与一元二次方程有关的面积问题（含答案）
1、如图12—1，在宽20米，长32米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路(两条纵向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直)
的面积是570平方米，问道路应该多宽
解：设道路为x米宽，?
由题意得：20×32﹣20x×2﹣32x+2x2=570，?
整理得：x2﹣36x+35=0，?
解得：x=1，x=35，?
经检验是原方程的解，但是x=35＞20，因此不合题意舍去．
答：道路为1m宽．
2、一块长和宽分别为40厘米和250厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为450平方厘米.那么纸盒的高是多少解：设纸盒的高是xcm
（40-2x)(25-2x)=450
(2x-55)(x-5)=0
x1=27.5(不符合题意，舍去）,x=5
答：纸盒的高是5cm
3、如图所示（1）小明家要建面积为150m 2的养鸡场，鸡场一边靠墙，另一边用竹篱笆围成，竹篱笆总长为35m 。若墙的长度为18m ，鸡场的长、分别是多少
（2）如果墙的长为15m ，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m ，可围成的鸡场最大面积是多少平方米
(3) 如果墙的长为15m ，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m ，可围成的鸡场的面积能达到250 m 2吗通过计算说明理由。
（4）如果墙的长为15m ，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m ，可围成的鸡场的面积能达到100 m 2吗通过计算并画草图说明。
（2）设围成的鸡场长为m 米，则宽为
米2
45m
- 则围成的鸡场面积为：245m m -?
=m m 2
45
212+- =8
2025
)245(212+--m
所以2
45
=
m 时，面积有最大值 但墙长15米,所观m 能取的最大值为15米
当m=15时，鸡场面积最大为15?15=225（平方面）
（3）不能
理由：设围成的鸡场长为y 米，则宽为
米2
45y
- 由题意得：2502
y
-45y =?
整理得：0500452=+-y y
解得25y 2021==，y 均大于15米，不合题意
所以，围成的鸡场的面积不能达到250 m 2
（本题也可以将鸡场面积表示出来，用配方法求出最大值是小于250 m 2的，从而判断不能围成鸡场面积是250 m 2）
（4）能，
理由：由（3）得1002
y
-45y =?
整理得0200452=+-y y
解得：5y 4021==，y
因为墙长为15米
所以y=5
当长为5米时，可围成的鸡场的面积能达到100 m 2
4、已知：如图所示，在△ABC 中，∠C=900，BC=7cm, AC= 5 cm,.点P 从点A 开始沿AC 边向点C 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点C 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动.
（1）如果Q 、P,分别从C 、A,同时出发，那么几秒后，△PCQ 的面积等于4 m 2
（2）如果Q 、P,分别从C 、A,同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于5cm
（3）在（1）中，△PCQ 的面积能否等于7 m 2?说明理由
解：（1）设x 秒后，△PCQ 的面积等于4 m 2，由题意得：
42)5(2
1
=?-x x ，解得1,421==x x 所以1秒后，△PCQ 的面积等于4 m 2
（2）设，y 秒后 PQ 的长度等于5cm
解得2y 021==（不合题意，舍去），
y 所以，2秒后， PQ 的长度等于5cm
（3）在（1）中，若△PCQ 的面积能否等于7 m 2，则
72)5(2
1
=?-x x 整理得：0752=+-x x ∴原方程无解
∴在（1）中，△PCQ 的面积不能等于7 m 2
5、如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a 为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。
①如果要围成面积为45平方米的花圃，AB 的长是多少米
②能围成面积比45平方米更大的花圃吗如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。
Q B A
C
P
6、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形。 ①要使这两个正方形的面积之和等于17平方厘米，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少 ②两个正方形的面积之和可能等于12平方厘米吗若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由； ③要使这两个正方形的面积之和最小，两段铁丝的长度应该是多少
（3）由（1）知，两个正方形的面积和为
22)5(x x -+=2
25)25(22+-x
所以，剪成的两段铁丝的长都为10cm 时，两个正方形的面积和最小，最小值为2
25
平方厘米
7、在矩形ABCD 中，AB=6 cm ，BC=12 cm ，点P 从点A 沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动；同
时，点Q 从点B 沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动，问几秒后△积等于8 m 2
PBQ 的面
P
Q
C
B
A D
