（1） 设B A ,为n 阶正定矩阵，则成立()0tr AB >。
证明 因为B A ,为n 阶正定矩阵，所以存在可逆矩阵T 使得，A TT '=，
1()AB T T BT T -'=，显然T BT '是n 阶正定矩阵，它的特征值全为正的，
由矩阵的特征值和迹在相似变换下保持不变，于是
1()(())()tr AB tr T T BT T tr T BT -''==。
（2） 设B A ,为n 阶半正定矩阵，则成立()0tr AB ≥。
证明 对任意0ε>，有,I A I B εε++为n 阶正定矩阵，
(()())0tr I A I B εε++>
令0ε+→，由连续性,可知, ()0tr AB ≥。
定理 (Cauchy-Schwarz 不等式)
设g f ,在],[b a 上可积，则有21
221
2))(())((|)()(|dx x g dx x f dx x g x f b
a
b
a
b
a
???≤。
证明 证法一 对区间],[b a 的任意分割?：b x x x x a n n =<<<<=-110 ， 任取 ],[1i i i x x -∈ξ，，n i ,,2,1 =，记1--=?i i i x x x ，i n
i x ?=?≤≤1max )(λ；
由于成立 |)()(|1
i i i n
i x g f ?∑=ξξ 2
12
1
2
1
2
1
)|)(|()|
)(|(
i i n
i i i
n
i x g x f ??≤∑∑==ξξ，
在上式中，令0)(→?λ取极限，则得到
21
221
2))(())((|)()(|dx x g dx x f dx x g x f b
a
b
a
b
a
???≤ ；
证法二 考虑二次函数
dx x g x f b
a
2)]()([)(λλ?+=?
0)()()(2)(222≥++=???dx x g dx x g x f dx x f b
a
b a
b a
λλ，),(+∞-∞∈?λ；
如果0)(2
>?dx x g
b
a
，在上式中取dx
x g dx
x g x f b a
b
a
?
?-
=)()()(2
λ，
得到
0))()(()(1
)(222≥-
??
?
dx x g x f dx
x g dx x f b
a
b
a
b
a
，
从而dx x g dx x f dx x g x f b
a
b a
b a
)()())()((222???≤，
于是成立21
2212))(())((|)()(|dx x g dx x f dx x g x f b a
b a
b a
???≤；
如果0)(2=?dx x g b
a
，则对),(+∞-∞∈?λ，成立0)()(2)(2≥+??dx x g x f dx x f b
a
b
a
λ ，
必有0)()(=?dx x g x f b a
，此时自然成立，21
2212))(())((|)()(|dx x g dx x f dx x g x f b a
b a
b a
???≤。
（几乎以前所有的人，都忽略了这种情况。）
故结论得证。
柯西—许瓦兹不等式，Holder 不等式的应用例题
定理11]
4,2[（Newman 不等式） 设正整数2≥n ,实数0>i a ),,2,1(n i =,且
11
=∑=n
i i
a
，
则有
n n
i i
n a )1()11
(
1
-≥-∏=. 证明 由于
i
i
k k
i
n
k k
i a a a a a ∑∑≠==
-=-111
1i
n i
k k a a n )
1(1
)
)(1(-≠∏-≥
，所以
n n
i i
n a )1()11
(
1
-≥-∏=. 定理5 设),,,2,1(,0n k a k =>且11=∑=n
k k a ，则有()n
k n k n a +≥???
? ?
?+∏=1111。 证明 方法一 由
1
1
1n
k i
i k
k
a a a a =++=∑1
(1)
1
(1)()
n
n k i i k
n a a a +=+≥
∏,
得()n
k n k n a +≥???
? ?
?+∏=1111 . 方法二 利用Holder 不等式,得 n
n n k n
k a a a a ???
?
???+≥???? ??+∏=111111211
由几何平均算术平均不等式,得n
n a a a a a a n n n 1
2121=+++≤
? ，
,1
1121n a a a n
n
≥? 于是()n
k n k n a +≥???
? ?
?+
∏=11
11， 方法三 考虑函数[]121
(,,
,)ln(1)ln n
n k k k f x x x x x ==+-∑,
在011
=-∑=n
i i x ,),,2,1(,0n k x k =>下的条件极值。
1．（Klamkin ）不等式
定理1 设),,,2,1(,0n k a k =>且11=∑=n
k k a .则有n
k k n
k n n a a ???
?
?-+≥????
?
?-+∏=11111 . 证明. 考虑函数[]121
(,,
,)ln(1)ln(1)n
n k k k f x x x x x ==+--∑,
在,011
=-∑=n
i i x ),,,2,1(,0n k x k =>下的条件极值,即可获证。
定理2 设,0,21>a a 且,121=+a a 则成立
22
2
1131111≥-+?-+a a a a . 证明 证法一 利用条件及三元几何平均算术平均不等式,得
1221212122111111a a a a a a a a a a a a ++?++=-+?-+22
132
2
1322
1333=?≥a a a a a a ，结果得证。 证法二
121212
1221
112211a a a a a a a a a a ++++?=?
-- 22212121212
1212
2254593a a a a a a a a a a a a +++=≥== .
定理3 设,0,,321>a a a 且1321=++a a a ,则成立
33
3
22112111111≥-+?-+?-+a a a a a a .
