四边性质定理总结
平行四边形
定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；
性质：（1）平行四边形的邻角互补，对角相等；
（2）平行四边形的对边平行且相等；
（3）平行四边形的对角线互相平分。
判定：（1）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
三角形中位线
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；
定理：三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半。
矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
性质：（1）具有平行四边形的所有性质；
（2）矩形的四个角都是直角；
（3）矩形的对角线相等；
判定：（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）有三个角是直角的四边形是矩形；
直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半。
菱形
定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
性质：（1）具有平行四边形的所有性质；
（2）菱形的四条边相等；
（3）菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；
（4）菱形的另一个面积计算公式：对角线乘积的一半。
判定：（1）定义法：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四条边相等四边形是菱形。
正方形
定义：既是矩形又是菱形的四边形是正方形
性质：正方形具有矩形的性质又具有菱形的性质；
（1）边：四条边相等，邻边相等，对边平行；
（2）角：四个角都是直角；
对角线：相等且互相垂直平分;每一条对角线平分一组对角；正方形一条对角线上的一点到
另一条对角线的两端相等；
判定：判定是一个四边形是正方形的顺序：
（1）先证明是平行四边形；
（2）再证明是矩形（菱形）；
（3）最后证明是菱形（或矩形）；
梯形
定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形
梯形的底：梯形中平行的两边叫做梯形的底；
梯形的腰：梯形中不平行的两边叫做梯形的腰；
梯形的高：梯形两底的距离；
梯形的分类：一般梯形；
特殊的梯形（1）等腰梯形（两腰相等的梯形）；
(2)直角梯形（有一个角是直角的梯形）；
等腰梯形性质：（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行；
(2)等腰梯形同底上的两个角相等；
（3）等腰梯形的两条对角线相等；
等腰梯形判定：（1）两腰相等的梯形是等腰梯形；
(2)在同底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；
（3）两条对角线相等梯形是等腰梯形；
1.1等腰三角形的性质和判定（2） 九年级数学备课组课型：新授 【学习目标】 在掌握了等腰三角形的性质定理和判定定理的基础上，探索等边三角形和其它相关知识的证明方法。 【重点、难点】 1、等边三角形的性质及其证明。 2、应用性质解题。 【预习指导】 上节课中，我们对等腰三角形的性质定理和判定定理进行了证明，请你写出这些定理。等腰三角形性质定理：（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 等腰三角形判定定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 【思考与交流】 1、证明：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（简写为“AAS”） 2、证明：（1）等边三角形的每个内角都等于60°。 （2）3个内角都相等的三角形是等边三角形。 3、证明：（1）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 （2）到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 【典题选讲】 例1.如图，在△ABC中，点O在AC上，过点O作M N∥BC，CE、CF分别是△ABC 的内外角平分线，与MN分别交于E、F，求证：OE=OF. 例2、在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BC=BD=AD,则∠A的度数是多少？
变式; .如下图，在△ABC 中, AB=AC ，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且BC=BD=DE=EA ，求∠A 的度数。 【课堂练习】 1、如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝36°，∠ADE ＝∠AED ＝2∠B ，由这些条件你能得到哪些结论？请证明你的结论。 2、已知：如图，△ABC 是等边三角形，DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E 。 求证：△ADE 是等边三角形。 A B C D E A B C D E
