百校联盟2019届定向邀约学校九月联考（广东省）
理科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知集合2
2{|0},{|log 2}A x x x B x x =->=<，则A
B =（ ）
A ．{|14}x x <<
B ．{|0x x <或12}x <<
C ．{|0x x <或14}x <<
D ．{|12}x x <<
1．答案：A
解析：2
{|0}{|0A x x x x x =->=<或21},{|log 2}{|04}x B x x x x >=<=<<，得 2．z 是复数z 的共轭复数，且(2i)5z +=，则z 的虚部为（ ） A 2 B ．1-
C ．2
D ．1
2．答案：D 解析：55(2i)2i 2i 2i (2i)(2i)
z z -=
==-=+++-，，所以z 的虚部为1． 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1240,a S a ≠=，则
5
3
a S =（ ） A ．1 B ．
23
C ．
53 D ．
79
3．答案：B
解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，由24S a =，得1123a d a d +=+，所以12a d =，所以
51314623393
a a d d S a d d +===+． 4．已知椭圆22
:
1(0)2x y C m m m
+=>，若直线x m =C 交于,A B 两点，且2AB =，则椭圆的长轴长为（ ） A ．2 B ．4
C ．22
D ．42
4．答案：B
解析：直线x m =经过椭圆C 的右焦点，所以22222b AB m a m
====，所以2m =，椭圆C 的长轴长为24m =．
5．某超市中秋季期间举行有奖促销活动，凡消费金额满100元的顾客均获得一次抽奖机会，中奖一次即可获得微信红包5元，没有中奖不发红包，现有5名顾客均获得一次抽奖机会，且每名顾客每次中奖的概率均为0.5，记X 为这5名顾客的红包金额总和，则(1020)P X =≤≤（ ） A ．
38
B ．
2532
C ．
1116
D ．
58
5．答案：B
解析：中奖人数(5,0.5)Y B ～，所以(1020)(24)P X P Y =≤≤≤≤
6．若0.60.5
220.5,0.6,log 0.5,log 0.6a b c d ====，则（ ）
A ．a b c d >>>
B ．b a d c >>>
C ．a b d c >>>
D ．b a c d >>>
6．答案：B 解析：
0.5x y =是减函数，0.60.50.500.50.50.6,0b a ∴<<<∴>>，又2log y x =为增函数，
22log 0.5log 0.60,b a d c ∴<<∴>>>．
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为（ ） A ．6 B ．45 C ．42
D ．4
7．答案：A
解析：该几何体为三棱锥P ABC -，如图所示，其中正方体棱长为4，点P 是正方体其中一条棱的中点，则222224,4225,42,4426AB AC PC BC AP BP ===+====++=，所以最长的棱为6． 8．如图，在梯形ABCD 中，1
,2
2
BAD ABC AB BC AD π
∠=∠=
==
，点E 为CD 的中点，AE 与BD 交于点F ，设AF x AB y AD =+，则x y -=（ ） A ．1
B ．15
-
C ．45
-
D ．1-
8．答案：B
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设2AB =，则(0,0),(0,2),(2,2),(4,0),(3,1)A B C D E ，直线AE
的方程为30x y -=，直线BD 的方程为240x y +-=，联立两直线方程求得124,55F ??
??
?，所以由 AF x AB y AD =+，得23,55x y ==，所以1
5
x y -=-．
9．已知函数()2sin()(0,0),2,082f x x f f ππω?ω?π????
=+><<==
? ?????
，且()f x 在(0,)π上单调，A
B
C
D
E F
则(0)f =（ ） A ．2 B 3
C 2
D ．1
9．答案：B
解析：函数()f x 的最小正周期2T π
ω
=
，因为()f x 在(0,)π上单调，所以
2T π
πω
=≥，得01ω<≤， 所以3,84
,
2
πωπ?πω?π?+=????+=?? 解得23ω=，23π?=
，所以22()2sin 33f x x π??
=+ ?
??
，所以2(0)2sin 33f π==． 10．2018年1~4月某市邮政快递业务量完成件数较2017年1~4月同比增长25%，下图为该市2017年1~4
月邮政快递业务量柱形图及2018年1~4月邮政快递业务量结构饼形图，根据统计图，给出下列结论：①2018年1~4月，该市邮政快递业务量完成件数约为1500万件；②2018年1~4月该市邮政快递同城业务量完成件数与2017年1~4月相比有所减少；③2018年1~4月，该市邮政快递国际及港澳台业务量同比增长75%．其中正确结论的个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 10．答案：C
解析：2018年1~4月，该市邮政快递业务量完成件数约为(242.49489.6)(125%)1500+++=万件，①正确；2017年1~4月邮政快递同城业务量完成件数约为242.4万件；2018年1~4月邮政快递同城业务量完成件数约为150020%300?=万件，②错误；2018年1~4月，该市邮政快递国际及港澳台业务量同比增长约为
1.4%15009.6
118.75%9.6
?-=，③错误．
11．已知双曲线22
22:1(0)x y C a b a b
-=>>，若θ变化时，直线cos sin 2x y b θθ+=与双曲线C 恒有公共
点，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ） A ．52?
