从抛出到落地时间为：v 0=x/t （2）小球做平抛运动时在竖直方向上有：h=12 gt 2 ， 解得该星球表面的重力加速度为：g=2h/t 2； （3）设地球的质量为M ，静止在地面上的物体质量为m ， 由万有引力等于物体的重力得：mg=2 Mm G R 所以该星球的质量为：M=2 gR G = 2hR 2/(Gt 2)； （4）设有一颗质量为m 的近地卫星绕地球作匀速圆周运动，速率为v ， 由牛顿第二定律得： 2 2Mm v G m R R = 重力等于万有引力，即mg=2Mm G R ， 解得该星球的第一宇宙速度为：v = = 2．一颗在赤道平面内飞行的人造地球卫星，其轨道半径为3R ．已知R 为地球半径，地球表面处重力加速度为ｇ． （1）求该卫星的运行周期． （2）若卫星在运动方向与地球自转方向相同，且卫星角速度大于地球自转的角速度ω0．某时刻该卫星出现在赤道上某建筑物的正上方，问：至少经过多长时间，它会再一次出现在该建筑物的正上方？
万有引力和天体运动 一、知识点击 1．开普勒定律 第一定律（轨道定律）：所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动。太阳是在这些椭圆的一个焦点上。 第二定律（面积定律）：对每个行星来说，太阳和行星的连线（叫矢径）在相等的时间内扫过相等的面积。“面积速度”： 1 sin 2 S r t υθ?=?（θ为矢径r 与速度υ的夹角） 第三定律（周期定律）：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值 相等。即：2 3T a =常量． 2．万有引力定律 ⑴万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的．任何两个质点之间引力的大小跟这两个质点的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比． 2 Mm F G r = ， 1122 6.6710/G N m kg -=??，称为引力常量． ⑵重力加速度的基本计算方法 设M 为地球的质量，g 为地球表面的重力加速度． 在地球表面附近（h R << ）处：2Mm G mg R =，2 2 GM g R ==9.8m/s 在地球上空距地心r=R+h 处：2r M g G r =， 222()r g R R g r R h ==+ 在地球内部跟离地心r 处：3 2244 33 r r r M g G G G r r r πρπρ===，r g r g R = ， r r g g R = 3．行星运动的能量 ⑴行星的动能 当一颗质量为m 的行星以速度υ 绕着质量为M 的恒星做平径为r 的圆周运动： 2122K Mm E m G r υ= = ，式中υ=
⑵行星的势能 对质量分别为M 和m 的两孤立星系，取无穷远处为万有引力势能零点，当m 与M 相距 r 时，其体系的引力势能：P Mm E G r =- ⑶行星的机械能：2122K P Mm Mm E E E m G G r r υ=+=-=- 4．宇宙速度和引力场 ⑴宇宙速度（相对地球） 第一宇宙速度：环绕地球运动的速度（环绕速度）． 第二宇宙速度：人造天体发射到地球引力作用以外的最小速度（脱离速度）． 第三宇宙速度：使人造天体脱离太阳引力范围的最小速度（逃逸速度）． ⑵引力场、引力半径与宇宙半径． 对于任何一个质量为M ，半径为r 的均匀球形体系都有类似于地球情况下的这两个特征 速度．如果第二宇宙速度超过光速，即c < 22GM r c < 在这种物体上，即使发射光也不能克服引力作用，最终一定要落回此物体上来，这就是牛顿理论的结论，近代理论有类似的结论，这种根本发不了光的物体，被称为黑洞，这个临界的r 值被称为引力半径，记为2 2g GM r c = 用地球质量代入，得到r g ≈0.9 cm ，设想地球全部质量缩小到1 cm 以下的小球内，那么外界就得不到这个地球的任何光信息． 如果物质均匀分布于一个半径为r 的球体内，密度为ρ，则总质量为343 M r πρ= 又假设半径r 正好是引力半径，那么32 4 23g g G r r c πρ?=，得1223()8g c r G πρ= 此式表示所设环境中光不可能发射到超出r g 的范围，联想起宇宙环境的质量密度平均值为10-29g/cm 3，这等于说，我们不可能把光发射到1028cm 以外的空洞，这个尺度称为宇宙半径． 二、方法演练 类型一、天体运动中一类应用开普勒定律的问题，解这类问题时一定要注意运动的轨道、面积、周期，但三者之间也是有关联的，正因为如此，解题时要特别注意“面积速度”。 例1．要发射一艘探测太阳的宇宙飞船，使其具有与地球相等的绕日运动周期，以便发射一年 后又将与地球相遇而发回探测资料。在地球发射这一艘飞船时，应使其具有多大的绕日