学习必备欢迎下载 《列一元二次方程解应用题之面积问题》教学案 教学目标： 1.以面积的计算为载体，进一步培养学生运用方程的思想解决实际问题的意 识，提高学生建立方程模型的能力 2.体会变换在解决数学问题的作用，进一步强化学生问题转化的意识，进 而形成解决问题的能力 教学重点：构建方程模型 教学难点：应用恰当等积变换，探索问题中隐含的等量关系 教学过程： 一、解方程(引入) （1）x2-52x+100=0 2 (2) x -36x+35=0 二、例题：某学校准备在一块长32 米，宽 20 米的草地上 修筑道路互相垂直的两条道路（道路的宽度相等）， 使余下的草坪的面积为540 平方米，求这个方案的 道路的宽度。 变式 1 若改变道路的形状如下图（变式1），其他条件不变，那么应该怎么列方程？ 变式 1 变式 2. 若改变道路的条数如下图，且设计草坪的总面积是570 平方米。其他条件不变，那么应该怎么列方程？ 变式 2
学习必备欢迎下载 变式 3.方案设计 问题：学校准备在一块长32 米，宽 20 米 的草地上修筑道路，决定在全校征集修改方案。 方案要求 :①两条竖道保存不变。 ②横道不能是直道。 ③所有道路入口要相等，注明图形名称。 ④使余下的草坪的面积仍然为570 平方米。 变式 3 你能帮学校修改这个方案吗？并标出入口的宽度 三、小结（从数学思想的角度） 四、效果反馈 某小区中间有一块长方形的草地，长18 米，宽 10 米，中间有两条均匀的小路（小路的人口相等）。已知要求草地的面积为128 平方米求，小路的入口的宽度。 五、课后作业 如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120 米，下底长180 米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各 甬道的宽度相等．设甬道的宽为x 米． （1）用含的式子表示横向甬道的面积为___________ 平方米 （2）当三条甬道的面积是 1500 平方米时，求甬道的宽度。 （1552=24025； 1452=21025）
一元二次方程的应用 ------面积问题 【小知识大作用】 1、直角三角形面积公式：一般三角形面积公式： 2、正方形周长公式：正方形面积公式： 3、矩形周长公式：矩形面积公式： 4、梯形面积公式： 5、平行四边形面积公式：菱形面积公式： 6、圆的周长公式：圆的面积公式： 小贴士：这些简单的公式，在我们解决生活中的实际问题时发挥着很大的作用. 【学习交流】 类型一: 1、有一根1m长的铁丝，怎样用它围成一个面积为的长方形 2、如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另 外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为多少 3、如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃.要围 成苗圃的面积为81m2,矩形的长、宽分别为多少 类型二: 1、某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条一样宽的道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有四位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路
的宽分别是多少使图中的草坪面积为540米2. 【元调真题】 世博会中国国家馆模型的平面图如图所示,其外框是一个大正方形,中间四个全等的小正方形(阴影部分)是支撑展馆的核心筒,标记了字母的五个全等的正方形是展厅.已知核心筒的边长比展厅的边长的一半多1米,外框的面积刚好是四个核心筒面积和的9倍.求核心筒的边长.【能力提升】 如图，一个矩形恰好分成六个正方形，其中最小的正方形的边长是1cm，求这个矩形的面积。 【检测】 1．如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建 两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（） A．1米 B．1.5米
一元二次方程面积问题 例1：将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m） （1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路. （2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同. 以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由. 分析：（1）设出小路的宽度为x米，表示出两条小路的面积，而小路的面积为原来荒地面积的三分之一，列出方程解答即可； （2）设出扇形的半径为y米，则四个扇形的面积和恰好等于一个圆的面积，而四个扇形的面积和为原来荒地面积的三分之一，列出方程解答即可．: 解答：解：（1）设小路的宽度为x米，根据题意列方程得， 18x+15x-x2=18×15×13， 解得x 1=3，x 2 =30（不合题意，舍去）； 答：图①中小路的宽为3米． （2）设扇形的半径为y米，根据题意列方程得， πy2=18×15×13， 解得y1≈5.4，y2≈-5.4（不合题意，舍去）； 答：扇形的半径约为5.4米． 点评：此题主要考查长方形和扇形面积的计算方法，解答时注意题目中蕴含的数量关系 例2：如图1—1所示，某小区规划在一个长为40m，宽为26m的矩矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都是144㎡，则道路的宽是多少米? 