第二十二章 四边形 22.1 平行四边形的性质 第1课时 平行四边形的性质定理 1 1．理解平行四边形的概念；(重点) 2．掌握平行四边形边、角的性质；(重点) 3．利用平行四边形边、角的性质解决问题．(难点) 一、情境导入 如图，平行四边形是我们常见的一种图形，它具有十分和谐的对称美．它是什么样的对称图形呢？它又具有哪些基本性质呢？ 二、合作探究 探究点一：平行四边形的定义 如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝ ∠D ，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD 是平行四边形． 解析：根据三角形内角和定理求出∠DAC ＝∠ACB ，根据平行线的判定推出AD ∥BC ，AB ∥CD ，根据平行四边形的定义推出即可． 证明：∵∠1＋∠B ＋∠ACB ＝180°，∠2＋∠D ＋∠CAD ＝180°，∠B ＝∠D ，∠1＝∠2，∴∠DAC ＝∠ACB ，∴AD ∥BC .∵∠1＝∠2，∴AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形． 方法总结：平行四边形的定义既是平行 四边形的性质，也是判断一个四边形是平行 四边形的重要方法． 探究点二：平行四边形的边、角特征 【类型一】 利用平行四边形的性质求 边长 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5， 点D ，E ，F 分别是AC ，BC ，BA 延长线上的点，四边形ADEF 为平行四边形，DE ＝2，则AD ＝________． 解析：∵四边形ADEF 为平行四边形，∴DE ＝AF ＝2，AD ＝EF ，AD ∥EF ，∴∠ACB ＝∠FEB .∵AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠B ，∴∠FEB ＝∠B ，∴EF ＝BF .∴AD ＝BF ，∵AB ＝5，∴BF ＝5＋2＝7，∴AD ＝7. 方法总结：本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握各性质是解题的关键． 【类型二】 利用平行四边形的性质求 角 如图，在平行四边形ABCD 中， CE ⊥AB 于E ，若∠A ＝125°，则∠BCE 的度数为( ) A ．35° B ．55° C ．25° D ．30° 解析：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠A ＋∠B ＝180°.∵∠A ＝125°，∴∠B ＝55°.∵CE ⊥AB 于E ，∴∠BEC ＝90°，∴∠BCE ＝90°－55°＝35°.故选
两个平面平行的判定和性质（一） ●教学目标 (一)教学知识点 1．两个平面的位置关系． 2．两个平面平行的判定方法． (二)能力训练要求 1．等价转化思想在解决问题中的运用． 2．通过问题解决提高空间想象能力． (三)德育渗透目标 1．渗透问题相对论观点． 2．通过问题的证明寻求事物的统一性． ●教学重点 两个平面的位置关系；两个平面平行的判定． ●教学难点 判定定理、例题的证明． ●教学方法 启发式 在启发、诱思下逐步完成定理的证明过程． 平面的位置关系也需以实物(教室)为例，启发诱思完成．通过师生互议，解决例1问题． ●教具准备 投影片两张 第一张：(记作§9．5．1 A) 第二张：(记作§9．5．1 B)
●教学过程 Ⅰ．复习回顾 师生共同复习回顾，线面垂直定义，判定定理． 性质定理：归纳小结线面距离问题求解方法，以及利用三垂线定理及其逆定理解决问题． 立体几何的问题解决：一是如何将立体几何问题转化成平面几何问题；二是数学思想方法怎样得到充分利用、渗透，这些都需在实践中进一步体会． 下面继续研究面面位置关系． Ⅱ．讲授新课 1．两个平面的位置关系 除教材上例子外，我们以所在教室为例，观察面与面之间关系． ［师］观察教室前、后两个面，左、右两个面及上、下两个面都是平行的，而其相邻两个面是相交的．［师］打开教材竖直放在桌上，其间有许多个面，它们共同点是都经过一条直线．观察教室的门与其所在墙面关系，随着门的开启，门所在面与墙面始终有一条公共线．结合生观察教室的结论，引导其寻找平面公共点，然后给出定义． 定义：如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行． 如果两个平面有公共点，它们相交于一条公共直线． 两个平面的位置关系只有两种： (1)两个平面平行——没有公共点； (2)两个平面相交——有一条公共直线． ［师］两个平面平行，如平面α和平面β平行，记作α∥β． 下面给出两个示意图，同学们考虑哪个较直观？ ［生］图(1)较直观，图(2)不直观． ［师］从以上两种画法，告诉我们画图过程中应注意什么？图(2)为何不直观？
义务教育课程标准实验教材(冀教版)数学九年级上册《等腰三角形的性质定理及其证明》教学设计 沧县风化店乡中学刘青 教学目标：1、会证明等腰三角形的性质定理。 2、进一步体会证明的必要性，会用综合法进行证明 教学过程设计： 一、课前回顾： 复习等腰三角形的性质定理的内容 设计思路：通过复习性质定理的内容，分析其中的题设和结论，为证明做好准备。 二、明确证明的步骤： 画出图形，写出已知，求证。 设计思路：让学生更好的明确证明命题的一般步骤。 三、一起探究： 1、等腰三角形是轴对称图形，画出上图中等腰三角形ABC的对称轴。 2、对称轴将△ABC分成的两个三角形是否全等？说明理由。 3、把你证明∠B=∠C的过程写出来。 设计思路：通过一起探究中问题的引导，画出对称轴，找到全等三角形，从而形成证明的思路。 三、大家谈谈： 1、小亮的证明方法正确吗？你还有不同的证明方法吗？请与同学交流。 2、由Rt△ABD≌Rt△ACD，能推出AD是△ABC底边上的中线和顶角的 平分线吗？ 设计思路：通过观察小亮的做题思路，让学生评价小亮的证明过程，同时对做顶角的角平分线和底边上的高线进行证明给予肯定和鼓励，使学生对问题能以题多解。 四、做一做： 试证明： 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 设计思路：使学生进一步感受演绎体系，理解推论的意义。 五、基本技能： 已知：如图，在△ABC中，AB=AC, D,E是BC边上的两点，且BD=CE. 求证:AD=AE 设计思路：让学生充分感受证明的过程并规范证明的过程。 六、数学与生活： 如图，是一个简易的水平仪， 其中，AC=AB, D为BC中点， 在点D处悬挂一个自然下垂的铅垂， A B C D E