第六章 万有引力与航天 第3节 万有引力定律 一、月–地检验 1．检验目的：月地间的引力与物体和地球间的引力是否为同一种性质的力，是否遵从_______规律。 2．检验方法：由于月球轨道半径约为地球半径的60倍，则在月球轨道上的物体受到的引力是它在地球表面的引力的_______。根据____________，物体在月球轨道上运动的加速度应该是它在地球表面附近下落时的加速度的_______。根据已知r 月、T 月、地球表面的重力加速度g ，计算对比两个加速度，分析验证两个力是否为同一性质的力。 3．结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力、太阳与行星间的引力，遵从_____的规律。 二、万有引力定律 1．内容：自然界中____________都相互吸引，引力的大小F 与物体的质量m 1和m 2的乘积成_____，与它们之间距离r 的平方成______。 2．公式：F =_________，式中质量的单位用kg ，距离的单位用m ，力的单位用N ，G 是比例系数，叫做引力常量，G =_____________。 3．引力常量 万有引力定律公式中的G 为引力常量，它是一个与任何物体的性质都无关的普适常量，由英国物理学家_________利用扭秤测定出来。 平方反比 13600 牛顿第二定律 1 3600 相同 任何两个物体 正比 反比 2 GMm r 6.67×10–11 N·m 2/kg 2 卡文迪许
一、对万有引力定律的理解 性质 内容 普遍性 万有引力不仅存在于星球间，任何客观存在的有质量物体之间都存在这种相互吸引的力 相互性 两物体间的万有引力是一对作用力与反作用力，大小相等、方向相反、分别作用在两个物体上 宏观性 通常情况下万有引力极小，只有在质量巨大的天体间或天体与附近物体间，才有实际物理意义 在微观世界里，粒子间的万有引力可以忽略不计 特殊性 两物体间的万有引力只与它们本身的质量和它们之间的距离有关，与周围有无其他物体无关 【例题1】关于万有引力定律及其表达式F =12 2 r ，下列说法中正确的是 A ．对于不同物体，G 取值不同 B ．G 是引力常量，由实验测得 C ．两个物体彼此所受的万有引力方向相同 D ．两个物体间的万有引力是一对平衡力 参考答案：B 二、万有引力定律公式的适用条件 万有引力定律公式适用于计算质点间相互作用的引力大小，r 为两质点间的距离，常见情况如下： 1．两个质量分布均匀的球体间的万有引力，其中r 是两球心间的距离； 2．一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力，其中r 为球心与质点间的距离； 3．两个物体间的距离远大于物体本身的线度，其中r 为两物体质心间的距离。学科&网 注意：物理公式与数学方程不是一回事，物理公式必须考虑成立条件和物理意义，如对F = 12 2 Gm m r ，当r →0时，从数学角度看F →∞，从物理角度看两物体间距离非常小时，不能被看成质点，公式不成立。 【例题2】关于万有引力定律公式F= 12 2 Gm m r ，以下说法中正确的是 A ．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体 B ．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大 C ．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律 D ．公式中引力常量G 的值是牛顿规定的
精心整理 天体运动总结 1. 开普勒三定律 1.1所有绕太阳运动的行星轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上（后简化为所有轨道都是圆，太阳在圆心上），注意：第一定律只是描述了一个图像，并没有需要计算的东西，而且太阳究竟在哪个焦点上还得看第二定律 1.2对于某一颗行星来说，它的扫面速度是恒定的。这句话也可以说成是：离太阳越近，速度越大。这是判断近日点远日点的根据。 第二定律有个计算是研究近日点远日点速度与到太阳距离关系的。 ab 2.m 1的错误，将会直接导致后面计算错误。 C.万有引力的方向肯定在两物体之间的连线上而指向对方 D.甲对乙的引力和乙对甲的引力是一对作用力反作用力 2.2万有引力的规律 2.2.1从公式上来看，当两个物体质量一定时，万有引力随着距离的增大而减小，并且 和距离的“平方”成反比。所以一定要养成这样的意识，距离是原来n 倍，力就 变为原来的n 2分之一倍，或者，力变为原来的n 分之一倍，倍。这样会缩短做题时间，一般做题的时候不要在这方面浪费时间。 2.2.2地球对地球表面的物体都有吸引力，这个力就表现在重力上，但要清楚，重力只
是万有引力的一个分力。可以这么想：万有引力首先得提供物体由于随地球自转 而所需的向心力，剩下来的那部分就是重力。这样就需要注意，向心力指向自转 轴，所以重力就不能指向地心了。又由于这个向心力很小，所以重力很接近万有 引力。当然，地球不同纬度所需向心力是不同的，赤道所需向心力最大，两极点 不需要向心力，所以赤道表面的重力加速度最小，两极点重力加速度最大。 2.2.3一个物体受到另一个物体的吸引力和第三个物体无关，所以太空中一个物体所受 吸引力应为所有其他物体对它的吸引力的矢量和，只不过我们现在所考虑的都是 吸引力最大的那个力（其他的引力比起这个引力小的不是一点半点）。不过也有例 外情况，最常见的就是在地球和月球的连线上，肯定会有那么一个点，使得地球 和月球对这一点上的物体的吸引力大小相等方向相反。 3.天体运动 参阅八大行星的公转周期。 3.4关于开普勒第三定律 上面三个公式推导过程都是用了万有引力提供向心力，从 2 2 2 Mm G m r r T π ?? = ? ?? 可知： 3 22 4 r GM Tπ =，只要中心天体质量M一样，那么轨道半径的三次方和周期平方只比就 是固定值，这也就是为什么第三定律在应用时必须绕同一中心天体。 其实我们可以推导出这样的定律： 对于所有绕同一中心天体运动的行星来说，轨道半径的三次方与角速度的平方的乘积是固定值
