人教版数学八年级上册全等三角形易错题（Word版含答案）
一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
1．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD，当△AOD是等腰三角形时，求α的角度为______
【答案】110°、125°、140°
【解析】
【分析】
先求出∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，②OA=OD，则
∠OAD=∠ADO，③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，分别求出α的角度即可.
【详解】
解：∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，
则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°，
∴b﹣d=10°，
∴（60°﹣a）﹣d=10°，
∴a+d=50°，
即∠DAO=50°，
分三种情况讨论：
①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，
∴190°﹣α=α﹣60°，
∴α=125°；
②OA=OD，则∠OAD=∠ADO，
∴α﹣60°=50°，
∴α=110°；
③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，
∴190°﹣α=50°，
∴α=140°；
所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形，
故答案为：110°、125°、140°.
【点睛】
本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键.
2．如图，P 为∠AOB 内一定点，M ，N 分别是射线OA ，OB 上一点，当△PMN 周长最小时，∠OPM ＝50°，则∠AOB ＝___________．
【答案】40°
【解析】
【分析】
作P 关于OA ，OB 的对称点P 1，P 2．连接OP 1，OP 2．则当M ，N 是P 1P 2与OA ，OB 的交点时，△PMN 的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP 1M=∠OPM=50°，OP 1=OP 2=OP ，根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】
如图：作P 关于OA ，OB 的对称点P 1，P 2．连接OP 1，OP 2．则当M ，N 是P 1P 2与OA 、OB 的交点时，△PMN 的周长最短，连接P 1O 、P 2O ，
∵PP 1关于OA 对称，
∴∠P 1OP=2∠MOP ，OP1=OP ，P 1M=PM ，∠OP 1M=∠OPM=50°
同理，∠P 2OP=2∠NOP ，OP=OP 2，
∴∠P 1OP 2=∠P 1OP+∠P 2OP=2（∠MOP+∠NOP ）=2∠AOB ，OP 1=OP 2=OP ，
∴△P 1OP 2是等腰三角形．
∴∠OP 2N=∠OP 1M=50°，
∴∠P 1OP 2=180°-2×50°=80°，
∴∠AOB=40°，
故答案为：40°
【点睛】
本题考查了对称的性质，正确作出图形，证得△P 1OP 2是等腰三角形是解题的关键．
3．如图，在01A BA △中，20B ∠=?，01A B A B =，在1A B 上取点C ，延长01A A 到2A ，使得121A A AC =；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得232A A A D =；…，按此做法进行下去，第n 个等腰三角形的底角n A ∠的度数为__________．
【答案】11()
802n -??.
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1 A 0的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律即可得出第n 个等腰三角形的底角∠A n 的度数．
【详解】
解：∵在△A 0BA 1中，∠B=20°，A 0B=A 1B ， ∴∠BA 1 A 0= 1801802022
B ???
-∠-= =80°， ∵A 1A 2=A 1C ，∠BA 1 A 0是△A 1A 2C 的外角，
∴∠CA 2A 1= 108022
BA A ?
∠= =40°； 同理可得，
∠DA 3A 2=20°，∠EA 4A 3=10°，
∴第n 个等腰三角形的底角∠A n = 11()
802n -??.
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律是解答此题的关键．
4．如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP ＝5，M ，N 分别是射线OA 和OB 上的动点，若△PMN 周长的最小值为5，则∠AOB 的度数为_____．
【答案】30°．
【解析】
【分析】
如图：分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P''，分别连OP'、O P''、P' P''交OB、OA于M、N，则可证明此时△PMN周长的最小，由轴对称性，可证明△P'O P''为等边三角形，
∠AOB=1
2
∠P'O P''=30°.
【详解】
解：如图：分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P''，分别连OP'、O 、P' 交OB、OA于M、N，
由轴对称△PMN周长等于PN+NM+MP=P'N+NM+MP"=P'P"
∴由两点之间线段最短可知，此时△PMN周长的最小
∴P'P"=5
由对称OP=OP'=OP"=5
∴△P'OP"为等边三角形
∴∠P'OP"=60
∵∠P'OB=∠POB，∠P"OA=∠POA
∴∠AOB=1
2
∠P'O P''=30°.
故答案为30°.
【点睛】
本题是动点问题的几何探究题，考查最短路径问题，应用了轴对称图形性质和等边三角形性质.