B ．2)
C ．5?
??
D ．[2,)+∞
11．答案：A
解析：当θ变化时，直线cos sin 2x y b θθ+=表示到原点距离2d b =的所有直线，由于直线
cos sin 2x y b θθ+=与双曲线C 恒有公共点，则2b a ≥，又0a b >>，所以112b
a
<≤，所以双曲线C
的离心率2
2225
122a b b e a a +??==+ ????． 12．对于任意的[1,]y e ∈，关于x 的方程21ln x
x ye ay y -=+在[1,4]x ∈-上有三个根，则实数a 的取值范
围是（ ）
A ．3
163,e e ??
??
??
B ．3160,
e ??
?
??
C ．23
163,e e
e ??
-?
??? D ．23
161,e e
e ??
-??
?? 12．答案：A 解析：由2
1ln x
x ye
ay y -=+，得21ln x y x e a y -=+
，令ln (),[1,]y
f y a y e y
=+
∈，21()x g x x e -=， [1,4]x ∈-，21ln ()y f y y -'=
，当[1,]y e ∈时，()0f y '>，所以()f y 的值域为1,a a e ??+???
?， 21()(2)x g x x x e -'=-，当[1,0)x ∈-或(2,4)x ∈时，()0g x '<，当(0,2)x ∈时，()0g x '>，所以()
g x 在[1,0)x ∈-或(2,4)x ∈上单调递减，在(0,2)x ∈上单调递增，所以()g x 的图象如图所示，因为对于任
意的[1,]y e ∈，关于x 的方程21ln x
x ye
ay y -=+在[1,4]-上有三个根，所以(4)
1
(2)a g a g e ??
?+
≥，解得 3
163
a e e
<≤． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．在平面直角坐标系中，经过(5,1),(6,0),(1,1)A B C -三点的圆的方程为 ． 13．答案：2
2
(2)(3)25x y -++=
解析：该圆的圆心一定在AC 的垂直平分线2x =上，设圆心坐标为(2,)P a ，则由PC PB =，得
2222(21)(1)(26)a a ++-=-+3a =-，半径22(21)(31)5r =++--=，所以该圆的方程
为2
2
(2)(3)25x y -++=．
14．在6
11x x ??+- ??
?的二项展开式中含4
x 项的系数为 ．
14．答案：21
解析：展开式中含4x 项为10
5504424446611(1)(1)61521C x C x x x x x x ?????-+?-=+= ? ?????
15．已知实数,x y 满足约束条件12
(2)(2)0y x y x y -??+-?
≤≤≤，则x y +的取值范围是 ．
15．答案：3,32
??-????
解析：实数,x y 表示的平面区域如图中阴影部分所示．设x y z +=，则直线y x z =-+过点(1,2)时，z 取
得最大值3，过点1(,1)2-
-时，z 取得最小值32-，所以x y +的取值范围是3,32??
-????
． 16．函数13sin 2cos 2()1sin 3cos x x
f x x x
++=
++的值域为 ．
16．答案：[3,2)
(2,1]---
解析：2212cos 234sin 13()2sin 131sin 3cos 2sin 12sin 133x f x x x x x x ππππ?
?-+ ?-????=
===+- ?????++??++++ ? ????
?， 因为1sin 13x π?
?
-+
??
?≤≤，所以32sin 113x π??-+- ???≤≤，又因为2sin 103x π?
?++≠ ??
?， 所以2sin 123x π?
?
+
-≠- ??
?
，所以()f x 的值域是[3,2)(2,1]---． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）
在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos cos 2cos a B b A c C +=． （1）求角C ；
（2）若3,23,2a b BD DC ===，求点C 到直线AD 的距离． 17．【解析】（1）因为cos cos 2cos a B b A c C +=，由正弦定理得：
sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，所以sin()2sin cos A B C C +=，
又因为sin()sin A B C +=，且0C π<<，即sin 0C ≠，所以1cos 2C =
，故3
C π
=．…………5分 （2）设点C 到直线AD 的距离为h ，由2BD DC =，得433
DC =
， 22228
2cos603
AD AC DC AC CD ∴=+-??=
，213AD ∴=，
ACD △的面积1sin 60232S AC CD =
???=，又1232ACD S AD h =?=△6
77
h ∴=， ∴点C 到直线AD 6
77
10分
解法2：由2BD DC =，得3
3
DC =
，以C 为坐标原点，CB 所在方向为x 轴正半轴建立如图所示坐标系C xy -，则43(3,3),3A D ??