证明()()()()()()2
132313
132213
231213
32211111111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++?++++?++++=-+?-+?-+
()()()()()()
32
132313132213231212222≥+++?+++?+++≥
a a a a a a a a a a a a a a a a a a ，结果成立。
Bernoulli 不等式的应用
定理1]1[ (贝努利不等式) 设2≥n ，实数n x x x ,,,21 都大于1-，并且它们都有着相同的符号，则成立 )
1()1)(1(21n x x x +++ n x x x ++++> 211 ；
特别地，当121->====x x x x n ，且0≠x ，成立
nx x n +>+
1)1( ，（1->x ，0≠x ） 。
P155 72 （Weierstrass 不等式）
定理2
]
9,4[（Weierstrass 不等式）设
n a a a ,,,21 （2≥n ）都是正实数，且
121<+++n a a a ，则成立
（1）
)1(111
1∏∑==+>-n
k k n
k k
a a ∑=+>n
k k a 1
1；（2）
)1(111
1∏∑==->+n
k k n
k k
a a ∑=-
>n
k k
a
1
1 。
推论2 设),,2,1(,0n k a k =>,且21
1
≤∑=n
k k a .则成立()2111≥-∏=k n k a .
证明 利用Bernoulli 不等式，得
()2
1
211111
1
=-
≥-≥-∏∑==n
k k k n
k a a P152 68 设n a a a ,,,21 是不全相等的正数，记,1)(1∑==n
k k n a n a A 则当
)1(,n k a x k ≤≤>时，有()().)(1∏=->-n
k k n
n a x a A x
证明 利用几何平均算术平均不等式，得()()
)(][1
11
a A x n
a x a x n n
k k
n
k n
k -=-<
-∏∑==，
于是()()n
n k n
k a A x a x )(1
-<-∏=
推论 当n k <<2时，有k k n k n n )2()(22-<--。 证明 k k
k n k
k n n k k n n )2())(2)2((
)(22-=-+-<--。
P152 69 （1）设k k b a ,均为正数，且,11=∑=n
k k b 则∑∏∑==-=≤≤???
?
??n
k k k n
k b k
n k k k
b a a a
b k
1
1
1
1。
证明 利用Young 不等式，得,1
1
∑∏==≤n
k k k n
k b k
b a a k
,1
11∑
∏==≤???
? ??n
k k
k
n k b k
a b a k
由此，结果得证。
直接利用H?lder 不等式
定理12 设正整数2≥n ,有理数1>i p ),,2,1(n i =,且11
1121=+++n
p p p , 对任意实数),,2,1;,,2,1(m j n i a ij ==,成立
||21
1nj j m
j j a a a ∑= n
n p p m
j nj p m
j p j p m
j p j a a a 11
11
21
1
1)||()||()||(2
21
1∑∑∑===≤ .
P155 73 设,)(,01
1n
n
k k n k a a G a ???
?
??=>∏=则
（1）()(),)(111n
n n
k k a G a +≥+∏=(Chrystal 不等式）；
（2）
()()
1
11()n
n
k n k a A a =+≤+∏ 。
证明 （1）方法一 利用)1ln()(x e x f +=在),(+∞-∞上的凸性，得到
))1ex p(1ln()1ln(11
∑∑==+≥+n
k k n
k x x n n e k
，再令k k a x ln =，即可得证。 方法二 直接利用H ?lder 不等式的推论，得到
1
11112
12(1())111()()
()n n n
n
n n a a a a a a +=?+n
n n n a a a 11211)
1()1()1(+++≤ ,
即结果得证;
（2）直接利用几何算术平均不等式,即可得到证明.
Cauchy 不等式的应用
11222
2
1
1
1
||()()
n n
n
i i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑。
k
a
k a
k
i i
k
i i
2
1
1
||||∑∑==≤
;
2
11
22
11
22
121
)
||()||()||(∑∑∑===+≤+k
i i k
i i i k
i i b a b a .
11222
2
1
1
1
||(||)(||)
k k
k
i
i i
i i
i i i i
b a b a λλ
===≤∑∑∑,其中k i i ,,2,1,0 =>λ
设,,0a b c >，则有222
2a b c a b c b c a c a b
++≤++
+++ 证明
a b c ++=
++11
22222()[()()()]a b c b c a c a b b c a c a b ≤++++++++++，
11
22222()[2()]a b c a b c b c a c a b
=+++++++，
于是结果得证。
127 设.,,2,1,12
2n k y x k k =≤+则
2
122121
22111)(1??
?
??-??? ??-?≤+-∑∑∑
===n k k n k k n
k k
k
y n x n n y x
证明 利用Cauchy-Schwarz 不等式得
()
2
112
22
1
121
22)(11)(1??
? ??+-???? ??≤+-∑∑∑
===n
k k k n
k n
k k k y x y x
2
1
11222
1??
? ??--?=∑∑==n k n
k k k y x n n
又∑∑==≤??
? ??n k k n k k x n x 122
1，∑∑==≤??? ??n
k k n k k y n y 122
1，
于是
2
12
12
12
1112211???
? ?
??
?? ??-??? ??-≤??? ??--∑∑∑∑====n k k n k k n k n k k k y n x n n y x n 2
1
2
1212
1111???
? ???
??
??-??? ??-=∑∑==n k k n k k y n x n n 从而，结果得证。
例设),,,2,1(,0n k a k =>且11=∑=n
k k a .则211
11n
k k k
a a n =≥--∑ 。 证明 由Cauchy —Schwarz 不等式
1
12
2
2
111
1(1)1n
n n k k k k k k k a a a a ===????
=≤- ? ?-????∑∑∑
()1212
2111n k k k a n a =??≤- ?-??
∑，于是21111n k k k a a n =≥--∑ P182 145 （Shapiro 不等式） 设),1(,10n k a k ≤≤<≤令∑==n
k k n a S 1，则,11n
n
n
k k k S n nS a a -≥-∑
=仅当所有k a 相等时等号成立。
证法一 利用Cauchy —Schwarz 不等式，得
2
1212
1
2
)1(11???
?????-???
?
?
?-=∑=n k k k a a n ∑∑==-???? ??-≤n k k n k k a a 1
1)1(11 从而n a
a a n k k n
k k k -???
