柔顺机构课程论文——陈举聪
研究生课程实验报告
(2010-2011学年第二学期)
拓扑优化方法在柔顺机构设计中的应用
研究生:陈举聪
提交日期: 2011年9月13日研究生签名: 学号 201020100026 学院机械与汽车工程学院课程编号 S0802057 课程名称精密柔顺机构的分析与设计学位类别硕士任课教师张宪民王念峰教师评语:
成绩评定: 分任课教师签名: 年月日
拓扑优化方法在柔顺机构设计中的应用
陈举聪
摘要
本文由柔性机构的分析、设计相比相应的刚性机构的复杂性，引出了已经成功地被用来确定柔性结构的类型和尺寸拓扑优化方法。介绍了结构设计尺寸优化、形状优化和拓扑优化的三个层次，然后着重介绍了常用于柔顺机构设计的拓扑优化方法，如基础结构法、均匀化方法、变密度法、渐进结构优化法、水平集法等，最后指出机构拓扑优化设计的发展动态和应重点研究的内容。关键字:柔顺机构; 结构设计; 拓扑优化
精密柔顺机构的分析与设计
一、引言
柔顺机构是指能通过其部分或全部构件自身的弹性变形来完成运动和力的传递与转换的机械机构。一个柔顺机构能够传递或传输运动、力和能量。与刚体连接机
构不同, 柔顺机构不仅可以从铰链的运动来获得可运动性, 还可以从柔性部件的变形获得它们的可运动性。
相对于传统的刚性结构设计，柔性机构的设计是一个新兴的研究领域。利用柔顺机构传递运动具有以下优点:1、零件少，甚至只有一件，便于制造，免装配;2、无需铰链或轴承等运动副，运动和力的传递是利用组成它的某些或全部构件的弹性变形来实现;3、无摩擦、磨损及传动间隙，无效行程小，不需润滑，可实现高精度运动，避免污染，提高寿命;4、可存储弹性能，自身具有回程反力。
拓扑优化是通过有限元分析和优化方法相结合求解,是在一个给定的设计空间区域内,依据已知的外载荷或支撑等约束条件,解决材料的分布问题，从而使结构刚度最大化或输出位移、内部应力达到设计要求的一种结构设计方法。
拓扑优化是结构优化领域的研究热点，柔性机构拓扑优化是一个重要研究方向。拓扑优化方法的有如下特点:1、与形状优化和尺寸优化两种方法比起来，能够实现结构的轻量化;2、优化的构件中多有孔状结构，可能在制造上有些困难;3、设计过程中设计方案修改灵活。下面主要介绍了常用于柔顺机构设计中的拓扑优化方法。
二、结构的优化与设计
结构的优化与设计过程大体上可以分为尺寸优化、形状优化和拓扑优化三个层次，分别对应于不同的三个设计阶段，即详细设计、基本设计和概念设计
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精密柔顺机构的分析与设计
三个阶段，具体如图1所示。
尺寸优化详细设计阶
段
结构优化形状优化基本设计阶
段
拓扑优化概念设计阶
段
图1 结构设计三阶段
尺寸优化是在给定结构类型、拓扑和形状的基础上，对构件的尺寸进行优化，其设计变量可能为杆的横截面积、板的厚度等。形状优化是在给定结构类型和拓扑的基础上，对结构的边界形状进行优化，属于可动边界问题，对于连续体结构通常是用一组参数可变的几何曲线来描述结构的边界，调整了这些参数就改变了边界的形状。拓扑优化主要是在规定的设计区域内，在给定外载荷和边界条件下，改变结构的拓扑以满足有关平衡、应力、位移等约束的前提下，使结构的某种性态指标达到最优，如图2所示。
(c)拓扑优化(a)尺寸优化(b)形状优化
图2 结构优化类型
拓扑优化是一种比尺寸优化和形状优化更高层次的优化方法，也是结构优
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精密柔顺机构的分析与设计
