江苏地质，３１（３），２４２—２４６，２００７
Ｔｈｅｉｓ解析模型的数值解及其在ＭａｔＬａｂ中的实现
李林子。朱国荣，江思珉，闵望
（南京大学地球科学系，江苏南京２１００９３）
摘要：讨论了如何应用数值积分方法求解含水层中地下水非稳定流抽水试验的解析模型以获得含水层的水文地质参数．并以Ｔｈｅｉｓ公式为例讨论求解原理。引入了ＭａｔＬａｂ的数值积分工具和优化工具，轻松实现了对水文地质参数的求解，此举既保证了解的可靠性和唯一性，也大大提高了方法的可操作性。最后以一个具体的承压水非稳定流抽水试验为例验证了这个方法，所得的结果与应用配线法得到的结果基本一致，从而肯定了方法的应用价值。
研究结果尽管是针对Ｔｈｅｉｓ模型进行的，但求解原理同样适用于其他各种模型。
关键词：ＭａｌＬａｂ；数值积分；Ｔｈｅｌｓ解析模型；水文地质参数；优化
中图分类号：Ｐ６２８文献标识码：Ａ文章编号：１００３－６４７４（２００７）０３－０２４２—０５
１研究思路
通过对含水层进行地下水非稳定抽水试验以求解水文地质参数是一种水文地质基础研究的通用方法。然而，在地下水非稳定流理论问世的４０余年里，对解析模型的求解一直没有比较简单易行且可靠的方法，教科书上要么采用配线法来获得水文地质参数，要么求解析式的近似解，如Ｔｈｅｉｓ解析模型的Ｊａｃｏｂ近似公式就是其中之一。
笔者在这里以Ｔｈｅｉｓ解析模型为例，提出了直接求解其解析解的方法，旨在克服以上的各种问题。
已知地下水非稳定流的Ｔｈｅｉｓ公式为
ｓ＝器ｒｅ（“）＝器ｆ争ｕ（１）其中
一丝
“一４ｎ
（２）式（１）和式（２）中，，为观测孔到抽水井的距离（量纲为Ｌ），弘’为承压含水层贮水系数（无量纲），ｒ为承压含水层导水系数（量纲为Ｌ２Ｔ“），ｔ为抽水持续时间（量纲为Ｔ），Ｑ为单位时间内从抽水井中抽出的水量（量纲为ｒＴ“），ｓ为观测孔中对应于观测时间ｔ时的水位下降（量纲为Ｌ）。对式（１）的求解主要难点是处理积分项。求解过程存在以下两个问题。
①对定积分的求解，只要确定了积分上下限，就可采用数学上非常成熟的各种定积分近似计算公式来进行，例如矩形法、梯形法、抛物线法等，但积分区问无法事先给定。
②积分区间［ｕ，＋＊］的确定，根据（２）式，可知决定“的各要素中，ｒ和ｔ均为已知，丁和灿。为待求的水文地质参数。
第一个问题的答案将随着对第二个问题的求解而得到。解决第二个问题的思路是采用水文地质参数寻优方法确定ｒ和肛’。为此我们首先选定一组参数，将其代入（２）式获得ｕ，然后将“代人（１）式进行水位降深验证。再根据验证误差调整参数值，重复这个过程，最终求出导水系数和贮水系数，为模型的数值解提供必要的参数。
得益于计算机软件技术的进步，一个被誉为“工程师语言”的软件——ＭａｔＬａｂ出现了，该软件是一个集数值分析、符号运算、图形图像处理、系统控制和程序语言控制为一体的数学软件，特别是其工具箱中集成的各种数值计算工具包括解决问题所需要的数值积分工具和优化工具，为我们获得Ｔｈｅｉｓ模型的数值解提供了便利和可能。
收稿１３期：２００７—０４—１２；编辑：陆李萍
基金项目：南京大学“９８５工程”二期“教学创新和隶质培养”研究项目资助
作者简介：李林子（１９８７一）．女，云南昆明人，水文与水资源工程专业．
第３期李林子等：Ｔｈｅｉｓ解析模型的数值解及其在ＭａｔＬａｂ中的实现
