一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．如图1所示，已知点D 在AC 上，ADE ?和ABC ?都是等腰直角三角形，点M 为EC 的中点.
（1）求证：BMD ?为等腰直角三角形；
（2）将ADE ?绕点A 逆时针旋转45?，如图2所示，（1）中的“BMD ?为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由；
（3）将ADE ?绕点A 逆时针旋转一定的角度，如图3所示，（1）中的“BMD ?为等腰直角三角形”成立吗？请说明理由.
【答案】（1）详见解析；（2）是，证明详见解析；（3）成立，证明详见解析. 【解析】 【分析】
()1根据等腰直角三角形的性质得出45ACB BAC ∠∠==，
90ADE EBC EDC ∠∠∠===，推出BM DM =，BM CM =，DM CM =，推出BCM MBC ∠∠=，ACM MDC ∠∠=，求出
22290BMD BCM ACM BCA ∠∠∠∠=+==即可．
()2延长ED 交AC 于F ，求出12
DM FC =，//DM FC ，DEM NCM ∠=，根据ASA
推出EDM ≌CNM ，推出DM BM =即可．
()3过点C 作//CF ED ，与DM 的延长线交于点F ，连接BF ，推出
MDE ≌MFC ，求
出DM FM =，DE FC =，作AN EC ⊥于点N ，证BCF ≌BAD ，推出
BF BD =，DBA CBF ∠∠=，求出90DBF ∠=，即可得出答案．
【详解】
()1证明：
ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，
45ACB BAC ∠∠∴==，90ADE EBC EDC ∠∠∠===
点M 为EC 的中点，
12BM EC ∴=
，1
2
DM EC =， BM DM ∴=，BM CM =，DM CM =，
BCM MBC ∠∠∴=，DCM MDC ∠∠=，
2BME BCM MBC BCE ∠∠∠∠∴=+=，
同理2
DME ACM
∠∠
=，
22224590 BMD BCM ACM BCA
∠∠∠∠
∴=+==?= BMD
∴是等腰直角三角形．
()2解：如图2，BDM是等腰直角三角形，
理由是：延长ED交AC于F，
ADE和ABC
△是等腰直角三角形，
45
BAC EAD
∠∠
∴==，
AD ED
⊥，
ED DF
∴=，
M为EC中点，
EM MC
∴=，
1
2
DM FC
∴=，//
DM FC，
45
BDN BND BAC
∠∠∠
∴===，
ED AB
⊥，BC AB
⊥，
//
ED BC
∴，
DEM NCM
∠
∴=，
在EDM和CNM中
DEM NCM
EM CM
EMD CMN
∠=∠
?
?
=
?
?∠=∠
?
EDM
∴≌()
CNM ASA，
DM MN
∴=，
BM DN
∴⊥，
BMD
∴是等腰直角三角形．
()3BDM是等腰直角三角形，
理由是：过点C作//
CF ED，与DM的延长线交于点F，连接BF，
可证得MDE ≌MFC ，
DM FM ∴=，DE FC =， AD ED FC ∴==，
作AN EC ⊥于点N ，
由已知90ADE ∠=，90ABC ∠=， 可证得DEN DAN ∠∠=，NAB BCM ∠∠=，
//CF ED ，
DEN FCM ∠∠∴=，
BCF BCM FCM NAB DEN NAB DAN BAD ∠∠∠∠∠∠∠∠∴=+=+=+=， BCF ∴≌BAD ，
BF BD ∴=，DBA CBF ∠∠=，
90DBF DBA ABF CBF ABF ABC ∠∠∠∠∠∠∴=+=+==，
DBF ∴是等腰直角三角形， 点M 是DF 的中点，
则BMD 是等腰直角三角形， 【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，在本题中需要作辅助线来证明，难度较大．
2．已知OP 平分∠AOB ，∠DCE 的顶点C 在射线OP 上，射线CD 交射线OA 于点F ，射线CE 交射线OB 于点G ．
（1）如图1，若CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，请直接写出线段CF 与CG 的数量关系；
（2）如图2，若∠AOB=120o，∠DCE=∠AOC ，试判断线段CF 与CG 的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）CF=CG ；（2）CF=CG ，见解析 【解析】 【分析】
(1)结论CF=CG ，由角平分线性质定理即可判断．
(2)结论：CF=CG ，作CM ⊥OA 于M ，CN ⊥OB 于N ，证明△CMF ≌△CNG ，利用全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】
解：（1）结论：CF=CG；
证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，
∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；
（2）CF=CG.理由如下：如图，
过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，
∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120o，
∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴∠AOC=∠BOC=60o（角平分线的性质），
∵∠DCE=∠AOC，
∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60o，
∴∠MCO=90o-60o =30o，∠NCO=90o-60o =30o，
∴∠MCN=30o+30o=60o，
∴∠MCN=∠DCE，
∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，
∴∠MCF=∠NCG，
在△MCF和△NCG中，
CMF CNG
CM CN
MCF NCG
∠=∠
?
