锐角三角函数在圆中的应用
核心知识点：锐角三角函数在圆中的应用
学习目标：能利用直径所对的圆周角是直角、垂径定理、切线垂直于经过切点的半径构造直角三角形；能运用同弧所对的圆周角相等转化角，从而达到在直角三角形中运用锐角三角函数的定义解决简单问题。
教学过程：
一、运用所学习的知识填空
1、如图，在半圆中，AD 是直径，且3=AD ，2=AC ,则B sin 的值是。
2、如图所示，⊙O 的半径是10，?=∠45A ，则弦AB 的长为。
3、如图所示，在⊙O 中，过直径AB 延长线上的点C 作⊙O 的一条切线，切点为D ，若3=CD ，?=∠30C ，则⊙O 的面积为。
二、探究学习
探究一、AB 是⊙O 的直径，
点D 是弧AE 的中点，5=AB ,4=BD ,
则=∠ECB cos .
探究二、如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AC 为直径作⊙O 交BC 于
点D ，过点D 作FE ⊥AB 于点E ，交AC 的延长线于点F ．
(1) 求证：EF 与⊙O 相切；
(2) 若AE=6，5
3sin =∠CFD ，求EB 的长.
三、当堂测评
1、已知⊙O 是ABC ?的外接圆，AD 是的⊙O 直径，连接CD ，3=AD ,2=AC ,则B cos 的值为（ ）
A.
23 B. 35 C. 25 D.32
2、AB 是⊙O 的弦，D 是半径OA 的中点，过D 作CD ⊥OA 交弦AB 于点E ，交⊙O 于F ，且CE=CB 。
（1）求证：BC 是⊙O 的切线；
（2）连接AF 、BF ，求∠ABF 的度数；
（3）如果CD=15，BE=10，sinA=
13
5，求⊙O 的半径。
四、小结
本节课的收获
初中数学《锐角三角函数的应用》教案 31.3锐角三角函数的应用 教学目标 1.能够把数学问题转化成数学问题。 2.能够错助于计算器进行有三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明，发展数学的应用意识和解决问题的能力。过程与方法 经历探索实际问题的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用。 情感态度与价值观 积极参与探索活动，并在探索过程中发表自己的见解，体会三角函数是解决实际问题的有效工具。 重点：能够把数学问题转化成数学问题，能够借助于计算器进行有三角函数的计算。 难点：能够把数学问题转化成解直角三角形问题，会正确选用适合的直角三角形的边角关系。 教学过程 一、问题引入，了解仰角俯角的概念。 提出问题：某飞机在空中A处的高度AC＝1500米，此时从飞机看地面目标B的俯角为18，求A、B间的距离。 提问：1.俯角是什么样的角？，如果这时从地面B点看飞机呢，称ABC是什么角呢？这两个角有什么关系？
2.这个△ABC是什么三角形？图中的边角在实际问题中的意义是什么，求的是什么，在这个几何图形中已知什么，又是求哪条线段的长，选用什么方法？ 教师通过问题的分析与讨论与学生共同学习也仰角与俯角 的概念，也为运用新知识解决实际问题提供了一定的模式。 二、测量物体的高度或宽度问题. 1.提出老问题，寻找新方法 我们学习中介绍过测量物高的一些方法，现在我们又学习了锐角三角函数，能不能利用新的知识来解决这些问题呢。 利用三角函数的前提条件是什么？那么如果要测旗杆的高度，你能设计一个方案来利用三角函数的知识来解决吗？ 学生分组讨论体会用多种方法解决问题，解决问题需要适当的数学模型。 2.运用新方法，解决新问题. ⑴从1.5米高的测量仪上测得古塔顶端的仰角是30，测量仪距古塔60米，则古塔高（）米。 ⑵从山顶望地面正西方向有C、D两个地点，俯角分别是45、30，已知C、D相距100米，那么山高（）米。 ⑶要测量河流某段的宽度，测量员在洒一岸选了一点A，在另一岸选了两个点B和C，且B、C相距200米，测得ACB ＝45，ABC＝60，求河宽（精确到0.1米）。 在这一部分的练习中，引导学生正确来图，构造直角三角形
中考数学锐角三角函数与圆综合训练题 1、如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA=∠CBD． （1）求证：CD2=CA?CB； （2）求证：CD是⊙O的切线； （3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tan∠CDA=，求BE的长． 2、如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE 于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3． （1）求证：点F是AD的中点； （2）求cos∠AED的值； （3）如果BD=10，求半径CD的长．
3、如图11，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，直线PO 交⊙O 于点E ，F ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 与⊙O 交于点C ，连接BC ，AF ． （1）求证：直线PA 为⊙O 的切线； （2）试探究线段EF ，OD ，OP 之间的等量关系，并加以证明； （3）若BC ＝6，tan ∠F ＝ 1 2 ，求cos ∠ACB 的值和线段PE 的长． 4、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于F ．切点为G ，连接AG 交CD 于K ． （1）求证：KE=GE ； （2）若2 KG =KD ·GE ，试判断AC 与EF 的位置关系，并说明理由； （3） 在（2）的条件下，若sinE=3 5 ，AK=23，求FG 的长． 5、如图11，AB 是⊙O 的弦，D 是半径OA 的中点，过D 作CD ⊥OA 交弦AB 于点E ，交⊙O 于F ，且CE=CB 。 （1）求证：BC ⊙O 是的切线； （2）连接AF 、BF ，求∠ABF 的度数； （3）如果CD=15，BE=10，sinA=13 5 ，求⊙O 的半径。 图11 A C B D E F O P