平行四边形的性质（一） --- 性质定理1、性质定理2 教学目标：（1）理解平行四边形的定义； （2）熟练掌握并且能够灵活运用平行四边形的性质定理； 教学重点：平行四边形的定义，性质定理； 教学难点：平行四边形性质定理的运用； 教具准备：三角板 课时安排：1课时 教学过程： 一：学前辅导 学习目标：（1）理解平行四边形的定义； （2）掌握并运用平行四边形的性质定理； 学生参照学习目标自主预习本节内容10到15分钟左右，找出平行四边形的定义以及相关性质定理，对于疑惑问题，做出标记，并且小组讨论解决，仍然解决不了的，等待老师讲解。 二：自主学习 定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 1. 任意画一条直线； 2. 在直线m上任取点A,在直线m外任取点B,连接AB; 3. 过点B作直线m的线AB的平行线，交直线m于点D,就得到平行四边形ABCD平行线n,在直线n上任取点C； 4. 过点C作直线AB的平行线，交直线m于点D,就得到平行四边形 ABCD 三：合作探究
性质定理1:平行四边形的对边相等； 性质定理2:平行四边形的对角相等；我们可以用演绎推理证明上面探索得到的结论。已知：如图18.1.4，在平行四边形ABCDK 求证：AB=CD,AD=CB；A=Z C, / ABC2 CDA. 证明：连结BD. ???四边形ABCD是平行四边形， ??? AB// DC,AD/ BC（平行四边形的两组对边分别平行） ???/ ABD M CDB, / ADB M CBD. 又??? BD=DB ???△ABD^A CDB. ??? AB=CD,AD=CB/ A=Z C. 由/ ABD M CBD和/ ADB" CBD得， / ABD" CBD" CDB" ADB, 即/ ABC" CDA. 四：精讲细解 例题1:如图，在平行四边形ABC冲，"A=120度，求其他各个内角的大小。 解：在平行四边形ABCD中, "A=" C, " B=" D（平行四边形的对角相等）. ???" A=40° , 又??? AD// BC,
考点04 等腰三角形的判定定理 1.（2020·浙江·中考模拟）以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（） A.1，1，2 B.1，1，3 C.2，2，1 D.2，2，5 【答案】C 【解析】根据三角形的三边关系对以下选项进行一一分析、判断． 2.（2020·甘肃·期中试卷）△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则△ABC是（） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.不等边三角形 D.不能确定 【答案】B 【解析】根据AB=AC可得∠B=∠C，结合∠A=∠C即可判断出△ABC的形状． 3.（2020·广西期末试卷）下列三角形中，是正三角形的为（） ①有一个角是60°的等腰三角形；①有两个角是60°的三角形； ①底边与腰相等的等腰三角形；①三边相等的三角形． A.①① B.①① C.①① D.①①①① 【答案】D 【解析】等边三角形的判定定理有①三个都相等的三角形是等边三角形，①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，①三边都相等的三角形是等边三角形，根据以上定理判断即可． 4.（2020·浙江·月考试卷）等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是（） A.有一个内角是60° B.有一个外角是120° C.有两个角相等 D.腰与底边相等 【答案】C 【解析】(1)由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． (2)判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． (3)判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
5.（2020·山西·月考试卷）下列命题不正确的是（） A.等腰三角形的底角不能是钝角 B.等腰三角形不能是直角三角形 C.若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形 D.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形 【答案】B 【解析】利用等腰三角形的性质和等边三角形的判定的知识，对各选项逐项分析，即可得出结果． 6.（2020·陕西·中考模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE是角平分线，则图中的等腰三角形共有（） A.8个 B.7个 C.6个 D.5个 【答案】A 【解析】根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠ACB＝72°，根据角平分线求出∠ABD＝∠DBC＝∠ACE＝∠ECB ＝36°，根据三角形内角和定理求出∠BDC、∠BEC、∠EOB、∠DOC，根据等腰三角形的判定推出即可． 7.（2020·四川·期末试卷）如图，AD⊥BC，D是BC的中点，那么下列结论错误的是() A.△ABD?△ACD B.∠B=∠C C.△ABC是等腰三角形 D.△ABC是等边三角形 【答案】D 【解析】根据垂直的定义可得∠ADB=∠ADC=90°，根据线段中点的定义可得BD=CD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠C，全等三角形对应边相等可得AB=AC，
一对一个性化辅导教案