? ???
，33AD k =-AD 的方程为3312y x =-+，即
33120x y +-=，点(0,0)C 到直线AD 的距离67
7287
d =
==． 18．（本小题满分10分）
各项都为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
42n n n S a a =+．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若2n
n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．【解析】（1）由2
42n n n S a a =+ ①， 当2n ≥时，2
11142n n n S a a ---=+ ②，
由-①②得：221114()422n n n n n n n S S a a a a a ----==++-，所以22
112()n n n n a a a a ---=+，
所以111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为数列{}n a 各项均为正数，所以10n n a a -+≠，
所以12(2)n n a a n --=≥，又2
11142S a a =+，得12a =，
所以数列{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，通项公式22(1)2n a n n =+-=．………………6分 （2）
12222n n n n n b a n n +==?=?，
2341122232(1)22n n n T n n +∴=?+?+?++-?+? ③， 345122122232(1)22n n n T n n ++=?+?+?+
+-?+? ④，
-③④，得23412222222(1)24n n n n T n n +++-=+++
+-?=-?-，
所以2
(1)24n n T n +=-?+．……………………………………………………………………12分
19．（本小题满分10分）
如图所示，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，111122AB A B AA AC ===，
113
AAC π
∠=
，且1111A C B C ⊥ ．
A
C
D
（1）求证：111B C AA ⊥； （2）若M 为11B C 的中点，
求直线AM 与平面11DA C 所成角的正弦值．
19．【解析】（1）因为1111//,=A C AC A C AC ，所以四边形11AAC C 为平行四边形， 又因为1AA AC =，所以四边形11AAC C 为菱形，又因为13
AA C π
∠=，所以1
AAC △是等边三角形， 连接1AC ，设12AA a =，则112,4AC a AB a ==，22
11111123B C A B AC a =
-=，
所以222
1111AB AC B C =+，所以111B C AC ⊥，又因为111111
11,AC B C AC AC C ⊥=，
所以11B C ⊥平面11ACC A ，因为1AA ?平面11ACC A ，所以111B C AA ⊥．…………………………5分 （2）取11A B 的中点E ，11A C 的中点O ，连接OE ，则由11//OE B C ，得11OE A C ⊥，又因为11AO A C ⊥，
11AO B C ⊥，且11111B C AC C =，所以AO ⊥平面111A B C ，由（1）得3AO a =
，设1a =， 以O 为坐标原点，分别以1,,OA OE OA 为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， 则111(1
,0,0),(1,0,0),(1,23,0),3),(3),(13,0)A C B A C M ----， 则11(2,0,0),(13,3)C A AM ==--，………………………………………………………………8分 因为111(2,23,0),(1
3)DC A B C C ==-=-，所以11(1,23,3)C D C C DC =-=-，……9分 设平面11DA C 的一个法向量(,,)n x y z =，则由111233020
n C D x z n C A x ??=-+=???==??令1y =，得(0,1,2)n =，……………………………11分 设直线AM 与平面11DA C 所成角为θ， 则0323105sin cos ,3557
AM n θ+-==
=? ．……12分
20．（本小题满分10分）
一种室内种植的珍贵草药的株高y （单位：cm ）与一定范围内的温度x （单位：℃）有关，现收集了该种草药的13组观测数据，得到如下的散点图： 现根据散点图利用y a x =+d y c x =+建立y 关于x 的回归方程，令1
,s x t x
==，得到如下数据：
A
B
C D
M
D A 1B 1
C 1
E O x y z
10.15 109.94 3.04
0.16
且(,)i i s y 与(,)i i t y （1,2,3,,13i =）的相关系数分别为12,r r ，且10.8859r =．
（1）用相关系数说明哪种模型建立y 与x 的回归方程更合适；
（2）根据（1）的结果及表中数据，建立?y
关于x 的回归方程； （3）已知这种草药的利润z 与,x y 的关系为10z y x =-，当x 为何值时，利润z 的预报值最大． 附：参考公式和数据：对于一组数据(,)i i u v （1,2,3,
,i n =）
，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1
2
2
1
???,n
i i i n
i
i u v nu v
v u u
nu β
α
β==-?==--∑∑，相关系数1
2222
1
1
n
i i i n
n
i
i
i i u v nu v
r u
nu v
nv ===-?=-?