万有引力定律练习题 一．选择题（共8小题） 1．（2018?榆林一模）2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示．关于航天飞机的运动，下列说法中不正确的有（） A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度 B．在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A的动能 C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期 D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度2．（2018?江西模拟）北斗卫星导航系统由一组轨道高低不同的人造地球卫星组成。高轨道卫星是地球同步卫星，其轨道半径约为地球半径的6.6倍。若某低轨道卫星的周期为12小时，则这颗低轨道卫星的轨道半径与地球半径之比约为（） A．4.2 B．3.3 C．2.4 D．1.6 3．（2018?海南）土星与太阳的距离是火星与太阳距离的6倍多。由此信息可知（） A．土星的质量比火星的小 B．土星运行的速率比火星的小 C．土星运行的周期比火星的小 D．土星运行的角速度大小比火星的大 4．（2018?高明区校级学业考试）如果把水星和金星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，如图所示。从水星与金星在一条直线上开始计时，若天文学家测得在相同时间内水星转过的角度为θ1，金星转过的角度为θ2（θ1、θ2均为锐角），则由此条件可求得（）
A．水星和金星绕太阳运动的周期之比 B．水星和金星的密度之比 C．水星和金星表面的重力加速度之比 D．水星和金星绕太阳运动的向心力大小之比 5．（2018?瓦房店市一模）如图所示，“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ弧度，已知万有引力常量为G，则月球的质量是（） A．B．C．D． 6．（2018春?南岗区校级期中）如图，有关地球人造卫星轨道的正确说法有（） A．a、b、c 均可能是卫星轨道B．卫星轨道只可能是a C．a、b 均可能是卫星轨道D．b 可能是同步卫星的轨道7．（2018春?武邑县校级月考）如图所示，假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞船在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。则（）
第三节 万有引力?天体运动 随堂演练巩固 1.(2010安徽高考,17)为了对火星及其周围的空间环境进行探测,我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器”萤火一号”.假设探测器在离火星表面高度分别为1h 和2h 的圆轨道上运动时,周期分别为1T 和2T .火星可视为质量分布均匀的球体,且忽略火星的自转影响,万有引力常量为G.仅利用以上数据,可以计算出( ) A.火星的密度和火星表面的重力加速度 B.火星的质量和火星对”萤火一号”的引力 C.火星的半径和”萤火一号”的质量 D.火星表面的重力加速度和火星对”萤火一号”的引力 2.(2010江苏高考,6)2009年5月,航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后,在A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ,B 为轨道Ⅱ上的一点,如图所示,关于航天飞机的运动,下列说法中正确的有( ) A.在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于经过B 的速度 B.在轨道Ⅱ上经过A 的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能 C.在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期 D.在轨道Ⅱ上经过A 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的加速度 3.(2011宁夏银川二中月考,2)地球同步卫星是指相对地面静止不动的人造地球卫星( ) A.它只能在赤道正上方,且离地心的距离是一定的 B.它可以在地面上任一点的正上方,且离地心的距离可按需要选择不同的值 C.