２Ｔｈｅｉｓ解析模型数值解的基本原理
２．１数值积分问题及ＭａｔＬａｂ的数值积分工具数值积分是通过在有限个采样点上计算，（＊）的值束逼近，（ｚ）在区间［ｎ，ｂ］内的定积分，根据离散区间内引入的插值函数的不同，可分为（组合）梯形公式、组合辛普生公式（又称抛物线公式）、布尔公式、高斯一勒让德公式等，相比较而言，辛普生公式应用较为广泛且只需对少量的函数求解就能得到准确的答案。文献［４］对组合辛普生公式的讨论简述如下：
设区间［ｏ，ｂ］由
‰＝ｏ＋ｋｈｋ＝０，１，…，２ｍ（３）组成，也就是说将区间分为２ｍ个宽度为ｈ＝（ｂ—ａ）／２ｒａ的等距子区间［‰，札＋。］，则２ｍ个子区间的组合辛普生公式可表示如下：
５∽＾）＝詈［，（。）＋，（６）］＋２了ｈ静（‰）＋４了ｈ髟（≈ｎ—１）（４）
一
该式是积分Ｊ“ｚ）ｄｘ＝ｓ（厂，＾）＋Ｅ∽＾）（５）
的一个逼近，并且若‘厂ｅｃ４［ａ，ｂ］，则存在一个介于。和ｂ区间的值ｒ，使得误差项Ｅ。∽ｈ）具有Ｅ（ｆ㈤＝』立拶Ｏ（ｈ４）（６）的形式，其中Ｏ是与ｈ４同阶的无穷小。此时，我们则可视Ｓ盯，ｈ）为』玖＊）也的数值解。
ＭａｔＬａｂ的工具箱提供了在有限区间内求解面积的三种函数，这三种函数分别为ｔｒａｐｚ、ｑｕａｄ和ｑｕａｄ８。其中，函数ｔｒａｐｚ通过计算若干梯形面积的和来近似某函数的积分；而函数ｑｕａｄ和ｑｕａｄ８则是基于数学上的正方形概念根据辛普生公式来计算函数的面积，ｑｕａｄ采用迭代算法，ｑｕａｄ８采用ＮｅｗｔｏｎＣｏｔｅ８ｐａｎｅｌ白适应法则，与简单的梯形公式比较，这两个函数都有更高阶的近似，且ｑｕａｄ８比ｑｕａｄ更为精确。
笔者在研究中采用ｑｕａｄ８工具求解Ｔｈｅｉｓ解析模型巾的积分项，该函数的调用格式为：
ｑｕａｄ８（＠ＦＵＮｌ，ａ＇ｂ）
其中，ＦＵＮｌ为被积函数，本例中根据式（１）的描述用ｆｕｎｃｔｉｏｎＹ＝ＦＵＮｌ（ｘ）和Ｙ＝ｅｘｐ（一ｘ）／ｘ语句来说明这个函数，其中的ｚ就是（１）式中的ｕ；ｎ和６分别为积分下限和积分上限，其中积分上限ｂ在式（１）巾为无穷大，参考文献［１］的井函数表给其赋予一个充分大的的值，积分下限。就是式（１）中的“值，其中包含了待求的Ｔ和＿Ｌ‘＋值。
２．２积分下限的确定及ＭａｔＬａｂ优化工具箱Ｔｈｅｉｓ公式中积分下限可仿照反求水文地质参数的方法得到。由于反求水文地质参数问题的解存在不唯一性和对原始数据误差的敏感性，往往造成不同的水文地质模型能得到几乎相同的优化结果，有时甚至得到在物理意义上不合理的参数。显然，若要想得到正确解，必须结合研究区的地质、水文地质条件分析判断，以确定符合实际的水文地质参数的变化区间——约束条件，避免出现不合理的情形。
文献［６］所讨论的反求水文地质参数的基本思想是：先给待定的水文地质参数｛Ｔ，肛‘｝假设一组初值，然后利用这一组初值去解正问题，求出各点在ｔ。时袤４的水头值日．（ｔ）。若设该点上相应的水头实际观测值为Ｅ“（ｔ；），则可将反求水文地质参数问题归为求解以下的有约束优化问题，见式（７）。
／Ｊ
Ｅ（Ｔ，／ｘ’）＝∑∑”Ｆ［玛（ｔ。一ｑ“（ｆ．）］２（７）
…１‘１
％。≤Ｔ≤Ｌ。；ｇｍ＇。』ｐ‘≤ｐ二舡
式（７）中的第２式分别为ｒ和肛’的约束条件，Ｅ称为目标函数，它是用来衡量计算所得的水头值和实际观测值拟合程度的指标。Ｅ越小，所得的结果越接近真解。