化中最为复杂的一类问题，拓扑优化出于结构优化的概念设计阶段，其优化结果是一切后续设计的基础。由于拓扑优化的设计变量不是具体的尺寸或节点，而是独立的子区间有无的问题，因此拓扑优化的难度也较大。目前结构拓扑优化研究的深度和广度得到不断的扩展，优化由单目标扩展到多目标因素的优化设计，由材料和几何的线性问题扩展到非线性问题，由确定性的拓扑优化扩展到随机性的拓扑优化，由结构的静力拓扑优化扩展到动力拓扑优化的研究。三、基础结构法
基础结构法是目前机构拓扑优化设计的主流方法之一。它的思路是首先在给定的设计域中构造杆、梁或框架单元的完备集合，以这些单元的截面面积或描述截面形状的某些参数为设计变量，在设计过程中，通过去除单元完备集合
[1]中的某些单元而达到拓扑优化的目的。
1、单输入单输出时的拓扑优化设计
如图3所示，单输入-单输出模型通常采用应变能来表征系统刚度的大小，当驱动载荷给定后，系统的应变能越小则表示系统的刚度越大。
F
Pi
doPodF
Ω
图3 单输入-单输出情况
在载荷F作用下，系统的应变能为
11TT,,,E,D,dUkU (1) ,s,22
,式中，为F作用下的应变，u为弹性变形，D为弹性矩阵，U为F作用下的节
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精密柔顺机构的分析与设计
kU,F点位移矢量，k为系统刚度矩阵。其中U可以由有限元方法求出:。
采用基础结构法，在单输入-单输出情况下，柔顺机构拓扑优化设计的数学
min(E,(1,)E),模型为:
,s.t.kU,F,
,,,1s1mskU,F,
,x,x,x,
dd 式中 x-第j个设计变量LU
jjj
x-第j个设计变量的下限
j
x-第j个设计变量的上限L
j
U在柔顺机构设计时，总希望机构既有足够大的刚度又有足够大的柔性。柔j 顺机构的最优拓扑优化设计就是找出这两个相互对立的最佳平衡点。 2、单输入-多输出时的拓扑优化设计
如图4，与单输入-单输出的处理类似，在单输入-多输出情况下，柔顺机构拓扑优化设计的数学模型可以表示为:
,,EE,min((1))sms11,,,,stkUF..,,,kUFdd,1t ,,kUF-ddd2t,LU,,xxx,jjj, do1Fd1F
PiPo1
do2Po2Fd2Ω
Po3
Fd3do3
图4 单输入-多输出情况
在应用基础结构法时，在单元完备集中有多少个单元就有多少个设计变量。
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基于基础结构描述模型的代表性方法有均匀化方法、变密度法和变厚度法等。
四、均匀化方法
均匀化方法的思路是任意一均匀介质在微观结构上其性能和几何形状均具有周期性，它是借助具有周期微结构的复合材料，将拓扑优化问题转化为复合材料微结
构参数的尺寸设计问题，应用一定的最优准则或数学规划方法来寻找多孔介质的最优配置。为了预测复杂载荷条件下复合材料的应力状态和变形，必须首先给出它的材料参数，如弹性模量、热膨胀系数等，这些参数一般可通
[2]过直接试验来获得。
图5 具有周期孔的微结构示意图
图5所示为孔的微结构模型，实体占有的区
,,(1-ab)d,,0,a,1,0,b,1 (2) s,,
,,式中，是设计区域，是实体区域，每个微结构有各自的坐标轴，所以必须s ,考虑其旋转角，如果一个设计区域被分成N个单元，则将有3N个设计变量。
一般的弹性矩阵的公式为
TH (3) D,D(a,b,,),R(,)D(a,b)R(,)
HD式中，R(,)为旋转矩阵，为均匀弹性模量，通过双尺度渐进展开公式求得。
以刚性优化问题为例，其数学模型为:
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max,(u),ab,,,iii,N,*,s.t.(1,ab),,,iii,,1 ,0,a,1i,1N？i,
,0,b,1i,1N？i,
*式中，,(u)为应变能，a,b和,为单元i的设计变量，,为指定面积iii