5．等腰三角形顶角为30°，腰长是4cm，则三角形的面积为__________
【答案】4
【解析】
如图，根据30°角所对直角边等于斜边的一半的性质，可由等腰三角形的顶角为30°，腰
长是4cm，可求得BD=1
2
AB =4×
1
2
=2，因此此三角形的面积为：
S=1
2
AC?BD=
1
2
×4×2=8×
1
2
=4（cm2）．
故答案是：4．
6．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，
∠D=∠DBC=60°，若BD=5cm，DE=3cm，则BC的长是 ______cm．
【答案】8．
【解析】
【分析】
作出辅助线后根据等边三角形的判定得出△BDM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．
【详解】
解：延长DE交BC于M，延长AE交BC于N，作EF∥BC于F，
∵AB=AC，AE平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN=CN，
∵∠DBC=∠D=60°，
∴△BDM为等边三角形，
∴△EFD为等边三角形，
∵BD=5，DE=3，
∴EM=2，
∵△BDM为等边三角形，
∴∠DMB=60°，
∵AN⊥BC，
∴∠ENM=90°，
∴∠NEM=30°，
∴NM=1，
∴BN=4，
∴BC=2BN=8（cm），
故答案为8．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
7．在△ABC 中，∠ACB＝90o，D、E 分别在 AC、AB 边上，把△ADE 沿 DE 翻折得到△FDE，点 F 恰好落在 BC 边上，若△CFD 与△BFE 都是等腰三角形，则∠BAC 的度数为_________．【答案】45°或60°
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，设∠BAC的度数为x，则∠B=90°-x，∠EFB =135°-x，∠BEF=2x-45°，
当△BFE 都是等腰三角形，分三种情况讨论，即可求解.
【详解】
∵∠ACB＝90o，△CFD是等腰三角形，
∴∠CDF=∠CFD=45°，
设∠BAC的度数为x，
∴∠B=90°-x，
∵△ADE 沿 DE 翻折得到△FDE，点 F 恰好落在 BC 边上，
∴∠DFE=∠BAC=x，
∴∠EFB=180°-45°-x=135°-x，
∵∠ADE=∠FDE，
∴∠ADE=（180°-45°）÷2=67.5°，
∴∠AED=180°-∠ADE-∠BAC=180°-67.5° -x=112.5°-x，
∴∠DEF=∠AED=112.5°-x，
∴∠BEF=180°-∠AED-∠DEF=180°-（112.5°-x）-（112.5°-x）=2x-45°，
∵△BFE 都是等腰三角形，分三种情况讨论：
①当FE=FB时，如图1，
则∠BEF=∠B，
∴90-x=2x-45，解得：x=45；
②当BF=BE时，
则∠EFB=∠BEF，
∴135-x=2x-45，
解得：x=60，
③当EB=EF时，如图2，
则∠B=∠EFB，
∴135-x=90-x，无解，
∴这种情况不存在.
综上所述：∠BAC 的度数为：45°或60°.
故答案是：45°或60°.
图1 图2
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质定理，用代数式表示角度，并进行分类讨论，是解题的关键.
8．如图，△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC 上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动。若点Q的运动速度为3厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为_____________
【答案】2.25或3
【解析】
【分析】
分两种情况讨论：①若△BPD≌△CPQ，根据全等三角形的性质，则BD=CQ=6厘米，
BP=CP=1 2
BC=
1
2
×9=4.5（厘米），根据速度、路程、时间的关系即可求得；②若
△BPD≌△CQP，则CP=BD=6厘米，BP=CQ，得出
96
3
vt
vt t
?
?
-
?＝
＝
，解得：v=3．
【详解】
解：∵△ABC中，AB=AC=12厘米，点D为AB的中点，
∴BD=6厘米，
若△BPD≌△CPQ，则需BD=CQ=6厘米，BP=CP=
1
2
BC=
1
2
×9=4.5（厘米），
∵点Q的运动速度为3厘米/秒，
∴点Q的运动时间为：6÷3=2（s），
∴v=4.5÷2=2.25（厘米/秒）；
若△BPD≌△CQP，则需CP=BD=6厘米，BP=CQ，
则有
96
3
vt
vt t
?
?