分析：（1）设路的宽为x m，那么道路所在的面积（40x＋26x×2－2x2）㎡，于是六块草坪的面积为[40×26－（40x＋26x×2－2x2）]㎡，根据题意，得40×26－（40x＋26x×2－2x2）=144×6 （2）将图1—1所示中的三条道路分别向上和向左、向右平移图1—2的位置，若设宽为x m，则草坪的总面积为（40－2x）（26－x）㎡所列方程为（40－2x）（26－x）=144×6 解法1：设道路的宽为x m，则根据题意，得40×26－（40x＋26x×2－2x2）=144×6整理，得x2－46x＋88=0，解得x1=44（舍去），x2=2 解法2：设道路的宽为x m，则根据题意，得（40－2x）（26－x）=144×6 解得，x 1 =44（舍去），x 2 =2 答：略 练习 1、如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的正方形，使 得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，所截去的小正方形的边长是多少。 2、张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购买这张铁皮共花了是多少元钱
24.4一元二次方程的应用 教材：冀教版 年级：九年级 单位：遵化市新店子镇中学 姓名：果秋红
24.4一元二次方程的应用 ——面积问题 教材分析： 列一元二次方程解应用题是历年来考查的热点，经常与经济有关，有时与函数相结合，综合性较强，题型以解答题为主。一元二次方程的应用主要有三大类型：面积问题、增长率问题和利润问题，其中面积问题相对简单些，本节课讲解一元二次方程的应用之面积问题。 学情分析： 学生已经学习过一元一次方程的应用，也会表示图形的面积、解一元二次方程，所以学生对列方程解应用题并不陌生。但是学生对于如何找出等量关系列方程还是弱点，所以引导学生找出题中的等量关系是本节课的主线。教法： 本节课采用以导学案为主线，小组合作交流、赋分评比的模式讲授，在内容展开上，让学生根据自己已有的经验，先自主探究，在独立思考的基础上再小组交流，让学生充分体会一元二次方程的建模过程。 学法： 小组合作探究，其中既有小组成员之间的合作，又有小组之间的竞争。最大限度的调动学生学习的积极性，培养学生学习数学的兴趣。 教学目标： 1、知识与技能： 会根据实际面积问题中的数量关系列一元二次方程解应用题,能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。 2、过程与方法：
经历探索列一元二次方程解面积应用题的过程,体验通过移动变化分析面积问题的方法。 3、情感态度与价值观： 让学生体会一元二次方程是刻画现实世界一个有效的数学模型，感悟数学来源于生活，服务于生活；同时培养学生自我探索的兴趣和能力。 教学重点:运用一元二次方程探索和解决面积问题。 教学难点：面积问题中的等量分析。 教学过程 教学环节教师活动学生活动设计意图（一）基础回顾 1、一根20m长的铁丝围成一个矩形，若一边长为2m，则另一边长为______m ,所围成的矩形的面积为______平方米，若设一边长是x m，，则另一边长为______m ,若围成的矩形的面积为24 平方米，则所得的方程是_______________ ，x 的值是______。课前两分钟 教师巡视检 查导学案第 一部分复习 回顾，并给予 适当的指导。 正副小组长检查组 员完成情况，并帮 助做错的同学解 答。全对的小组加 5分。 复习回顾上 节课的知 识，检查学 生的掌握情 况，通过小 组长解决学 困生的问 题。
与一元二次方程有关的面积问题（含答案） 1、如图12—1，在宽20米，长32米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路(两条纵向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直)，把这块耕地分成大小相等的六块试验田，要使试验田的面积是570平方米，问道路应该多宽？ 解：设道路为x 米宽， 由题意得：20×32﹣20x×2﹣32x+2x 2 =570， 整理得：x 2﹣36x+35=0， 解得：x=1，x=35， 经检验是原方程的解，但是x=35＞20，因此不合题意舍去． 答：道路为1m 宽． 2、一块长和宽分别为40厘米和250厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为450平方厘米.那么纸盒的高是多少 解：设纸盒的高是xcm （40-2x)(25-2x)=450 (2x-55)(x-5)=0 x1=27.5(不符合题意，舍去）,x=5 答：纸盒的高是5cm 3、如图所示（1）小明家要建面积为150m 2的养鸡场，鸡场一边靠墙，另一边用竹篱笆围成，竹篱笆总长为35m 。若墙的长度为18m ，鸡场的长、分别是多少？ （2）如果墙的长为15m ，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m ，可围成的鸡场最大面积是多少平方米？ (3) 如果墙的长为15m ，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m ，可围成的鸡场的面积能达到250 m 2吗？通过计算说明理由。 （4）如果墙的长为15m ，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m ，可围成的鸡场的面积能达到100 m 2吗？通过计算并画草图说明。 （2）设围成的鸡场长为m 米，则宽为 米2 45m - 则围成的鸡场面积为：245m m -? =m m 2 45212+- =82025)245(212+--m
