数字信号处理习题集及答案
第一章 数字信号处理概述
判断说明题：
1．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。 （ ） 答：错。需要增加采样和量化两道工序。
2．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信
号处理理论，对信号进行等效的数字处理。（ ）
答：错。受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。
第二章 离散时间信号与系统分析基础
一、离散时间信号与系统频域分析 计算题：
1．设序列)(n x 的傅氏变换为
)(
j e X ，试求序列)2(n x 的傅里叶变换。 解： 由序列傅氏变换公式
DTFT ∑
∞
-∞
=-=
=n n
j j e n x e X n x ωω
)()()]([ 可以得到
DTFT 2
)()2()]
2([n j n n jn e
n x e
n x n x '
-∞
-∞
='-∑∑'=
=
ωω
为偶数
)()(2
1
)(2
1)(21)(21)(21)]()1()([2
122)2(2
)2
(2
2ωωπω
ωπω
ωωj j j j n j n n jn n j n
n e X e X e X e X e n x e n x e n x n x -+=+=+=-+=++-∞
-∞=∞-∞=--∞
-∞=∑∑∑
2．计算下列各信号的傅里叶变换。
（a ）][2n u n
- （b ）]
2[)41
(+n u n
（c ）]24[n -δ 解：（a ）∑∑-∞
=--∞
-∞
==
-=
2
][2)(n n j n
n
j n n
e e
n u X ωωω
ω
ωj n
n j e e 2
111)2
1(0-=
=∑∞
= （b ）∑∑∞
-=--∞
-∞==+=2
)41(]2[41)(n n j n n
j n n e e n u X ωωω）（ ωω
ωj j m m j m e e e -∞
=---==∑4
1116)41(20
)2(2 （c ）ωωωδω2]24[][)(j n n
j n
j n e e
n e
n x X -∞
-∞
=--∞
-∞
==-=
=
∑∑
7．计算下列各信号的傅立叶变换。
（1）{})2()3()21
(--+n u n u n （2）)2sin()718cos(
n n +π （3）??
???≤≤=其它－04
1)3cos()(n n n x π
【解】（1）{}∑∞
-∞=---+=n kn N j n
e n u n u k X π
2)2()3()2
1()(
∑∑∞=-∞
-=--=2232)21()21(n kn
N j n n kn N j n e
e π
π k N
j k N j k N
j k N j e e
e e
ππππ
222
223
2
114
12
118-----
-=
k N
j k
N j k
N j e e e π
π
π2255232
11)21(18----= （2）假定)718cos(n π和)2sin(n 的变换分别为)(1k X 和)(2k X ，则 ∑∞-∞=?????
?--+--=k k k N k k N k X )27182()27182()(1πππδπππδπ
∑∞
-∞=??
????-++--=
k k k N k k N j k X )222()222()(2ππδππδπ
所以 )()()(21k X k X k X +=
∑∞
-∞=???
??
?-++-----+--=k k k N j k k N j k k N k k N )22()222()27182()27182(ππδππδπππδπππδπ
（3）∑-=-=
4
4
23cos )(n k N
jn
ne
k X π
π
∑-=--+=4
423
3)(2
1n k N jn n j n
j e e e
π
π
π
∑∑=++=--+=90
)23()32(490)23()32(42121n n
N j k N j n n k N j k N j e e e e π
πππππππ )23()23()32(4)23()23()32(4112
1112199k N
j k N
j k N j k N j k N
j k N j e e
e e e e πππππ
ππππ
ππ
π+++---+-++-=
第三章 离散傅立叶变换
一、离散傅立叶变换定义 填空题
1．某DFT 的表达式是∑-==1
0)()(N k kl
M W k x l X ，则变换后数字频域上相邻两个频率样
点之间的间隔是（ ）。 解：M π2
2．某序列DFT 的表达式是∑-==1
0)()(N k kl
M W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度
是（ ），变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（ ）。 解：N M π2 判断说明题：
3．一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做DFT 对它进行分析。 （ ）
解：错。如果序列是有限长的，就能做DFT 对它进行分析。否则，频域采样将造成时域信号的混叠，产生失真。 计算题
4．试求以下有限长序列的N 点DFT （闭合形式表达式）
（1）)()(n R a n x N n
= （2）)()(n nR n x N = 解：（1）因为)()(n R a n x N n
=，所以
k N
j N N n nk N
j
n ae
a e
a k X ππ
21
211)(--=---=
=∑
（2）由)()(n nR n x N =，得
∑-==1
0)()(N n N nk
N k R nW k X
∑-=+=1
)1()()(N n N k n N k N
k R nW k X W ∑∑-=+-=-=-1
)1(1
)()()1)((N n N k
n N N n nk N
k N
k R nW nW
W k X []
)
())1(()()1)2(2()1(321
1
)1(32)1(32k R W N k R N W N W W W N W W W N N n nk N N k
N N k N k N k N N k N k N k N ∑-=--+--=-+-+++--++++=ΛΛ)()(11)1(k NR k R W W N N N
k N k N -=?????
?--+--= 所以
)(1)(k R W N
k X N k
N
--=
5．计算下列序列的N 点DFT ：
()116P
（1）10,)(-≤≤=N n a n x n
（2）=)(n x ??
?
??nm N π2cos ，N n ≤≤0，N m <<0 解：（1）k
N
N
k N NK N N N n nk N
n aW a aW W a W
a k X --=--==∑-=1111)(1
，10-≤≤N k
（2）∑∑-=---=???
? ??+=??? ??=102221
0212cos )(N n nk N j mn N j mn N j N n nk N e e e W mn N k X π
πππ ????
?
??
--+--=+-+-----)(2)(2)(2)(2111121m k N
j m k j m k N j m k j e e e e π
πππ ????
? ??--+--=++-+-++-+-+-------ππ
ππππππππ)(1
)()()()()(1)()()()(21m k N N j m k N j m k N j m k j m k j m k N N j m k N j m k N
j m k j m k j e e e e e e e e
e e ()()()
???
?
????+++--=++--+-ππππππ)(1)(1)
(sin )(sin )(sin ))sin((21m k N N j m k N N j e N m k m k e N m k m k
2
N
, k=m 或k=-m =
0, 其它
6．已知一个有限长序列)5(2)()(-+=n n n x δδ （1） 求它的10点离散傅里叶变换)(k X
（2） 已知序列)(n y 的10点离散傅立叶变换为)()(210
k X W k Y k
=，求序列)(n y 解：（1）[]∑∑-==-+==1
9
10)5(2)()()(N n n nk
nk
N
W n n W
n x k X δδ =1+2k
W
510
=1+2k j
e
510
2π-
=1+2k )1(-，9,...,1,0=k
（2）由)()(210
k X W k Y k
=可以知道，)(n y 是)(n x 向右循环移位2的结果，即 ())7(2)2()2()(10-+-=-=n n n x n y δδ
7、已知序列：102sin )(-≤≤??