-
?＝
＝
，
解得：v=3
∴v的值为：2.25或3厘米/秒
故答案为：2.25或3.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和线段垂直平分线的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
9．如图，∠AOB＝45°，点M、点C在射线OA上，点P、点D在射线OB上，且OD＝32，则CP+PM+DM的最小值是_____．
34
【解析】
【分析】
如图，作点C关于OB的对称点C′，作点D关于OA的对称点D′，连接OC′，PC′，D′M，OD′，C′D′，根据轴对称的性质得到OC′＝OC＝2，OD′＝OD＝2，CP＝C′P，DM＝D′M，∠C′OD＝′COD＝∠COD′＝45°，于是得到CP+PM+MD＝
C′+PM+D′M≥C′D′，当仅当C′，P，M，D′三点共线时，CP+PM+MD最小为
C′D′，作C′T⊥D′O于点T，于是得到结论．
【详解】
解：如图，作点C关于OB的对称点C′，作点D关于OA的对称点D′，连接OC′，PC′，D′M，OD′，C′D′，
则OC′＝OC＝2，OD′＝OD＝32，CP＝C′P，DM＝D′M，∠C′OD＝′COD＝
∠COD′＝45°，
∴CP+PM+MD＝C′+PM+D′M≥C′D′，
当仅当C′，P，M，D′三点共线时，CP+PM+MD最小为C′D′，
作C′T⊥D′O于点T，
则C′T＝OT＝2，
∴D′T＝42，
∴C′D′＝34，
∴CP+PM+DM的最小值是34．
故答案为：34．
【点睛】
本题考查了最短路径问题，掌握作轴对称点是解题的关键.
10．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝20°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，按此做法继续下去，第2019个等腰三角形的底角度数是
______________．
【答案】20181802??? ???
【解析】
【分析】 根据等腰三角形的性质求出∠BA 1C 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA 2A 1，∠EA 3A 2及∠FA 4A 3的度数，找出规律即可得出第2019个三角形中以A 2019为顶点的内角度数．
【详解】
解：∵在△CBA 1中，∠B=20°，A 1B=CB ，
∴∠BA 1C=°180-2
B ∠=80°， ∵A 1A 2=A 1D ，∠BA 1
C 是△A 1A 2
D 的外角，
∴∠DA 2A 1=12∠BA 1C=12
×80°； 同理可得∠EA 3A 2=（
12）2×80°，∠FA 4A 3=（12
）3×80°， ∴第n 个三角形中以A n 为顶点的底角度数是（12
） n-1×80°． ∴第2017个三角形中以A 2019为顶点的底角度数是（12
）2018×80°， 故答案为：（12
） 2018×80°． 【点睛】 本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA 2A 1，∠EA 3A 2及∠FA 4A 3的度数，找出规律是解答此题的关键．
二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）
11．如图，30MON ∠=?．点1A ，2A ，3A ，?，在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，?，在射线OM 上，112A B A ?，223A B A ?，334
A B A ?，?均为等边三角形，若11OA =，则201920192020A B A ?的边长为（ ）
A ．20172
B ．20182
C ．20192
D ．20202
【答案】B
【分析】
根据等边三角形的性质和30MON ∠=?，可求得1130∠=?OB A ，进而证得11OA B ?是等腰三角形，可求得2OA 的长，同理可得22OA B ?是等腰三角形，可得222=A B OA ，同理得
规律333、
、=???=n n n A B OA A B OA ，即可求得结果． 【详解】
解：∵30MON ∠=?，112A B A ?是等边三角形，
∴11260∠=?B A A ，1112A B A A =
∴1111230∠=∠-∠=?OB A B A A MON ，
∴11∠=∠OB A MON ，则11OA B ?是等腰三角形，
∴111=A B OA ，
∵11OA =，
∴11121==A B A A OA =1，21122=+=OA OA A A ，
同理可得22OA B ?是等腰三角形，可得222=A B OA =2，
同理得23342==A B 、34482==A B ，
根据以上规律可得：2018201920192=A B ，即201920192020A B A ?的边长为20182，
故选：B ．
【点睛】
本题属于探索规律题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握等边三角形的三个内角都是60°、等角对等边和探索规律并归纳公式是解题的关键．
12．如图，AOB α∠=，点P 是AOB ∠内的一定点，点,M N 分别在OA OB 、上移动，当PMN ?的周长最小时，MPN ∠的值为（ ）
A ．90α+
B ．1902α+
C ．180α-
D ．1802α-
【答案】D
【解析】
【分析】 过P 点作角的两边的对称点，在连接两个对称点，此时线段与角两边的交点，构成的三角形周长最小.再根据角的关系求解.