? ??-=-∑∑==1
1111 ()
n a n n
k k
--≥
∑=1
2
1n
n n S n nS n S n n -=
--=2
。 证法二 ()∑
∑==--==n
k k k k
k n
k k n a a a a a S 1
1
11
2
11221
1
1??? ?
?-??
??? ??-≤∑∑==n
k k n n k k k a S a
a 再由∑=≤n k k n a S n 1
2
21，2121n n
k k S n a -≤-∑=，
于是2
1
2
1n n n
k k n S n
S a S -
≤-∑=，从而 ()n S S n a
a S n n n k k k
n 2
12
12
11
1-????
? ??-≤∑= 故得
n n
n
k k
k S n nS a a -≥-∑=11. P185 150 设),,,2,1(,0n k a k =>且11
=∑=n
k k a .则
∑
∑
==-≤-≤
-n
k k
k n
k k
a a n n
n a 11
111
证明 由,2
112
1
1n a n a n
k k n
k k =??
?
??≤∑∑==
得
1
1
1
-≤
-∑
=n n
n a n
k k
，
利用Cauchy —Schwarz 不等式，得
112
2
111
1n
n
n
k k k k k a a ===????
=≤ ??
∑∑ ， ()2
1122
1
12
1
11111??
?
??-=??? ??-??? ??≤-∑∑∑∑====n
k k n
k k k n
k k n
k k k a a a a a a ，
再由2
1122
1
1??
? ??≤∑∑==n k k n
k k a n a ,n a n
k k 112
-≤-∑=,
n
n a a n
k k k 1
11
-≤
-∑=,
故得1
11
-≥
-∑
=n n
a a n
k k
k 。 P 175 126
∑∑∑===-≤-
n
k k k n
k k
n
k k
b a b
a
1
12
1
2
证明 利用三角不等式，得
∑∑∑∑====-≤-≤
-
n
k k k n
k k
k
n
k k
n
k k
b a b a
b
a
1
1
2
1
2
1
2
P175 127 设k k b a ,均为正数，.,2,1n k =Q 表示集合),,2,1(n 的全部置换的集
合，则?
?????∈-≤??
?
??-?
?
? ??∑∑∑===n k k t k p
n k p k p
n k p k Q t b a b a 1)(11:min 1
1
。
证明 利用Minkowski 不等式和Jensen 不等式，得
p
n k p k t p
n k p k p
n k p k p
n k p k b a b a 1
1
1
1
1)(111??
?
??-??
?
??=??
?
??-??
?
??∑∑∑∑====
p
n
k p k t k b a 11)(??
? ??
-≤∑=∑=-≤n
k k t k b a 1
)(，任意Q t ∈。于是，结论得证。
P178. Peetre 不等式：设),,,,(),,,,(2121n n y y y y x x x x ==2
1
12??
?
??=∑=n
k k x x ，
则成立R t y x y x t t t
∈-+≤???
?
??++,)1(211222 证明 由,y y x x +-≤得(
),22
2
2
y
y
x x
+-≤
(
)()(
)
,121)
22(1121112
2
2
2
2
2
22
2y x y
y
x y y
y
y x y
x -+≤+-++≤++-+≤
++
同理
(
)
,12112
2
2y x x
y -+≤++
当0>t 时，
()
,1211222t t t
y x y x -+≤???
? ??++
当0 ) ,12111122222t t t t y x x y y x ----+≤? ?? ? ??++=???? ??++ 当0=t 时，结论显然成立,故结果得证. 抛物距离 设),,,,(),(21t x x x t x P n ==，),,,,(),(21s y y y s y Q n ==R R n ?∈， 定义21 2|)||(|),(s t y x Q P d -+-=，则),(Q P d 是定义在R R n ?上的一个距离。 事实上 对任意),,,,(),(21r z z z r z Z n ==， 2 1 2 |) ||(|),(s t y x Q P d -+-=21 2 |)]||(||)||[(|s r r t y z z x -+-+-+-≤ 21 2 21 2 12 ])|||(||)||[(|s r r t y z z x -+-+-+-≤ 2 1221 2] )|(||)[(|r t z x -+-≤21 221 2])|(||)[(|s r y z -+-+ ),(),(Q Z d Z P d += 。 定理12 设正整数2≥n ,有理数1>i p ),,2,1(n i =,且111121=+++n p p p , 对任意实数),,2,1;,,2,1(m j n i a ij ==,成立 ||21 1nj j m j j a a a ∑= n n p p m j nj p m j p j p m j p j a a a 11 11 21 1 1)||()||()||(2 21 1∑∑∑===≤ . P11 乘积型Minkowski 不等式: （3） 设0,≥k k b a ，则()n n k k k n n k k n n k k b a b a 111111? ?? ???+≤???? ??+???? ??∏∏∏===。 证明 利用Holder 不等式，得 ∏∏∏∏====+=??? ? ??+???? ??n k n k n k n k n n k k n n k k b a b a 1111111 1 ()n n k k k n k n n n k n n k b a b a 111111? ?????+=????????? ??+??? ??≤∏∏== （4） 行列式的Minkowski 不等式：设B A ,为n 阶正定矩阵，则成立 n n n B A B A 111+≤+, 式中)det(A A =表示A 相应的行列式。 证明因为B A ,为n 阶正定矩阵，所以1-A 亦是正定矩阵，B A 1-的特征值为正， 设B A 1-的特征值为n λλλλ,,,321 ，则有n i B A n i λλλλλ 3211),,,2,1(,0==>- 于是n n n B A I A B A 11 11-+=+ ()n n k k n A 1111?? ????+=∏=λ ???? ?????????? ??+≥∏=n n k n n A 1 111λ??? ? ??+=-n n n B A A 11111n n B A 11+=。 由连续性,可知,设B A ,为n 阶半正定矩阵，则成立n n n B A B A 111 +≤+, 式中)det(A A =表示A 相应的行列式. P355 例5.1.29 设).,2,1(,0 =>n a n 试证 如下级数收敛 ∑∞ =+++121)1()1)(1(n n n a a a a 。 证明 ∑ =+++=n k k k n a a a a S 121) 1()1)(1( ()∑ =+++-+=n k k k a a a a 121) 1()1)(1(1 1 ) 1()1)(1(1 121n a a a +++- = ， 显然 {}n n S S ,10<≤单调递增，故级数收敛。 例 设).,2,1(,0 =>n a n 若∑∞ =1n n a 发散， 试证 .1)1()1)(1(121=+++∑∞ =n n n a a a a 证明 由于∑ =+++=n k k k n a a a a S 121) 1()1)(1( )1()1)(1(1 121n a a a +++-= , 由n n a a a a a a ++++>+++ 21211)1()1)(1(, 由条件知，+∞=∑=∞ →n k k n a 1lim ,从而得,)1()1)(1(lim 21+∞=+++∞ →n n a a a 于是1lim =∞ →n n S ,即得.1)1()1)(1(121=+++∑ ∞ =n n n a a a a 定理 (Minkowski 不等式) 设g f ,在],[b a 上可积，则有21 22 1 22 12))(() )(() )]()([(dx x g dx x f dx x g x f b a b a b a ???+≤+. 