利用（７）式，我们就可以得到积分下限，为Ｔｈｅｉｓ解析模型的数值解提供了求解条件。对于（７）式所描述的反求水文地质参数这样的约束优化问题，可借助ＭａｔＬａｂ优化工具箱的约束优化工具来获得。以下分别对有约束优化求解的基本原理和相应的ＭａｔＬａｂ工具进行简单的介绍。
解决有约束最优化问题通常是将原问题转化为简单的子问题，求解子问题并作为迭代过程的基础。本文采用的方法来自于求解Ｋ—Ｔ（Ｋｕｈｎ—Ｔｕｃｋｅｒ）方程解的方法，Ｋ－Ｔ方程是有约束最优化问题求解的必要条件。序列二次规划法ＳＱＰ正是在此基础上形成的，它直接计算拉格朗日乘子，用拟牛顿法更新过程，给Ｋ－Ｔ方程积累二阶信息，能使拟牛顿法超线性收敛。根据文献［５］，对于给定的规划问题，ＳＱｅ法首先形成基于拉格朗日函数二次近似的二次
江苏地质２００７年
规划子问题Ｌ（ｘ，＾）＝“ｘ）＋三Ａ。ｇ，（＊），用求解任意一种二次规划算法获得的解来形成新的迭代算式。在搜索区域内，ＳＱＰ法可获得最佳的搜索方向和步长信息。
ＭａｔＬａｂ中的ｆｍｉｎｃｏｎ函数本质就足序列二次规划方法，本文选择的调用格式为：
［ｘ，ｆｖａｌ］＝ｆｍｉｎｃｏｎ（＠ＦＵＮｅ，ｘ０，Ａ，ｂ，Ａｅｑ，ｂｅｑ，ｌｂ，ｕｂ）
该调用返回参数最优解＊及解ｚ处的目标函数值加ｚ。在ｆｍｉｎｃｏｎ函数中，ＦＵＮｅ为如式（７）的目标函数；ｘ０为参数初值向量（本问题中由ｒ和肚‘的初值组成）；Ａ和ｂ构成不等式约束条件，其具体表达为Ａ?ｘＬｂ，这里的Ａ是根据参数约束区间形成的
为ｆｍｉｎｃ。ｎ函数的参数赋初值
ｌ
调用ｆｍｉｎｃｏｎ函数，获得优化结果
ｌ［ｘ．ｈａｌ］＝ｆｍｉｎｅｏｎ＠ＦＵＮｅ．如，Ａ，ｂ［］［］，ｌｂ，ｕｂ）
在调动过程中自动调用目标函数ＦＵＮ２矩阵，ｘ就是函数ＦＵＮｅ中的参数，代表被优化的参数，用向量表示，ｂ是由约束条件的取值区间的最大值之和与最小值之和构成的向量；Ａｅｑ和ｂｅｑ构成等式约束，具体表达为Ａｅｑ?ｘ＝ｂｅｑ，本问题与这个约束无关，故不深入讨论；ｌｂ，ｕｂ分别为关于参数ｒ和“’的约束值组成的向量。有关ｆｍｉｎｃｏｎ函数的更详细讨论可参见文献［８］第２４８页。
研究发现，针对保留积分形式的Ｔｈｅｉｓ解析模型的参数反演问题，该函数能够较为准确地求出最优解。
２．３Ｔｈｅｉｓ数值解的基本过程
图１给出了利用ＭａｔＬａｂ实现以上求解方法的核心部分计算流程。
为数值积分ｑｕａｄｓ函数的参数赋韧值
根据原始数据计算观测资料系列长度，作
为循环调用ｑｕａｄｓ的控制参数
调用ｆｍＪｎｃｏｎ传递的参数和以上的赋值循环调用
数值积分函数ｑｕａｄ８．获取目标函数值
Ｅ＝Ｅ＋（Ｑ／４。ｐｉ×ｖ（１））。ｑｕａｄＳ（‘ＦＵＮＩ’，ａ，ｂ）一ｓ（ｎ．ｍ）“２
在调用过程中自动调用目标函数ＦＵＮｌ
围１Ｔｈｅｉｓ数值解核心模块的基本流程图
图１的左侧为主控函数，通过ｆｍｉｎｃｏｎ函数调用右侧的ＦＵＮｅ函数。在ＦＵＮｅ函数中求解数值积分并完成目标函数值的计算，再将结果返回调用，由ｆｍｉｎｃｏｍ判别是否满足迭代收敛条件以决定是否继续优选新的参数进行再一次的调用。ＦＵＮｌ函数的代码已经在２．１中给出。
３应用实例
３．１应用实例简介