锐角三角函数与圆专题 知识点回顾 锐角三角函数知识点： 1. 正弦(sin α)、余弦(cos α)、正切(tan α) 特殊角的三角函数值，如30°，45°，60° 30° 45° 60° sina cosa tana 准确运用特殊三角函 数值计算： 2sin45°-2 1 cos60°=________．2sin45°-3tan60°=________． (sin30°+tan45°)·cos60°=__ _． tan45°·sin45°-4sin30°·cos45°=__ _． 例1.如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长都是1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tanA=（ ） A 、 55 B 、510 C 、2 D 、2 1 圆的主要知识点： 1. 垂径定理：垂直于弦的直径____________,并且平分弦所对的__________. 锐 角 a 三 角 函 数
推论：平分弦（不是直径）的直径________于弦，并且_______弦所对的两条弧圆的两条平行弦所夹的弧。 2.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的__________. 推论：1.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角__________________. 2.半圆（或直径）所对的圆周角是_____,90°的圆周角所对的弦是______. 3、圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦，所对的弧相等，弦心距 4.切线的性质与判定、 性质：圆的切线_________于过切点的半径或直径. 推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。 判定：1.已知半径，证垂直；2.作垂直，证半径. 5.点与圆的位置关系:___________________________________. 直线与圆的位置关系:_________________________________. 圆与圆的位置关系：__________________________________. 6.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长 ,这点和圆心的连线两条切线的夹角。
锐角三角函数【知识梳理】 【思想方法】 1. 常用解题方法——设k法 2. 常用基本图形——双直角 【例题精讲】 例题1.在△ABC中，∠C=90°． （1）若cosA=1 2 ，则tanB=______;（?2）?若cosA= 4 5 ，则tanB=______． 例题2.（1）已知：cosα=2 3 ，则锐角α的取值范围是（） A．0°<α<30° B．45°<α<60° C．30°<α<45° D．60°<α<90° （2）当45°<θ<90°时，下列各式中正确的是（） A．tanθ>cosθ>sinθ B．sinθ>cosθ>tanθ C．tanθ>sinθ>cosθ D．sinθ>tanθ>cosθ 例题3.（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，∠CAB=60°，?CD=3，BD=23，求AC，AB的长． 例题4.“曙光中学”有一块三角形状的花园ABC，有人已经测出∠A=30°，AC=40米，BC=25米，你能求出这块花园的面积吗？ 例题5.某片绿地形状如图所示，其中AB⊥BC，CD⊥AD，∠A=60°，AB=200m，CD=100m，?求AD、BC的长．
【当堂检测】 1.若∠A 是锐角，且cosA=sinA ，则∠A 的度数是（ ） A.300 B.450 C.600 D.不能确定 2.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=450，∠C=1200，AB=8，则CD 的长为（ ） A.638 B.64 C.328 D.24 3.在Rt △ABC 中，∠C=900，AB=2AC ，在BC 上取一点D ，使AC=CD ，则CD ：BD=（ ） A.213+ B.13- C.2 3 D.不能确定 4.在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A=300，b=310，则a= ，c= ； 5.已知在直角梯形ABCD 中，上底CD=4，下底AB=10，非直角腰BC=34， 则底角∠B= ； 6.若∠A 是锐角，且cosA=5 3，则cos （900-A ）= ； 7.在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=1，sinA= 23，求tanA ，BC ． 8.在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AB=22，AC=BC=52，求AD 的长． 9. 去年某省将地处A 、B 两地的两所大学合并成一所综合性大学，为了方便两地师生交往，学校准备在相距2km 的A 、B 两地之间修一条笔直的公路，经测量在A 地北偏东600方向，B 地北偏西450方向的C 处有一个半径为0.7km 的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？ B A D C A B C D C A B 第2题图 第8题图 第9题图
锐角三角函数及其应用 命题点1 直角三角形的边角关系 1. (怀化6题4分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么sinα的值是() A. 3 5B. 3 4C. 4 5D. 4 3 第1题图第3题图 2. (怀化10题4分)在Rt△ABC中,∠C＝90°,sin A＝4 5,AC＝6 cm.则BC的长度为() A. 6 cm B. 7 cm C. 8 cm D. 9 cm 3. (株洲15题3分)如图是“赵爽弦图”,△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形,四边形ABCD和EFGH都是正方形,如果AB＝10,EF＝2,那么AH 等于________． 4. (张家界16题3分)如图,在四边形ABCD中,AD＝AB＝BC,连接AC,且∠ACD＝ 30°,tan∠BAC＝23 3,CD＝3,则AC＝________． 第4题图 命题点2 锐角三角函数的实际应用 5. (益阳7题5分)如图,电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与BC相互垂直,∠CAB ＝α,则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)() A. h sinα B. h cosα C. h tanα D. h·cosα