?
??=N n n N
n x ，π
，求)(n x 的N 点DFT 。
解：)(k X kn
N j N n e
n N π
π21
2sin --=∑??? ??= ∑-=--???? ??-=1022221N n kn N j n N j n N j e e e j π
π
π
∑-=+--???
? ??-=10)1(2)1(221N n n k N j n k N j e e j π
π
1,2
=-k N
j = 1,2
-=k N
j
0， 其它
8、计算下列有限长序列)(n x 的DFT ，假设长度为N 。
（1）n
a n x =)( 10-≤≤N n
（2）{
}1,3,2,1)(--=n x 解：（1）()
∑∑-=-===1
1
)(N n n
k
N N n nk
N
n
aW W
a k X
()
k N
N k
N
N
k
N
aW a aW aW --=--=1111 10-≤≤N k (2) ∑==3
4)()(n nk W n x k X
k k k k k k W
W W W W W W 34
2
4
342440432132--+=--+=
k k k j j ----+=)1(3)(21 )30(≤≤k
三、离散傅立叶变换性质 填空题：
1．已知序列}{3,2,1,0;1,3,2,2][=--=k k x ，序列长度4=N ，写出序列
]
[])2[(4k R k x N -的值（ ）。
解：{}{}3,2,1,0;1,2,2,33,2,1,0];3[],0[],1[],2[][])2[(4=--===-k k x x x x k R k x N
2．已知}{
}{4,3,2,1,0;0,1,1,0,1][,4,3,2,1,0;1,2,3,2,1][=-===k n h k n x ，则][n x 和][n h 的5点循环卷积为（ ）。
解：{}]3[]2[][][][][---+?=?k k k k x k h k x δδδ
{}4,3,2,1,0;2,3,3,1,0])3[(])2[(][55==---+=k k x k x k x 3．已知}{}{3,2,1,0;1,1,2,4][,3,2,1,0;2,0,2,3][=--===k n h k n x 则][][n h n x 和的 4点循环卷积为（ ）。
解：?
?
???
?
??????-=?????????????????????????--------=??????????????????????
???734620234211142111422114]3[]2[]1[]0[]0[]1[]2[]
3[]3[]0[]1[]2[]2[]3[]0[]1[]1[]2[]3[]
0[x x x x h h h h h h h h h h h h h h h h
证明题：
4．试证N 点序列()n x 的离散傅立叶变换()k X 满足Parseval 恒等式
2
1
2
1
]
[1
][∑∑-=-==N m N k k X N n x
证：
∑∑
-=-==
1
2
1
][*][1
][1
N m N m m X m X N
m X N
2
10
10
*10
1
*
1
0*10
]
[][][][1
]
[)
][]([1∑∑∑∑∑∑-=-=-=--=-=-=====N k N k N m mk
N N k N m N k mk N
k x k x k x W
m X N k x W
k x m X N
5．
)()(n X k x 和是一个离散傅里叶变换对，试证明离散傅里叶变换的对称性：
)()(1
n x k X N -?
证明略。
6．
)(n x 长为N 的有限长序列，)
(),(n x n x o e 分别为
)(n x 的圆周共轭偶部及奇部，
也即
)]
(*)([21
)(*)(n N x n x n N x n x e e -+=-= )]
(*)([21
)(*)(n N x n x n N x n x o o --=--=
证明：
)](Im[)]([)](Re[)]([K X j n x DFT K X n x DFT o e ==
证 ]))((*)([2
1
)](*)([21)(*)(N e e n x n x n N x n x n N x n x -+=-+=
-= )](Re[)](*)([2
1
k X k X k X =+?
]))((*)([2
1
)](*)([21)(*)(N o o n x n x n N x n x n N x n x --=--=--=
)](Im[)](*)([2
1
k X j k X k X =-? 7．若N k Nx n X DFT k X n x DFT ))(()]([),()]([-==求证
证：
∑-=-=1
)(1
)(N k kn N
W
k X N
n x （1）
∑-==
1
)()(N k kn N
W
n x k X （2）
由（2）∑-==
1
)()(N k kn
N W n x k X ，将n k 与互换，则有
∑-==
1
0)()(N n kn
N W k x n X （这应该是反变换公式） ∑-==
10
)(1
N k kn N
W
k Nx N （用k k 代替'-，且求和取主值区）
∑-='-'-=
10
)(1
N k n k N
W k Nx N
与（1）比较 所以N k Nx n X ))(()(-? 8．若[])()(k X IDFT n x =，求证[])())((1
)(n R n X N
k x IDFT N N -=
。 证：[]∑-=-=1
0)(~
1
)(~
N k kn
N
W k x N
k x IDFS
∑∑∑∑-=-=---=--=-=?
?