?
=
?
?∠=∠
?
∴△MCF≌△NCG（ASA），
∴CF=CG（全等三角形对应边相等）；
【点睛】
本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等．
3．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD=2BF+DE．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠FAE=135°；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据已知条件易证∠BAC=∠DAE ，再由AB=AD ，AE=AC ，根据SAS 即可证得△ABC ≌△ADE ；
（2）已知∠CAE=90°，AC=AE ，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠E=45°，由（1）知△BAC ≌△DAE ，根据全等三角形的性质可得∠BCA=∠E=45°，再求得∠CAF=45°，由∠FAE=∠FAC+∠CAE 即可得∠FAE 的度数；
（3）延长BF 到G ，使得FG=FB ，易证△AFB ≌△AFG ，根据全等三角形的性质可得AB=AG ，∠ABF=∠G ，再由△BAC ≌△DAE ，可得AB=AD ，∠CBA=∠EDA ，CB=ED ，所以AG=AD ，∠ABF=∠CDA ，即可得∠G=∠CDA ，利用AAS 证得△CGA ≌△CDA ，由全等三角形的性质可得CG=CD ，所以CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF ． 【详解】
（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°， ∴∠BAC=∠DAE ， 在△BAC 和△DAE 中，
AB AD BAC DAE AC AE =??
∠=∠??=?
， ∴△BAC ≌△DAE （SAS ）； （2）∵∠CAE=90°，AC=AE ， ∴∠E=45°，
由（1）知△BAC ≌△DAE ， ∴∠BCA=∠E=45°， ∵AF ⊥BC ， ∴∠CFA=90°， ∴∠CAF=45°，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°； （3）延长BF 到G ，使得FG=FB ， ∵AF ⊥BG ， ∴∠AFG=∠AFB=90°，
在△AFB和△AFG中，
BF F
AFB AFG
AF AF
G
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△AFB≌△AFG（SAS），
∴AB=AG，∠ABF=∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，
∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，
∴∠G=∠CDA，
在△CGA和△CDA中，
GCA DCA
CGA CDA
AG AD
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△CGA≌△CDA，
∴CG=CD，
∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，
∴CD=2BF+DE．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，解决第3问需作辅助线，延长BF到G，使得FG=FB，证得△CGA≌△CDA是解题的关键．
4．如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF．
（1）求证：BG＝CF；
（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）BE +CF ＞EF ，证明详见解析 【解析】 【分析】
（1）先利用ASA 判定△BGD ?CFD ，从而得出BG=CF ；
（2）利用全等的性质可得GD=FD ，再有DE ⊥GF ，从而得到EG=EF ，两边之和大于第三边从而得出BE+CF ＞EF ． 【详解】
解：（1）∵BG ∥AC ， ∴∠DBG ＝∠DCF ． ∵D 为BC 的中点， ∴BD ＝CD
又∵∠BDG ＝∠CDF ， 在△BGD 与△CFD 中，
∵DBG DCF BD CD BDG CDF ∠=∠??
=??∠=∠?