证明 因为dx x g x f b a 2)]()([+? dx x g x f x g x f b a |)()(||)()(|+?+=? dx x f x g x f b a |)(||)()(|?+≤?dx x g x g x f b a |)(||)()(|?++? dx dx x f dx x g x f b a b a 21 2212))(()|)()(|(??+≤ dx dx x g dx x g x f b a b a 2 1 2212) )(()|)()(|(??++ ]))(() )([() )]()([(21 22 1 22 1 2dx x g dx x f dx x g x f b a b a b a ???+?+=， 若0))]()([(2 1 2=+?dx x g x f b a ，则不等式自然成立； 若0) )]()([(2 1 2>+?dx x g x f b a ，则消去公因子， 所以21 22 1 22 12))(() )(())]()([(dx x g dx x f dx x g x f b a b a b a ???+≤+ 1. 用Cauchy-Schwarz 不等式证明 （1） 若f (x )在[a, b]上可积，则 ??-≤?? ? ??b a b a dx x f a b dx x f )()()(2 2 ; （2） 若f (x )在[a, b]上可积，且0)(>≥m x f ， 则 ) (1 x f 在[a, b]上可积；且 21 ()()() b b a a f x dx dx b a f x ≥-? ? . 柯西不等式的证明及相关应用 摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。 关键词：柯西不等式 柯西不等式变形式 最值 一、柯西（Cauchy ）不等式： ()2 2211n n b a b a b a +++Λ()()2 222122221n n b b b a a a ++++++≤ΛΛ()n i R b a i i Λ2,1,,=∈ 等号当且仅当021====n a a a Λ或i i ka b =时成立（k 为常数，n i Λ2,1=） 现将它的证明介绍如下： 方法1 证明：构造二次函数 ()()()2 2 222 11)(n n b x a b x a b x a x f ++++++=Λ =()()() 2 222122112222212n n n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++ΛΛΛ 由构造知 ()0≥x f 恒成立 又22120n n a a a +++≥Q L ()()() 0442 2221222212 2211≤++++++-+++=?∴n n n n b b b a a a b a b a b a ΛΛΛ 即()()() 22221222212 2211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当且仅当()n i b x a i i Λ2,10==+ 即12 12n n a a a b b b ===L 时等号成立 方法2 证明:数学归纳法 （1） 当1n =时 左式=()211a b 右式=()2 11a b 显然 左式=右式 当2=n 时 右式 ( )()()()2 2 22 22222212 1211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++ ()()()2 22 1122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式 故1,2n =时 不等式成立 （2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立 即 ()()() 22 221222212 2211k k k k b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当 i i ma b =，m 为常数，k i Λ2,1= 或120k a a a ====L 时等号成立 设A=22221k a a a +++Λ B=2 2221k b b b +++Λ 1122k k C a b a b a b =+++L 2 C AB ≥∴ 柯西不等式各种形式的证明及其应用 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等 式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为， 正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 ()() ()2 2222 bd ac d c b a +≥++ 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：( )()()2 2222 2222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++???++++???+≥+++???+ 等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==?? ==???= ?=????? 当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明： ()()() ()()() 2 22222222222 222222222 2 2,,,220=a b c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立 三角形式 ad bc =等号成立条件： 三角形式的证明： 222111n n n k k k k k k k a b a b ===?? ≥ ??? ∑∑∑ 柯西不等式的证明及其应用 摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用六种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。 关键词：柯西不等式，证明，应用 Summar y： Cauchy's inequality is a very important inequality, this article use six different methods to prove the Cauchy inequality, and gives some Cauchy inequality in inequality, solving the most value, solving equations, trigonometry and geometry problems in the areas of application, the last used it proved that point to the straight line distance formula, better explains the Cauchy inequality. Keywords ：Cauchy inequality, proof application 不等式是数学的重要组成部分，它遍及数学的每一个分支。本文主要介绍著名不等式——柯西不等式的证明方法及其在初等数学解体中 的应用。柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用几种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用。 柯西不等式各种形式的证明及其应用 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等 式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为， 正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 ()() ()2 2222 bd ac d c b a +≥++ 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：( )()()2 2222 2222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++???++++???+≥+++???+ 等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==?? ==???