《一元二次方程的应用（几何面积问题）》教学设计 课型：新授 教学目标： 1、知识与技能：通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程； 2、数学思考：进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型，从中感受到数学学习的意义； 3、问题解决：经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程； 4．情感态度：培养学生实事求是的科学态度，提高自身的数学交流水平，增强与人合作的精神和解决实际问题的能力，发展辩证思维能力。 教学重点：掌握列一元二次方程解应用题的基本步骤，会列一元二次方程解确决有关几何应用中的面积问题。 教学难点：如何将实际问题转化成数学问题，一元二次方程的建模过程，是本节课的一个难点。 课标与教材分析：课标要求能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。本节内容的设置，正是《新课程标准》在知识点上呈螺旋上升趋势的具体体现。学生已经有了列方程解应用题的基本思路,同时,掌握了解一元二次方程的基本方法,但是学生的思维需要逐渐培养，在学生具备一定的思维水平的基础上，教师是引导学生学习的关键，在学习难度较大的知识点时，兴趣是关键。教师还应从学生的积极性入手，努力去挖掘学生的主动性和合作性，以增强学生克服困难的决心。 教学过程： 一、 课前热身 这两个一元二次方程是这节课学习一元二次方程的应用（几何面积问题）的方程模型，这两个方程的掌握会对学生直接产生事半功倍的效果，通过练习，让学生熟练掌握这类方程的解法。 二、课堂进行时…… 园林设计院计划在一块长16m 、宽12m 的矩形空地上，修建同样宽的道路，剩余部分种植花 草，种植花草部分的面积为96m 2，请你在下面的矩形中设计几种既美观又实用的方案： 通过一个小小的设计环节，让学生自己动手设计出模型，并由此引出下面模型的计算。 下面是几位工人师傅设计出的几个方案，请同学们帮忙计算一下这些方案是否可行。 1、如图，甲工人在空地中间修建两条同样宽且互相垂直的道路，请 ()()()()12362126 x x x x --=++=、 、
第3课时几何图形与一元二次方程 教学目标： 1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题． 2．继续探究YI实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题． 3．通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力． 教学过程： 一、情境导入 如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，你能求出所截去小正方形的边长吗？ 二、合作探究 探究点：用一元二次方程解决图形面积问题 【类型一】利用面积构造一元二次方程模型 (2014·甘肃陇南)用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( ) A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6 C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝6 解析：设一边长为x米，则另外一边长为(5－x)米，根据它的面积为6平方米，即可列出方程得：x(5－x)＝6，故选择B. 方法总结：理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关系列出方程． (2014·黑龙江农垦)现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长． 解析：设小正方形的边长为x cm，则长方体盒子底面的长、宽均可用含x的代数式表示，再根据面积，即可建立等量关系，列出方程．
解：设小正方形的边长为x cm ，则可得这个长方体盒子的底面的长是(80－ 2x )cm ，宽是(60－2x )cm ，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面积，方程可列为(80－2x )(60－2x )＝1500，整理得x 2－70x ＋825＝0，解得x 1＝55，x 2＝15.又60－2x >0，∴x ＝55(舍)．∴小正方形的边长为15cm. 方法总结：要从已知条件中找出关键的与所求问题有关的信息，通过图形求出面积，解题的关键是熟记各种图形的面积公式，列出符合题意的方程，整理即可． 【类型二】整体法构造一元二次方程模型 (2014·甘肃兰州)如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．设道路宽为x 米，根据题意可列出的方程为______________． 解析：解法一：把两条道路平移到靠近矩形的一边上，用含x 的代数式表示草坪的长为(22－x )米，宽为(17－x )米，根据草坪的面积为300平方米可列出方程(22－x )(17－x )＝300. 解法二：根据面积的和差可列方程：22×17－22x －17x ＋x 2＝300. 方法总结：解答与道路有关的面积问题，可以根据图形面积的和差关系，寻找相等关系建立方程求解；也可以用平移的方法，把道路平移构建特殊的图形，并利用面积建立方程求解． 【类型三】利用一元二次方程解决动点问题
一元二次方程的应用 ------面积问题【小知识大作用】 1、直角三角形面积公式：一般三角形面积公式： 2、正方形周长公式：正方形面积公式： 3、矩形周长公式：矩形面积公式： 4、梯形面积公式： 5、平行四边形面积公式：菱形面积公式： 6、圆的周长公式：圆的面积公式： 小贴士：这些简单的公式，在我们解决生活中的实际问题时发挥着很大的作用. 【学习交流】 类型一: 1、有一根1m长的铁丝，怎样用它围成一个面积为0.06m2的长方形？ 2、如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m， 所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为多少？ 3、如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为81m2, 矩形的长、宽分别为多少？ 类型二: 1、某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条一样宽的道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有四位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图中的草坪面积为540米2.【元调真题】 世博会中国国家馆模型的平面图如图所示,其外框是一个大正方形,中间四个全等的小正方形(阴影部分)是支撑展馆的核心筒,标记了字母的五个全等的正方形是展厅.已知核心筒的边长比展厅的边长的一半多1米,外框的面积刚好是四个核心筒面积和的9倍.求核心筒的边长. 【能力提升】 如图，一个矩形恰好分成六个正方形，其中最小的正方形的边长是1cm，求这个矩形的面积。