第5题图第6题图第7题图 6. (益阳8题3分)小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图,旗杆PA 的高度与拉绳PB的长度相等,小明将PB拉到PB′的位置,测得∠PB′C＝α(B′C为水平线),测角仪B′D的高度为1米,则旗杆PA的高度为() A. 1 1－sinα B. 1 1＋sinα C. 1 1－cosα D. 1 1＋cosα 7. (岳阳14题4分)如图,一山坡的坡度为i＝1∶3,小辰从山脚A出发,沿山坡向上走了200米到达点B,则小辰上升了________米． 8. (邵阳22题8分)图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图,灯臂AO长为40 cm,与水平面所形成的夹角∠OAM为75°,由光源O射出的边缘光线OC、OB与水平面所形成的夹角∠OCA、∠OBA分别为90°和30°,求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素,结果精确到0.1 cm,温馨提示：sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,3≈1.73)． 第8题图 9. (郴州22题8分)如图所示,C城市在A城市正东方向,现计划在A、C两城市间修建一条高速铁路(即线段AC),经测量,森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上,在线段AC上距A城市120 km的B处测得P在北偏东30°方向上,已知森林保护区是以点P为圆心,100 km为半径的圆形区域,请问计划修建的这条高速铁路是否
1：如图，已知AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，∠C =∠BAD ，且BD ⊥AB 于B . （1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为3，AB =4，求AD 的长. 2：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，点D 是BC 的中点，DP AC ,垂足为点P . （1）求证：PD 是⊙O 的切线. （2）若AC =6, cosA=3 5 ，求PD 的长. 3.如图，⊙O 的直径AB 交弦CD 于点M ，且M 是CD 的中点.过点B 作BE ∥ CD ，交AC 的延长线于点E .连接BC ． （1）求证：BE 为⊙O 的切线； （2）如果CD =6，tan ∠BCD=2 1 ，求⊙O 的直径的长． A B C D O D B O C A P E B M D C O A
4.如图，AB 是半⊙O 的直径，弦AC 与AB 成30°的角，CD AC =. （1）求证：CD 是半⊙O 的切线； （2）若2=OA ，求AC 的长. 5.如图，点P 在半O 的直径BA 的延长线上，2AB PA =，PC 切半O 于点C ，连结BC . （1）求P ∠的正弦值； （2）若半O 的半径为2，求BC 的长度. 6.如图，△DEC 内接于⊙O ，AC 经过圆心O 交O 于点B ，且AC ⊥DE ，垂足为F ， 连结AD 、BE ，若1sin 2 A =，∠BED=30°． （1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）DCE △是否是等边三角形？请说明理由； （3）若O 的半径2R =，试求CE 的长． A B C D E O F C B A O P
圆切线、相似和锐角三角函数综合题专题复习 复习目标：巩固圆的切线和相似三角形的性质和判定、锐角三角函数求法和特殊锐角三角函数值，熟练应用它们解决相应的问题。 复习过程 一、热身练习 二、实战演练
三、巩固提高 2.如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P． （1）求证：BF=EF； （2）求证：PA是⊙O的切线； 3,求BD和FG的长度． （3）若FG=BF，且⊙O的半径长为2 3.如图，△ABC中，AD平分∠BAC交△ABC的外接圆⊙O于点H，过点H作EF∥BC交AC、AB的延长线于点E、F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若AH=8，DH=2，求CH的长； （3）若∠CAB=60°，在（2）的条件下，求弧BHC的长．
4.如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，弦CD ⊥AB 于点E ，∠POC=∠PCE ． （1）求证：PC 是⊙O 的切线； （2）若OE ：EA=1：2，PA=6，求⊙O 的半径； （3）求sin ∠PCA 的值． 5.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8．以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，E 是 BC 的中点，连接ED 并延长交BA 的延长线于点F ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）求DB 的长； （3）求S △FAD ：S △FDB 的值． 6.如图i ，半圆O 为△ABC 的外接半圆，AC 为直径，D 为劣弧BC 上的一动点，P 在CB 的延长线上，且有∠BAP=∠BDA ． （1）求证：AP 是半圆O 的切线； （2）当其它条件不变时，问添加一个什么条件后，有BD 2=BE?BC 成立？说明理由； （3）如图ii ，在满足（2）问的前提下，若OD ⊥BC 与H ，BE=2，EC=4，连接PD ，请探究四边形ABDO 是什么特殊的四边形，并求tan ∠DPC 的值．