∴△BGD ≌△CFD （ASA ）． ∴BG ＝CF ． （2）BE +CF ＞EF ． ∵△BGD ≌△CFD ， ∴GD ＝FD ，BG ＝CF ． 又∵DE ⊥FG ，
∴EG ＝EF （垂直平分线到线段端点的距离相等）． ∴在△EBG 中，BE +BG ＞EG ， 即BE +CF ＞EF ． 【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质，要注意判定三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL ．
5．如图，在ABC ?中，90C ∠=?，4cm AC BC ==，点D 是斜边AB 的中点．点E 从点B 出发以1cm/s 的速度向点C 运动，点F 同时从点C 出发以一定的速度沿射线CA 方向运动，规定当点E 到终点C 时停止运动．设运动的时间为x 秒，连接DE 、DF ．
（1）填空：ABC S ?=______2cm ；
（2）当1x =且点F 运动的速度也是1cm/s 时，求证：DE DF =；
（3）若动点F 以3cm /s 的速度沿射线CA 方向运动，在点E 、点F 运动过程中，如果存在某个时间x ，使得ADF ?的面积是BDE ?面积的两倍，请你求出时间x 的值． 【答案】（1）8;(2)见解析；（3）4
5
或4. 【解析】 【分析】
（1）直接可求△ABC 的面积；
（2）连接CD ，根据等腰直角三角形的性质可求：∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，即BD=CD ，且BE=CF ，即可证△CDF ≌△BDE ，可得DE=DF ；
（3）分△ADF 的面积是△BDE 的面积的两倍和△BDE 与△ADF 的面积的2倍两种情况讨论，根据题意列出方程可求x 的值． 【详解】 解：（1）∵S △ABC =1
2
?AC×BC ∴S △ABC =
1
2
×4×4=8（cm 2） 故答案为：8
（2）如图：连接CD
∵AC=BC ，D 是AB 中点 ∴CD 平分∠ACB 又∵∠ACB=90°
∴∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°
∴CD=BD
依题意得：BE=CF
∴在△CDF与△BDE中
BE CF
B DCA
BD CD
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
∴△CDF≌△BDE（SAS）
∴DE=DF
（3）如图：过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，
∵AD=BD，∠A=∠B=45°，∠AND=∠DMB=90°
∴△ADN≌△BDM（AAS）
∴DN=DM
当S△ADF=2S△BDE．
∴
1
2
×AF×DN=2×
1
2
×BE×DM
∴|4-3x|=2x
∴x1=4，x2=
4
5
综上所述：x=
4
5
或4
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，全等三角形的性质和判定，利用分类思想解决问题是本题的关键．
6．已知4
AB cm
=，3
AC BD cm
==.点P在AB上以1/
cm s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为()
t s．
（1）如图①，AC AB
⊥，BD AB
⊥，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当1
t=时，ACP
△与BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图②，将图①中的“AC AB
⊥，BD AB
⊥”为改“60
CAB DBA
∠=∠=?”，其他条件不变．设点Q的运动速度为/
xcm s，是否存在实数x，使得ACP
△与BPQ
全等？若存在，求出相应的x 、t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）全等，PC 与PQ 垂直；（2）存在，11t x =??=?或2
32t x =??
?=
??
【解析】 【分析】
（1）利用SAS 证得△ACP ≌△BPQ ，得出∠ACP=∠BPQ ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；
（2）由△ACP ≌△BPQ ，分两种情况：①AC=BP ，AP=BQ ，②AC=BQ ，AP=BP ，建立方程组求得答案即可． 【详解】
解：（1）当t=1时，AP=BQ=1，BP=AC=3， 又∠A=∠B=90°， 在△ACP 和△BPQ 中，
AP BQ
A B AC BP =??
∠=∠??=?
， ∴△ACP ≌△BPQ （SAS ）． ∴∠ACP=∠BPQ ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°． ∴∠CPQ=90°，
即线段PC 与线段PQ 垂直． （2）①若△ACP ≌△BPQ ， 则AC=BP ，AP=BQ ，
34t
t xt =-??
=?
， 解得11t x =??=?
，
②若△ACP ≌△BQP ， 则AC=BQ ，AP=BP ，
3
4
xt
t t
=
?
?
=-
?
，
解得
2
3
2
t
x
=
?
?
?
=
??
，
综上所述，存在
1
1
t
x
=
?
?
=
?
或
2
3
2
t
x
=
?
?
?
=
??