它可以在地面上任一点的正上方,但离地心的距离是一定的 D.它只能在赤道的正上方,但离地心的距离可按需要选择不同的值 4.(人教版必修2,P 44习题4改编)金星的半径是地球的倍,质量是地球的倍,则关于金星表面的自由落体加速度和第一宇宙速度,下列数据正确的是( ) m/2 7, km/s m/2s , km/s m/2s , km/s m/2s ,46 km/s 5.我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体1S 和2S 构成,两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点O 做匀速圆周运动.由天文观察测得其运动周期为1T S ,到O 点的距离为11r S ,和2S 间的距离为r,已知引力常量为G.由此可求出 2S 的质量为( ) A. 2212 4r (r r ) GT π- B. 2312 4r GT π
高考物理万有引力定律的应用技巧和方法完整版及练习题含解析 一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用 1．一名宇航员到达半径为R 、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一个质量为m 的小球，上端固定在O 点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O 点在竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力大小F 随时间t 的变化规律如图乙所示．F 1、F 2已知，引力常量为G ，忽略各种阻力．求： （1）星球表面的重力加速度； （2）卫星绕该星的第一宇宙速度； （3）星球的密度． 【答案】（1）126F F g m -=（212()6F F R m -(3) 128F F GmR ρπ-= 【解析】 【分析】 【详解】 （1）由图知：小球做圆周运动在最高点拉力为F 2，在最低点拉力为F 1 设最高点速度为2v ，最低点速度为1v ，绳长为l 在最高点：2 22mv F mg l += ① 在最低点：2 11mv F mg l -= ② 由机械能守恒定律，得 221211222 mv mg l mv =?+ ③ 由①②③，解得1 2 6F F g m -= （2） 2 GMm mg R = 2GMm R =2 mv R 两式联立得：12()6F F R m -
（3）在星球表面：2 GMm mg R = ④ 星球密度：M V ρ= ⑤ 由④⑤，解得12 8F F GmR ρπ-= 点睛：小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点与最低点绳子的拉力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出重力加速度；万有引力等于重力，等于在星球表面飞行的卫星的向心力，求出星球的第一宇宙速度；然后由密度公式求出星球的密度． 2．a 、b 两颗卫星均在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，a 为近地卫星，b 卫星离地面高度为3R ，己知地球半径为R ，表面的重力加速度为g ，试求： （1）a 、b 两颗卫星周期分别是多少？ （2） a 、b 两颗卫星速度之比是多少？ （3）若某吋刻两卫星正好同时通过赤道同--点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距最远？ 【答案】（1 ）2 ，16（2）速度之比为2 【解析】 【分析】根据近地卫星重力等于万有引力求得地球质量，然后根据万有引力做向心力求得运动周期；卫星做匀速圆周运动，根据万有引力做向心力求得两颗卫星速度之比；由根据相距最远时相差半个圆周求解； 解：（1）卫星做匀速圆周运动，F F =引向， 对地面上的物体由黄金代换式2 Mm G mg R = a 卫星 2 224a GMm m R R T π= 解得2a T =b 卫星2 2 24·4(4)b GMm m R R T π= 解得16b T = （2）卫星做匀速圆周运动，F F =引向， a 卫星2 2a mv GMm R R =
专题06 万有引力定律与航天1．（2019·新课标全国Ⅰ卷）在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a–x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则 A．M与N的密度相等 B．Q的质量是P的3倍 C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍 D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍 2．（2019·新课标全国Ⅱ卷）2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆，在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是 3．（2019·新课标全国Ⅲ卷）金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。 已知它们的轨道半径R金