中考数学锐角三角函数与圆综合训练题 例题一 2013?泸州）如图，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上， ∠CDA=∠CBD ． （1）求证：CD 2=CA?CB ；（2）求证：CD 是⊙O 的切线；（3）过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，若BC=12，tan ∠CDA=，求BE 的长． 例题二（2013?呼和浩特）如图，AD 是△ABC 的角平分线，以点C 为圆心， CD 为半径作圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且∠B=∠CAE ，EF ：FD=4：3．（1）求证：点F 是AD 的中点；（2）求cos ∠AED 的值；（3）如果BD=10，求半径CD 的长． 例题四（2014?沈阳）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直 径，OD ∥BC 交⊙O 于点D ，交AC 于点E ，连接AD ，BD ，CD ．（1） 求证：AD=CD ；（2）若AB=10，cos ∠ABC=，求tan ∠DBC 的值． 综合练习1、如图，AB 是⊙O 的直径，PA ，PC 分别与⊙O 相切于 点A ，C ，PC 交AB 的延长线于点D ，DE ⊥PO 交PO 的延长线于点E. （1）求证：∠EPD=∠EDO.（2）若PC=6，tan ∠PDA=43，求OE 的长. 2、如图，AB 是⊙0的直径，C 是⊙0上的一点，直线MN 经过点C ，过点A 作 直线MN 的垂线，垂足为点D ，且∠BAC=∠DAC ．（1）猜想直线MN 与⊙0的位 置关系，并说明理由；（2）若CD=6，cos=∠ACD=，求⊙0 的半径． 3、已知：如图，AB 是O ⊙的直径，C 是O ⊙上一点，OD BC ⊥于点 D ，过点C 作O ⊙的切线，交OD 的延长线于点 E ，连结 BE ．（1）求证：BE 与O ⊙相切；（2） 连结AD 并延长交BE 于点F ，若9OB =，2sin 3 ABC ∠=，求BF 的长． 4、如图，已知⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ， AB ⊥CD ，⊙O 的切线BF 与弦AD 的延长线相交于点F ． （1）求证：CD ∥ BF ； （2）若⊙O 的半径为5， cos ∠BCD= 5 4，求线段AD 的长．
锐角三角函数与特殊角 一、选择题 1. （2016·四川达州·3分）如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C （0，2），B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为（ ） A ． B ．2 C ． D ． 【考点】圆周角定理；锐角三角函数的定义． 【分析】作直径CD ，根据勾股定理求出OD ，根据正切的定义求出tan ∠CDO ，根据圆周角定理得到∠OBC=∠CDO ，等量代换即可． 【解答】解：作直径CD ， 在Rt △OCD 中，CD=6，OC=2， 则OD==4， tan ∠CDO= = ， 由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO ， 则tan ∠OBC=， 故选：C ． 2. （2016·四川乐山·3分）如图3，在Rt ABC ?中，90BAC ∠=，AD BC ⊥于点D ，则下列结论不正确．．． 的是 ()A sin AD B AB = ()B sin AC B B C = ()C sin AD B A C = ()D sin CD B A C =
答案：C 解析：考查正弦函数的概念。 由正弦函数的定义，知：A、B正确，又∠CAD＝∠B， 所以，sin sin CD B CAD AC =∠=，D也正确，故不正确的是C。 3.(2016广东，8,3分)如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（4,3），那么cosα的值是（） A、3 4 B、 4 3 C、 3 5 D、 4 5 答案：D 考点：三角函数，勾股定理。 解析：过点A作AB垂直x轴与B，则AB＝3，OB＝4， 由勾股定理，得OA＝5，所以， 4 cos 5 OB OA α==，选 4. （2016年浙江省衢州市）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A=30°，则sin∠E的值为（） A． B．C．D． 【考点】切线的性质． 【分析】首先连接OC，由CE是⊙O切线，可证得OC⊥CE，又由圆周角定理，求得∠BOC 的度数，继而求得∠E的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案． 【解答】解：连接OC， ∵CE是⊙O切线， ∴OC⊥CE， ∵∠A=30°， ∴∠BOC=2∠A=60°， ∴∠E=90°﹣∠BOC=30°， ∴sin∠E=sin30°=． 故选A．
2020-2021中考专题复习：锐角三角函数及其应用 一、选择题 1. （2020·玉林）sin 45°的值是（ ） A ．12 B ．2 C ．2 D ．1 2. (2019?天津) 60sin 2的值等于 A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 3. 在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝4 5，AC ＝6 cm .则BC 的长度为( ) A . 6 cm B . 7 cm C . 8 cm D . 9 cm 4. 某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则房屋顶上弦杆AB 的长为( ) A.95sin α m B.95cos α m C.59sin α m D.59cos α m 5. (2019·浙江杭州)如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边(OC ⊥OB ，点A ，B ，C ，D ，O 在 同一平面内)，已知AB=a ，AD=b ，∠BCO=x ，则点A 到OC 的距离等于 A ．asinx+bsinx B ．acosx+bcosx C ．asinx+bcosx D ．acosx+bsinx