平行四边形的性质与判定 平行四边形及其性质(一) 一、 教学目标： 1． 理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质． 2． 会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证． 3． 培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力． 二、 重点、难点 1． 重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用． 2． 难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 三、 课堂引入 1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象 平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗 你能总结出平行四边形的定义吗 (1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)表示：平行四边形用符号“ ”来表示． 如图，在四边形ABCD 中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD 是平行四边形．平行四边形ABCD 记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”． ①∵AB ?50?360?360?180行 四边形的面积计算 六、随堂练习 1．在平行四边形中，周长等于48， ① 已知一边长12，求各边的长 ② 已知AB=2BC ，求各边的长 ③ 已知对角线AC 、BD 交于点O ，△AOD 与△AOB 的周长的差是10，求各边的长 2．如图，ABCD 中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm ，AC+BD=14cm ，则△OBC 的周长是____ ___cm ．
3．ABCD 一内角的平分线与边相交并把这条边分成cm 5，cm 7的两条线段，则ABCD 的周长是__ ___cm ． 七、课后练习 1．判断对错 （1）在ABCD 中，AC 交BD 于O ，则AO=OB=OC=OD ． （ ） （2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等． （ ） （3）平行四边形的两组对边分别平行且相等． （ ） （4）平行四边形是轴对称图形． （ ） 2．在 ABCD 中，AC ＝6、BD ＝4，则AB 的范围是_ ____ __． 3．在平行四边形ABCD 中，已知AB 、BC 、CD 三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是 ． 4．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB ＝15cm ，AD ＝12cm ，AC ⊥BC ，求小路BC ，CD ，OC 的长，并算出绿地的面积． （一） 平行四边形的判定 一、教学目标： 1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法． 2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题． 3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题． 二、重点、难点 重点：平行四边形的判定方法及应用． 难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用． 四、课堂引入 1．欣赏图片、提出问题． 展示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形你是怎样判断的 2．【探究】：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗
2、平行于同一个平面的两个平面平行。 问题1:若两个平面平行,则一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系？ 学生借助长方体模型思考、交流得出结论:异面或平行。 问题2:分别在两个平行平面内的两条直线满足什么条件时平行？(共面) 问题3:长方体中,平面ABCD 内哪些直线会与直线D B ' '平行？怎么样找到这些直线？ (平面ABCD 内的直线只要与D B ''共面即可) (二)研探新知 例1、如图,已知平面α、β、γ满足b a ==γβγαβαI I ,,//,求证:a // b 。 证明:因为b a ==γβγαI I ,,所以βα??b a ,,又因为βα//,所以a ,b 没有公共点,又因为a ,b 同在平面γ内,所以a // b 。 归纳(两个平面平行的性质定理)如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号语言:b a b a //,,//?==γβγαβαI I 。 可以由平面与平面平行得出直线与直线平行。 课堂练习1:判断下列命题就是否正确。 (1)如果a ,b 就是两条直线,且a // b ,那么a 平行于经过b 的任何平面。 (2)如果直线a 与平面α满足a // α,那么a 与α内的任何直线平行。 (3)如果直线a ,b 与平面α满足a // α,b // α,那么a // b 。 (4)如果直线a ,b 与平面α满足a // b ,a // α,b α?,那么b // α。 例2、求证夹在两个平行平面间的平行线段相等。 已知:ββααβα∈∈∈∈D B C A CD AB ,,,,//,//,求 证:AB = CD 。 证明:因为AB // CD ,所以过AB 、CD 可作平面γ,且平面γ与平面α与β分别相交于AC 与B D,因为α // β,所以BD // AC ,因此,四边形ABDC 就是平行四边形,所以AB = CD 。