C ．发射速度大于第二宇宙速度 D ．若发射到近地圆轨道所需能量较少 5．（2019·天津卷）2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”。已知月球的质量为M 、半径为R ，探测器的质量为m ，引力常量为G ，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r 的匀速圆周运动时，探测器的 A B ．动能为2GMm R C D ．向心加速度为 2GM R 6．（2019·江苏卷）1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动．如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v 1、v 2，近地点到地心的距离为r ，地球质量为M ，引力常量为G 。则 A ．121,v v v > B ．121,v v v > C ．121,v v v < D ．121,v v v <>7．（2019·浙江选考）20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推进器，测出飞船在短时间Δt 内速度的改变为Δv ，和飞船受到的推力F （其它星球对它的引力可忽略）。飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速度v ，在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T 的匀速圆周运动。已知星球的半径为R ，引力常量用G 表示。则
万有引力定律与天体运动知识总结 一、开普勒行星运动定律 1） 轨道定律：近圆，太阳处在圆心（焦点）上 2） 面积定律：对任意一个行星来说， 它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。 K= k 取决于中心天体 3） 周期定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值相等。 k= ，[r 为轨道半径] 二、万有引力定律 F 引=2r Mm G G=6.67×10-11Nm 2/kg 2 卡文迪许扭秤 测量出来 三、重力加速度 1. 星体表面：F 引≈G =mg 所以：g = GM/ R 2（R 星体体积半径） 2. 距离星体某高度处：F ’引 ≈G’ =mg ’ 3. 其它星体与地球 重力加速度的比值 四、星体（行星 卫星等）匀速圆周运动 状态描述 1. 假设星体轨道近似为圆. 2. 万有引力F 引提供星体圆周运动的向心力Fn F n =r m v 2 F n=22T mr 4π F n = m ω2r Fn=F 引 r m v 2=2r Mm G =2 2T mr 4π = m ω2r r GM v =，r 越大，ν越小； 3r GM =ω，r 越大，ω越小 GM r T 3 24π=，r 越大，T 越大。 23 T a 23T r
3. 计算中心星体质量M 1) 根据 g 求天体质量 mg= M= M 为地球质量，R 为物体到地心的距离 2 ）根据环绕星体的圆周运动状态量， F 引=Fn 2r Mm G =22T mr 4π M= （M 为中心天体质量，m 为行星（绕行天体）质量 4. 根据环绕星体的圆周运动状态量(已知绕行天体周期T ，环绕半径≈星体半径)， 计算中心星体密度ρ ρ=v m =323R GT r 3π [v=3r 34π] 若r≈R ，则ρ=2GT 3π 5. 计算卫星最低发射速度 （第一宇宙速度VI = （近地）= (r 为地球半径 黄金代换公式) 第一宇宙速度（环绕速度）：s km v /9.7=； 第二宇宙速度（脱离速度，飞出地月系）：s km v /2.11=； 第三宇宙速度（逃逸速度，飞出太阳系）：s km v /7.16=。 6. 人造卫星上失重的现象 分析卫星上某物体受合力及圆周运动的状态 F 万 – N = m v 2／r 物体视重 N= F 万 - m v 2／r ( r=R 地 + h ) ∵F 万 = m v 2／r ∴ N=0 即卫星在围绕地球做圆周运动时，它上面物体处于失重状态 7. 同步卫星升轨，全球通信 8. 其它功能人造卫星： 1）全球定位系统 GPS ，由24颗卫星组成 分布在6个轨道平面 2）人造月球卫星 G 2 23 2GT r 4πr GM