6. （2020?湘西州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的顶点A 在x 轴的正半轴上， 矩形的另一个顶点D 在y 轴的正半轴上，矩形的边AB ＝a ，BC ＝b ，∠DAO ＝x ，则点C 到x 轴的距离等于（ ） A ．a cos x +b sin x B ．a cos x +b cos x C ．a sin x +b cos x D ．a sin x +b sin x 7. 如图，以 O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵ 上一点(不与A ，B 重合)， 连接OP ，设∠POB ＝α，则点P 的坐标是( ) A . (sin α，sin α) B . (cos α，cos α) C . (cos α，sin α) D . (sin α，cos α) 8. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ， 若∠A ＝30°，则sin ∠E 的值为( ) A . 12 B . 22 C . 32 D . 33 二、填空题 9. 【题目】 （2020·攀枝花）sin60?= . 10. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tanA ＝ 15 8 ，则AB ＝________． 11. (2019·浙江衢州)如图，人字梯AB ，AC 的长都为2米，当α=50°时，人字梯顶端离地面的 高度AD 是__________米(结果精确到0.1m ．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)．
课题：锐角三角函数的实际应用 【基础知识回顾】 知识点1：锐角三角函数的概念（正弦、余弦、正切、余切） 技巧点拨： ①弦——分母都是斜边 ②正弦——分子是正对的边（谐音“正邪”) ③切——垂直的意思，只与直角边有关 ④正切——分子是正对的边 ⑤余——剩余的意思 余弦——分子是剩下的直角边（即邻边） 余切——分子是剩下的直角边（即邻边） 简记为：正弦——对比斜(或正比斜） 正切——对比邻 余弦——邻比斜 知识点2：常见的锐角三角函数值 三角函数 30° 45° 60° 技巧点拨 sin α 2 1 2 2 2 3 分母都是2，分子分别是 √13 cos α 23 2 2 2 1 分母都是2，分子分别是 3√1 tan α 3 3 1 3 分母都是3，分子分别是 3、1、3 【新课知识讲解】 知识点3：解直角三角形 1、解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2、解直角三角形的理论依据 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c （1）三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理） （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（三角形内角和） （3）边角之间的关系：（锐角三角函数） b a B a b B c a B c b B a b A b a A c b A c a A ======== cot ,tan ,cos ,sin ;cot ,tan ,cos ,sin 知识点4:直击中考——解直角三角形的实际应用：测距、测高、测长等 例1、如图，直升飞机在跨河大桥AB 的上方点P 处，此时飞机离地面的高度PO ＝450 m ，且A ，B ，O 三点在一条直线上，测得∠α＝30°，∠β＝45°，求大桥AB 的长(结果保留根号)． 【分析】 第一步：确定相关直角三角形 本题中∠α、∠β分别在Rt ΔAOP 、Rt ΔBOP 中（由平行线内错角相等转化已知角） 第二步：分别在直角三角形中列出已知角的锐角三角函数值 第三步：代入已知条件求值，并简答 【答案】 由题意得，ΔAOP 、ΔBOP 均为直角三角形， ∠PAO=∠α＝30°，∠PBO=∠β＝45°，PO=450m
锐角三角函数: 知识点一：锐角三角函数的定义： 一、锐角三角函数定义： 在Rt△ ABC 中，/ C=90°, / A、/ B、/ C 的对边分别为a、b、c, 则/ A的正弦可表示为：sinA= __________ , / A的余弦可表示为cosA= ___________ / A的正切：tanA= ________ ，它们弦称为/ A的锐角三角函数 【特别提醒：1、sinA、/ cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没值只与_________ 有关，与直角三角形的_________ 无关 2、取值范围___ vsinA _______ c osA< ______ tanA> ________】 例1.如图所示，在Rt△ ABC中，/ C = 90°. 例2.锐角三角函数求值： 在Rt△ ABC 中，/ C= 90°，若a= 9, sinA= ______ , cosA= ______ sinB = _____ , cosB = ______ 例3.已知：如图，Rt△ TNM 中，/ TMN = 90°, MR丄TN 于R点，TN= 4, 求: sin/TMR、cos/TMR、tan/ TMR. 典型例题： 类型一：直角三角形求值有，这些比 ① sin A 一() 斜边 ② cosA -) 斜边 ③ tan A _ () Z A的邻边 sin B 一( ) 斜边; cos^ =—) 斜边 .B的对边 tan B ------------- =. () b= 12,贝U c=_______ tanA = ______ , tanB = ______ . MN = 3. 第1题图