解：
过P 点作OB 的对称点1P ，过P 作OA 的对称点2P ,连接12PP ，交点为M,N ，则此时PMN 的周长最小，且△1P NP 和△2PMP 为等腰三角形.
此时∠12P PP =180°-α；设∠NPM=x°，则180°-x°=2（∠12P PP -x°
） 所以 x°
=180°-2α 【点睛】
求出M,N 在什么位子△PMN 周长最小是解此题的关键.
13．如图，△ABC 的周长为32，点D 、E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC ＝12，则PQ 的长为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】B
【解析】
【分析】 首先判断△BAE 、△CAD 是等腰三角形，从而得出BA ＝BE ，CA ＝CD ，由△ABC 的周长为32以及BC ＝12，可得DE ＝8，利用中位线定理可求出PQ ．
【详解】
∵BQ 平分∠ABC ，BQ ⊥AE ，
∴∠ABQ ＝∠EBQ ，
∵∠ABQ+∠BAQ ＝90°，∠EBQ+∠BEQ ＝90°，
∴∠BAQ ＝∠BEQ ，
∴AB ＝BE ，同理：CA ＝CD ，
∴点Q 是AE 中点，点P 是AD 中点（三线合一），
∴PQ 是△ADE 的中位线，
∵BE+CD＝AB+AC＝32﹣BC＝32﹣12＝20，
∴DE＝BE+CD﹣BC＝8，
∴PQ＝
1
2
DE＝4．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理和等腰三角形的性质和判定，解答本题的关键是判断出
△BAE、△CAD是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ是△ADE的中位线．14．如图，在四边形ABCD中，AB AC
=，60
ABD
∠=，75
ADB
∠=，30
BDC
∠=，则DBC
∠=（）°
A．15 B．18 C．20 D．25
【答案】A
【解析】
【分析】
延长BD到M使得DM=DC，由△ADM≌△ADC，得AM=AC=AB，得△AMB是等边三角形，得∠ACD=∠M=60°，再求出∠BAO即可解决问题.
【详解】
如图，延长BD到M使得DM=DC.
∵∠ADB=75°，
∴∠ADM=180°﹣∠ADB=105°.
∵∠ADB=75°，∠BDC=30°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=105°，
∴∠ADM=∠ADC.
在△ADM和△ADC中，
∵
AD AD
ADM ADC
DM DC
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△ADM≌△ADC，
∴AM=AC.
∵AC=AB，
∴AM=AC=AB，∠ABC=∠ACB.
∵∠ABD=60°，
∴△AMB是等边三角形，
∴∠M =∠DCA =60°.
∵∠DOC =∠AOB ，∠DCO =∠ABO =60°，
∴∠BAO =∠ODC =30°.
∵∠CAB +∠ABC +∠ACB =180°，
∴30°+2(60°+∠CBD )=180°，
∴∠CBD =15°.
故选：A.
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是添加辅助线构造全等三角形，题目有一定难度.
15．如图，ABC ?中，AB 的垂直平分线DG 交ACB ∠的平分线CD 于点D ，过D 作DE AC ⊥于点E ，若10AC =，4CB =，则AE =（ ）
A ．7
B ．6
C ．3
D ．2
【答案】C
【解析】
【分析】 连接BD 、AD,过点D 作DF ⊥CB 于点F ，利用角平分线及线段垂直平分线的性质可求出BD=AD ，DE=DF ，依据HL 定理可判断出Rt △AED ≌Rt △BFD ，根据全等三角形的性质即可得出BF=AE ，再运用AAS 定理可证得Rt △CED ≌Rt △CFD ，证出CE=CF ，设AE 的长度为x ，根据CE=CF 列方程求解即可．
【详解】
如图, 连接BD 、AD,过点D 作DF⊥CB 于点F.
的平分线CD于点D，DE⊥AC，DF⊥BC，
∵AB的垂直平分线DG交ACB
∴BD=AD，DE=DF．∴Rt△AED≌Rt△BFD．
∴BF=AE．
又∵∠ECD=∠FCD，∠CED=∠CFD，CA=CA，∴Rt△CED≌Rt△CFD，
∴CE=CF，
设AE的长度为x，则CE=10-x，CF=CB＋BF= CB＋AE= 4＋x,
∴可列方程10-x=4＋x，x=3，∴AE=3；
故选C.