使得△ACP与△BPQ全等．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，在解题时注意分类讨论思想的运用．
7．如图，在平面直角坐标系中，A、B坐标为()
6,0、()
0,6，P为线段AB上的一点．
（1）如图1，若P为AB的中点，点M、N分别是OA、OB边上的动点，且保持
AM ON
=，则在点M、N运动的过程中，探究线段PM、PN之间的位置关系与数量关系，并说明理由．
（2）如图2，若P为线段AB上异于A、B的任意一点，过B点作BD OP
⊥，交OP、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且PEA BDO
=∠
∠，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）PM=PN，PM⊥PN，理由见解析；（2）OD=AE，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）连接OP．只要证明△PON≌△PAM即可解决问题；
（2）作AG⊥x轴交OP的延长线于G．由△DBO≌△GOA，推出OD=AG，∠BDO=∠G，再证明△PAE≌△PAG即可解决问题；
【详解】
（1）结论：PM=PN，PM⊥PN．理由如下：
如图1中，连接OP．
∵A、B坐标为（6，0）、（0，6），
∴OB=OA=6，∠AOB=90°，
∵P为AB的中点，
∴OP=
1
2
AB=PB=PA ，OP ⊥AB ，∠PON=∠PAM=45°， ∴∠OPA=90°，
在△PON 和△PAM 中，
ON AM PON PAM OP AP =??
∠=∠??=?
， ∴△PON ≌△PAM （SAS ）， ∴PN=PM ，∠OPN=∠APM ， ∴∠NPM=∠OPA=90°， ∴PM ⊥PN ，PM=PN ．
（2）结论：OD=AE ．理由如下：
如图2中，作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G ． ∵BD ⊥OP ，
∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°，
∴∠ODF+∠AOG=90°，∠ODF+∠OBD=90°， ∴∠AOG=∠DBO ， ∵OB=OA ， ∴△DBO ≌△GOA ， ∴OD=AG ，∠BDO=∠G ， ∵∠BDO=∠PEA ， ∴∠G=∠AEP ， 在△PAE 和△PAG 中，
AEP G PAE PAG AP AP ∠=∠??
∠=∠??=?
， ∴△PAE ≌△PAG （AAS ）， ∴AE=AG ， ∴OD=AE ．
【点睛】
考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质、直角三角形
的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
8．如图1，在长方形ABCD 中，AB=CD=5 cm ， BC=12 cm ，点P 从点B 出发，以2cm/s 的速度沿BC 向点C 运动，设点P 的运动时间为ts ．
（1）PC=___cm ；(用含t 的式子表示) （2）当t 为何值时，△ABP ≌△DCP ？．
（3）如图2，当点P 从点B 开始运动，此时点Q 从点C 出发，以vcm/s 的速度沿CD 向点D 运动，是否存在这样的v 值，使得某时刻△ABP 与以P ，Q ，C 为顶点的直角三角形全等？若存在，请求出v 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）()122t -；（2）3t =；（3）存在，2v =或53
v = 【解析】 【分析】
（1）根据P 点的运动速度可得BP 的长，再利用BC 的长减去BP 的长即可得到PC 的长； （2）先根据三角形全等的条件得出当BP=CP ，列方程求解即得；
（3）先分两种情况：当BP=CQ ，AB=PC 时，△ABP ≌△PCQ ；或当BA=CQ ，PB=PC 时，△ABP ≌△QCP ，然后分别列方程计算出t 的值，进而计算出v 的值． 【详解】
解：（1）当点P 以2cm/s 的速度沿BC 向点C 运动时间为ts 时2BP tcm = ∵12BC cm =
∴()122PC BC BP t cm =-=- 故答案为：()122t - （2）∵ABP DCP ??? ∴BP CP = ∴2122t t =- 解得3t =．
（3）存在，理由如下：
①当BP=CQ ，AB=PC 时，△ABP ≌△PCQ ， ∴PC=AB=5 ∴BP=BC-PC=12-5=7 ∵2BP tcm = ∴2t=7 解得t=3.5
∴CQ=BP=7，则3.5v=7
解得2v =．
②当BA CQ =，PB PC =时，ABP QCP ??? ∵12BC cm =
∴1
62
BP CP BC cm === ∵2BP tcm = ∴26t = 解得3t = ∴3CQ vcm =
∵5AB CQ cm == ∴35v = 解得53
v =
． 综上所述，当2v =或5
3
v =时，ABP ?与以P ，Q ，C 为顶点的直角三角形全等． 【点睛】
本题考查全等三角形的判定及性质和矩形的性质，解题关键是将动态情况化为某一状态情况，并以这一状态为等量关系建立方程求解．
9．如图，ABC ?是等腰直角三角形，090BAC ∠=，点D 是直线BC 上的一个动点（点
D 与点B C 、不重合），以AD 为腰作等腰直角AD
E ?，连接CE .
