第一部分：一次函数知识点总结
一、什么是函数以及函数需要掌握的知识点
1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的
每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
注意：判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应
3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4、确定函数定义域的方法：
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式
6、函数的图像
一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
7、描点法画函数图形的一般步骤
第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
8、函数的表示方法
列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
二、一次函数需要掌握的知识点
1、一次函数的定义
一般地，形如（，是常数，且）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。当时，一次函数，又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．
⑵当，时，仍是一次函数．
⑶当，时，它不是一次函数．
⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
2、正比例函数及性质
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
注：正比例函数一般形式y=kx(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取零
当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时， 直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y 反而减小．
(1)解析式：y=kx（k是常数，k≠0）
(2)必过点：（0，0）、（1，k）
(3)走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时， 图像经过二、四象限
(4)增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小
(5)倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
3、一次函数及性质
一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注：一次函数一般形式y=kx+b(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取任意实数
一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）
（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0)
（2）必过点：（0，b）和（-，0）
（3）走向：k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限
b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限
直线经过第一、二、三象限直线经过第一、三、四象限
直线经过第一、二、四象限直线经过第二、三、四象限
（4）增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.
（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.（6）图像的平移：当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；
当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.
一次
函数
，
符号
图象
性质随的增大而增大随的增大而减小
4、一次函数y=kx ＋b 的图象的画法.
根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b ）
，.即横坐标或纵坐
标为0的点.
b>0
b<0
b=0
k>0
经过第一、二、三象限
经过第一、三、四象限经过第一、三象限
图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大
k<0
经过第一、二、四象限
经过第二、三、四象限经过第二、四象限
图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小
5、正比例函数与一次函数之间的关系
一次函数y=kx ＋b 的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx 平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）
6、正比例函数和一次函数及性质
正比例函数一次函数
概念一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，
那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，是y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一
次函数.
自变量范围
X 为全体实数图象一条直线必过点
（0，0）、（1，k）
（0，b）和（-，0）
走
向
k>0时，直线经过一、三象限；k<0时，直线经过二、四象限k＞0，b＞0,直线经过第一、二、三象限k＞0，b＜0直线经过第一、三、四象限
k＜0，b＞0直线经过第一、二、四象限k＜0，b＜0直线经过第二、三、四象限
增减性k>0，y 随x 的增大而增大；（从左向右上升）k<0，y 随x 的增大而减小。（从左向右下降）倾斜度
|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴
图像的平移
b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移个
单位；
b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移个单位.
6、直线（）与（）的位置关系
（1）两直线平行且（2）两直线相交
（3）两直线重合且（4）两直线垂直
7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：
（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；
（3）解方程得出未知系数的值；
（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
第二部分：重点题型解题技巧及练习
一、待定系数法求解析式
方法：依据两个独立的条件确定k,b的值，即可求解出一次函数y=kx+b（k≠0）的解析式。
(1)已知是直线或一次函数可以设y=kx+b（k≠0）；
(2)若点在直线上，则可以将点的坐标代入解析式构建方程。
练习：
1、若函数y=3x+b经过点（2，-6），求函数的解析式。
2、直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），
3、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y（升）与行
驶时间x（小时）之间的关系．求油箱里所剩油y（升）
与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并且确定自
变量x的取值范围。
4、一次函数的图像与y=2x-5平行且与x轴交于点（-2,0）求解析式。
5、若一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-2≤x≤6，相应的函数值的范围是-11≤y≤9，求此函数的解析式。
6、已知直线y=kx+b与直线y=-3x+7关于y轴对称，求k、b的值。
7、已知直线y=kx+b与直线y=-3x+7关于x轴对称，求k、b的值
8、已知直线y=kx+b与直线y=-3x+7关于原点对称，求k、b的值。
二、一次函数的平移
方法：直线y=kx+b与y轴交点为（0，b），直线平移则直线上的点（0，b）也会同样的平移，平移不改变斜率k，则将平移后的点代入解析式求出b即可。
直线y=kx+b向左平移2向上平移3<=>y=k(x+2)+b+3;（“左加右减，上加下减”）。
练习：
1.直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线。
2.直线向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到直线。
3.直线向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线________。
4.过点（2，-3）且平行于直线y=2x的直线是_________。
5．把函数y=3x+1的图像向右平移2个单位再向上平移3个单位，可得到的图像表示的函数是____________；
6．直线m:y=2x+2是直线n向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而（2a,7）在直线n上，则a=____________；
三、一次函数与方程不等式
（一）一次函数与一元一次方程的关系
直线与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程
的解。求直线与x轴交点时，可令，得到方程，解方程
得，直线交x轴于，就是直线与x轴交点的
横坐标。
（二）一次函数与一元一次不等式的关系
任何一元一次不等式都可以转化为或(为常数，)
的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。
（三）一次函数与二元一次方程（组）的关系
一次函数的解析式本身就是一个二元一次方程，直线上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程，因此二元一次方程的解也就有无数个。
练习：
（一）一次函数与一元一次方程综合
1、已知直线和交于轴上同一点，的值为（）
A．B．C．D．
2、已知一次函数与的图象相交于点，则______．
3、已知一次函数的图象经过点，，则不求的值，可直
接得到方程的解是______．
（二）一次函数与一元一次不等式综合
4、已知一次函数．
（1）画出它的图象
（2）求出当时，的值；
（3）求出当时，的值；
（4）观察图象，求出当为何值时，，，
5、当自变量满足什么条件时，函数的图象在：
（1）轴上方；
（2）轴左侧；
（3）第一象限．
6、已知，．当时，x的取值范围是（）
A．B．C．D．
7、已知一次函数
（1）当取何值时，函数的值在与之间变化?