【点睛】
本题涉及到线段垂直平分线及角平分线的性质，直角三角形全等的判定定理及性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形解答．
16．在平面直角坐标系中，等腰△ABC的顶点A、B的坐标分别为(1，0)、(2，3)，若顶点C 落在坐标轴上，则符合条件的点C有( )个.
A．9 B．7 C．8 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
要使△ABC是等腰三角形，可分三种情况（①若CA=CB，②若BC=BA，③若AC=AB）讨论，通过画图就可解决问题．
【详解】
①若CA=CB，则点C在AB的垂直平分线上．
∵A（1，0），B（2，3），∴AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点C1，C2．
②若BC=BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有3个交点（A点除外）C3，
C4，C5；
③若AC=AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点C6，C7，C8，C9．而C8（0，-3）与A、B在同一直线上，不能构成三角形，故此时满足条件的点有3个．
综上所述：符合条件的点C的个数有8个．
故选C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解答本题的关键．
17．如图，已知等边△ABC的边长为4，面积为43，点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一动点，则PE+PC的最小值为（）
A．3 B．2C．3D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可知点A、点C关于BD对称，连接AE交BD于点P，由对称的性质可得，PA=PC，故PE+PC=AE，由两点之间线段最短可知，AE即为PE+PC的最小值．
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，点D为AC的中点，点E为BC的中点，
∴BD⊥AC，EC＝2，
连接AE，线段AE的长即为PE+PC最小值，
∵点E是边BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴PE+PC22
-=
4223
-22
AC E C
故选C．
【点睛】
本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．
18．如图，ABC △，AB AC =，56BAC ?∠=，BAC ∠的平分线与AB 的垂直平分线交于O ，将∠C 沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与O 点恰好重合，则∠OEC 的度数为（ ）
A ．132?
B ．130?
C ．112?
D ．110?
【答案】C
【解析】
【分析】 连接OB 、OC ，根据角平分线的定义求出∠BAO ，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC ，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB ，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO ，再求出∠OBC ，然后判断出点O 是△ABC 的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC ，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC ，根据翻折的性质可得OE=CE ，然后根据等边对等角求出∠COE ，再利用三角形内角和定理列式计算即可得出答案.
【详解】
如图，连接OB 、OC ，
∵56BAC ?∠=，AO 为BAC ∠的平分线 ∴11562822
BAO BAC ??∠=∠=?= 又∵AB AC =，
∴()()
11180180566222
ABC BAC ????∠=-∠=-= ∵DO 是AB 的垂直平分线， ∴OA OB =．
∴28ABO BAO ?∠=∠=，
∴622834OBC ABC ABO ???∠=∠-∠=-=
∵DO 是AB 的垂直平分线，AO 为BAC ∠的平分线
∴点О是ABC △的外心，
∴OB OC =，
∴34OCB OBC ?∠=∠=，
∵将C ∠沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合
∴OE CE =，
∴34COE OCB ?∠=∠=，
在OCE △中，1801803434112OEC COE OCB ?????∠=-∠-∠=--=
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，做辅助线构造出等腰三角形是解决本题的关键.
19．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，若△CDM 周长的最小值为8，则△ABC 的面积为（ ）
A ．12
B ．16
C ．24
D ．32 【答案】A
【解析】
【分析】 连接AD ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD ⊥BC ，再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点C 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为CM+MD 的最小值，再根据三角形的周长求出AD 的长，由此即可得出结论．
【详解】
连接AD ，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∵△CDM周长的最小值为8，
∴AD=8-1
2
BC=8-2=6
∴S△ABC=1
2
BC?AD=
1
2
×4×6=12，
故选A．
【点睛】
本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
20．如图，平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)，若在x轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
由点A、B的坐标可得到2，然后分类讨论：若AC=AB；若BC=AB；若CA=CB，确定C点的个数．
【详解】
∵点A、B的坐标分别为(2，2)、B(4，0)．
∴2，
如图，①若AC=AB，以A为圆心，AB为半径画弧与x轴有2个交点(含B点)，即(0，0)、(4，0)，
∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；
②若BC=AB，以B为圆心，BA为半径画弧与x轴有2个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；
③若CA=CB，作AB的垂直平分线与x轴有1个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；
综上所述：点C在x轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有4个．
故选D．
【点睛】
本题主考查了等腰三角形的判定以及分类讨论思想的运用，分三种情况分别讨论，注意等腰三角形顶角的顶点在底边的垂直平分线上．