5月10日锐角三角函数的简单应用 一、选择题 1.如图，坡角为30的斜坡上两树间的水平距离AC为2m，则两树间的坡面距离AB为（） Ａ．4m Ｂ．3mＣ．43 m 3 Ｄ．43m 2. 如图，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备的水管的长为（）A．17.5m B．35m C．3 35m D．70m 第1题图第3题图 3. 客轮在海上以30km/h的速度由B向C航行，在B处测得灯塔A的方位角为北偏东80°，测得C处的方位角为南偏东25°，航行1小时后到达C处，在C处测得A的方位角为北偏东20°，则C到A的距离是（） A.156km B.152km C.15(62) +km D.5(632) +km 4.如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60米到C点， 又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为（） Ａ．82米Ｂ．163米Ｃ．52米Ｄ．70米 第4题图第5题图第6题图Ａ Ｂ Ｃ A A B B C C 30° A B C D A B C 北 东 第3题图 第2题图
二、填空题 5. 如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离AC=3米，cos∠BAC=0.75， 则梯子AB 的长度为 米． 6. 小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响 了同学们的行走安全．他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75°，如果拖把的总长为1.80m，则小明拓宽了行路通道_________m． （结果保留三个有效数字，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97） 三、解答题 7.如图，在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为(100) ，，点B在 第一象限内，5 BO=，3 sin 5 BOA= ∠， 求：（1）点B的坐标；（2）cos BAO ∠的值． A 第7题图 8.“村村通路工程”加快了淮安市建设社会主义新农村的步伐．C村村民 们欲修建一条水泥公路将C村与县级公路相连．在公路A处测得C村在北 偏东60°方向，前进500米，在B处测得C村在北偏东30°方向． （1）为节约资源，要求所修公路长度最短．试求符合条件的公路长度． （结果保留整数） （2）经预算，修建1000米这样的水泥公路约需人民币20万元．按国家的相关政策，政府对修建该条水泥公路拨款人民币5万元，其余部分由村民自发筹集．试求修建该条水泥公路村民需自筹资金多少万元． 县级公路 北 第8题图
专题训练：锐角三角函数与圆 一．基础题 1.如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AD 是⊙O 的直径,连接CD,若⊙O 的半径r =32,AC =2,则cosB 的值是___________ 2.如图,已知△ABC 的外接圆⊙O 的半径为1,D ,E 分别为AB ,AC 的中点,则sin ∠BAC 的值等于线段_________ 3.如图,四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A ,已知：BC =10,cos ∠BCD =3 5,∠BCE =30°，则线段DE 的长是___. 4.如图, ⊙O 与矩形ABCD 的边CD 切于E ,交BC 于F ,M 为弧BF ?上一点,若CE =√7,AD =7,则tan ∠M 的值为_______ 5.如图,已知⊙O 的半径为√10,AB =6,△ABC 内接于⊙O ,BD ⊥AC 于D ,则sin ∠CBD 的值等于________
6. 如图. ⊙O中，AB是直径，AD是弦，过B点的切线与AD的延长线交于点C，若AD=CD，则tan∠OCA值是________ 7.如图,AB为⊙O的直径,点C为弧AB的中点,弦CD交AO于点E,DE=4,CE=5,则tan∠B 的值为___ 8. 如图,直角梯形ABME中,∠M=90゜,BM∥AE,以AB为直径的⊙O与EM切于点C,连BE,若AE=6,AB=10,则tan∠BEM的值为______ 二．中档题 9.如图,以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC,BC的交点分别为D,E.且弧DE=弧BE (1)求证：AB=AC； (2)若AB=10，BC=12，求cos∠ABD的值。 10.如图，△ABC中，AB=AC，⊙O为△ABC外接圆，BD为⊙O直径，DB交AC于E. 连接AO (1)求证：AO⊥BC；
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1．边与边关系：a 2＋b 2＝c 2 2．角与角关系：∠A ＋∠B ＝90° 3．边与角关系，sinA ＝a c ，cosA ＝b c ，tanA ＝a b ，cota ＝b a 4．仰角、俯角的定义：如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角 叫做 仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角 叫做俯角。右图中的∠1就是仰角，∠2就是俯角。 坡角、坡度的定义：坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度 (或坡比)，读作i ，即i ＝AC BC ，坡度通常用1:m 的形式，例如上图的1:2 的形 式。 坡面与水平面的夹角叫做坡角。 从三角函数的概念可以知道， 坡度与坡角的关系是i ＝tanB 。显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越 陡。 例：如图，若∠CAB = 90°，∠C = ∠α，∠BDA = ∠β，CD = m ，求AB.