????=1010
)(21
010)(~1)(~11N r N r n r k N
N k kn
N N r rk N W r X N W W r X N N
而 N lN n r =--
=∑-=--1
)(N k n r k N
W
（l 为整数）
0 lN n r ≠--
所以 [])(~1)(~1)(~2
n X N N n lN X N
k x IDFS -=?--=
于是 [])())((1
)()(~1)(n R n X N n R n X N k x IDFT N N N -=-=
9．令)(k X 表示N 点序列)(n x 的N 点DFT ，试证明：
（a ） 如果)(n x 满足关系式)1()(n N x n x ---=，则0)0(=X 。 （b ） 当N 为偶数时，如果)1()(n N x n x --=，则0)2
(
=N
X 。 证：∑-==1
0)()(N n nk
N W n x k X )1,...,1,0(-=N k
（a ）∑-==1
)()0(N n n x X
N 为偶数： ∑∑-=-=--+=12
120
)1()()0(N n N n n N x n x X
[]
[]0
)()()1()(12
12
=-=
--+=
∑∑-=-=N n N n n x n x n N x n x
N 为奇数：)2
1
(
)1()()0(121
121
-+--+
=
∑∑--=--=N x n N x n x X N n N n []
[])
21(0)21()()()21
(
)1()()2
1
(
12
1
0121
-=+-=-+-=--++-=∑∑--=--=N x N x n x n x N x n N x n x N x N n N n
而)(n x 中间的一项应当满足：
)2
1
()211()21(
--=----=-n x N N x N x 因此必然有 0)21
(=-n X
这就是说，当N 为奇数时，也有0)0(=X 。
（b ）当N 为偶数：∑∑-=-=-==10
102
)1)(()()2(N n n N n N
n N n x W n x N X
∑
∑∑∑-=---=-=---=--+-=
---+-=
120
1120
120
1120
)1)(()1()1)(()1)(1()
1)((N n n
N N n n N n n
N N
n n
n x n x n N x n x
当N 为偶数时，1-N 为奇数，故1)1(1-=--N ；又由于,)1()1(n n -=--故有
0)1)(()1)(()2(12
120=---=∑∑-=-=N n n N
n n n x n x N
X
10．设[])()(k X n x DFT =，求证[])()(n N Nx k X DFT -=。
【解】因为 nk
N n N k N W W =--)(
根据题意 ∑-=-=
1
)(1
)(N k nk N
W
k X N
n x
∑-=--=-10
)
()()(N k n N k N W k X n N Nx
因为 nk
N n N k N W W =--)(
所以 [])()()(1
k X DFT W k X n N Nx N k kn
N
==-∑-=- 11．证明：若)(n x 为实偶对称，即)()(n N x n x -=，则)(k X 也为实偶对称。
【解】 根据题意 ∑-==1
0)()(N n nk
N W n x k X
的周期性质再利用nk
N N n k n N
W W
n N x ∑-=---1
)
)(()(
∑-=---1
)
)(()(N n k N n N N
W
n N x
下面我们令m n N =-进行变量代换，则 ∑=-=
1
)()()(N
m m
k N N
W m x k X 又因为)(n x 为实偶对称,所以0)()0(==N x x ，所以
)()(0)()0()()0(k N N m k N N k N N W x W N x W x ---+=
可将上式写为 0
)()(1)0()()(k N N m k N N N
m W x W m x k X --=+=∑
∑=-=N
m m
k N N W m x 0)()(
N
k N N N
m m k N N W N x W m x )(0
)()()(-=--=∑
∑-=-=1
)()(N m m
k N N W m x
所以 )()()(1
)(k N X W m x k X N m m
k N N
-==∑-=- 即证。
注意：若)(n x 为奇对称，即)()(n N x n x --=，则)(k X 为纯虚数并且奇对称，证明方法同上。
计算题：
12．已知)30()1()(),30(1)(≤≤-=≤≤+=n n y n n n x n ，用圆周卷积法求)(n x 和
)(n y 的线性卷积)(n z 。
解：{
}4,3,2,1)(=n x 30≤≤n ，{}1,1,1,1)(--=n y 30≤≤n 因为)(n x 的长度为41=N ,)(n y 的长度为42=N
所以)()()(n y n x n z *=的长度为7121=-+=N N N ,故应求周期7=N 的圆周卷积)()(n y n x ?的值，即
)()(~)(~)()()(10n R m n y m x n y n x n z N N m ???
?
???-=?=∑-=
所以{
}60,4,1,3,2,2,1,1)()()(≤≤--=*=n n y n x n z 13．序列{}
3,2,1)(为n a ，序列{}1,2,3)(为n b 。 （1）求线性卷积()()n b n a *
（2）若用基2 FFT 的循环卷积法（快速卷积）来得到两个序列的线性卷积运算结果，FFT 至少应取多少点？ 解：（1）∑∞
-∞
=-=
*=n m n b m a n b n a n w )()()()()(
所以{}3,8,14,8,3)()()(=*=n b n a n w ，40≤≤n
（2）若用基2FFT 的循环卷积法（快速卷积）来完成两序列的线性卷积运算，
因为)(n a 的长度为31=N ；所以()()n b n a *得长度为5121=-+=N N N 。 故FFT 至少应取823=点。 14．有限长为N=100的两序列
???=01)(n x 9911100≤≤≤≤n n
??
???=101
)(n y 99908910≤≤≤≤=n n n 做出)(),(n y n x 示意图，并求圆周卷积)()()(n y n x n f ?=及做图。 解 )(),(n y n x 示意图略，圆周卷积)()()(n y n x n f ?=
()??????????
???????????<<============90
10090,10191,9292,8393,7494,65
95,5696,4797,3898,2999,1100
11
n n n n n n n n n n n n n f 15．已知)(n x 是长度为N 的有限长序列，)]([)(n x DFT k X =，现将)(n x 的每两点之间补进1-r 个零值，得到一个长为rN 的有限 长序列
)(n y
?????=0
)()(r n x n y 1,,1,0,1,,1,0,-=≠-==N i ir n N i ir n ΛΛ
求：DFT[
)(n y ]与)(k X 的关系。
解：因为??
???=∑-=0)()(10N l lk N W l x k X 10-≤≤N k kn rN N r r l rN n kn
rN
W r n x W
n y k Y ∑
∑-=-==
=
1
2,,01
)()()(Λ
令l r
n = ∑∑-=-=-=?
??
?
???
---==
1
01
2,,0)
(0])1([)()()(r m N r r l lk
N
mN k X N r k X N k X k X W
l x M
Λ
1
01)1(1
21010-≤≤-≤≤--≤≤-≤≤-≤≤rN k rN k N r N k N N k rN k 其他 16．已知)(n x 是N 点有限长序列，)]([)(n x DFT k X =。现将长度变成rN 点的有限长序列
)(n y
???=0
)
()(n x n y 110-≤≤-≤≤rN n N N n
试求rN 点DFT[
)(n y ]与)(k X 的关系。
解：由10,)()]([)(1
2-≤≤==∑-=-N k e
n x n x DFT k X N n nk N
j
π
可得
∑∑-=-===
=1
1
)()()]([)(N n nk
rN rN n nk rN
W n x W
n y n y DFT k Y 1,,1,0,,)(10
2-==??
?
??==∑-=-N l lr k r k X e
n x N n r
k n N j Λπ
所以在一个周期内，)(k Y 的抽样点数是r k X 的)(倍，相当于在)(k X 的每两个值之间插入1-r 个其他的数值（不一定为零），而当r k 为的整数l 倍时，
??
?
??r k X k Y 与)(相等。
17．已知)(n x 是N 点有限长序列，)]([)(n x DFT k X =。现将)(n x 的每两点之间补进1-r 个零值点，得到一个rN 点的有限长序列
)(n y
??