-∑∑∑
4.4562 2.11≈．
20．【解析】（1）由题意知10.8859r =，
1
22
2
22
1
1
0.99530.2121.22 4.4562
n
i i
i n
n
i
i
i i t y nt y
r t
nt y
ny ===-?=
==≈-?-?
-∑∑∑，
因为121r r <<，所有用d
y c x
=+
模型建立y 与x 的回归方程更合适．………………………………4分 （2）因为13
1
13
22
1
13 2.1?100.21
13i i
i i
i t y t y
d
t
t ==-?-==
=--∑∑，??109.94100.16111.54c y dt =-=+?=， 所以?y
关于x 的回归方程为10
?111.54y x
=-．…………………………………………………………8分 （3）由题意知100??101115.4z
y x x x ??
=-=-+ ???
，由基本不等式10020x x +≥， 所以1115.4201095.4z -=≤，当且仅当10x =时等号成立，
所以当温度为10时这种草药的利润最大．………………………………………………………………12分 21．（本小题满分10分） 已知抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线y x m =+与抛物线C 相切于点M ，且2MF =． （1）求抛物线C 的方程；
（2）若,A B 是抛物线C 上异于原点O 的两点，且直线,OA OB 的斜率之积为1
2
-，求证：直线AB 过定点．
21．【解析】（1）由y x m =+与2
:2C y px =联立得2
220y py pm -+=，由2480p pm ?=-=， 得2p m =，此时2
2
440y my m -+=，得2
(2)0,2y m y m -==，点M 的坐标为(,2)m m ， 由22
p
MF m =+
=，得1,2m p ==，所以抛物线C 的方程为24y x =．…………………………5分 （2）证明：设点,A B 的坐标分别为22
221212,,,44y y y y ???? ? ?????
，依题意可知124412OA OB
k k y y ?=?=-， 即1232y y =-，
易知直线AB 的方程为22
1
1122
21444
y y y y y x y y ??--=- ???
-，即2111244y y y x y y ?
?-=- ?+??，
即2112112121212121212
444324
(8)y y y y x y x x x y y y y y y y y y y y y y y =-+=+=-=-+++++++，
显然直线AB 过定点(8,0)．…………………………………………………………………………12分 22．（本小题满分10分）
已知函数()ln 1()R f x x ax a =-+∈．
（1）当1a =时，求满足不等式组1()()2
1(2)()2
f x f f x f ?
>????->??的x 的取值范围；
（2）当(1,)x ∈+∞时，不等式2
11()1x
ax a f x ax e x
----+>
-恒成立，求a 的取值范围． 22．【解析】（1）当1a =时，()ln 1f x x x =-+，定义域为(0,)+∞，11()1x
f x x x
-'=-=，
所以在(0,1)上，()0f x '>，()f x 单调递增，在(1,)+∞上，()0f x '<，()f x 单调递减，
而3117ln 310,(4)3ln 202222f f f f ??
??
??-=->-=-<
? ? ???????，故03,42x ???∈ ???，使得01()2f x f ??
= ???
，
所以1()2f x f ??
>
?
??
的解集为012x x <<；
1(2)2f x f ??
-> ???
的解集为00132222x x x x <-
求交集得x 的取值范围为132
2x
x ??
<
（2）令2
12111
()()1ln x x g x ax a f x ax e ax a x e x x
--=---+-+=---+， 则1211
()2x g x ax e x x
-'=-
+-， 当1x >时，()0(1)g x g >=成立的一个充分条件是：1211
()20x g x ax e x x
-'=-
+-≥， 化为123112x e a x x x --+≥，令12311()x e h x x x x -=-+，则12
4
32(1)()x x e x x h x x
---+'=， 当32
x ≥
时，12
32(1)0x x e x x ---+<； 当312x <<
时，321x -<，12
(1)1x e x x e
-+>
>，1232(1)0x x e x x -?--+<， ()0,()h x h x '<为减函数，()h x 的最大值为1
(1)1,2
h a =∴≥，
当1
2
a <时，(1)210g a '=-<，
若()g x '在(1,)+∞上无零点，则()0g x '<，()(1)0g x g <=，不符合题意舍去；
若()g x '在(1,)+∞上有零点，设m 是()g x '的最小零点，则在(1,)m 上，()0,()(1)0g x g x g '<<=，
不合题意，舍去，所以12a ≥
．故a 的取值范围是1,2??
+∞????
．……………………………………12分