解法：设AB = x ，在R t △BAD 中，tan tan AB x DA ββ = =， 在R t △ABC 中，tan tan AB x CA αα == ∵ CA = CD + DA ∴ tan tan x x m αβ =+ 通过解方程求出知数x 的值 例1：某人在D 处测得大厦BC 的仰角∠BDC 为30°,沿DA 方向行20米至A 处,测得仰角∠BAC 为45°,求此大厦的高度BC 。 变式训练1：（2011广东）如图，小明家在A 处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l ，AB 是A 到l 的小路. 现新修一条路AC 到公路l . 小明测量出∠ACD =30o，∠ABD =45o，BC =50m . 请你帮小明计算他家到公路l 的距离AD 的长度（精确到0.1m ；参考数据：414.12≈，732.13≈）. 变式训练2：如图所示，小明家住在32米高的A 楼里，小丽家住在B 楼里，B 楼坐落在A 楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30 ． （1）如果A B ，两楼相距A 楼落在B 楼上的影子有多长？ （2）如果A 楼的影子刚好不落． 在B 楼上，那么两楼的距离应是多少米？
正弦、余弦、正切函数的简单应用 150团中学贺宗才一、教学目标 知识与能力： 1、理解正弦、余弦的定义，会求特殊锐角的正弦、余弦值；掌握根据锐角的正弦、余弦值及直角三角形的一边求其他边长的方法。 2、进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 过程与方法：经历正弦、余弦意义的探索过程，培养学生观察分析、类比归纳的探究问题的能力。 情感态度与价值观目标：使学生养成积极思考，独立思考的好习惯，同时培养学生的合作精神。 二．学习重点难点： 重点：进一步用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角、方位角有关的实际问题. 难点：灵活运用三角函数解决实际问题. 三、教学策略 让学生学会学习，活跃学生思维，激发兴趣。通过回顾旧知，让学生用类比的方法学习正弦、余弦的定义及特殊值。通过自主学习，理解记忆三角函数定义，为理解直角三角形中边与角的关系打下基础。一起探究，为利用边角关系解决计算问题打下基础。通过典形例题学习，进行巩固练习，达到能力提高，最后掌握知识。 四、教学过程 （一）思考与回顾 1. （1）锐角三角形函数是如何定义的？ 在△ABC中，∠C为直角，我们把锐角A的对边与斜边的比 叫做∠A的正弦，记作sin A 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA 我们把A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的三角函数
（2）直角三角形的边角关系包括哪些内容？ （3）、30°、45°、60°特殊角的三角函数值 直击中考： 2. 总结直角三角形的边角关系，完成下面的表格． sin A a A c ∠==的对边斜边cos A b A c ∠==的邻边斜边tan A a A A b ∠==∠的对边的邻边sin B b B c ∠==的对边斜边cos A a B c ∠==的邻边斜边tan B b B B a ∠==∠的对边 的邻边
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第一部分：知识点回顾 1．边与边关系：a 2＋b 2＝c 2 2．角与角关系：∠A ＋∠B ＝90° 3．边与角关系，sinA ＝a c ，cosA ＝b c ，tanA ＝a b ，cota ＝b a 4．仰角、俯角的定义：如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰 角，从上往下看，视线与水平线的夹角 叫做俯角。右图中的∠1就是仰角，∠2就是俯角。 坡角、坡度的定义：坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度 (或坡比)，读作i ，即i ＝AC BC ，坡度通常用1:m 的形式(注意:坡度一定要写出1:几的形 式)，例如上图的1:2的形式。 坡面与水平面的夹角叫做坡角。 从三角函数的概念可以知道， 坡度与坡角的关系是i ＝tanB 。显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。 第二部分：自我评测 知识点 掌握情况 备注 非常好 一般 有待提高 特殊三角函数的值 坡度计算 三角函数的实际应用 第三部分：例题剖析 例：如图，若∠CAB = 90°，∠C = ∠α，∠BDA = ∠β，CD = m ，求AB. 解法：设AB = x ，在R t △BAD 中，tan tan AB x DA ββ = =， 在R t △ABC 中，tan tan AB x CA αα == ∵ CA = CD + DA ∴ tan tan x x m αβ =+ 通过解方程求出知数x 的值 课题 锐角三角函数的实际应用 教学目标 1、 进一步掌握锐角三角函数的定义； 2、 能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题 教学重点 能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题 教学难点 能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题