算例１的抽水实验场位于在江苏省丰县王沟乡曹楼村广阔的第四纪冲积平原上，可近似认为承压含水层在平面上是无限展布的。含水层为粉细砂和亚砂土。抽水井深１２０ｍ，直径０．２０ｍ。自１９７６年１１月６１３９时４０分开始做抽水试验，抽水持续９７ｈ，流量为２２．６０ｍ３／ｈ，表２列出了抽水井抽水强度及观１孔（观１孔距抽水井１１７．８５ｍ）的水位观测结果。
文献［１］的１９７８年版本中曾经引入这个实例，文中利用降深一时间配线法求得的导水系数Ｔ＝８０．１６ｉｎ２／ｄ，贮水系数灿’＝１．５４×１０一。
算例２和算例３引自文献［１］（１９９７年版第９９页），为一个带有４个观测孔的承压含水层抽水试验。文献［１］利用这４个观测孔的所有观测数据采用ｓ一专配线法求解了含水层的水文地质参数（文ｒ＿
献［１］中的例４—１）。算例３单独利用这次抽水试验中的观１５孔观测数据采用ｓｏ配线法求解（文献［１］中的例４—２）。两个算例所求的参数如表１所示。
表１中数据引自文献［１］的例４—１和例４—２，抽水孔的流量为６０ｍ３／ｄ。算例２和算例３的观测
第３期李林子等：Ｔｈｅｉｓ解析模型的数值解及其在ＭａｔＬａｂ中的实现
数据由于篇幅所限没有列出，可参阅文献［１］的表４—１。
表１算例２和３求出的参数衰
表２王沟乡曹楼村非稳定流抽水试验观测资料
累计时间水位降探累计时间水位降睬累计时问水位降深／（ｔ／ｒａｉｎ）／（ｓ／ｍ）／（ｔ／ｒａｉｎ）／（ｓ／ｍ）／（ｔ／“ｎ）／ｍ
数值解法配线法
３．２利用Ｔｈｅｉｓ解析模型的数值解法求解
按照本文２．３所描述的原理，笔者首先设定优化工具所需的约束条件分别为导水系数：１．０ｍ２／ｄ≤Ｔ≤１００００．０ｍ２／ｄ；贮水系数：０．００００ｌ≤／Ｉ，’≤０．０１。参数初始值任取为ｒｏ＝３００．０ｍ２／ｄ；麻＝０．０００１。积分上限可任意取足够大的值。
按照ｆｍｉｎｃｏｎ函数的调用要求，进一步将约束条件转化为不等式约束，结果得到
ｒ≤１００００．０，一ｒ≤一１．０；／．ｔ‘≤０．０１，一灿‘≤一０．０００Ｏｌ，由此得到不等式约束条件的系数矩阵Ａ。进而可得不等式约束条件的具体表达式为［＿｝。Ⅻ：。】兰［１７等三搿。１。】㈣
将以上的设置连同表２的数据代人根据图１的流程图所编写的程序中，就可得到该承压含水层的水文地质参数，表３分别列出了利用该方法计算得到的参数和利用ｓ．ｔ配线法求出的参数，同时列出采用同样的积分方法专门为配线法得到的参数而计算出来的目标函数值。
从表３列出的数据看出，采用数值解法得到的导水系数和贮水系数与采用配线法得到的结果非常接近，但仔细分析目标函数值就不难发现，数值解法所得的解拟合程度比配线法高得多，因为它的目标函数值远小于配线法的目标函数值（后者比前者大２倍多），根据２．２的分析，可以确定采用数值解法得到的水文地质参数更接近实际值。
图２为根据实测水头和计算结果绘制的拟合曲线，其中实线是将求解得到的ｒ和ｐ‘代人式（１）计算获得的（计算曲线）；离散点为表１中的降深～时间资料投影，两者表现了非常高的拟合度。
ｏｏ５１．ｏ１．５２．ｏ２５３．ｏ３．５４０４５
囝１口２
圉２计算值与观铡值拟合曲线
１一计算降课一时间曲线；２一实测降深一时间投影点
算例２和算例３的计算结果列于表４。分析目标函数值不难发现，数值解的求解精度均高于配线法。
表４算例２和算例３计算结果表
江苏地质２００７拒
４结语