?=0
)
()(r n x n y n
N i ir n 其他1,,1,0,-==Λ
试求rN 点DFT[
)(n y ]与)(k X 的关系。
解：由10,)()]([)(1
-≤≤==∑-=N k W
n x n x DFT k X N n nk N
可得
∑-==
=1
)()]([)(rN n nk
rN W n y n y DFT k Y 10,)()(1
1
0-≤≤==∑∑-=-=rN k W i x W
r ir x N n ik N N i irk rN
而 )())(()(k R k X k Y rN N = 所以)(k Y 是将)(k X （周期为N ）延拓
r 次形成的，即)(k Y 周期为rN 。
18．已知序列)3()2(2)1(3)(4)(-+-+-+=n n n n n x δδδδ和它的6点离散傅立叶变换)(k X 。
（1）若有限长序列)(n y 的6点离散傅立叶变换为)()(46k X W k Y k =，求)(n y 。 （2）若有限长序列)(n u 的6点离散傅立叶变换为)(k X 的实部，即
[])(Re )(k X k U =，求)(n u 。
（3）若有限长序列)(n v 的3点离散傅立叶变换)2()(k X k V = )2,1,0(=k ，求)(n v 。
解：（1）由)()(46k X W k Y k =知，)(n y 是)(n x 向右循环移位4的结果，即 6))4(()(-=n x n y
)1()(2)5(3)4(4-++-+-=n n n n δδδδ
（2）[]∑=-+-+-+=5
6)3()2(2)1(3)(4)(n nk W n n n n k X δδδδ
k k k W W W 36266234+++= k k k W W W k X 36266234)(---*+++=
[][]
)()(21
)(Re k X k X k X *+=
[]
k k k k k k W W W W W W 362663626623423421
---+++++++=
[]
k k k K k k W W W W W W 364656362662323821
++++++=
[]
k k k k k W W W W W 56463626632223821
+++++=
由上式得到
)5(23
)4()3()2()1(23)(4)(-+-+-+-+-+=n n n n n n n u δδδδδδ
（3）∑∑∑∑====+===5
3
32
3
5
05
3
26
)()()()()2(n nk n nk n n nk nk
W n x W
n x W
n x W
n x k X
[]2
,1,0,)3()()3()()3()(2
32
3
33
2
03
2
)
3(32
03
=++=++=++=∑∑∑∑∑====+=k W n x n x W
n x W
W
n x W n x W
n x n nk n nk k n nk n n k n nk
由于 )2()()(2
3k X W n v k V n nk ==∑=
[]2,1,0,)3()(2
3=++=∑=k W n x n x n nk
所以 2,1,0),3()()(=++=n n x n x n v
即
2
)5()2()2(3)4()1()1(5
)3()0()0(=+==+==+=x x v x x v x x v 或 )2(2)1(3)(5)(-+-+=n n n n v δδδ
19．令)(k X 表示N 点的序列)(n x 的N 点离散傅里叶变换，)(k X 本身也是一个
N 点的序列。如果计算)(k X 的离散傅里叶变换得到一序列)(1n x ，试用)(n x 求
)(1n x 。 解
∑∑∑∑∑-='-='+-=-=''-='=??
????'==101
0)
(101
01
1)()()()(N n N k n n k N
nk N N k N n n k N N k nk N
W n x W W n x W
k X n x 因为
∑-='+???=1
)
(0
N k n n k N
N
W
其他Nl n n ='+
所以
∑-'
-=+-=1
1)())(()()(N n N N n R n Nx Nl n Nx n x
20．为了说明循环卷积计算（用DFT 算法），分别计算两矩形序列)()(n R n x N =的卷积，如果)()(6n R n x =，求
（1）两个长度为6点的6点循环卷积。 （2）两个长度为6点的12点循环卷积。 【解】这是循环卷积的另一个例子。令
???-≤≤==其他0
1
01][][21L n n x n x
图3-6中6=L ，N 定义为DFT 长度。若L N =，则N 点DFT 为
??
?====∑-=其他
0)()(1
021k N W k X k X N n kn
N
n ]
[1n x N
1
(a)
如果我们将][1k X 和][2k X 直接相乘，得
??
?===其他
)(][)(2
213k N k X k X k X 由此可得 N n x =][3 10-≤≤N n
这个结果绘在图3-6中。显然，由于序列[]N m n x ))((2-是对于][1m x 旋转，则乘积[]N m n x m x ))((][21-的和始终等于N 。
当然也可以把][1n x 和][2n x 看作是2L 点循环卷积，只要给他们增补L 个零即可。若我们计算增长序列的2L 点循环卷积，就得到图3-7所示序列。可以看出它等于有限长序列][1n x 和][2n x 的线性卷积。注意如图3-7所，L N 2=时
k
N
Lk
N
W W k X k X --==11][][21 所以图3-7（e ）中矩形序列][3n x 的DFT 为（L N 2=）
2
311][???
? ?
?--=k
N Lk
N W W k X 循环卷积的性质可以表示为
][][][][2121k X k X n x n x DFT
??
→←? 考虑到DFT 关系的对偶性，自然两个N 点序列乘积的DFT 等于他们对英的离散傅里叶变换的循环卷积。具体地说，若][][][213n x n x n x =，则
[]∑-=-=
1
2
1
3))((][1
][N l N
l k X l X N
k X
或 ][][1
][][2121k X k X N
n x n x DFT ???
→← 21．设)(n x 是一个2N 点序列，具有如下性质 )()(n x N n x =+ 10-≤≤N n 另设)()()(1n R n x n x N =，它的N 点DFT 为)(1k X 。
求)(n x 得2N 点DFT )(k X 和)(1k X 的关系。
【答案】??
?