平行四边形的性质3》 一、教材所处的地位与作用 《平行四边形的性质3》是华东师大版八年级下册第二十章第二节第二课时的内容．它属于“空间与图形”的领域，是在学习了全等三角形、平行四边形的性质1 、性质2 的基础上，继续探究平行四边形的性质3.它是全等三角形、平行四边形的回顾、延伸；又是今后继续学习平行四边形的判定、特殊平行四边形的基础，起到承上启下的作用。平行四边形在人们日常生活和生产实践中应用较广，接触较多的一种几何图形，它的性质的学习，为人们解决日常生活中的实际问题起到很大的帮助。 二、学情分析八年级的学生，活泼好动、求知表现欲都比较强，他们对于图形已有初步认识（学习过三角形、三角形全等、多边形等），但逻辑思维不是很严密，逻辑推理能力较弱，用符号语言表达证明的能力也有待加强。若前面所学习的平行四边形的性质1、性质2 掌握不牢，有可能在探究性质3 的环节上说理会不清楚，思路不清晰。 三、教学目标 （1）知识技能能根据已有知识（三角形全等、平行四边形的定义、性质等）来探究平行四边形的性质3。 了解平行四边形在生活中的实际应用，运用平行四边形的性质解决实际生活中的有关问题。 （2）数学思考经历运用平行四边形描述现实世界的过程，发展学生的抽象思维和形象思维。根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明，通过观察、实验、归纳、证明，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑，培养学生的推理能力和演绎能力。 （3）解决问题能运用已学的知识从数学的角度去探究平行四边形的性质3，并能运用平行四边形的性质进行简单的证明与计算，发展应用意识。 （4）情感态度在应用平行四边形性质的过程中培养独立思考的习惯，在数学学习的活动中，获得成功的体验，通过平行四边形性质的应用，进一步认识数学与生活的密切联系。 四、教学重难点 （1）重点：平行四边形的性质3、平行四边形性质的综合应用。 （2）难点：平行四边形的性质3 的探究，选择合适的平行四边形性质解决实际问题。 五、教学法指导 针对学生已有认知水平和特点，创设情境导入新课，调动学生兴趣，并引发认知冲突，引出新课学习的必要。针对以上重难点，平行四边形的性质3,让学生 自主探究，合作交流，通过观察、实验、归纳、证明得到。教师只扮演引导者的角色。 六、教学手段 PPT多媒体，学生准备(直尺、三角尺) 七、教学课时
第1课时等腰三角形的性质定理及推论 教学目的 1．使学生了解等腰三角形的有关概念，掌握等腰三角形的性质。 2．通过探索等腰三角形的性质，使学生进一步经历观察、实验、推理、交流等活动。 重点：等腰三角形等边对等角性质。 难点：通过操作，如何观察、分析、归纳得出等腰三角形性质。 教学过程 一、复习引入 1．让学生在练习本上画一个等腰三角形，标出字母，问什么样的三角形是等腰三角形? △ABC中，如果有两边AB=AC，那么它是等腰三角形。 2．日常生活中，哪些物体具有等腰三角形的形象? 二、新课 1．指出△ABC的腰、顶角、底角。 相等的两边AB、AC都叫做腰，另外一边BC叫做底边，两腰的夹角∠BAC，叫做顶角，腰和底边的夹角∠ABC、∠ACB叫做底角。 2．实验。 现在请同学们做一张等腰三角形的半透明纸片，每个人的等腰三 角形的大小和形状可以不一样，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD，如图(2)所示，你能发现什么现象吗?请你尽可能多的写出结论。 可让学生有充分的时间观察、思考、交流，可能得到的结论： (1)等腰三角形是轴对称图形 (2)∠B＝∠C (3)BD＝CD，AD为底边上的中线。 (4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线。 (5)∠BAD＝∠CAD，AD为顶角平分线。 结论(2)用文字如何表述?
等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。 结论(3)、(4)、(5)用一句话可以归结为什么? 等腰三角形的顶角平分线，底边上的高和底边上的中线互相重合 (简称“三线合一”)。 例l已知：在△ABC中，AB＝AC,∠B＝80°，求∠C和∠A的度数。 本题较易，可由学生口述，教师板书解题过程。 引申：已知：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，求∠B和∠C的度数。 小结：在等腰三角形中，已知一个角，就可以求另外两个角。 三、练习巩固 本课时练习 补充： 填空：在△ABC中，AB＝AC，D在BC上， 1．如果AD⊥BC，那么∠BAD＝∠______，BD＝_______ 2．如果∠BAD＝∠CAD，那么AD⊥_____，BD＝______ 3．如果BD＝CD，那么∠BAD＝∠_______，AD⊥______ 四、小结 本节课，我们学习了等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等 (简写“等边对等角”)；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合(简称“三线合一”)，它们对今后的学习十分重要，因此要牢记并能熟练应用。用数学语言表述如下： 1．△ABC中，如果AB＝AC，那么∠B＝∠C。 2．△ABC中，如果A月＝AC，D在BC上，那么由条件(1)∠BAD＝∠CAD，(2)AD⊥AC，(3)BD＝CD中的任意一个都可以推出另外两个。 五、作业 课后习题 教学后记：
第18章平行四边形 18. 1 平行四边形的性质 第4课时平行四边形的性质定理的综合 1．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A′处．若∠1＝∠2＝50°，则∠A′的度数为______. 2．如图，在平行四边形ABCD中，如果AB＝5，AD＝9，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，那么DF＝____． 3．如图，在平行四边形ABCD中，连结BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF＝DE，连结AF、CE，求证：AF∥CE. 4．[xx·金牛区期末]如图，在ABCD中，BE平分∠ABC交CD的延长线于点E，作CF ⊥BE于点F. (1)求证：BF＝EF； (2)若AB＝6，DE＝3，求ABCD的周长．
5．[xx·厦门期末]如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC边的中点，DF∥AE，DF 与BC的延长线交于点F，AE、DC的延长线交于点G，连结FG.若AD＝3，AG＝2，FG＝22，求直线AG与DF之间的距离． 6．[xx·黄冈]如图，在ABCD中，分别以边BC、CD为腰作△BCF、△CDE，使BC＝BF，CD＝DE，∠CBF＝∠CDE，连结AF、AE. (1)求证：△ABF≌△EDA； (2)延长AB与CF相交于点G，若AF⊥AE，求证：BF⊥B C.