= ?=????? 当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明： ()()() ()()() 2 22222222222 222222222 2 2,,,220=a b c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立 三角形式 ad bc ≥ =等号成立条件： 三角形式的证明： 222111n n n k k k k k k k a b a b ===?? ≥ ??? ∑∑∑ 柯西不等式的应用技巧 WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8- 柯西不等式的应用技巧及练习 柯西不等式的一般形式是：设12 12,,,R n n a a a b b b ∈，则 222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ 当且仅当1212n n a a a b b b ===或120n b b b ====时等号成立． 其结构对称，形式优美，应用极为广泛，特别在证明不等式和求函数的最值中 作用极大．应用时往往需要适当的变形：添、拆、分解、组合、配凑、变量代 换等，方法灵活，技巧性强． 一、巧配数组 观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式的积，其中 每一个因式都是项的平方和，右边是左边中对立的两项乘积之和的平方，因 此，构造两组数：1212,,n n a a a b b b 和，便是应用柯西不等式的一个主要技巧． 例1 已知,,225x y z x y z ∈-+=R,,且求222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值． 例２ 设 ,,R x y z ∈ ，求证：22 -≤≤． 二、巧拆常数 运用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，当这两组数不太容易找到 时，常常需要变形，拆项就是一个变形技巧． 例３ 设a 、b 、c 为正数且各不相等， 求证：c b a a c c b b a ++>+++++9222 . 有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是只要我们改变一下式子 的形式结构，认清其内在的结构特征，就可达到运用柯西不等式的目的． 例６ a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21, 求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++ 弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a 柯西不等式的证明及其应用 赵增林 （青海民族大学，数学学院，青海，西宁，810007） 摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用五种不同的方法证明了柯西不等式，并 给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。 关键词：柯西不等式，证明，应用 柯西不等式 定理：如果1212,,,;,,,n n a a a b b b …………为两组实数，则 2222222 11221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++……………… （*） 当且仅当12211331110n n a b a b a b a b a b a b -=-==-=……时等号成立。 若120,0,,0n b b b ≠≠≠……，则不等式的等号成立的条件是 12 12n n a a a b b b ===……。 我们称不等式（*）为柯西不等式。 柯西不等式的证明： 一）两个实数的柯西不等式的证明： 对于实数1212,,,a a b b ，恒有22222 11221212()()()a b a b a a b b +≤++，当且仅当 12210a b a b -=时等号成立。如果120,0b b ≠≠则等式成立的条件是12 12 a a b b =。 证明：对于任意实数1212,,,a a b b ，恒有 2222 22121211221221()()()()a a b b a b a b a b a b ++=++-，而21221()0a b a b -≥， 故2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++。 当且仅当12210a b a b -=时等号成立。 不等式的几何意义如图1所示，在直角坐标系中有 异于原点O 的两点12(,)P a a ，12(,)Q b b ，由距离公式 得：|OP |=，|OQ |= 柯西不等式各种形式的证明及其应用 柯西不等式各种形式的证明及其应用 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角 度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 ()() ()2 2222 bd ac d c b a +≥++ 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()2 2222 2222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++???++++???+≥+++???+ 等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==??==???= ?=?????当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明： ()()() ()()() 2 22222222222 222222222 2 2,,,220=a b c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立 2 22 111n n n k k k k k k k a b a b ===??≥ ??? ∑∑∑ 经典例题透析类型一：利用柯西不等式求最值1．求函数 的最大值．思路点拨：利用不等式解决最值问题，通常设法在不 等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件．这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能利用柯西不等式求其最大值．也可以利用导数求解。 解析：法一：∵且， ∴函数的定义域为，且， 当且仅当时，等号成立， 即时函数取最大值，最大值为法二：∵且， ∴函数的定义域为 由， 得 即，解得∴时函数取最大值，最大值 为. 总结升华：当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解．不等式中的等号能否取得是求最值问题的关键． 举一反三： 【变式1】（2011，24）已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|。 （I）证明：-3≤f（x）≤3； （II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集。 【答案】 (Ⅰ) 当时，． 所以．…………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知， 当时，的解集为空集； 当时，的解集为； 当时，的解集为． 综上，不等式的解集为．……10分 【变式2】已知，，求的最值. 【答案】法一： 由柯西不等式 于 是的最大值为，最小值为. 法二： 由柯西不等式 于是的最大值为，最小值为. 【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值． 【答案】 根据柯西不等式 ， 故。 当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立， 此时，评注：根据所求最值的目标函数的形式对已知条件进行配凑． 类型二：利用柯西不等式证明不等式 利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等。 （1）巧拆常数：2．