以上的应用只是笔者在研究过程中验证的６个算例中的３个，几乎可以肯定的是，参照文献［１］的实例所做的验证结果都是非常理想的，方法完全可以代替以往所说的各种配线法和直线法应用到实际工作中。其实，对算例２中的其他３个孔的观测数据我们也作了同样的求解，只是没有前人的研究结果做比较，因此没有把计算结果列出。
笔者讨论了Ｔｈｅｉｓ解析模型的数值解，但对于其他的模型，除了积分描述存在些许差别外，其他的过程完全一样，所以，只需要对程序中的ＦＵＮｌ函数进行修改，就可得到相应模型的数值解程序。
方法将彻底告别使用配线法或直线法求解水文地质参数时存在的顾虑，计算结果不会再存在因人而异或囚时而异的不一致性。
需要说明的是，由于ｑｕａｄ８函数内部限制了对区间进行离散的数量，所以当积分上限取值较大的时候，最好将积分区问分成几个子区间，在程序中采用分段积分的方法来完成数值积分，本研究的程序中安排了１０个积分区间段，积分上限取５０００，应该可以求解一般的问题了。此外，方法的应用最好遵守文献［１］第９８页对Ｔｈｅｉｓ公式适用条件讨论，这对获得更高精度的解是有好处的。
参考文献：
［１］薛禹群．地下水动力学［Ｍ］．北京：地质出版社，１９９７．［２］程璐，朱国荣．Ｔｂｅｉｓ公式的优选逼近求解及其在ＰｏｃｋｔＰＣ上的嵌入［Ｊ］．勘察科学技术，２００５，（３）：１８
—２１．
［３］李超群，朱国荣．泰斯模型的统计分析求解［Ｊ］．水文地质工程地质，２００４，３１（２）：７５—７８．
［４］ＪＯＨＮ｝｛，ＭＡＴＩＩＥＷＳ，ＫＵＲＴＩＳＤ．ＦＩＮＫ数值方法（ＭａｔＬａｂ版）［Ｍ］．北京｛电子工业出版社，２００２．
［５］孙讷正．地下水流的数学模型和数值方法［Ｍ］．北京：地质出版社，１９８１．
［６］薛禹群，谢春红．水文地质学的数值法［Ｍ］．北京：煤炭工业出版社，１９８０．
［７］ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｍａｔｈｗｏｒｋｓ．Ｃｏｒｎ
［８］苏金明，阮沈勇，王永利．ＭａｔＬａｂ工程数学［Ｍ］．北京：电子工业出版社。２００５．
ＳｔｕｄｙｏｎｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｏｎＴｈｅｉｓａｎａｌｙｔｉｃｍｏｄｅｌａｎｄｉｔｓｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎｉｎＭａｔＬａｂ
ＬＩＬｉｎ－ｚｉ，ＺＨＵＧｕｏ－ｒｏｎｇ，ＪＩＡＮＧＳｉ－ｍｉｎ，ＭＩＮＷａｎｇ
（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＥａｒｔｈＳｃｉｅｎｃｅｓ，ＮａｎｊｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎ蛆ｊｉｎｇ２１００９３，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｎｕｍｅｒｉｃａｌｊｍｅｇ脚ｍｅｔｈｏｄｔＯｔｈｅｓｔｕｄｙｏｆＴｈｅｉｓａｎａｌｙｔｉｃｍｏｄｅｌｉｓｄｉｓｃｕｓｓｅｄａｎｄｐｕｔｆｏｒｗａｒｄｉｎｔｈｉｓｐａ－ｐｅｒ．Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｓ－ｔ