（1）如图①，当点D 在线段BC 上时，直接写出,BC CE 的位置关系，线段,BC CD ，
CE 之间的数量关系；
（2）如图②，当点D 在线段BC 的延长线上时，试判断线段BC ，CE 的位置关系，线段
,,BC CD CE 之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，当点D 在线段CB 的延长线上时，试判断线段,BC CE 的位置关系，线段
,,BC CD CE 之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）BC CE ⊥，CE BC CD =+，理由见解析；（3）
,BC CE CD BC CE ⊥=+，理由见解析
【解析】 【分析】
（1）根据条件AB=AC ，∠BAC=90°，AD=AE ，∠DAE=90°，判定△ABD ≌△ACE （SAS ），利
用两角的和即可得出BC CE ⊥；利用线段的和差即可得出BC CE CD =+；
（2）同（1）的方法根据SAS 证明△ABD ≌△ACE ，得出BD=CE ，∠ACE=∠ABD ，从而得出结论；
（3）先根据SAS 证明△ABD ≌△ACE ，得出ADB AEC ∠=∠，BD CE =，从而得出结论． 【详解】
（1）∵△ABC 、△ADE 是等腰直角三角形， ∴AB＝AC ，AE ＝AD ， 在△△ABD 和△ACE 中
90AB AC BAC DAE AD AE ??
∠∠=????
＝＝＝ ， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）， ∴∠B ＝∠ACE ，BD=CE, 又∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠B+∠ACB=90?,
∴∠ACE +∠ACB=90?,即BC CE ⊥， ∵BC=BD+CD, BD=CE ， ∴BC CE CD =+；
（2）BC CE ⊥，CE BC CD =+，理由如下： ∵ABC ?、ADE ?是等腰直角三角形， ∴0
,,90AB AC AD AE BAC DAE ==∠=∠=， ∴BAC DAC DAE DAC ∠+∠=∠+∠ 即BAD CAE ∠=∠, 在ABD ?和ACE ?中
AB AC BAD CAE AD AE ??
∠=∠???
＝＝ ∴()ABD ACE SAS ??? ∴BD CE = ∵BD BC CD =+ ∴CE BC CD =+， ∴ABD ACE ∠=∠， ∵090ABD ACE ∠+∠= ∴090ACE ACB ∠+∠= ∴BC CE ⊥.
（3）,BC CE CD BC CE ⊥=+，理由如下：
∵ABC ADE
??
、是等腰直角三角形，
∴0
,,90
AB AC AD AE BAC DAE
==∠=∠=，
∴BAC BAE DAE BAE
∠-∠=∠-∠，即BAD CAE
∠=∠，
在ABD
?和ACE
?中
AB AC
BAD CAE
AD AE
?
?
∠=∠
?
?
?
＝
＝
∴()
ABD ACE SAS
???，
∴ADB AEC
∠=∠，BD CE
=，
∵CD BD BC
=+，
∴CD CE BC
=+，
∵0
90
ADE AED
∠+∠=，即0
90
ADB CDE AED
∠+∠+∠=
∴0
90
AEC CDE AED
∠+∠+∠=，
∴0
90
DCE
∠=，即BC CE
⊥.