（2）当从到3变化时，函数的最小值和最大值各是多少?
8、直线与直线在同一平面直角坐标
系中的图象如图所示，则关于的不等式的
解集为______．
9、已知一次函数经过点（1，-2）和点（-1，3），求这个一次函数的解析式，并
求：
（1）当时，的值；
（2）x为何值时，？
（3）当时，的值范围；
（4）当时，的值范围．
（三）一次函数与二元一次方程（组）综合
1、已知直线与的交点为（-5，-8），则方程组的解
是________．
2、已知方程组（为常数，）的解为，则直线
和直线的交点坐标为________．
3、已知，是方程组的解，那么一次函数____和______
的交点是_．
4、一次函数与的图象如图，则下列结论①；②；③
当时，中，正确的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
5、若直线与轴交于点，则的值为（）
A.3
B.2
C.1
D.0
6、如图，直线与轴交于点，则时，的
取值范围是（）
A.B． C.D．
7、当自变量满足什么条件时，函数的图象在：
（1）轴下方；
（2）轴左侧；
（3）第一象限．
8、b取什么整数值时，直线与直线的交点在第二象限？
四、图像与坐标轴围成的图形面积问题
方法：两直线交点坐标必满足两直线解析式，求交点就是联立
两直线解析式求方程组的解；复杂图形“外补内割”即：往外
补成规则图形，或分割成规则图形（三角形）；往往选择坐标
轴上的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高；
练习：
题型一：一条直线与两坐标轴围成的面积
1.已知一次函数的图象与轴和轴分别交与A、B两点，试求（O 为坐标原点）的面积.
2、直线经过（1,2）、（-3,4）两点，求直线与坐标轴围成的图形的面积。
题型二、两条直线与轴围成的面积
1.直线和直线与轴分别交与A、B两点，并且两直线相交与点C,那么△ABC的面积是.
题型三、两条直线与轴围成的面积
1．已知直线和直线与轴分别交与A、B两点，两直线相交与点C，那么△ABC的面积是.
综合练习：
1、求直线y=x-2与直线y=-2x+4与x轴围成的三角形面积？
2、直线y=4x－2与直线y=－x+13及x轴所围成的三角形的面积？
3、求直线y=2x－7，直线与y轴所围成三角形的面积．
4、已知直线m经过两点（1,6）、（-3，-2），它和x轴、y轴的交点式B、A，直线n过点（2，-2），且与y轴交点的纵坐标是-3，它和x轴、y轴的交点是D、C；（1）分别写出两条直线解析式，并画草图；
（2）计算四边形ABCD的面积；
（3）若直线AB与DC交于点E，求△BCE的
面积。
5、如图，已知点A（2，4），B（-2，2），C（4，0），求△ABC的面积。
6、已知一次函数的图像过点B（0，4）且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求此一次函数的解析式？
7、变形1：已知直线y=kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，求直线解析式；
五、一次函数的图像信息
1、邮递员小王从县城出发，骑自行车到A村投递，途中遇到县城中学的学生李明从A村步行返校．小王在A村完成投递工作后，返回县城途中又遇到李明，便用自行车载上李明，一起到达县城，结果小王比预计时间晚到1分钟．二人与县城间的距离(千米)和小王从县城出发后所用的时间(分)之间的函数关系如图，假设二人之间交流的时间忽略不计，求：
（1）小王和李明第一次相遇时，距县城多少千米？请直接写出答案．
（2）小王从县城出发到返回县城所用的时间．
（3）李明从A村到县城共用多长时间？2．甲、乙两车同时从地出发，以各自的速度匀速向地行驶．甲车先到达
地，停留1小时后按原路以另一速度匀速返回，直到两车相遇．乙车的速度为每小时60千米．下图是两车之间的距离（千米）与乙车行驶时间（小时）之间的函数图象．
（1）请将图中的（）内填上正确的值，并直接写出甲车从到的行驶速度；
（2）求从甲车返回到与乙车相遇过程中与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）求出甲车返回时行驶速度及、两地的距离．
3.在一次远足活动中，某班学生分成两组，第一组由甲地匀速步行到乙地后原路返回，第二组由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回，两组同时出
发，设步行的时间为t（h），两组离乙地的距离分别为S1（km）和S2(km)，图中的折线分别表示S1、S2与t之间的函数关系．
（1）甲、乙两地之间的距离为__________km，乙、丙两地之间的距离为__________km；
（2）求第二组由甲地出发首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间分别是多少？
（3）求图中线段AB所表示的S2与t间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．