??=22)(1k X k DFTX
22．已知某信号序列{}2,1,2,3)(=k f ，{}2,4,3,2)(=k h ，试计算 （1）)(k f 和)(k h 的循环卷积和)()(k h k f ?； （2）)(k f 和)(k h 的线性卷积和)()(k h k f *； （3）写出利用循环卷积计算线性卷积的步骤。
【答案】（1）)3(21)2(20)1(13)(6)(-+-+-+=k h k h k h k h k y （2）
)
6(4)5(10)4(14)3(21)2(20)1(13)(6)(-+-+-+
-+-+-+=k h k h k h k h k h k h k h k y
（3）略
23．如图表示一个5点序列)(n x 。 （1）试画出)()(n x n x *
（2）试画出
)()(5
n x n x ?
n x
解：
n
n x n x *
1-1画出下列序列的示意图 (1) (2) (3) (1) (2)
(3) 1-2已知序列x(n)的图形如图1.41，试画出下列序列的示意图。 图1.41信号x(n)的波形 (1)(2)
(3) (4) (5)(6) (修正：n=4处的值为0，不是3）（修正：应该再向右移4个采样点）1-3判断下列序列是否满足周期性，若满足求其基本周期 (1) 解：非周期序列; (2) 解：为周期序列，基本周期N=5; (3)
解：，，取 为周期序列，基本周期。 (4) 解： 其中，为常数 ，取，，取 则为周期序列，基本周期N=40。 1-4判断下列系统是否为线性的？是否为移不变的？ (1)非线性移不变系统 (2) 非线性移变系统（修正：线性移变系统） (3) 非线性移不变系统 (4) 线性移不变系统 (5) 线性移不变系统（修正：线性移变系统）1-5判断下列系统是否为因果的？是否为稳定的？ (1) ，其中因果非稳定系统 (2) 非因果稳定系统 (3) 非因果稳定系统 (4) 非因果非稳定系统
(5) 因果稳定系统 1-6已知线性移不变系统的输入为x(n)，系统的单位脉冲响应为h(n)，试求系统的输出y(n)及其示意图 (1) (2) (3) 解：（1） （2） （3）
1-7若采样信号m(t)的采样频率fs=1500Hz，下列信号经m(t)采样后哪些信号不失真？ (1) (2) (3) 解： (1)采样不失真 (2)采样不失真 (3) ，采样失真 1-8已知,采样信号的采样周期为。 (1) 的截止模拟角频率是多少？ (2)将进行A/D采样后，的数字角频率与的模拟角频率的关系如何？ (3)若，求的数字截止角频率。 解： (1) (2) (3)
一. 填空题 1、一线性时不变系统，输入为x（n）时，输出为y（n）；则输入为2x（n）时，输出为2y(n) ；输入为x（n-3）时，输出为y(n-3) 。 2、从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率fs与信号最高频率f max关系为：fs>=2f max。 3、已知一个长度为N的序列x(n)，它的离散时间傅立叶变换为X（e jw），它的N点离散傅立叶变换X（K）是关于X（e jw）的N 点等间隔采样。 4、有限长序列x(n)的8点DFT为X（K），则X（K）= 。 5、用脉冲响应不变法进行IIR数字滤波器的设计，它的主要缺点是频谱的交叠所产生的现象。 6．若数字滤波器的单位脉冲响应h（n）是奇对称的，长度为N，则它的对称中心是(N-1)/2 。 7、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，加矩形窗比加三角窗时，所设计出的滤波器的过渡带比较窄，阻带衰减比较小。 8、无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的结构上有反馈环路，因此是递归型结构。 9、若正弦序列x(n)=sin(30nπ/120)是周期的,则周期是N= 8 。 10、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，过渡带的宽度不但与窗的类型有关，还与窗的采样点数有关 11．DFT与DFS有密切关系，因为有限长序列可以看成周期序列的主值区间截断，而周期序列可以看成有限长序列的周期延拓。 12．对长度为N的序列x(n)圆周移位m位得到的序列用x m (n)表示，其数学表达式为 x m (n)= x((n-m)) N R N (n)。 13．对按时间抽取的基2-FFT流图进行转置，并将输入变输出，输出变输入即可得到按频率抽取的基2-FFT流图。 14.线性移不变系统的性质有交换率、结合率和分配律。 15.用DFT近似分析模拟信号的频谱时，可能出现的问题有混叠失真、泄漏、栅栏效应和频率分辨率。
==============================绪论============================== 1. A/D 8bit 5V 00000000 0V 00000001 20mV 00000010 40mV 00011101 29mV ==================第一章 时域离散时间信号与系统================== 1. ①写出图示序列的表达式 答：3)1.5δ(n 2)2δ(n 1)δ(n 2δ(n)1)δ(n x(n)-+---+++= ②用δ(n) 表示y (n )={2,7,19,28,29,15} 2. ①求下列周期 ②判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 （1）A是常数 8ππn 73Acos x(n)??? ? ??-= （2）)8 1 (j e )(π-=n n x 解： （1） 因为ω= 73π, 所以314 π2=ω, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T =14。 （2） 因为ω= 81, 所以ω π2=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。 ③序列)Acos(nw x(n)0?+=是周期序列的条件是是有理数2π/w 0。 3.加法 乘法 序列{2，3，2，1}与序列{2，3，5，2，1}相加为__{4，6，7，3，1}__，相乘为___{4，9，10，2} 。 移位 翻转：①已知x(n)波形，画出x(-n)的波形图。 ② 尺度变换：已知x(n)波形，画出x(2n)及x(n/2)波形图。 卷积和：①h(n)*求x(n)，其他0 2 n 0n 3，h(n)其他03n 0n/2设x(n) 例、???≤≤-=???≤≤= ②已知x (n )={1,2,4,3},h (n )={2,3,5}, 求y (n )=x (n )*h (n ) x (m )={1,2,4,3},h (m )={2,3,5}，则h (-m )={5,3,2}(Step1:翻转)
三、计算题 1、已知10),()(<<=a n u a n x n ,求)(n x 的Z 变换及收敛域。 （10分） 解：∑∑∞ =-∞ -∞=-= = )()(n n n n n n z a z n u a z X 1 111 )(-∞=--== ∑ az z a n n ||||a z > 2、设)()(n u a n x n = )1()()(1--=-n u ab n u b n h n n 求 )()()(n h n x n y *=。（10分） 解：[]a z z n x z X -=? =)()(， ||||a z > []b z a z b z a b z z n h z H --=---= ?=)()(， ||||b z > b z z z H z X z Y -= =)()()( ， |||| b z > 其z 反变换为 [])()()()()(1n u b z Y n h n x n y n =?=*=- 3、写出图中流图的系统函数。(10分) 解：2 1)(--++=cz bz a z H 2 1124132)(----++= z z z z H ４、利用共轭对称性，可以用一次DFT 运算来计算两个实数序列的DFT ，因而可以减少计算量。设都是N 点实数序列，试用一次DFT 来计算它们各自的DFT ： [])()(11k X n x DFT = []) ()(22k X n x DFT =（10分）。 解:先利用这两个序列构成一个复序列，即 )()()(21n jx n x n w +=
