2020年广西省南宁市中考数学模拟试卷（2）
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列各对数中，互为相反数的是（）
A．﹣2与3B．﹣（+3）与+（﹣3）
C．4与﹣4D．5与
2．（3分）下列不等式变形中不正确的是（）
A．由a＞b，得b＜a B．由﹣a＞﹣b，得a＜b
C．由﹣ax＞a，得x＞﹣1D．由﹣x＜y，得x＞﹣2y
3．（3分）三个立体图形的展开图如图①②③所示，则相应的立体图形是（）
A．①圆柱，②圆锥，③三棱柱B．①圆柱，②球，③三棱柱
C．①圆柱，②圆锥，③四棱柱D．①圆柱，②球，③四棱柱
4．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（）
A．x≠0B．C．D．
5．（3分）下列运算错误的是（）
A．（a2）3＝a6B．（x+y）2＝x2+y2
C．﹣32＝﹣9D．61200＝6.12×104
6．（3分）下列四个命题中，其正确命题的个数是（）
①若ac＞bc，则a＞b；
②平分弦的直径垂直于弦；
③一组对角相等一组对边平行的四边形是平行四边形；
④反比例函数y＝．当k＜0时，y随x的增大而增大
A．1B．2C．3D．4
7．（3分）不透明的袋子中装有红球1个、绿球1个、白球2个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（）
A．B．C．D．
8．（3分）平移抛物线y＝﹣（x﹣1）（x+3），下列哪种平移方法不能使平移后的抛物线经过原点（）
A．向左平移1个单位B．向上平移3个单位
C．向右平移3个单位D．向下平移3个单位
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝37°，那么∠BAD＝（）
A．51°B．53°C．57°D．60°
10．（3分）如图，已知△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，DE是AC的垂直平分线，DE 交AB于点D，交AC于点E，连接CD，则CD的值为（）
A．1B．1.5C．2D．2.5
11．（3分）已知Rt△ACB中，点D为斜边AB的中点，连接CD，将△DCB沿直线DC翻折，使点B落在点E的位置，连接DE、CE、AE，DE交AC于点F，若BC＝6，AC＝8，则AE的值为（）
A．B．C．D．
12．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，AE与BD交于点P，F 是CD上一点，连接AF分别交BD，DE于点M，N，且AF⊥DE，连接PN，则以下结
论中：①S△ABM＝4S△FDM；②PN＝；③tan∠EAF＝；④△PMN∽△DPE，正确的是（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）若a+3＝0，则a＝．
14．（3分）分解因式：3x2﹣12x+12＝．
15．（3分）若m是方程5x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则15m﹣+2010的值为．16．（3分）已知点G是△ABC的重心，过点G作MN∥BC分别交边AB、AC于点M、N，那么＝．
17．（3分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线长是．
18．（3分）如图，P为反比例函数y＝在第三象限内图象上的一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交一次函数y＝﹣x+2的图象于点A、B．若∠AOB＝135°，则k的值是．
三．解答题（共8小题）
19．（1）计算：（）﹣1+20190+﹣2cos30°
（2）先化简，再求值，÷﹣，其中a＝﹣5．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．
（1）请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2；
（3）填空：△AA1A2的面积为．
21．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，m）是一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝﹣（x ＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
（1）求一次函数解析式及m的值；
（2）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
22．图书馆是一个很好的学习平台，某市有关部门统计了最近6个月到图书馆的读者的职业分布情况，并做了下列两个不完整的统计图．
（1）在统计的这段时间内，共有万人次到图书馆阅读，其中商人占百分比
为%．
（2）将条形统计图补充完整．
（3）5月份到图书馆的读者共有24000人次，根据以上调查结果，估计24000人次中是职工的人次．
23．高新一中初中校区名校+教育联合体主题美术展在西安高新区都市之门举办，学校组织七年级部分学生乘车参观展览，若用2辆小客车和1辆大客车，则每次可运送学生95人；