7．[平定县期末]下面是一个有关特殊平行四边形和等边三角形的小实验，请根据实验解答问题：已知在ABCD中，∠ABC＝120°，点D又是等边三角形DEF的一个顶点，DE 与AB相交于点M，DF与BC相交于点N(不包括线段的端点)． (1)如图1，若AB＝BC，求证：BD＝BM＋BN； (2)如图2，若BC＝2AB，过点D作DH⊥BC于点H，求证：∠BDC＝90°. 图1 图2 参考答案 1．105° 2．4 3．
高中数学立体几何之面面平行的判定与性质讲义及练习
面面平行的判定与性质 一、基本内容 1.面面平行的判定 文字 图形 几何符号 简称 判定定理1 判定定理2 2.面面平行的性质 文字 图形 几何符号 简称 性质定理1 性质定理2 二、例题 1. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面． 2.在正方体1111ABCD A B C D 中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点. 求证：平面1D EF ∥平面BDG . A 1 A B 1 C 1 C D 1 D G E F
F E D B A P C 3.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形， PA ⊥平面ABCD ， E 是PC 中点，F 为线段AC 上一点. （Ⅰ）求证：EF BD ⊥； （Ⅱ）试确定点F 在线段AC 上的位置，使EF //平面PBD . 4. 在四棱锥P ABCD 中，AB //CD ，AB AD ，4,22,2AB AD CD ，PA 平面 ABCD ，4PA . （Ⅰ）设平面PAB 平面PCD m =，求证：CD //m ； （Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAC ； （Ⅲ）设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC 所 成角的正弦值为33，求PQ PB 的值． 5. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ABD ∠?， EB ⊥平面ABCD ， EF//AB ，2AB=，=1EF ，=13BC ，且M 是BD 的中点. （Ⅰ）求证：//EM 平面ADF ； （Ⅱ）在EB 上是否存在一点P ，使得CPD ∠最大？ 若存在，请求出CPD ∠的正切值；若不存在， 请说明理由. P D C B A C A F E B M D
平行四边形 一、平行四边形 1.平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2.平行四边形的判定定理： （1）判定定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 （2）判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （3）判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （4）判定定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 （5）判定定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 3.平行四边形的性质： （1）平行四边形的邻角互补，对角相等。 （2）平行四边形的对边平行且相等。 （3）夹在两条平行线间的平行线段相等。 （4）平行四边形的对角线互相平分。 （5）平行四边形是中心对称图形。 4.平行四边形的面积： 面积=底边长×高= ah（a是平行四边形任何一边长，h必须是a边与其对边的距离。） 二、矩形 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。 2.矩形的判定定理： （1）判定定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。 （2）判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。 （3）判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。 3.矩形的性质： （1）具有平行四边形的一切性质。 （2）矩形的四个角都是直角。 （3）矩形的对角线相等。 （4）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形。 4.矩形的面积： 矩形的面积=长×宽 三、菱形 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2.菱形的判定定理： （1）判定定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）判定定理（1）：四边都相等的四边形是菱形。 （3）判定定理（2）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 3.菱形的性质： （1）具有平行四边形的一切性质。 （2）菱形的四条边都相等。 （3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 （4）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形。
（ 课 题 《等腰三角形的性质定理和判定定理及 课型 新授课 教学目标 教学重点 教学难点 教学方法 教学后记 其证明》教案 1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。 2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角 形的关性质定理和判定定理。 了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。 能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。 观察法 教 学 内 容 及 过 程 学生活动 一、复习： 1、什么是等腰三角形？ 2、你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形栽剪下来。 3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？ 