即 [][])()()()(21n jx n x DFT k W n w DFT +== []()[]n x jDFT n x DFT 21)(+= )()(21k jX k X += 又[])(Re )(1n w n x = 得 [])(})({Re )(1k W n w DFT k X ep == [] )())(()(2 1*k R k N W k W N N -+= 同样 [])(1 })({Im )(2k W j n w DFT k X op == [] )())(()(21*k R k N W k W j N N --= 所以用DFT 求出)(k W 后，再按以上公式即可求得)(1k X 与)(2k X 。 5、已知滤波器的单位脉冲响应为)(9.0)(5n R n h n =求出系统函数，并画出其直接型 结构。（10分） 解： ｘ（ｎ） 1-z 1-z 1-z 1-z １ 9.0 2 9.0 3 9.0 4 9.0 ｙ（ｎ） ６、略。 ７、设模拟滤波器的系统函数为 31 11342)(2+-+=++=s s s s s H a 试利用冲激响应不变法，设计IIR 数字滤波器。（10分） 解 T T e z T e z T z H 31111)(-------=
答案很详细，考试前或者平时作业的时候可以好好研究，祝各位考试 成功！！ 电子科技大学微电子与固体电子学钢教授著 数字信号处理课后答案 1.2 教材第一章习题解答 1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。 解： ()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3) 0.5(4)2(6) x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+- 2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-?? =≤≤??? 其它 （1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值； （2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列； （3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形； （4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形； （5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。 解： （1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。 （2） ()3(4)(3)(2)3(1)6() 6(1)6(2)6(3)6(4) x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+-
（3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。 （4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。 （5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如 5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。 （1）()()2(1)3(2)y n x n x n x n =+-+-； （3）0()()y n x n n =-，0n 为整常数； （5）2()()y n x n =； （7）0()()n m y n x m ==∑。 解： （1）令：输入为0()x n n -，输出为 '000' 0000()()2(1)3(2) ()()2(1)3(2)() y n x n n x n n x n n y n n x n n x n n x n n y n =-+--+---=-+--+--= 故该系统是时不变系统。 12121212()[()()] ()()2((1)(1))3((2)(2)) y n T ax n bx n ax n bx n ax n bx n ax n bx n =+=++-+-+-+- 1111[()]()2(1)3(2)T ax n ax n ax n ax n =+-+- 2222[()]()2(1)3(2)T bx n bx n bx n bx n =+-+- 1212[()()][()][()]T ax n bx n aT x n bT x n +=+ 故该系统是线性系统。
数字信号处理习题及答案
==============================绪论============================== 1. A/D 8bit 5V 00000000 0V 00000001 20mV 00000010 40mV 00011101 29mV ==================第一章 时域离散时间信号与系统================== 1. ①写出图示序列的表达式 答：3)1.5δ(n 2)2δ(n 1)δ(n 2δ(n)1)δ(n x(n)-+---+++= ②用δ(n) 表示y (n )={2,7,19,28,29,15} 2. ①求下列周期 ) 5 4sin( )8 sin( )4() 51 cos()3() 54sin()2() 8sin( )1(n n n n n πππ π -
②判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 （1） A是常数 8ππn 73Acos x(n)???? ? ?-= （2）)8 1 (j e )(π-=n n x 解： （1） 因为ω=73π, 所以3 14 π2=ω, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T =14。 （2） 因为ω=81, 所以ω π 2=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。 ③序列)Acos(nw x(n)0 ?+=是周期序列的条件是是有理数2π/w 0 。 3.加法 乘法 序列{2，3，2，1}与序列{2，3，5，2，1}相加为__{4，6，7，3，1}__，相乘为___{4，9，10，2} 。 移位 翻转：①已知x(n)波形，画出x(-n)的波形图。 ② 尺度变换：已知x(n)波形，画出x(2n)及x(n/2)波形图。
数字信号处理试卷及答案
一、 选择题（每题3分，共5题） 1、 )63()(π-=n j e n x ，该序列是 。 A.非周期序列 B.周期6π =N C.周期π6=N D. 周期π2=N 2、 序列)1()(---=n u a n x n ，则)(Z X 的收敛域为 。 A.a Z < B.a Z ≤ C.a Z > D.a Z ≥ 3、 对)70()(≤≤n n x 和)190()(≤≤n n y 分别作20点DFT ，得)(k X 和)(k Y ， 19,1,0),()()( =?=k k Y k X k F ，19,1,0)],([)( ==n k F IDFT n f ， n 在 范围内时，)(n f 是)(n x 和)(n y 的线性卷积。 A.70≤≤n B.197≤≤n C.1912≤≤n D.190≤≤n 4、 )()(101n R n x =，)()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可能的少，应使 DFT 的长度N 满足 。 A.16>N B.16=N C.16 Chapter 10 Solutions 10.1 (a) The impulse response is given by h[n] = –0.8h[n –1] + 0.1h[n –2] + δ[n]. The first ten samples are listed in the table. (b) The impulse response contains an infinite number of non-zero terms. 