【检测】 1．如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路， 余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为 （） A．1米B．1.5米 C．2米D．2.5米 2．在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度 的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要便整个挂图的 面积为5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么满足的方程是（） A．2653500 x x +-=B．213014000 x x +-= C．2653500 x x --=D．213014000 x x --= 3．从一块长30cm，宽20cm的长方形合金板中央截去一个小长方形，做成一个四周宽度相同的镜 框，使镜框的面积占合金板面积的3 8 ，求镜框的宽度． 4．如图①，要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2︰3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？ 分析：由横、竖彩条的宽度比为2︰3，可设每个横彩条的宽为2x，则每个竖彩条的宽为3x．为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形ABCD． 结合以上分析完成填空：如图②，用含x的代数式表示： AB = cm； AD = cm； 矩形ABCD的面积为cm2； 列出方程并完成本题解答．5、用一块长28cm、宽20cm的长方形纸片，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为180cm２，求截去的小正方形的边长. 6、某校九年级6个班的学生在学校矩形操场上举行庆新年的联谊活动，学校划分6个全等的矩形场地分给各班级之间留4米宽的过道（如图所示），已知操场的长是宽的2倍，6个班级所占场地面 积的总和是操场面积的 9 16 ，求学校操场的宽为多少米. 7、要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化． （1）设计方案如图①所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的 1 4 ，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽． （2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由．
一元二次方程的实际应用 一.传播问题 有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？（设每轮传染中平均一个人传染了x个人） 突破题1.某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？那第三轮又将有多少人繁殖？ 二.增长率问题 例题1. 某商场于第一年年初投入50万元进行商品经营，以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营。 （1）如果第一年的年获利率为P，那么第一年年终的总资金是多少万元?（年获利率=年利润/年初投入资金X100%） （2）如果第二年的年获利率多10个百分点，第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率。 突破题1.某种商品的进价为a元，商店将价格提高20%销售，经
过一段时间，又以九折的价格促销，这时这种商品的价格是？ 突破题2.某商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额比九月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率。 例题2.为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10㎡提高到12.1㎡，若每年的年增长率相同，则年增长率为？ 例题3.受全球金融危机的影响，2008年某家电商城的销售额由第二季度的800万元下降到第四季度的648万元，则该商城第三、第四季度的销售额平均下降的百分率为？
例题4.某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件。后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件。 （1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？ （2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元。若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？ 例题5.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。 （1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？ 三.代数问题 例题1.一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，把这个数的