二、新课讲解： 之前，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运用下面的公理和已 经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。 同学们和我一起来回忆上学期学过的公理: ? 1.两直线被第三条直线所截 ,如果同位角相等 ,那么这两条直线平 行; ? 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; ? 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS ） ? 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA ） ? 5.三边对应相等的两个三角形全等; （SSS ） ? 6.全等三角形的对应边相等,对应角相等. 由公理 5、3、4、6 可容易证明下面的推论： 推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 AAS ） 证明过程： 已知：∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF 求证：△ABC ≌△DEF 证明：∵∠A=∠D,∠B=∠E （已知） ∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于 180°） ∠C=180°-(∠A+∠B) ∠F=180°-(∠D+∠E) ∠C=∠F （等量代换） BC=EF （已知） △ABC ≌△DEF （ASA ） 这个推论虽然简单，但也应让学生进行证明，以熟悉的基本要求和步 骤，为下面的推理证明做准备。 这个推论 虽然简单， 但也应让 学生进行 证明，以熟 悉的基本 要求和步 骤，为下面 的推理证 明做准备。 学生充分 讨论问题 1，借助等 腰三角形
等腰三角形定理 一、说教材分析 1、本课内容在初中数学教学中起着比较重要的作用，它是对三角形的性质的呈现。通过等腰三角形的性质反映在一个三角形中等边对等角，等角对等边的边角关系，并且对轴对称图形性质的直观反映（三线合一）。并且在以后直角三角形和相似三角形中等腰三角形的性质也占有一席之地。 2、教学目标：要求学生掌握等腰三角形的性质定理1、2和等边三角形的每个角都相等，且每个角都为60度，使学生会用等腰三角形的性质定理进行证明或计算，逐步渗透几何证题的基本方法：分析法和综合法，培养学生的联想能力 3、教学重点、难点：等腰三角形的性质定理是本课的重点 等腰三角形“三线合一”性质的运用是本课的难点 4、为了使学生了解这堂课，本课要求学生自制一个等腰三角形模型，教学过程采用多媒体教学。 二、说教学方法： “教必有法而教无定法”，只有方法得当，才会有效。根据本课内容特点和初二学生思维活动的特点，我采用了教具直观教学法，联想发现教学法，设疑思考法，逐步渗透法和师生交际相结合的方法。 三、说学生学法。 “授人以鱼，不如授人以渔”，最有价值的知识是关于方法的知识，首先教师应创造一种环境，引导学生从已知的、熟悉的知识入手，让学生自己在某一种环境下不知不觉中运用旧知识的钥匙去打开新知识的大门，进入新知识的领域，从不同角度去分析、解决新问题，发掘不同层次学生的不同能力，从而达到发展学生思维能力和自学能力的目的，发掘学生的创新精神。 四、说教学程序 1、等腰三角形的有关概念，轴对称图形的有关概念。 提问：等腰三角形是不是轴对称图形？什么是它的对称轴？ 2、教师演示（模型）等腰三角形是轴对称图形的实验，并让学生做同样的实验，引导学生观察重合部分，发现等腰三角形的一些性质。 3、新课：让学生由实验或演示指出各自的发现，并加以引导，用规范的数学语言进行逐条归纳，最后得出等腰三角形的性质定理1、2。 性质定理1： 等腰三角形的两个底角相等 在△ABC中，∵AB=AC（）∴∠B= ∠C（） 性质定理2： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合 ①∵AB=AC ∠1= ∠2 ()∴BD=DC AD⊥BC () ②∵AB=AC BD=DC ()∴∠1= ∠ 2 AD⊥BC () ③∵AB=AC AD⊥BC于D () ∴BD=DC ∠1= ∠ 2 () 强调性质定理2中的三线段前的定语的重要性，可让学生实际画图验证。 4、对新知识的感知性应用 指导学生表述证明过程。 思考题：等腰三角形两腰上的中线（高线）是否相等？为什么？ 课堂练习：
平行四边形及其性质(2) 学习目标： 知识目标：1．经历探索“平行四边形的对角线互相平分”这一性质的过程发展探究意识．2．掌握“平行四边形的对角线互相平分”的性质定理 能力目标：提高综合运用知识的能力． 情感态度与价值观：感受数学概念与实际生活的紧密联系． 学习重难点： 重点：运用“平行四边形的对角线互相平分”这一性质解决简单的问题 难点：运用平行四边形的性质定理进行有关计算. 教学过程： 知识回顾 1．平行四边形的定义： 2．性质定理： 【设计意图】 复习上节课学习的性质，并引出本节课的主题 合作探究: 平行四边形的性质定理3 如图：线段AC、BD就是?ABCD的对角线，线段OA与OC、OB与OD长度有何关系 你能证明你的结论吗 已知：?ABCD的对角线AC、BD相交于点O. 求证：OA=OC，OB=OD. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC. ∴∠1=∠2，∠3=∠4. ∴△AO D≌△COB（ASA）. ∴ OA=OC，OB=OD. 定理3：平行四边形的对角线互相平分 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA＝OC，OB＝OD． （平行四边形的对角线互相平分） 【设计意图】：
采用动手操作感知，辅以三角形全等知识的应用，发现验证了所要学习的内容，并用规范的数学语言将它们表达出来．对平行四边形的性质的归纳是学生对平行四边形特征的再认识，是知识的一次升华，培养了学生的概括能力，突出了教学的重点． 例题讲解： 例2．如图?ABCD的对角线AC与BD交于点O.经过点O作一条直线，分别交AD，BC于点E， F. 求证：OE=OF 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC, AD‖BC∴∠1=∠2 ∵∠3=∠4 ∴△OAE≌△OCF（ASA） ∴OE=OF 归纳：学生审题是解题的关键，通过运用平行四边形的性质学会解决简单的实际问题，培养了学生的应用意识 当堂检测： 1.如图，在 ABCD中，AC与BD相交于点O，(1)若AC=18cm,BD=24cm, 则AO= , BO= , 又若AB=13厘米，则△COD的周长为． （2）若△AOB的周长为30cm, AB=12cm,则对角线AC与BD的和为． 2.已知：如图：ABCD的对角线AC、BD相交于点O. 求证：OA=OC，OB=OD 拓展延伸 小明家有一块平行四边形菜地，菜地中间有一口井，为了浇水的方便，小明建议妈妈经过水井修一条路，可以把菜地分成面积相等的两部分. 同学们，你知道聪明的小明是怎么帮妈妈分的吗 课堂小结: 本节课学习了平行四边形的性质定理 3 作业: 课本 P9第4,5题 板书设计: 平行四边形及其性质(2)