若用1辆小客车和2辆大客车，则每次可运送学生115人（注意：每辆小客车和大客车都坐满）．
（1）每辆小客车和大客车各能坐多少人？
（2）若现在要运送500名学生，计划租用小客车a辆，大客车b辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满，请你帮学校设计出所有的租车方案．
24．已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sin B＝，∠CAD＝30°．（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若OD⊥AB，BC＝5，求AD的长．
25．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．（1）求该抛物线的表达式；
（2）点E是线段BC上方的抛物线上一个动点，求△BEC的面积的最大值；
（3）点P是抛物线的对称轴上一个动点，当以A、P、C为顶点的三角形是直角三角形时，求出点P的坐标．
26．如图，四边形ABCD为矩形，点E是边BC的中点，AF∥ED，AE∥DF （1）求证：四边形AEDF为菱形；
（2）试探究：当AB：BC＝，菱形AEDF为正方形？请说明理由．
2020年广西省南宁市中考数学模拟试卷（2）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列各对数中，互为相反数的是（）
A．﹣2与3B．﹣（+3）与+（﹣3）
C．4与﹣4D．5与
【解答】解：A、只有符号不同的两个数互为相反数，故A错误；
B、都是﹣3，故B错误；
C、只有符号不同的两个数互为相反数，故C正确；
D、互为倒数，故D错误；
故选：C．
2．（3分）下列不等式变形中不正确的是（）
A．由a＞b，得b＜a B．由﹣a＞﹣b，得a＜b
C．由﹣ax＞a，得x＞﹣1D．由﹣x＜y，得x＞﹣2y
【解答】解：∵由a＞b，得b＜a，
∴选项A不符合题意；
∵由﹣a＞﹣b，得a＜b，
∴选项B不符合题意；
∵a＜0时，由﹣ax＞a，得x＞﹣1，
∴选项C符合题意；
∵由﹣x＜y，得x＞﹣2y，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
3．（3分）三个立体图形的展开图如图①②③所示，则相应的立体图形是（）
A．①圆柱，②圆锥，③三棱柱B．①圆柱，②球，③三棱柱
C．①圆柱，②圆锥，③四棱柱D．①圆柱，②球，③四棱柱
【解答】解：观察图形，由立体图形及其表面展开图的特点可知相应的立体图形顺次是圆柱、圆锥、三棱柱．
故选：A．
4．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（）
A．x≠0B．C．D．
【解答】解：由题意得：1﹣2x≠0，
解得：x≠，
故选：B．
5．（3分）下列运算错误的是（）
A．（a2）3＝a6B．（x+y）2＝x2+y2
C．﹣32＝﹣9D．61200＝6.12×104
【解答】解：A．（a2）3＝a6，运算正确；
B．（x+y）2＝x2+2xy+y2，故原运算错误
C．﹣32＝﹣9，运算正确；
D.61200＝6.12×104，运算正确．
故选：B．
6．（3分）下列四个命题中，其正确命题的个数是（）
①若ac＞bc，则a＞b；
②平分弦的直径垂直于弦；
③一组对角相等一组对边平行的四边形是平行四边形；
④反比例函数y＝．当k＜0时，y随x的增大而增大
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：①若ac＞bc，如果c＞0，则a＞b，故原题说法错误；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原题说法错误；
③一组对角相等一组对边平行的四边形是平行四边，故原题说法正确；
④反比例函数y＝．当k＜0时，在每个象限内y随x的增大而增大，故原题说法错误；
正确命题有1个，
故选：A．
7．（3分）不透明的袋子中装有红球1个、绿球1个、白球2个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（）
A．B．C．D．
【解答】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是的白色的结果共有2 种，
所以两次都摸到白球的概率是＝，
故选：B．
8．（3分）平移抛物线y＝﹣（x﹣1）（x+3），下列哪种平移方法不能使平移后的抛物线经过原点（）
A．向左平移1个单位B．向上平移3个单位
C．向右平移3个单位D．向下平移3个单位
【解答】解：由y＝﹣（x﹣1）（x+3）得到：y＝﹣（x+1）2+4
A、向左平移1个单位后的解析式为：y＝﹣（x+2）2+4，当x＝0时，y＝0，即该抛物线
经过原点，故本选项不符合题意．
B、向上平移3单位后的解析式为：y＝﹣（x+1）2+7，当x＝0时，y＝6，即该抛物线不
经过原点，故本选项符合题意．
C、向右平移3个单位后的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+4，当x＝0时，y＝0，即该抛物