【点睛】
考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解题关键是根据利用两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等判定三角形全等．
10．如图，A（0，4）是直角坐标系y轴上一点，动点P从原点O出发，沿x轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．
（1）若AB∥x轴，如图1，求t的值；
（2）设点A关于x轴的对称点为A′，连接A′B，在点P运动的过程中，∠OA′B的度数是否会发生变化，若不变，请求出∠OA′B的度数，若改变，请说明理由．
（3）如图2，当t＝3时，坐标平面内有一点M（不与A重合）使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）4；（2）∠OA′B的度数不变，∠OA′B＝45?，理由见解析；（3）点M的坐标为（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）
【解析】
【分析】
（1）利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质，可证明△AOP 为等腰直角三角形，从而求得答案；
（2）根据对称的性质得：PA ＝PA '＝PB ，由∠PAB +∠PBA ＝90°，结合三角形内角和定理即可求得∠OA 'B ＝45°；
（3）分类讨论：分别讨论当△ABP ≌△MBP 、△ABP ≌△MPB 、△ABP ≌△MPB 时，点M 的坐标的情况；过点M 作x 轴的垂线、过点B 作y 轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质求得点M 的坐标即可. 【详解】
（1）∵AB ∥x 轴，△APB 为等腰直角三角形， ∴∠PAB ＝∠PBA ＝∠APO ＝45°， ∴△AOP 为等腰直角三角形， ∴OA ＝OP ＝4． ∴t ＝4÷1＝4（秒）， 故t 的值为4．
（2）如图2，∠OA ′B 的度数不变，∠OA ′B ＝45°，
∵点A 关于x 轴的对称点为A ′， ∴PA ＝PA '， 又AP ＝PB ， ∴PA ＝PA '＝PB ，
∴∠PAA '＝∠PA 'A ，∠PBA '＝∠PA 'B ， 又∵∠PAB +∠PBA ＝90°， ∴∠PAA '+∠PA 'A +∠PA 'B +∠PBA ' ＝180()PAB PBA ∠∠?-+
180=?-90° =90°，
∴∠AA 'B ＝45°， 即∠OA 'B ＝45°；
（3）当t ＝3时，M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等， ①如图3，若△ABP ≌△MBP ，
则AP ＝PM ，过点M 作MD ⊥OP 于点D ，
∵∠AOP ＝∠PDM ，∠APO ＝∠DPM ， ∴△AOP ≌△MDP （AAS ）， ∴OA ＝DM ＝4，OP ＝PD ＝3， ∴M 的坐标为：（6，-4）．
②如图4，若△ABP ≌△MPB ，则AB PM =，
过点M 作M E ⊥x 轴于点E ，过点B 作BG ⊥x 轴于点G ，过点B 作BF ⊥y 轴于点
F ，
∵△APB 为等腰直角三角形，则△MPB 也为等腰直角三角形， ∴∠BAP ＝∠MPB=45?，PA PB = ∵139023∠+∠=?=∠+∠， ∴12∠=∠ ∴Rt
AOP Rt PGB ?
∴34BG OP PG AO ====， ∵BG ⊥x 轴BF ，⊥y 轴 ∴四边形BGOF 为矩形，
∴3OP BG ==，则431AF OA OF =-=-= 347BF OG OP PG ==+=+=
在Rt
ABF 和Rt PME 中
∠BAF ＝45?+1∠，∠MPE ＝45?+2∠， ∴∠BAF ＝∠MPE ∵AB PM =
∴Rt ABF Rt PME ?
∴71ME BF PE AF ====， ∴M 的坐标为：（4，7），
③如图5，若△ABP ≌△MPB ，则AB PM =，
过点M 作M E ⊥x 轴于点D ，过点B 作BG ⊥x 轴于点E ，过点B 作BF ⊥y 轴于点
F ，
∵△APB 为等腰直角三角形，则△MPB 也为等腰直角三角形， ∴∠BAP ＝∠MPB=45?，PA PB = ∵139023∠+∠=?=∠+∠， ∴12∠=∠ ∴Rt
AOP Rt PEB ?
∴34BE OP PE AO ====， ∵BE ⊥x 轴BF ，⊥y 轴 ∴四边形BEOF 为矩形，
∴3OP BG ==，则431AF OA OF =-=-= 347BF OE OP PE ==+=+=
在Rt
ABF 和Rt PMD 中 ∵BF ⊥y 轴
∴42∠=∠
∵42ABF PMD ∠∠∠+=∠+ ∴ABF PMD ∠∠= ∵AB PM = ∴Rt
ABF Rt PMD ? ∴17MD AF PD BF ====， ∴M 的坐标为：（10，﹣1）．
综合以上可得点M 的坐标为：（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，第(3)小题要注意分类讨论，作此类型的题要结合图形，构建适当的辅助线，寻找相等的量才能得出结论．