第11讲 平行四边形的性质及判定 小测试 总分10分 得分___________ 1．（4分）分式方程 12x x +-＝ 1 32 x +-的解为x ＝___________．3 2．（6分）若221x x x +-＝1 4 ，则242331x x x -+＝___________．1 【教学目标】 1．掌握平行四边形的性质定理和判定定理； 2．能熟练利用平行四边形的性质定理和判定定理进行证明和计算． 【教学重难点】 能熟练利用平行四边形的性质定理和判定定理进行证明和计算，证明线段平行、相等是常考点． 知识点1：平行四边形 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 知识点2：平行四边形的性质 1．平行四边形的对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分． 2．若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线平分平行四边形的面积． 3．平行四边形是中心对称图形． 4．平行四边形的面积： ①如图1，S □ABCD ＝BC ·AE ＝CD ·AF ． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．如图2，□ABCD 与□EBCF 有公共边BC ，则S □ABCD ＝S □EBCF ．特别地，当点P 是平行四边形任意一条边所在直线上的一点时，点P 与这条边的对边的两个顶点所构成的三角形的面积是平行四边形的面积的一半，如图3． 知识点3：平行四边形的判定 1．两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 2．两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 3．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 4．对角线互相平分的四边形是平行四边形． 注意：两组对角分别相等的四边形不能直接作为平行四边形的判定依据，在证明题或计算题中不能直接使用，必须转化成两组对边分别平行的四边形是平行四边形（利用四边形的内角和是360°，一半则为180°，同旁内角互补，得到两组对边分别平行）． 在平行四边形中熟悉下列基本图形、基本结论： A D B C E F A D B C E F P A D B C 图1 图2 图3
等腰三角形定理 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 一、说教材分析1、本课内容在初中数学教学中起着比较重要的作用，它是对三角形的性质的呈现。通过等腰三角形的性质反映在一个三角形中等边对等角，等角对等边的边角关系，并且对轴对称图形性质的直观反映（三线合一）。并且在以后直角三角形和相似三角形中等腰三角形的性质也占有一席之地。2、教学目标：要求学生掌握等腰三角形的性质定理1、2和等边三角形的每个角都相等，且每个角都为60度，使学生会用等腰三角形的性质定理进行证明或计算，逐步渗透几何证题的基本方法：分析法和综合法，培养学生的联想能力3、教学重点、难点：等腰三角形的性质定理是本课的重点等腰三角形“三线合一”性质的运用是本课的难点4、为了使学生了解这堂课，本课要求学生自制一
个等腰三角形模型，教学过程采用多媒体教学。二、说教学方法：“教必有法而教无定法”，只有方法得当，才会有效。根据本课内容特点和初二学生思维活动的特点，我采用了教具直观教学法，联想发现教学法，设疑思考法，逐步渗透法和师生交际相结合的方法。三、说学生学法。“授人以鱼，不如授人以渔”，最有价值的知识是关于方法的知识，首先教师应创造一种环境，引导学生从已知的、熟悉的知识入手，让学生自己在某一种环境下不知不觉中运用旧知识的钥匙去打开新知识的大门，进入新知识的领域，从不同角度去分析、解决新问题，发掘不同层次学生的不同能力，从而达到发展学生思维能力和自学能力的目的，发掘学生的创新精神。四、说教学程序1、等腰三角形的有关概念，轴对称图形的有关概念。提问：等腰三角形是不是轴对称图形？什么是它的对称轴？2、教师演示（模型）等腰三角形是轴对称图形的实验，并让学生做同样的
平行四边形及其性质（基础） 【学习目标】1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理. 2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题． 3. 了解平行四边形的不稳定性及其实际应用． 4. 掌握两个推论：“夹在两条平行线间的平行线段相等” 。“夹在两条平行线间的垂线段相 等” ． 【要点梳理】知识点一、平行四边形的定义 平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD 记作 “ Y ABCD”，读作“平行四边形ABCD” . 要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线. 相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.知识点二、平行四边形的性质定理 平行四边形的对角相等； 平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线互相平分；要点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. （3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决. 知识点三、平行线的性质定理 1. 两条平行线间的距离： （1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离. 注：距离是指垂线段的长度，是正值. 2．平行线性质定理及其推论夹在两条平行线间的平行线段相等. 平行线性质定理的推论：夹在两条平行线间的垂线段相等. 【典型例题】类型一、平行四边形的性质 1、如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别为∠ DAB、∠ CBA的平分线．求证：DF＝EC． 【答案与解析】证明：∵ 在Y ABCD中，CD∥ AB， ∠ DFA＝∠ FAB．