线经过原点，故本选项不符合题意．
D、向下平移3单位后的解析式为：y＝﹣（x+1）2+1，当x＝0时，y＝0，即该抛物线经
过原点，故本选项不符合题意．
故选：B．
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝37°，那么∠BAD＝（）
A．51°B．53°C．57°D．60°
【解答】解：连接BD，如图所示．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
在△ABD中，∠ABD＝∠ACD＝37°，∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝53°．
故选：B．
10．（3分）如图，已知△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，DE是AC的垂直平分线，DE 交AB于点D，交AC于点E，连接CD，则CD的值为（）
A．1B．1.5C．2D．2.5
【解答】解：∵AC＝4，BC＝3，AB＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE＝EC＝2，DE∥BC，且线段DE是△ABC的中位线，
∴DE＝1.5，
Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2＝CE2+DE2，
∴CD2＝22+1.52，
∴CD＝2.5．
故选：D．
11．（3分）已知Rt△ACB中，点D为斜边AB的中点，连接CD，将△DCB沿直线DC翻折，使点B落在点E的位置，连接DE、CE、AE，DE交AC于点F，若BC＝6，AC＝8，则AE的值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：过点D作DM⊥BC，DN⊥AE，垂足为M、N，连接BE交CD于点G，∵Rt△ACB中，AB＝＝10，
∵点D为斜边AB的中点，
∴CD＝AD＝BD＝AB＝5，
在△DBC中，DC＝DB，DM⊥BC，
∴MB＝MC＝BC＝3，
∴DM＝＝4，
由折叠得，CD垂直平分BE，∠BDC＝∠EDC，
在△ADE中，DA＝DE，DN⊥AE，
∴AN＝NE＝AE，
∴DN是△ABE的中位线，
∴DN∥BE，DN＝BE，
在△DBC中，由三角形的面积公式得：BC?DM＝DC?BG，
即：6×4＝5×BG，
∴BG＝＝DN，
在Rt△ADN中，AN＝＝，
∴AE＝2AN＝，
故选：B．
12．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，AE与BD交于点P，F 是CD上一点，连接AF分别交BD，DE于点M，N，且AF⊥DE，连接PN，则以下结论中：①S△ABM＝4S△FDM；②PN＝；③tan∠EAF＝；④△PMN∽△DPE，正确的是（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠ABC＝∠C＝∠ADF＝90°，CE＝BE＝1，
∵AF⊥DE，
∴∠DAF+∠ADN＝∠ADN+∠CDE＝90°，
∴∠DAN＝∠EDC，
在△ADF与△DCE中，，
∴△ADF≌△DCE（ASA），
∴DF＝CE＝1，
∵AB∥DF，
∴△ABM∽△FDM，
∴＝（）2＝4，
∴S△ABM＝4S△FDM；故①正确；
由勾股定理可知：AF＝DE＝AE＝＝，∵×AD×DF＝×AF×DN，
∴DN＝，
∴EN＝，AN＝＝，
∴tan∠EAF＝＝，故③正确，
作PH⊥AN于H．
∵BE∥AD，
∴＝＝2，
∴P A＝，
∵PH∥EN，
∴＝＝，
∴AH＝×＝，HN＝，
∴PN＝＝，故②正确，
∵PN≠DN，
∴∠DPN≠∠PDE，
∴△PMN与△DPE不相似，故④错误．
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）若a+3＝0，则a＝﹣3．
【解答】解：∵a+3＝0，
∴a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
14．（3分）分解因式：3x2﹣12x+12＝3（x﹣2）2．
【解答】解：原式＝3（x2﹣4x+4）＝3（x﹣2）2，
故答案为：3（x﹣2）2
15．（3分）若m是方程5x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则15m﹣+2010的值为2019．【解答】解：∵m是方程5x2﹣3x﹣1＝0的一个根，
∴5m2﹣3m﹣1＝0，
∴5m2﹣1＝3m，
两边同时除以m得：5m﹣＝3，
∴15m﹣+2010＝3（5m﹣）+2010＝9+2010＝2019，
故答案为2019．
16．（3分）已知点G是△ABC的重心，过点G作MN∥BC分别交边AB、AC于点M、N，那么＝．
【解答】解：如图，，
连接AG并延长交BC于点E，
∵点G是△ABC的重心，
∴，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴，
故答案为：
17．（3分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线长是3．