数学试卷 九年级实际问题与一元二次方程(3)导学案（27） 班级: 上课时间：姓名：评价 知识目标： （1）、掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题． （2）、利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题． 重点：据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题． 难点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型． （一）导学求思 1、列方程解应用题步骤 2、填空：1）．直角三角形的面积公式是 ?一般三角形的面积公式是 2）．正方形的面积公式是长方形的面积公式又是 3）．梯形的面积公式是 4）．菱形的面积公式是 5）．平行四边形的面积公式是 6）．圆的面积公式是 （二）、探究交流 （一）要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下、左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度? 分析:（法一）这本书的上下左右边衬的宽度相等，可设四周边衬的宽度为xcm，据四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一可得方程。（此题的过程展示右上） 分析: （法二）这本书的上下左右边衬的宽度相等，可设四周边衬的宽度为xcm，据四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一可知正中央矩形的面积是封面面积的四分之三，从而得方程。 解： （三）（探究3）如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，?正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，?如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，?应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？ 分析:（法一）这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两边之比也为9:7，设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm，则上、下边衬为，左、右边衬为因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三，从而得方 程。或直接根据四周的彩色边衬所点面积是封面面积的四分之一得方程。（此题展示于右上） 分析:（法二） 依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，?由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，?则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（）cm，宽为（）cm．因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三．从而得方程。或直接根据四周的彩色边衬所点面积是封面面积的四分之一得方程。 解：
实际问题与一元二次方程-面积问题 知识点一：通道类面积问题 1．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x 米，根据题意，可列方程为( ) A ．(10)900x x -= B ．(10)900x x += C ．10(10)900x += D ．2[(10)]900x x ++= 【答案】B 2．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为( ) A B ．5 C ．25 D ．7 【答案】B 3．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？ 【答案】解：设道路的宽应为x 米，由题意有 (100)(80)7644x x --=， 解得1178x =（舍去），22x =． 答：道路的宽应为2米． 4．如图，将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为4cm 的小正方形，做成一个无盖的盒子，如果盒子的容积为3400cm ，求原正方形铁皮的边长． 【答案】解：设原正方形铁皮的边长为xcm 则由题意可得24(8)400x -=
解得118x =，22x =-（不合题意，舍去）． 答：原正方形铁皮的边长为18cm ． 知识点二：围墙类面积问题 5．如图，有面积为2150m 的长方形养鸡场，鸡场的一边靠围墙（围墙长为18米），另外三边用篱笆围成，竹篱笆的总长为35m ． （1）求鸡场的长与宽各为多少米？ （2）能围成面积比2150m 更大的养鸡场吗？如果能，请求出最大面积． 【答案】解：（1）设养鸡场的宽为xm ，则长为(352)x -，由题意得(352)150x x -=， 解方程得：115 2 x = ，210x = 当养鸡场的宽为15 12 x =时，养鸡场的长为20m 不符合题意，应舍去， 当养鸡场的宽为110x m =时，养鸡场的长为15m ． 答：鸡场的长与宽各为15m ，10m ． （2）设围成养鸡场为S ，由（1）得， 2351225 (352)2()48 S x x x =-=-- + ， 所以能围成面积比2150m 更大的养鸡场，最大面积为 2 12258 m ． 6．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB ，BC 各为多少米？ 【答案】解：设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为(1004)x -米． 根据题意得(1004)400x x -=，