均匀化拓扑优化方法的求解过程可以概括为:以一个结构模型为单元对设计区域进行有限元离散划分，把弹性模量、密度等材料参数表示成结构的变量的函数，然后对目标函数进行优化，优化过程中，按某种优化准则，以结构的尺寸变化来决定单元的增删。
五、变密度法
变密度法是对均匀化方法的改进，可进一步提高计算效率，材料的特性是用单元密度的指数函数来模拟。变密度法具有概念，简单易于实现的优点，但引入罚函数将具有中间密度值的单元罚掉，故只能获得较优或接近最优的结果。其基本思想是不引入微结构，而是引入一种假想的相对密度在0~1之间的可变材料，它吸取了均匀化方法中的经验和成果，直接假定设计材料的宏观弹性常量
,与其密度的非线性关系。模型用相对密度表示:
1ifx,,material,s,(x),,0ifx,,\,nomaterials,
0,,p(x),(x)
0E(x),,(x)E
00E式中，和分别是均质实体的密度和弹性矩阵。在实际问题中，这属于0-1p 规划，很难求解。为了解决这一问题，通常采用松弛法，即用一连续函
数,(x)(0,,(x),1),(x)来代替离散函数。此方法虽然解决了离散函数的求解困难问题，但是在优化过程中却产生了许多介于0和1之间的单元，这种结构制造困
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难，并且在现实中也找不到这样的材料。通常采用惩罚因子的办法，来抑制这种结构的产生。以结构柔度为目标函数，体积为约束的优化问题的数学模型为: N,TpTCFUxuku,,min,Ii,e1,,,,stf,.., V0,xxx,,,0,minimax
,FKU,,
式中，为设计向量，可以为相对密度、相对厚度或相对弹性,,x,x,x,？x,？
x12iN
模量等，N为单元总数，F、U和K分别为整体荷载矩阵、位移矩阵和整体刚度阵，和k分别为单元位移阵和单元刚度阵，f为体积系数，和V分别为优化后的体u,0i
积和初始体积，p为惩罚因子。
可以看出，密度法比均匀化方法的设计变量少，因此在实际工程中大多采用密度法来解决问题，优化过程中以单元的设计变量的大小来决定单元的取舍。六、渐进结构优化法
渐进结构优化法是近年来兴起的一种解决各类结构优化问题的数值方法，它是基于这样一个简单概念。通过将无效或低效的材料一步步去掉，剩下的结构将逐渐趋于优化。该方法采用已有的有限元分析软件，在计算机上实现迭代过程，该法的通用性很好。渐进结构优化法不仅可解决各类结构的尺寸优化，还可同时实现形状和拓扑优化，无论应力、位移/刚度优化，或振动频率、响应、临界应力优化，都可遵循渐进结构优化法的统一原则和简单步骤进行。
以刚度优化为例，说明渐进结构优化法的步骤，目标函数为柔度，设计变量为单元厚度，约束条件为M个点的位移量，其数学模型为:
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min()Cu,
,..sttF,K,u0,* 1,2？u,uj,mjj,
i,01,2？,t,ti,N,i
有限元分析中，结构的平衡方程为:
KU,F
式中，K为整体刚度矩阵，U和F分别为位移和载荷矩阵。
在优化算法的选择上，众多学者提出了各种各样求解拓扑优化的方法，目前应用较多的有OC法、SIMP法、SLP法、MMA法等。OC法是基于直觉的准则法，是把数学中最优解应满足的K-T条件作为最优结构应满足的准则，用优化准则来更新设计变量和拉格朗日乘子，该法的突出特点是对设计变量修改较大，因而收敛速度快，迭代次数少且与结构大小及复杂程度无关，缺点是对不同类型的约束、变量、目标函数等需导出不同的优化准则，通用性差。MMA法即移动渐进线法，用一显式的线性凸函数来近似代替隐式的目标和约束函数，由事先确定的左、右渐进点和原函数在各点的导数符号来确定迭代准则即每一步的近似函数。如果左、右渐进点分别趋近负无穷大和正无穷大时，MMA法就等同于用SLP近似。其优点是该法是全局收敛的，并且对解的存在性有重要的理论依据。SIMP法多同密度法结合使用,在优化过程中引入惩罚因子,有人证明当泊松比等于1/3，惩罚因子大于等于3时，将得到较理想的结果。SLP法即序列线性规划法，该法的通用性好，但用于拓扑优化中效率低。