ｄａｔａｏｂｔａｉｎｅｄｔｈｒｏｕ曲ｐｕｍｐｉｎｇｔｅａｔｏｆｔｈｅｔｒａｎｓｉｅｎｔｆｌｏｗａｎｄｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅＴｈｅｉｓｍｏｄｅｌ衄ａｒｅｆｅ陀ｎｃｅｍｏｄｅｌ，ｔｈｅＭａｆｌａｂ＇ｓｎｕｍｅｒｉｃａｌ血ｅｇ珊丑ｌｔｏｏｌａｎｄｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｔｏｏｌｓａｒｅｕｔｉｌｉｚｅｄｔ０ｏｂｔａｉｎｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｂｉｌｉｔｙＴａｎｄｓＩ‘，ｒａｇｅｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｐ’．Ｔｈｉｓｎｏｔｏｉｌ－Ｉｙｇｕａｒａｎｔｅｅｇｔｈｅｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙａｎｄｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓｏｆｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓ，ｂｕｔｉｍｐｒｏｖｅｓｔｈｅｍａｎｅｕｖｅｒａｂｉｌｉｔｙｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎｐｒｏｃｅｄｕｒｅ．Ｉｎｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ，ａｄｅ．一
ｔａｉｌｅｄ
ｐｕｍｐｉｎｇｔｅｓｔ
ｏｆｔｈｅｔｒａｎｓｉｅｍｆｌｏｗｉｎｃｏｎｆｉｎｅｄａｑｌＪｉｆｃｌ＂ｉｓｐ＂∞ｌｍｄｔｏｖｕｌｉｄａｔｅｔｈｅｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅｍｅｔｈｏｄｂｙｃｏｍｐａｒｉｎｇｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｔｏｒｅｓｕｌｔｓａｃｑｕｉｒｅｄｂｙｕｓｉｎｇＣｌｌｌ［Ｙｅｆｉｔｔｉｎｇｍｅｔｈｏｄ．ＴｈｏｕｓｈｔｈｅｒｅｓｅａｒｃｈｉｓａｉｍｅｄａｔＴｈｅｉｓｍｏｄｅｌ。ｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎＰｉｎｃｉｐｌｅＣａｌ０．ａｌｓｏｂｅａｐ－ｐｌｉｅｄｔｏ
ｏｔｈｅｒｖａｒｉｏｕｓｍｏｄｅｌｓ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＭａｔＬａｂ；Ｎｕｍｅｒｉｃａｌｉｎｔｅｇｃａｎａ！；Ｔｈｅｉｓａｎａｌｙｔｉｃｍｏｄｅｌ；Ｈｙｄｒｏｇｅｏｌｏ出ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ；Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ
Theis解析模型的数值解及其在MatLab中的实现