2017年高考物理专题练习 万有引力定律（讲） 1．（多选）【2016·海南卷】通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是（ ） A ．卫星的速度和角速度 B ．卫星的质量和轨道半径 C ．卫星的质量和角速度 D ．卫星的运行周期和轨道半径 2．【2015·海南·6】若在某行星和地球上相对于各自水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一 物体，它们在水平方向运动的距离之比为27倍，地球的半径为R ，由此可知，该行星的半径为（ ） A ． 1 R 2 B ． 7R 2 C ．2R D 3．设地球自转周期为T ，质量为M 。引力常量为G 。假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R 。同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为（ ） A ．2 223GMT GMT 4πR - B ．2 223GMT GMT 4πR + C ．223 2 GMT 4πR GMT - D ．223 2 GMT 4πR GMT + 4．据报道，2016年2月18日嫦娥三号着陆器玉兔号成功自主“醒来”，嫦娥一号卫星系统总指挥兼总设计师叶培建院士介绍说，自2013年12月14日月面软着陆以来，中国嫦娥三号月球探测器创造了全世界在月工作最长记录。假如月球车在月球表面以初速度0v 竖直上抛出一个小球，经时间t 后小球回到出发点，已知月球的半径为R ，引力常量为G ，下列说法正确的是（ ） A ．月球表面的重力加速度为0 v t B ．月球的质量为2 0v R Gt C D 5．（多选）如图所示，ABCD 为菱形的四个顶点，O 为其中心，AC 两点各固定有一个质量为M 的球体，球心分别与AC 两点重合，将一个质量为m 的小球从B 点由静止释放，只考虑M 对m 的引力作用，以下说法正确的有（ ）
高考物理万有引力定律的应用模拟试题及解析 一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用 1．一名宇航员到达半径为R 、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一个质量为m 的小球，上端固定在O 点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O 点在竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力大小F 随时间t 的变化规律如图乙所示．F 1、F 2已知，引力常量为G ，忽略各种阻力．求： （1）星球表面的重力加速度； （2）卫星绕该星的第一宇宙速度； （3）星球的密度． 【答案】（1）126F F g m -=（212()6F F R m -(3) 128F F GmR ρπ-= 【解析】 【分析】 【详解】 （1）由图知：小球做圆周运动在最高点拉力为F 2，在最低点拉力为F 1 设最高点速度为2v ，最低点速度为1v ，绳长为l 在最高点：2 22mv F mg l += ① 在最低点：2 11mv F mg l -= ② 由机械能守恒定律，得 221211222 mv mg l mv =?+ ③ 由①②③，解得1 2 6F F g m -= （2） 2 GMm mg R = 2GMm R =2 mv R 两式联立得：12()6F F R m -
（3）在星球表面：2 GMm mg R = ④ 星球密度：M V ρ= ⑤ 由④⑤，解得12 8F F GmR ρπ-= 点睛：小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点与最低点绳子的拉力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出重力加速度；万有引力等于重力，等于在星球表面飞行的卫星的向心力，求出星球的第一宇宙速度；然后由密度公式求出星球的密度． 2．如图轨道Ⅲ为地球同步卫星轨道，发射同步卫星的过程可以筒化为以下模型：先让卫星进入一个近地圆轨道Ⅰ（离地高度可忽略不计），经过轨道上P 点时点火加速，进入椭圆形转移轨道Ⅱ．该椭圆轨道Ⅱ的近地点为圆轨道Ⅰ上的P 点，远地点为同步圆轨道Ⅲ上的 Q 点．到达远地点Q 时再次点火加速，进入同步轨道Ⅲ．已知引力常量为G ，地球质量为 M ，地球半径为R ，飞船质量为m ，同步轨道距地面高度为h ．当卫星距离地心的距离 为r 时，地球与卫星组成的系统的引力势能为p GMm E r =-（取无穷远处的引力势能为 零），忽略地球自转和喷气后飞船质量的変化，问： （1）在近地轨道Ⅰ上运行时，飞船的动能是多少？ （2）若飞船在转移轨道Ⅱ上运动过程中，只有引力做功，引力势能和动能相互转化．已知飞船在椭圆轨道Ⅱ上运行中，经过P 点时的速率为1v ，则经过Q 点时的速率2v 多大？ （3）若在近地圆轨道Ⅰ上运行时，飞船上的发射装置短暂工作，将小探测器射出，并使它能脱离地球引力范围（即探测器可以到达离地心无穷远处），则探测器离开飞船时的速度 3v （相对于地心）至少是多少？（探测器离开地球的过程中只有引力做功，动能转化为引 力势能） 【答案】（1）2GMm R （22122GM GM v R h R +-+32GM R 【解析】 【分析】 （1）万有引力提供向心力，求出速度，然后根据动能公式进行求解； （2）根据能量守恒进行求解即可； （3）将小探测器射出，并使它能脱离地球引力范围，动能全部用来克服引力做功转化为势能；