设、、为正数且各不相等，求证： 思路点拨：∵、、均为正，∴为证结论正确只需证： 而，又，故可利用柯西不等式证明之。 证明： 又、、各不相等，故等号不能成立 ∴。 （2）重新安排某些项的次序：3．、为非负数，+=1，，求证： 思路点拨：不等号左边为两个二项式积， ，直接利用柯西不等式，得不到结论，但当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。 证明：∵+=1 ∴ 即（3）改变结构：4、若>>，求证： 思路点拨：初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了。 ，，∴，∴所证结论改为证 柯西不等式的应用技巧及练习 柯西不等式的一般形式是：设1212,,,R n n a a a b b b ∈L L ，则 当且仅当1212n n a a a b b b ===L 或120n b b b ====L 时等号成立． 其结构对称，形式优美，应用极为广泛，特别在证明不等式和求函数的最值中作用极大．应用时往往需要适当的变形：添、拆、分解、组合、配凑、变量代换等，方法灵活，技巧性强． 一、巧配数组 观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式的积，其中每一个因式都是项的平方和，右边是左边中对立的两项乘积之和的平方，因此，构造两组数：1212,,n n a a a b b b L L 和，便是应用柯西不等式的一个主要技巧． 例1 已知,,225x y z x y z ∈-+=R,,且求222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值． 例２ 设,,R x y z ∈ ，求证：≤≤ 二、巧拆常数 运用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，当这两组数不太容易找到时，常常需要变形，拆项就是一个变形技巧． 例３ 设a 、b 、c 为正数且各不相等， 求证：c b a a c c b b a ++>+++++9222 . 有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是只要我们改变一下式子的形式结构，认清其内在的结构特征，就可达到运用柯西不等式的目的． 例６ a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21, 求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++ 例７ 设,1 21+>>>>n n a a a a K 求证： 练习题 1. (2009年浙江省高考自选模块数学试题)已知实数z y x ,,满足,12=++z y x 设.2222z y x t ++= (1) 求t 的最小值； (2) 当21 =t 时，求z 的取值范围 2 (2010年浙江省第二次五校联考)已知,,a b c R +∈，1a b c ++=。 (1) 求()222149a b c +++的最小值； (2) 2≥ 3 (2010年杭二中高三年级第三次月考)已知正数,,a b c 满足：1=++ca bc ab ，求 的最大值． 4 (浙江省镇海中学高考模拟试题) 已知,,x y z 是正数，且12 1,x y += 求221 2 2x x y y +++的最小值； 5 (金华十校2009年高考模拟考试)若+∈R c b a ,, ， 求证：1222≥+++++b a c a c b c b a 6 (2010年宁波市高三模拟测试卷)已知,,a b c 为正实数，且3a b c ++=． 证明：222 2()()()4 ()3a c b a c b a c a b c ---++≥-，并求等号成立时,,a b c 的值． 7 (浙江省镇海中学高考模拟试题) 若0,,1,x y z <<且1xy yz zx ++= ≥ 8(2010年金华十校高考模拟考试) 设正数x ，y ，z 满足1543=++z y x 求x z z y y x +++++1 1 1 值． 浅谈柯西不等式的应用及推广 【摘要】剖析柯西不等式的证明、推广以及它们在证明不等式、求函数最值、解方程等方 面的一些应用，进而对其在中学数学教学中的一些问题进行讨论。 【关键词】柯西（Cauchy ）不等式；函数最值；三角函数证明；不等式教学 【Abstract 】Cauchy-inequality analyzed by proving and extending,applied by proving an inequation and finding asolution to an equation or the maximum value & minimum value of function.Then Cauchy-inequality's some questions appeared in math-teaching of middle school will be discussed. 【Key words 】Cauchy-inequality,the maximum & minimum value,inequation-teaching,func of triangle's proving 引言 中学教材和教辅读物中有不少地方都有一些高等数学知识的皱型和影子。在中学数学教学中，不等式的教学一直是一个难点，学生在学习不等式、应用不等式解题中困难重重。而柯西不等式是著名的不等式之一，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题具有重要的应用。基于此，本文拟以柯西不等式为例，从证明方法到应用技巧方面进行总结和归纳，并谈谈它在中学数学中的一些应用.。 1 柯西不等式的证明[1][2] 对柯西不等式本身的证明涉及有关不等式的一些基本方法和技巧。因此，熟练掌握此不等式的证明对提高我们解决一些不等式问题和证明其它不等式有很大帮助。本文所说的柯西不等式是指 ()n i n i i n i i n i i i b a b a , ..., 2,11 2 1 2 2 1====∑ ∑ ∑≤?? ? ?? 当且仅当 n n b a b a b a = == ...2 21 1时，等号成立。 1.1 构造二次函数证明 当021====n a a a 或021===n b b b 时，不等式显然成立 令∑ == n i i a A 1 2 ∑ == n i i i b a B 1 ∑ == n i i b C 1 2 ， 当n a a a ,,,21 中至少有一个不为零时，可知A>0 构造二次函数()C Bx Ax x f ++=2 2 2，展开得： 课题：二维形式的柯西不等式 备课教师：沈良宏参与教师：郭晓芳、龙新荣审定教师：刘德清 1、教学重点：二维形式柯西不等式的证明思路，二维形式柯西不等式的应用. 2、教学难点：二维形式柯西不等式的应用. 3、学生必须掌握的内容： 1．二维形式的柯西不等式 若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立． 2．柯西不等式的向量形式 设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． 3．二维形式的三角不等式 设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2. 注意： 1．二维柯西不等式的三种形式及其关系 定理1是柯西不等式的代数形式，定理2是柯西不等式的向量形式，定理3是柯西不等式的三角形式． 根据向量的意义及其坐标表示不难发现二维形式的柯西不等式及二维形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐标表示． 2．理解并记忆三种形式取“＝”的条件 (1)代数形式中当且仅当ad＝bc时取等号． (2)向量形式中当存在实数k，α＝kβ或β＝0时取等号． (3)三角形式中当P1，P2，O三点共线且P1，P2在原点O两旁时取等号． 3．掌握二维柯西不等式的常用变式 (1) a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|. (2) a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|. (3) a2＋b2·c2＋d2≥ac＋bd. (4)(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2. 4．