虽说连续体结构拓扑优化问题已经达到了一个相对成熟的程度，但不管其成熟程度如何，仍存在着一些数值计算上的不稳定问题，如棋盘格式问题、网格依赖性问题和局部极值问题，针对这些问题，虽然提出了一些解决方法，如
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松弛法、控制法、滤波器法等，但探寻可靠、有效的拓扑优化求解方法仍将是今后拓扑优化领域中亟待解决的问题。
七、水平集方法
水平集方法是一种可变形的模型描述方法。它将二维曲线或三维曲面表示为一个更高维数的连续函数的特定水平集，通常取零水平集，并通过函数的水
[4]平集的演化来确定曲线或曲面的变化。
z=Φ(x,y,t=0)
Φ(x,y,t=0)=0
Φ(x,y,t=0)xx(b)(a)
yy
z=Φ(x,y,t)
Φ(x,y,t)
Φ(x,y,t)=0
xx(d)(c)
yy
图6 水平集函数与闭合曲线
一般来说，如果水平集函数用表示，则结构的边界用零水平集，即,(x)
来描述。在研究结构边界的演化过程中，这里并没有直接去研究结构边,(x),0 界在速度函数作用下应如何运动，而是研究水平集函数的演化。这样结构,(x)的拓扑优化问题可通过研究水平集这一连续函数予以解决。结构边界演化需要考虑经过时间t后位置的变化，可以将时间参数t加到函数中来，即边界上的点始终满足如下方程
,(x,y,t),0 (4) 式中，t为演化过程中的任意时刻，x、y为边界上任意一点的坐标值。将式(4)两边对时间t求导, 得:
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dxdy (5) ,，,，,,0txydtdt
根据链式法则有:
,,,,,0(6),t
,(x,y,t,0),,d(x,y)(7)式中，为曲线上个点的法向运动速度;为水平集函数导
数的绝对值，可表,,,
22示为;为符号距离函数，表示点到初始边界得最短,,,,，,d(x,y)(x,y)xy
距离，符号根据点在出事边界的内部或外部而定。式(6)是水平集演化方程，
描述了水平集函数在速度场的作用下, 随时间变化而不断演化更新的过程。式
(6)(7)共同构成一个偏微分方程的初值问题。因此通过将二维空间扩展到三维空间, 边界的演化问题转化为求解偏微分方程。水平集方程式(1)的求解, 一般通过有限
差分法将偏微分方程转化为方程组进行，所采用的差分格式必须考虑数值解的稳定性。
八、结论
总之，经过多年的发展，拓扑优化方法既能够求解静态结构优化问题，也能够
求解结构的动力学问题;既能够求解单目标优化问题，也能够求解多目标优化问题;既能够求解单约束问题，也能够求解多约束问题;既可以求解单一物理场的结构设
计问题，也可以求解多物理场的结构设计问题;既可以求解单一材料的结构设计问题，也可以求解多种材料复合的结构设计问题。拓扑优化方法的应用不仅可以在航天、汽车工业等的宏观大尺度领域，而且也可以在MEMS等微观小尺度领域。
但也由于其固有的困难, 拓扑优化被认为是结构优化领域中更具挑战性的课题. 随着高性能计算技术、优化算法、有限元理论以及优化数学模型建立等
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方面的发展, 拓扑优化必然会逐步走向成熟和在工程中应用前景会更加广泛。
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