10.3 (a)(i) Without pre-warping, the transfer function for the analog filter is 15708 s 15708) 2500(2s )2500(2s )s (H 1 p 1p += π+π= ω+ω= The bilinear transformation 1 z 1z f 2s S +-=gives 1 1 z 00921.01) z 1(4954.015708 1 z 1z 16000 15708)z (H ---+= ++-= (ii) The analog frequency 2.5 kHz is converted to a digital frequency Ωp1 = 8000/)2500(2π =1.9635 rads. This frequency is pre-warped to the analog frequency 2 tan f 21p S 1p Ω=ω= 23946 rad/sec, which makes the transfer function for the analo g filter 23946 s 23946s )s (H 1 p 1p += ω+ω= After the bilinear transformation, the digital transfer function is obtained: 1 1 z 1989.01) z 1(6.023946 1 z 1z 16000 23946)z (H --++= ++-= (b) The magnitude responses for both filters are shown below. The –3 dB frequency for the pre-warped filter is equal to the specified 2.5 kHz. 10.4 (a) The cut-off frequency for the analog filter is 1500/(2π) = 238.73 Hz. The digital frequency that corresponds to this analog frequency is Ωp1 = 8000/)73.238(2π = 0.1875 rads. The pre-warped analog cut-off frequency is 2 tan f 21p S 1p Ω=ω= 1504.4 rad/sec, to give the transfer function 4 .1504s 4.1504)s (H += . Filter with pre-warping |H(f)| f 数字信号处理课后答案 1.2 教材第一章习题解答 1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。 解： ()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3) 0.5(4)2(6) x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+- 2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-?? =≤≤??? 其它 （1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值； （2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列； （3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形； （4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形； （5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。 解： （1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。 （2） ()3(4)(3)(2)3(1)6() 6(1)6(2)6(3)6(4) x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+- （3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。 （4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。 （5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如题2解图（四）所示。 3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。 （1）3()cos()7 8x n A n π π=-，A 是常数； （2）1 ()8 ()j n x n e π-=。 解： （1）3214 , 73w w ππ==，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14； （2）12,168w w π π==，这是无理数，因此是非周期序列。 5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。 （1）()()2(1)3(2)y n x n x n x n =+-+-； （3）0()()y n x n n =-，0n 为整常数； （5）2()()y n x n =； （7）0()()n m y n x m ==∑。 解： （1）令：输入为0()x n n -，输出为 '000' 0000()()2(1)3(2) ()()2(1)3(2)() y n x n n x n n x n n y n n x n n x n n x n n y n =-+--+---=-+--+--= 故该系统是时不变系统。 12121212()[()()] ()()2((1)(1))3((2)(2)) y n T ax n bx n ax n bx n ax n bx n ax n bx n =+=++-+-+-+- 1111[()]()2(1)3(2)T ax n ax n ax n ax n =+-+- 2222[()]()2(1)3(2)T bx n bx n bx n bx n =+-+- 第五章 数字滤波器 一、数字滤波器结构 填空题： 1．FIR 滤波器是否一定为线性相位系统？（ ）。 解：不一定 计算题： 2．设某FIR 数字滤波器的冲激响应，,3)6()1(,1)7()0(====h h h h 6)4()3(,5)5()2(====h h h h ，其他n 值时0)(=n h 。试求)(ωj e H 的幅频响应和相频响应的表示式，并画出该滤波器流图的线性相位结构形式。 解： { }70,1,3,5,6,6,5,3,1)(≤≤=n n h 所以)(ωj e H 的幅频响应为 )(ωj e H 的相频响应为 作图题： 3．有人设计了一只数字滤波器，得到其系统函数为： 请采用并联型结构实现该系统。 解：答案略 4．用级联型结构和并联型结构实现一下传递函数 （1）) 5.0)(1(5.25.33)(223---+-=z z z z z z z H （2）) 7071.0)(14142.1(8284.24)(223++-+-=z z z z z z z H 解：（1）) 5.01)(1(5.25.33)5.0)(1(5.25.33)(1122 1223------+-+-=-+-+-=z z z z z z z z z z z z H 级联型结构及并联型结构图略 （2） ) 7071.0)(14142.1(8284.24)(223++-+-=z z z z z z z H 级联型结构及并联型结构图略 5．用横截型结构实现以下系统函数： 解： 结构图略。 6．设某FIR 数字滤波器的系统函数为 试画出此滤波器的线性相位结构。 解：由题中所给的条件可知 则 1)2(6.05 3)3()1(2.051)4()0(====== =h h h h h 即)(n h 是偶对称，对称中心在221=-= N n 处，N 为奇数（N=5）。 线性相位结构如下图示 7．画出由下列差分方程定义的因果线性离散时间系统的直接Ⅰ型、直接Ⅱ型、级联型和并 联型结构的信号流程图，级联型和并联型只用1阶节， 解：（1）直接Ⅰ型 （2）直接Ⅱ型 （3）级联型 将系统函数写成 （4）并联型 8．用级联型及并联型结构实现系统函数：) 1)(1(232)(223-+--+=z z z z z z z H 解：①用级联型结构实现 信号流图如图（a ）所示。 ②用并联型结构实现 信号流图如图（b ）所示。 （a ） （b ） 9．已知滤波器单位抽样响应为 ???≤≤=其它 0502)(n n h n 画出横截型结构。 解：∑∑==-=-= *=5050)(2)()()()()(k k k k n x k n x k h n x n h n y 横截型结构如图所示。 10．用卷积型和级联型网络实现系统函数：)21)(34.11()(121---++-=z z z z H 解： )21)(34.11()(121---++-=z z z z H 32162.06.01---+++=z z z 由（）式得到级联型结构如图（a ）所示，由（）式得到卷积型结构如图（b ）所示。 二、IIR 数字滤波器设计 一、 填空题 1、 对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是 离散 信号，再进行幅度量化后就是 数字 信号。 2、若线性时不变系统是有因果性，则该系统的单位取样响应序列h(n)应满足的充分必要条件是 当n<0时，h(n)＝0 。 