基本不等式与二维柯西不等式的对比 (1)基本不等式是两个正数之间形成的不等关系．二维柯西不等式是四个实数之间形成的不等关系，从这个意义上讲，二维柯西不等式是比基本不等式高一级的不等式． (2)基本不等式具有放缩功能，利用它可以比较大小，证明不等式，当和(或积)为定值时，可求积(或和)的最值，同样二维形式的柯西不等式也有这些功能，利用二维形式的柯西不等式求某些特殊函数的最值非常有效． 4、容易出现的问题： 在二维形式的柯西不等式相关要点中，对式子(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2取等号的条件容易忽略，由于式子过长容易弄错各个数据之间的对应关系，使用公式时容易混淆公式中数据之间的关系，数据位置易出错。 5、解决方法： 柯西不等式各种形式的证明及其应 用 欧阳光明（2021.03.07） 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到 的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()22222 2222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++???++++???+≥+++???+ 等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==?? ==???= ?=????? 当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明： 三角形式 三角形式的证明： 向量形式 2 22 111n n n k k k k k k k a b a b ===??≥ ??? ∑∑∑ 向量形式的证明： 一般形式 一般形式的证明： 证明： 推广形式(卡尔松不等式)： 卡尔松不等式表述为：在m*n 矩阵中，各行元素之和的几何平均数不小于各列元素 之积的几何平均之和。 或者： 或者 推广形式的证明： 推广形式证法一： 或者 推广形式证法二： 事实上涉及平均值不等式都可以用均值不等式来证， 这个不等式并不难，可以简单证明如下： 付：柯西（Cauchy ）不等式相关证明方法： 等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数， n i 2,1=）现将它的证明介绍如下： 证明1：构造二次函数 ()()()2222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++= =()()()22222121122122n n n n n n a a a x a b a b a b x b b b +++++++++++ ()0f x ∴≥恒成立 即()()()2222211221212n n n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++ 专题三 不等式的证明 （柯西不等式） 1．下列不等式的证明明过程： ①若a ，b ∈R ，则 ②若x ，y ∈R ，则 ； ③若x ∈R ，则 ； ④若a ，b ∈R ，ab ＜0，则． 其中正确的序号是 ． 2．设a ，b ∈R + ，a+b=1，则+的最小值为（ ） A.2+ B.2 C.3 D. 3．已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则与 的大小关系为 ． 4．已知a ，b ，c ∈R ，且a+b+c=0，abc ＞0，则++的值（ ） A.小于0 B.大于0 C.可能是0 D.正负不能确定 5．若不等式（﹣1）n a ＜2+ 对任意n ∈N * 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.[﹣2，） B.（﹣2，） C.[﹣3，） D.（﹣3，） 6．设a ，b ，c ∈（﹣∞，0），则对于a+，b+，c+，下列正确的是 ①都不大于﹣2 ②都不小于﹣2 ③至少有一个不小于﹣2 ④至少有一个不大于﹣2． 7．定义在R 上的函数f （x ）=mx 2 +2x+n 的值域是[0，+∞），又对满足前面要求的任意实数m ，n 都有不等式 恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A.2013 B.1 C. D. 8．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，A=，B=，则（ ） A.A ＞B B.A ＜B C.A≥B D.A≤B 9．设正实数x y z 、、满足0432 2 =-+-z y xy x ，则当 取得最小值时，2x y z +-的最大值为（ ） 10．设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x , ） A ．0 B ．1 C D ．3 11．（2012?湖北）设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2 +b 2 +c 2 =10，x 2 +y 2 +z 2 =40，ax+by+cz=20，则=（ ） A. B. C. D. 12．用柯西不等式求函数y=的最大值为（ ） A. B.3 C.4 D.5 13．若23529x y z ++=，则函数 ） 14．对任意正数x ，y 不等式（k ﹣）x+ky≥ 恒成立，则实数k 的最小值是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 15．已知x 2+4y 2+kz 2 =36，且x+y+z 的最大值为7，则正数k 等于（ ） A.1 B.4 C.8 D.9 16．设x 、y 、z 是正数，且x 2+4y 2+9z 2 =4，2x+4y+3z=6，则x+y+z 等于（ ） A. B. C. D. 17．已知x ，y ，z 均为正数，且x+y+z=2，则++的最大值是（ ） A.2 B.2 C.2 D. 3 18．实数a i （i=1，2，3，4，5，6）满足（a 2﹣a 1）2+（a 3﹣a 2）2+（a 4﹣a 3）2+（a 5﹣a 4）2+（a 6﹣a 5）2 =1则（a 5+a 6）﹣（a 1+a 4）的最大值为（ ） A.3 B.2 C. D.1 19．设a ，b ，c ，x ，y ，z 均为正数，且a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＝10，x 2 ＋y 2 ＋z 2 ＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则 a b c x y z ＋＋＋＋等于( )． A.14 B.13 C. 12 D.34 基本不等式及应用 一、考纲要求： 1.了解基本不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 3．了解证明不等式的基本方法——综合法． 二、基本不等式 三、常用的几个重要不等式 (1)a 2＋b 2 ≥2ab (a ，b ∈R) (2)ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R) (3)a 2 ＋b 2 2≥(a ＋b 2)2(a ，b ∈R) (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为零) 上述四个不等式等号成立的条件都是a ＝b. 四、算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的 算术平均数不小于它们的几何平均数． 四个“平均数”的大小关系； a ， b ∈R+： 当且仅当a ＝b 时取等号. 五、利用基本不等式求最值：设x ，y 都是正数． (1)如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时和x ＋y 有最小值2P. (2)如果和 x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时积xy 有最大值14 S 2 . 强调：1、 “积定和最小，和定积最大”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件. 正：两项必须都是正数； +≤≤2 a b ≤+2ab a b 定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。 等：等号成立的条件必须存在. 