万有引力与天体运动 万有引力与航天综合 一、开普勒行星运动规律 1．所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上． 2．对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。 3．所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都 相等．表达式：23 T R ＝k (R 表示椭圆的半长轴，T 表示公转周期) k 是一个与行星本身无关的量，而所有行星都绕太阳运转，则k 仅与太阳这个中心体有关． 二、万有引力定律 自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比．跟它们的距离的二次方成反比． F ＝221r m m G ,万有引力常量：G ＝6.67×10－ 11N·m 2/kg 2 三、天体圆运动问题分析及公式推导 1．我们把环绕天体绕中心天体的运动看作匀速圆周运动。 ①线速度v s t = ,角速度ω=t θ ，它们之间的关系是：T r r v πω2== ②向心加速度大小的表达式是2v a r =，或2 a r ω= ③周期T=2r v π,或T= 2πω. ④向心力的作用只改变速度的方向，不改变速度的大小。根据牛顿第二定律得 2 v F ma m r ==，2F ma m r ω==. 2.天体圆运动问题的分析方法：对于那些在万有引力作用下，围绕某中心天体(质量为M )做圆运动的天体(质量为m )来说，其圆运动问题的分析应紧紧把握住“引力充当向心力”这一要点 来进行．即2r Mm G ＝ma ．其中的向心加速度a n ＝r v 2＝2 r ω＝r T 2)2(π 至于a n 应取何种表达形式，应依据具体问题来确定． 环绕天体绕中心天 体作匀速圆周运动 ma 2 Mm G a ＝ 2 r GM ． v ＝r GM ω＝ 3r GM Ｔ＝２ π GM r 3 由R v m mg 2 = 得gR v = 2GM
高中物理万有引力定律的应用专项训练及答案 一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用 1．a 、b 两颗卫星均在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，a 为近地卫星，b 卫星离地面高度为3R ，己知地球半径为R ，表面的重力加速度为g ，试求： （1）a 、b 两颗卫星周期分别是多少？ （2） a 、b 两颗卫星速度之比是多少？ （3）若某吋刻两卫星正好同时通过赤道同--点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距最远？ 【答案】（1 ）2 ，16（2）速度之比为2 【解析】 【分析】根据近地卫星重力等于万有引力求得地球质量，然后根据万有引力做向心力求得运动周期；卫星做匀速圆周运动，根据万有引力做向心力求得两颗卫星速度之比；由根据相距最远时相差半个圆周求解； 解：（1）卫星做匀速圆周运动，F F =引向， 对地面上的物体由黄金代换式2 Mm G mg R = a 卫星 2 224a GMm m R R T π= 解得2a T =b 卫星2 2 24·4(4)b GMm m R R T π= 解得16b T = （2）卫星做匀速圆周运动，F F =引向， a 卫星2 2a mv GMm R R = 解得a v = b 卫星b 卫星2 2(4)4Mm v G m R R = 解得v b = 所以 2a b V V =
（3）最远的条件22a b T T πππ-= 解得87R t g π= 2．对某行星的一颗卫星进行观测，运行的轨迹是半径为r 的圆周，周期为T ，已知万有引力常量为G ．求： （1）该行星的质量． （2）测得行星的半径为卫星轨道半径的十分之一，则此行星的表面重力加速度有多大？ 【答案】（1）2324r M GT π=（2）22 400r g T π= 【解析】 （1）卫星围绕地球做匀速圆周运动，由地球对卫星的万有引力提供卫星所需的向心力．则 有：2224Mm G m r r T π=，可得23 2 4r M GT π= （2）由 21()10 Mm G mg r =，则得：222400100GM r g r T π== 3．半径R =4500km 的某星球上有一倾角为30o 的固定斜面，一质量为1kg 的小物块在力F 作用下从静止开始沿斜面向上运动，力F 始终与斜面平行．如果物块和斜面间的摩擦因数 3 μ= ，力F 随时间变化的规律如图所示（取沿斜面向上方向为正），2s 末物块速度恰好又为0，引力常量11 226.6710 /kg G N m -=??．试求： （1）该星球的质量大约是多少？ （2）要从该星球上平抛出一个物体，使该物体不再落回星球，至少需要多大速度？（计算结果均保留二位有效数字） 【答案】（1）24 2.410M kg =? （2）6.0km/s 【解析】 【详解】 （1）假设星球表面的重力加速度为g ，小物块在力F 1=20N 作用过程中，有：F 1-mg sin θ-