3、序列)(n x 的N 点DFT 是)(n x 的Z 变换在 单位圆 的N 点等间隔采样。 4、)()(5241 n R x n R x ==，只有当循环卷积长度L ≥8 时，二者的循环卷积等于线性卷积。 5、已知系统的单位抽样响应为h(n)，则系统稳定的充要条件是 ()n h n ∞ =-∞ <∞∑ 6、巴特沃思低通滤波器的幅频特性与阶次N 有关，当N 越大时，通带内越_平坦______，过渡带越_窄___。 7、用来计算N ＝16点DFT ，直接计算需要__（N 2 ）16*16＝256_ __次复乘法，采用基2FFT 算法，需要__(N/2 )×log 2N ＝8×4＝32_____ 次复乘法。 8、无限长单位冲激响应（IIR ）滤波器的基本结构有直接Ⅰ型，直接Ⅱ型，_级联型____和 _并联型__四种。 9、IIR 系统的系统函数为)(z H ，分别用直接型，级联型，并联型结构实现，其中 并联型 的运算速度最高。 10、数字信号处理的三种基本运算是： 延时、乘法、加法 11、两个有限长序列 和 长度分别是 和 ，在做线性卷积后结果长度是__N 1＋N 2－ 1_____。 12、N=2M 点基2FFT ，共有__ M 列蝶形，每列有__ N/2 个蝶形。 13、线性相位FIR 滤波器的零点分布特点是 互为倒数的共轭对 14、数字信号处理的三种基本运算是： 延时、乘法、加法 15、在利用窗函数法设计FIR 滤波器时，窗函数的窗谱性能指标中最重要的是___过渡带宽___与__阻带最小衰减__。 16、_脉冲响应不变法_设计IIR 滤波器不会产生畸变。 17、用窗口法设计FIR 滤波器时影响滤波器幅频特性质量的主要原因是主瓣使数字滤波器存在过渡带，旁瓣使数字滤波器存在波动，减少阻带衰减。 18、单位脉冲响应分别为 和 的两线性系统相串联，其等效系统函数时域及频域表达式分别是 h(n)=h 1(n)*h 2(n), =H 1(e j ω )×H 2(e j ω )。 19、稳定系统的系统函数H(z)的收敛域包括 单位圆 。 20、对于M 点的有限长序列x(n)，频域采样不失真的条件是 频域采样点数N 要大于时域采样点数M 。 二、 选择题 数字信号处理作业 DFT 习题 1. 如果)(~n x 是一个周期为N 的周期序列，那么它也是周期为N 2的周期序列。把) (~ n x 看作周期为N 的周期序列，令)(~ 1k X 表示)(~n x 的离散傅里叶级数之系数，再把)(~ n x 看作周期为N 2的周期序列，再令)(~ 2k X 表示)(~n x 的离散傅里叶级数之系数。当然，)(~ 1k X 是周期性的，周期为N ，而)(~ 2k X 也是周期性的，周期为N 2。试利用)(~ 1k X 确定)(~ 2k X 。（76-4） 2. 研究两个周期序列)(~ n x 和)(~ n y 。)(~ n x 具有周期N ,而)(~ n y 具有周期M 。序列 )(~n w 定义为)()()(~ ~~n y n x n w +=。 a. 证明)(~ n w 是周期性的，周期为MN 。 b. 由于)(~n x 的周期为N ，其离散傅里叶级数之系数)(~ k X 的周期也是N 。类似地， 由于)(~n y 的周期为M ，其离散傅里叶级数之系数)(~k Y 的周期也是M 。)(~ n w 的离散傅里叶级数之系数)(~ k W 的周期为MN 。试利用)(~ k X 和)(~ k Y 求)(~ k W 。（76-5） 3. 计算下列各有限长度序列DFT （假设长度为N ）: a. )()(n n x δ= b ．N n n n n x <<-=000)()(δ c ．10)(-≤≤=N n a n x n （78-7） 4. 欲作频谱分析的模拟数据以10千赫速率被取样，且计算了1024个取样的离散傅里叶变换。试求频谱取样之间的频率间隔，并证明你的回答。（79 -10） 习题及答案 4 一、填空题（每空1分, 共10分） 1．序列()sin(3/5)x n n π=的周期为 。 2．线性时不变系统的性质有 律、 律、 律。 3．对4()()x n R n =的Z 变换为 ，其收敛域为 。 4．抽样序列的Z 变换与离散傅里叶变换DFT 的关系为 。 5．序列x(n)=(1，-2，0，3；n=0，1，2，3), 圆周左移2位得到的序列为 。 6．设LTI 系统输入为x(n) ，系统单位序列响应为h(n)，则系统零状态输出y(n)= 。 7．因果序列x(n)，在Z →∞时，X(Z)= 。 二、单项选择题（每题2分, 共20分） 1．δ(n)的Z 变换是 （ ） B.δ(ω) πδ(ω) π 2．序列x 1（n ）的长度为4，序列x 2（n ）的长度为3，则它们线性卷积的长度是 （ ）A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 3．LTI 系统，输入x （n ）时，输出y （n ）；输入为3x （n-2），输出为 （ ） A. y （n-2） （n-2） （n ） （n ） 4．下面描述中最适合离散傅立叶变换DFT 的是 （ ） A.时域为离散序列，频域为连续信号 B.时域为离散周期序列，频域也为离散周期序列 C.时域为离散无限长序列，频域为连续周期信号 D.时域为离散有限长序列，频域也为离散有限长序列 5．若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特条件，理想条件下将抽样信号通过 即可完全不失 真恢复原信号 （ ）A.理想低通 滤波器 B.理想高通滤波器 C.理想带通滤波器 D.理想带阻滤波器 6．下列哪一个系统是因果系统 （ ）(n)=x (n+2) B. y(n)= cos(n+1)x (n) C. y(n)=x (2n) (n)=x (- n) 7．一个线性时不变离散系统稳定的充要条件是其系统函数的收敛域包括 （ ） A. 实轴 B.原点 C.单位圆 D.虚轴 8．已知序列Z 变换的收敛域为｜z ｜>2，则该序列为 （ ）A.有 限长序列 B.无限长序列 C.反因果序列 D.因果序列 9．若序列的长度为M ，要能够由频域抽样信号X(k)恢复原序列，而不发生时域混叠现象，则频域抽样 点数N 需满足的条件是 ( ) 数字信号处理试卷答案 完整版 一、填空题：（每空1分，共18分） 1、 数字频率ω是模拟频率Ω对采样频率s f 的归一化，其值是 连续 （连续还是离散？）。 2、 双边序列z 变换的收敛域形状为 圆环或空集 。 3、 某序列的 DFT 表达式为∑-==1 0)()(N n kn M W n x k X ，由此可以看出，该序列时域的长度为 N ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 M π 2 。 4、 线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为2 52) 1(8)(22++--=z z z z z H ，则系统的极点为 2,2 1 21-=-=z z ；系统的稳定性为 不稳定 。系统单位冲激响应)(n h 的初值 4)0(=h ；终值)(∞h 不存在 。 5、 如果序列)(n x 是一长度为64点的有限长序列)630(≤≤n ，序列)(n h 是一长度为128点 的有限长序列)1270(≤≤n ，记)()()(n h n x n y *=（线性卷积），则)(n y 为 64+128-1＝191点 点的序列，如果采用基FFT 2算法以快速卷积的方式实现线性卷积，则FFT 的点数至少为 256 点。 6、 用冲激响应不变法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω与数字频率ω之间的 映射变换关系为T ω = Ω。用双线性变换法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω 与数字频率ω之间的映射变换关系为)2 tan(2ω T =Ω或)2arctan(2T Ω=ω。 7、当线性相位 FIR 数字滤波器满足偶对称条件时，其单位冲激响应)(n h 满足的条件为 )1()(n N h n h --= ，此时对应系统的频率响应)()()(ω?ω ωj j e H e H =，则其对应的相位函数 为ωω?2 1 )(-- =N 。 8、请写出三种常用低通原型模拟滤波器 巴特沃什滤波器 、 切比雪夫滤波器 、 椭圆滤波器 。 二、判断题（每题2分，共10分） 1、 模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，只要加一道采样的工序就可 以了。 （╳） 2、 已知某离散时间系统为 )35()]([)(+==n x n x T n y ，则该系统为线性时不变系统。(╳)数字信号处理答案10
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