作者：李林子， 朱国荣， 江思珉， 闵望， LI Lin-zi， ZHU Guo-rong， JIANG Si-min， MIN Wang
作者单位：南京大学地球科学系,江苏南京,210093
刊名：
江苏地质
英文刊名：JIANGSU GEOLOGY
年，卷(期)：2007,31(3)
被引用次数：3次
参考文献(8条)
1.薛禹群地下水动力学 1997
2.程璐;朱国荣Theis公式的优选逼近求解及其在PocktPC上的嵌入[期刊论文]-勘察科学技术 2005(03)
3.李超群;朱国荣泰斯模型的统计分析求解[期刊论文]-水文地质工程地质 2004(02)
4.JOHN H MATHEWS;KURTIS D FINK数值方法(MatLab版) 2002
5.孙讷正地下水流的数学模型和数值方法 1981
6.薛禹群;谢春红水文地质学的数值法 1980
7.查看详情
8.苏金明;阮沈勇;王永利MatLab工程数学 2005
本文读者也读过(10条)
1.岑威钧.CEN Wei-jun亚塑性本构模型的隐式数值积分算法[期刊论文]-水利学报2007,38(3)
2.徐明毅.王江.王力维.XU Ming-yi.WANG Jiang.WANG Li-wei绘制平面任意函数曲线的AutoLISP程序设计[期刊论文]-装备制造技术2008(11)
3.张瑞关于一些特殊类型的定积分计算的讨论[期刊论文]-内江科技2011,32(2)
4.王琪.张国林.Wang Qi.Zhang Guolin欧拉积分在积分学中的应用[期刊论文]-科教文汇2011(18)
5.罗书学.LUO Shu-xue钻孔灌注桩极限承载力可靠指标和分项系数的计算[期刊论文]-西南交通大学学报2000,35(4)
6.江悦有界线性算子的样条插值逼近及其在数值计算中的应用[学位论文]2004
7.李世才.苗丽.劳薇.LI Shi-cai.MIAO https://www.doczj.com/doc/ab10000371.html,O Wei闰年判断的算法表达式及其应用实例[期刊论文]-广西科学院学报2010,26(4)
8.何云东DLL插件技术在表达式计算中的应用[期刊论文]-中国科技信息2009(15)
9.戈海玉.涂劲松.王建国.GE Hai-yu.TU Jin-song.WANG Jian-guo用斜条分法求解边坡稳定安全系数[期刊论文]-力学季刊2010,31(3)
10.张华伟.李言祥.刘源.ZHANG Huawei.LI Yanxiang.LIU Yuan氢在Gasar工艺常用纯金属中的溶解度[期刊论文]-金属学报2007,43(2)
引证文献(3条)
1.刘天霸.石建省.张翼龙.张永波基于最频值法直线图解水文地质参数[期刊论文]-工程勘察 2010(3)
2.廖梓龙.魏永富.郭中小.贾利民.龙胤慧一种基于MATLAB的渗透系数确定方法[期刊论文]-水资源与水工程学报2012(2)
3.刘天霸.石建省.张永波.高业新抽水试验中两种直线图解法的对比[期刊论文]-地质科技情报 2011(6)
本文链接：https://www.doczj.com/doc/ab10000371.html,/Periodical_jsdz200703019.aspx