九年级（下）锐角三角函数，视图和圆 班级___________ 姓名___________ 一、选择题。（10小题，每小题4分，共40分） 1．一个点到圆的最小距离为4cm ，最大距离为9cm ，则该圆的半径是（ ） A ．2.5 cm 或6.5 cm B ．2.5 cm C ．6.5 cm D ．5 cm 或13cm 2．在ABC ?中，?=∠90C ，AB=15，sinA=1 3 ，则BC 等于( ) A ．45 B ．5 C ．1 5 D ． 145 3．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不一．．定成立．．． 的是（ ） A ．DOE COE ∠=∠ B ．DE CE = C ．BE OE = D ． 4．给出下列四个结论：①边长相等的四边形的四个内角相等；②等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形；③三角形的内切圆和外接 圆是同心圆；④圆心到直线上一点的距离恰好等于圆的半径，则该直线是圆的切线。其中正确结论的个数有( ) A ．0 个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5．重庆市“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境。已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（ ） A ．a 450元 B ．a 225元 C ．a 150元 D ．a 300元 6．某人沿倾斜角为β的斜坡前进100米，则他上升的最大高度为（ ） A ． β sin 100 米 B ．βsin 100米 C ． β cos 100 米 D ．βcos 100米 0 12030m 20m 第3题 C D A O B E
中考数学复习锐角三角函数应用专题练习 1．如图28-2-2-1，某小岛受到了污染，污染范围可以大致看成是以点O为圆心，AD长为直径的圆形区域，为了测量受污染的圆形区域的直径，在⊙O的切线BD（点D为切点）上选择相距300米的B、C两点，分别测得∠ABD=30o，∠ACD=60o，则直径AD=_______米．（结果精确到1米）（参考数23 据：≈1.414，≈1.732） 2．（2018吉林长春九台一模）如图28-2-2-2，点A、B为地球仪的南、北极点，直线AB与放置地球仪的平面交于点D，所成的角度约为67o，半径OC所在的直线与放置平面垂直，垂足为点E.DE=15 cm，AD=14 cm.求半径OA的长．（精确到0.1 cm）(参考数据：sin 67o≈0.92，cos 67o≈0.39,tan67o≈2.36) 3．（2018重庆涪陵模拟）如图28-2-2-3，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受风的影响，以30米/分钟的速度沿与地面成75o角的方向飞行．25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30o，则小山东西两侧A，B两点间的距离为( )
2266 A.750m B.375m C.375m D.750m 4．（2018湖南邵阳二模）如图28-2-2-4所示，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1500 m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60o和45o，则隧道AB的长为______．（参考数据：3 =1.73） 5．（2017吉林中考）如图28-2-2-5，一枚运载火箭从距雷达站C处5 km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C处测得点A，B的仰角分别为34o，45o，其中点O，A，B在同一条直线上，求A，B两点间的距离．（结果精确到0.1 km）(参考数据：sin 34o=0.56，cos 34o=0.83,tan 34o=0.67) 6．（2017广西南宁中考）如图28-2-2-6，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45o方向，距离灯塔60 n mile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔p的北偏东30o方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为( )
数学锐角三角函数与圆综合训练题 1、如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA=∠CBD． （1）求证：CD2=CA?CB；（2）求证：CD是⊙O的切线； （3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tan∠CDA=，求BE的长． 解答：（1）证明：∵∠CDA=∠CBD，∠C=∠C，∴△ADC∽△DBC， ∴=，即CD2=CA?CB； （2）证明：如图，连接OD． ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠1+∠3=90°． ∵OA=OD，∴∠2=∠3，∴∠1+∠2=90°． 又∠CDA=∠CBD，即∠4=∠1，∴∠4+∠2=90°，即∠CDO=90°， ∴OD⊥OA．又∵OA是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线； （3）解：如图，连接OE． ∵EB、CD均为⊙O的切线，∴ED=EB，OE⊥DB∴∠ABD+∠DBE=90 ∠OEB+∠DBE=90°，∴∠ABD=∠OEB，∴∠CDA=∠OEB． 而tan∠CDA=，∴tan∠OEB==， ∵Rt△CDO∽Rt△CBE，∴===，∴CD=8， 在Rt△CBE中，设BE=x，∴（x+8）2=x2+122解得x=5．即BE的长为5． 2、如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3． （1）求证：点F是AD的中点； （2）求cos∠AED的值； （3）如果BD=10，求半径CD的长． 解答：（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1=∠2， ∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3，∴∠ADE=∠DAE∴ED=EA， ∵ED为⊙O直径，∴∠DFE=90°，∴EF⊥AD，∴点F是AD的中点； （2）解：连接DM，设EF=4k，df=3k，则ED==5k， ∵AD?EF=AE?DM，∴DM===k，∴ME==k，∴cos∠AED==； （3）解：∵∠B=∠3，∠AEC为公共角，∴△AEC∽△BEA，∴AE：BE=CE：AE， ∴AE2=CE?BE，∴（5k）2=k?（10+5k），∵k＞0，∴k=2，∴CD=k=5．