2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性．） 想一想:错在哪里？ 3、已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝(x ＋1x )(y ＋1 y )的最小值为________． 解一：因为对a>0，恒有a ＋1a ≥2，从而z ＝(x ＋1x )(y ＋1 y )≥4，所以z 的最小值是4. 解二：z ＝2＋x 2y 2 －2xy xy ＝(2 xy ＋xy)－2≥2 2 xy ·xy －2＝2(2－1)，所以z 的最小值是2(2－1)． 【错因分析】 错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的． 【正确解答】 z ＝(x ＋1x )(y ＋1y )＝xy ＋1xy ＋y x ＋x y ＝xy ＋1xy ＋x ＋y 2 －2xy xy ＝2 xy ＋xy －2， 令t ＝xy ，则0 归纳柯西不等式的典型应用 归纳柯西不等式的典型应用 【摘要】：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用五种不同的 方法证明了柯西不等式，介绍了如何利用柯西不等式技巧性解题，在证明不等式或等式，解方程，解三角形相关问题，求函数最值等问题的应用方面给出几个典型例子。最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。 【关键词】：柯西不等式 ；证明；应用 【引言】：本人通过老师在中教法课上学习柯西不等式时，老师给出 了一些有关的例题并讲解，由于柯西不等式是一个非常重要的不等式，如果巧妙利用它，在高考可以节省很多宝贵时间，而且得分率高。因此，本文介绍归纳了柯西不等式的典型应用，经过收集及整理资料，得到四类的典型题。 【正文】： 1.柯西不等式的一般形式为： 对任意的实数 n n b b b a a a ,,,,,,2121?????? ()( ) 222112 22212 222 1 )(n n n n b a b a b a b b b a a a ??????++≥+??????+++??????++ 其中等号当且仅当λ=== n n b a b a b a 2211时成立,其中R ∈λ 变式：()()222112121)(n n n n y x y x y x y y y x x x ??????++≥+??????+++??????++ 2. 柯西不等式的证明： 证明柯西不等式的方法总共有6 种，下面我们将给出常用的2种证明柯西不等式的方法： 1）配方法： 作差：因为22211 1 ()()()n n n i j i i i j i a b a b ===-∑∑∑ 221 1 1 1 ()()()()n n n n i j i i j j i j i j a b a b a b =====-∑∑∑∑ 2211 11 n n n n i j i i j j i j i j a b a b a b =====-∑∑∑∑ 2222 111111 1(2)2n n n n n n i j j i i j j i i j i j i j a b a b a b a b =======+-∑∑∑∑∑∑ 2222 11 1(2)2n n i j i j j i j i i j a b a b a b a b ===-+∑∑ 211 1()02n n i j j i i j a b a b ===-≥∑∑ 所以222 1 1 1 ()()()n n n i j i i i j i a b a b ===-∑∑∑0≥，即2221 1 1 ()()()n n n i j i i i j i a b a b ===≥∑∑∑ 即222222*********()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++……………… 当且仅当0(,1,2,,)i j j i a b a b i j n -==…… 即(1,2,,;1,2,,;0)j i j i j a a i n j n b b b ===≠…………时等号成立。 2）用数学归纳法证明 i ）当1n =时，有2221112()a b a b =，不等式成立。 柯西不等式的应用技巧及练习 柯西不等式的一般形式是：设a 1,a 2L a n ,bi,b 2L b R ，则 其结构对称， 用极大.应用时往往需要适当的变形：添、拆、分解、组合、配凑、变量代换等, 方法灵活，技巧性强. 一、巧配数组 观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式的积，其中每 一个因式都是项的平方和，右边是左边中对立的两项乘积之和的平方，因此，构 造两组数：a i ,a 2L a n 和bRzL b ，便是应用柯西不等式的一个主要技巧. 例 1 已知 x,y,z R 且x 2y 2z 5,求(x 5f (y i f (z 二、巧拆常数 运用柯西不等式的关键是找出相应的两组数, 常常需要变形，拆项就是一个变形技巧. 例3 设a 、 2 求证： a b 三、巧添项 根据柯西不等式的特点，适当添补（或加或乘）上常数项或和为常数的项等，也 是运用柯西不等式的解题技巧. 例4 a,b,c R 求证：-^ b c c a a b 四、巧变结构 有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件， 认清其内在的结构特征， 就可达到运用柯西不等式的目的. b 为非负数，a +b=1，x i ,X 2 R 求证: (ax i bx 2)(bx i ax 2) X 1X 2 (a i 2 2 a 2 a n 2 )(bi 2 b 22 L b n 2) (aQ a 2b 2 L aQ)2 当且仅当 a i b i a 2 b 2 a —或bl b 2 L b n 0时等号成立. b n 形式优美，应用极为广泛，特别在证明不等式和求函数的最值中作 3）2的最小值. 例2 设x,y, z R ，求证：迈 2 2 2x y z_ ~~2 z 722 2 当这两组数不太容易找到时, b 、 c 为正数且各不相等, 2 2 9 b c c a a b c 形式结构, 例6 a 、 但是只要我们改变一下式子的 柯西不等式的应用技巧 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT 柯西不等式的应用技巧及练习 柯西不等式的一般形式是：设12 12,,,R n n a a a b b b ∈，则 当且仅当1212n n a a a b b b ===或120n b b b ====时等号成立． 其结构对称，形式优美，应用极为广泛，特别在证明不等式和求函数的最值中作用极大．应用时往往需要适当的变形：添、拆、分解、组合、配凑、变量代换等，方法灵活，技巧性强． 一、巧配数组 观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式的积，其中每一个因式都是项的平方和，右边是左边中对立的两项乘积之和的平方，因此，构造两组数：1212,,n n a a a b b b 和，便是应用柯西不等式的一个主要技巧． 例1 已知,,225x y z x y z ∈-+=R,,且求222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值． 例２ 设 ,,R x y z ∈ ，求证：22 -≤≤． 二、巧拆常数 运用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，当这两组数不太容易找到时，常常需要变形，拆项就是一个变形技巧． 例３ 设a 、b 、c 为正数且各不相等， 求证：c b a a c c b b a ++>+++++9222 . 有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是只要我们改变一下式子的形式结构，认清其内在的结构特征，就可达到运用柯西不等式的目的． 例６ a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21, 求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++ 例７ 设,1 21+>>>>n n a a a a 求证： 练习题柯西不等式的应用(整理篇)
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