万有引力与天体运动讲义 ［本章要点综述］ 1.开普勒第三定律：行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值是一个常量。 3 2r k T = （K 值只与中心天体的质量有关） 2.万有引力定律： 12 2m r F G m =? 万 （1）赤道上万有引力：F mg F mg ma =+=+引向向 （g a 向和是两个不同的物理量，） （2）两极上的万有引力：F mg =引 3.忽略地球自转，地球上的物体受到的重力等于万有引力。 2 2 GMm mg GM gR R =?=(黄金代换) 4.距离地球表面高为h 的重力加速度： () ()() 2 2 2 GMm GM mg GM g R h g R h R h '''=?=+?= ++ 5.卫星绕地球做匀速圆周运动：万有引力提供向心力 2 G M m F F r ==万向 (1) 22 GMm GM ma a r r =?= （轨道处的向心加速度a 等于轨道处的重力加速度g 轨） (2)22Mm v G m r r =得 ∴r 越大，v 22 GMm v GM m v r r r =?= (3)由22Mm G m r r ω=得 ∴r 越大，ω 2 23 GMm GM m r r r ωω=?= (4)由 2224Mm G m r r T π=得 ∴r 越大，T 2 23224GMm r m r T r T GM ππ?? =?= ??? 6.中心天体质量的计算： 方法1：2 2gR GM gR M G =?= （已知R 和g ） 方法2：2GM v r v M r G =?= （已知卫星的V 与r ） 方法3：233GM r M r G ωω=?= （已知卫星的ω与r ）
万有引力和天体运动 卫星运行规律 1 【浙江省2018年下半年选考】20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推进器，测出飞船在短时间Δt内速度的改变量为Δv，和飞船受到的推力F(其它星球对它的引力可忽略)。飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速度v，在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T的匀速圆周运动。已知星球的半径为R，引力常量用G表示。则宇宙飞船和星球的质量分别是（） 【答案】D 2 在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上 端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a–x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。 1
2 已知星球M 的半径是星球N 的3倍，则（ ） A ．M 与N 的密度相等 B ．Q 的质量是P 的3倍 C ．Q 下落过程中的最大动能是P 的4倍 D ．Q 下落过程中弹簧的最大压缩量是P 的4倍 【答案】AC 【解析】由a －x 图象可知，加速度沿竖直向下方向为正方向，根据牛顿第二定律有：mg －kx ＝ma ，变形式为：k a g x m =- ，该图象的斜率为k m -，纵轴截距为重力加速度g 。根据图象的纵轴截距可知，两星球表面的重力加速度之比0033 1 M N a g g a ==；又因为在某星球表面上的物体，所受重力和万有 引力相等，即2Mm G m g R ''=，即该星球的质量2 gR M G = ，又因为34π3M R ρ=，联立得34πg RG ρ=，故两星球的密度之比1 1 N M M N N M R g g R ρρ=?=，故A 正确；当 物体在弹簧上运动过程中，加速度为0的一瞬间，其所受弹力和重力二力 平衡，mg ＝kx ，即kx m g = ，结合a －x 图象可知，当物体P 和物体Q 分别处于平衡位置时，弹簧的压缩量之比001 22 P Q x x x x ==，故物体P 和物体Q 的质量之比 1 6 N P P Q Q M g m x m x g =?=，故B 错误；物体P 和物体Q 分别处于各自的平衡位置（a ＝0）时，它们的动能最大，根据v 2＝2ax ，结合a －x 图象面 积的物理意义可知，物体P 的最大速度满足2 00001 2332 P v a x a x =???=，物体Q 的最大速度满足2002Q v a x =，则两物体的最大动能之2k 2k 4 1 Q Q Q P P P E m v E m v = = ，C 正确；物体P 和物体Q 分别在弹簧上做简谐运动，由平衡位置（a ＝0）可知，物体P 和Q 振动的振幅A 分别为x 0和2x 0，即物体P 所在弹簧最大压缩量为2x 0，物体Q 所在弹簧最大压缩量为4x 0，则Q 下落过程中，弹簧最大压缩量时P 物体最大压缩量的2倍，D 错误。 3 (2019?全国II 卷?14) 2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆，在探测器“奔向”月球的过程中，用h 表示探测器与地球表面的距离，F 表示它所受的地球引力，能够描F 随h 变化关系的图象是( )