【解答】解：∵图中扇形的弧长是2π，根据弧长公式得到2π＝
∴n＝120°即扇形的圆心角是120°
∴弧所对的弦长是2×3sin60°＝3
18．（3分）如图，P为反比例函数y＝在第三象限内图象上的一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交一次函数y＝﹣x+2的图象于点A、B．若∠AOB＝135°，则k的值是6．
【解答】解：如图，过B作BC⊥x轴于C，过A作AD⊥于轴于D，
∵当x＝0时，y＝2，即ON＝2，
当y＝0时，x＝2，即OM＝2，
∴OM＝ON，∠OMN＝∠ONM＝45°，
∴∠ANO＝∠OMB＝135°，
∵∠AOB＝135°，
∴∠BOM+∠AON＝45°，
又∵∠BOM+∠OBM＝45°，
∴∠OBM＝∠AON，
∴△BOM∽△OAN，
∴＝，即＝，
∴BM?AN＝12，
∵∠AND＝∠MNO＝∠NMO＝∠BMC＝45°，
∴△ADN和△BCM都是等腰直角三角形，
设P（a，b），则k＝ab，BC＝﹣b，AD＝﹣a，
∴Rt△BCM中，BM＝﹣b；Rt△ADN中，AN＝﹣a，∵﹣a×（﹣b）＝12，
∴ab＝6，即k＝6，
故答案为：6．
三．解答题（共8小题）
19．（1）计算：（）﹣1+20190+﹣2cos30°
（2）先化简，再求值，÷﹣，其中a＝﹣5．【解答】解：（1）（）﹣1+20190+﹣2cos30°
＝2+1+3﹣2×
＝2+1+3﹣
＝3+2；
（2）÷﹣
＝﹣
＝
＝﹣，
当a＝﹣5时，原式＝＝1．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．
（1）请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2；
（3）填空：△AA1A2的面积为3．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）△AA1A2的面积为×6×1＝3．
故答案为：3．
21．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，m）是一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝﹣（x ＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
（1）求一次函数解析式及m的值；
（2）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
【解答】解：（1）把B（﹣1，m）代入反比例函数得，m＝2，
把A（﹣4，），B（﹣1，2）代入一次函数y＝kx+b得：
则，解得
∴一次函数的解析式为，
即：m＝2，一次函数的关系式为y＝x+；
（2）连接PC、PD，如图，由于点P在直线y＝x+上；
设P（x，x+）
由△PCA和△PDB面积相等得：××（x+4）＝×1×（2﹣x﹣），
解得，x＝﹣，
把x＝﹣代入得，y＝×（﹣）+＝，
∴P点坐标是（﹣，）．
22．图书馆是一个很好的学习平台，某市有关部门统计了最近6个月到图书馆的读者的职业分布情况，并做了下列两个不完整的统计图．
（1）在统计的这段时间内，共有16万人次到图书馆阅读，其中商人占百分比为
12.5%．
（2）将条形统计图补充完整．
（3）5月份到图书馆的读者共有24000人次，根据以上调查结果，估计24000人次中是职工的人次．
【解答】解：（1）在统计的这段时间内，到图书馆阅读的人数为4÷25%＝16（万人），其中商人占百分比为×100%＝12.5%；
故答案为：16；12.5；
（2）职工：16﹣4﹣2﹣4＝6（万人），如图所示：
（3）估计24000人次中是职工的人次为24000×＝9000（人次）．
23．高新一中初中校区名校+教育联合体主题美术展在西安高新区都市之门举办，学校组织七年级部分学生乘车参观展览，若用2辆小客车和1辆大客车，则每次可运送学生95人；
若用1辆小客车和2辆大客车，则每次可运送学生115人（注意：每辆小客车和大客车都坐满）．
（1）每辆小客车和大客车各能坐多少人？
（2）若现在要运送500名学生，计划租用小客车a辆，大客车b辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满，请你帮学校设计出所有的租车方案．
【解答】解：（1）设每辆小客车能坐x人，每辆大客车能坐y人，
依题意，得：，
解得：．
答：每辆小客车能坐25人，每辆大客车能坐45人．
（2）依题意，得：25a+45b＝500，
∴a＝20﹣b．
∵a，b均为非负整数，
∴当b＝0时，a＝20；当b＝5时，a＝11；当b＝10时，a＝2．
∴学校共有3种租车方案，
方案1：租用20辆小客车；
方案2：租用11辆小客车，5辆大客车；
方案3：租用2辆小客车，10辆大客车．
24．已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sin B＝，∠CAD＝30°．（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若OD⊥AB，BC＝5，求AD的长．
【解答】证明：连接OA，