专题1 “算法算理”之数与式知识要点
1．实数的计算，代数式的化简与相关恒等变形．
2．在代数式的化简和变形中，注意整体思想的灵活应用．3．在找规律问题中，理解从特殊到一般的数学思想．
【知识点拨】
1．相关知识点：
00
a,a
a,a
a,a
>
?
?
===
?
?-<
?
；
⑵01
a=，
1
n
n
a
a
-=，其中a≠0；
⑶m n m n
a a a+
?=，()n m mn
a a
=，()n n n
ab a b
=其中m，n为正整数．
⑷()222
2
a b a ab b
±=±+，()()22
a b a b a b
+-=-
2．掌握与理解：
⑴关注公式互逆应用；⑵整式乘除与因式分解之间的关系；⑶算理算法，数与式化简与变形．典例赏析
类型一实数的计算
例1（2017?
1
1
2
2
-
??
- ?
??
【分析】先根据运算法则进行化简，再进行加减运算．
【解】原式＝
22=
【点评】本题考查二次根式的运算、绝对值的化简、负指数幂的运算、合并同类项及二次根式等知识点，考查学生的基本运算能力．
拓展与变式1（2017?福建改编）已知A，B，C是数轴上的三个点，点A，B表示的数分别是1，3，如图1－1所示．若AC＝3AB，则点C表示的数是________．
拓展与变式2（2017?
南平质检）若2
a b
<<，且a、b是两个连续整数，则a＋b的值是________．
拓展与变式3（2017?福州质检改编）若m，n均为正整数，且2232
m n
?=，()264
n
m=，则m－n的值为________．
拓展与变式4三进制数201可用十进制数表示为210230313290119?+?+?=?++=；二进制数a ＝221，二进制数b ＝11001，则a 与b 的大小关系为（ ）． A ．a ＞b B ．a ＝b C ．a ＜b D ．不能确定
类型二 代数式的化简
例2（2017?福建）先化简，再求值：2111a
a a ??-? ?-??
，其中1a ．
【分析】“1”可化为“a
a
”，21a -可因式分解为()()11a a -+，结果要化为最简． 【解】原式＝
211
11
a a a a a -?=
-+．
当1a =
=
【点评】考查分解因式、整式和分式的相关性质和运算、运算律等知识点，也考查运算算理
的理解与算法优化．
拓展与变式5（2017?宁德质检）如图1－2所示的分式化简，对于所列的每一步运算，依据错误的是（ ）．
A ．①：同分母分式的加减法法则
B ．②：合并同类项法则
C ．③：提公因式法
D ．④：等式的基本性质
拓展与变式6
⑴化简：()()
22m n m mn n -++=________． ⑵运用⑴化简：()32282
422z z z z z
-+?-+-
计算：
34a a b
a b a b
++
++ 解：原式=
34a a b
a b +++……①
=44a b
a b
++……② =
()
4a b a b ++……③ =4……④
图1-2
类型三 代数式的其他恒等变形
例3若实数a 满足22410a a --=，则2481a a -+=________．
【分析】观察题目发现()
2248224a a a a -=-，从而可运用整体代入法简便解题． 【解】当22410a a --=，即2241a a -=时，
()22482241213a a a a -=-+=+=．
【点评】考查整式的相关性质和运算，运用整体代入法求值，即“整体思想”的应用．
拓展与变式7已知22540x xy y -+=，x y ≠，求3x y
x y +-的值．
拓展与变式8若实数c 满足1
2c c
-=，求322742018c c c -+-的值． ．
类型四 找规律问题
例 4 （2017?漳州质检改编）定义：()
()1
11a a --≠叫做
a 的影子数．如：3的影子数是
()
1
1132--=-．已知11
2
a =-，2a 是1a 的影子数，3a 是2a 的影子数，…，依此类推，则2018
a 的值是________．
【分析】柔肠寸断类推发现规律，41a a =，52a a =，63a a =，…，则有20182a a =． 【解】112a =-，223
a =，33a =，412a =-，…，201822
3a a ==．
【点评】实数的运算法则与代数式的运算法则是相通的，从数字的规律到列式子的规律，是从特殊到一般的进一步的抽象过程，能用含n 的式子表示其中的规律，才算真正理解这个问题．
拓展与变式9 计算⑴
1111
12233420172018
++++
????…；
⑵1111
13355720152017
++++
????…； ⑶
1111
1232343459899100
++++
????????…．
对接中考 【同步练习】
1．（2017?莆田质检）计算：1
13012sin -??
+?- ???
2．（2017?三明质检改编）化简并求值：214221
x
x x x x -??-?
?++-??，其中2x =．
32018p p -=，求p －2018的平方根．
【压轴挑战】
4．已知实数a =，求值：⑴2
31a a -+；⑵3222511
a a a a --++．
5．观察()()2
2
22216418218241821822182182400+??=-+??=++??=+=，计算24035420172018-??=________．
6．已知220172018201720182017201820172018a =+?+?++?…，20182018b =，则a 与b 的大小关系是a ________ b ．（填“＞”、“＜”或“＝”）
7．一个正整数n ，若分别加上6和15，可得到两个相邻的完全平方数，求n 的值．