湘教版数学九年级上册第2章一元二次方程 2.5 一元二次方程的应用图形面积问题专题检测题 1．一根长为22 m的铁丝，恰好折成一个面积为30 m2的矩形，则这个矩形的长是( ) A．5 m B．6 m C．7 m D．10 m 2．一边靠6 m长的墙，其他三边用长为13 m的篱笆围成的长方形鸭舍的面积为20 m2，那么这个长方形鸭舍与墙垂直的一边的长是( ) A．4 m B．2.5 m C．2 m D．4 m或2.5 m 3．(易错题)某杂技团用68 m长的幕布围成一个面积为300 m2的矩形临时场地，并留出2 m 作为出入口，则矩形场地的长为( ) A．15 m B．20 m C．25 m D．30 m 4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm.动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1 cm/秒，点Q的速度为2 cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间中，能使△PBQ的面积为15 cm2的是( ) A．2秒钟B．3秒钟 C．4秒钟D．5秒钟 5．如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米，若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为_______________________． 6．如图是一张长9 cm、宽5 cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12 cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为x cm.则可列出关于x的方程为_______________________________. 7. 如图，某小区规划在一个长30 m、宽20 m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB 平行，另一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78 m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为x m，由题意列方程为____________________________． 8．要用一根长为24 cm的铁丝围成一个斜边为10 m的直角三角形，则两直角边的长分别为____________________.
一元二次方程的面积问题 1、教学目标 知识与能力： 1、会选用合理的方法解决一元二次方程的面积问题。 2、会根据实际面积问题中的数量关系列一元二次方程解应用题。 3、能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。 过程与方法： 1 、经历探索列一元二次方程解面积应用题的过程。 2、体验通过移动变化分析面积问题的方法。 3、发展学生应用数学的意思。 情感态度与价值观： 让学生体会一元二次方程是刻画现实世界一个有效的数学模型，感悟数学来源于生活，服务于生活；同时培养学生自我探索的兴趣和能力。 2、教学目标 重点：运用一元二次方程探索和解决面积问题。 难点：面积问题中的等量分析 关键：合理利用图表进行等量分析 教学过程：
在这样的设想下,列方程是否符合题目要求2，你能从图形中找出等量关系吗？ 等量关系： （原长-小道宽）×（原宽-小道宽）设计意图： 再次明确移动图形问题是本节探索的重点，
星光大道第3关“变形”我会做 变形1学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米 的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等 宽的小道（如图）,要使种植面积为600平方米，求小道 的宽。 星光大道第3关 弯道面积为什么等
一元二次方程面积问题草坪面积怎么算？ 32米
变形5 学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸。经试验，彩纸面积为相片面积的2/3时较美观，求镶上彩纸条的宽。 （加彩纸后）装饰后的相片面积=原相片面积×5/3 ）(12+2x)=18×12×5/3 星光大道第3关 “变形”我会做 设计意图： 一题多变，一题多解，既能充分利用教材，最大限度地调动学生的学习积极性，又能拓展学生的思维，增加学生探索的广度和深度 星光大道第4关 规律我会找 通过以上几个变形,你能得出什么规律? 一元二次方程面积问题 借助图形分析数量关系，是一种重要的数学思想。这类图形问题，一般都在面积方面存在着等量关系，可以通过列一元二次方程进行解答。 及时进行知识整合，提供解题方法，引导学生从感性认识上升到理性认识，培养学生归纳概括的习惯和能力。
元二次方程的应用 面积问题 【小知识大作用】 1 直角三角形面积公式：一般三角形面积公式： 2、正方形周长公式：正方形面积公式： 3、矩形周长公式：矩形面积公式： 4、梯形面积公式： 5、平行四边形面积公式：菱形面积公式： 6、圆的周长公式：圆的面积公式： 小贴士：这些简单的公式，在我们解决生活中的实际问题时发挥着很大的作用. 【学习交流】 类型一： 1、有一根1m长的铁丝，怎样用它围成一个面积为的长方形
2、如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外 三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m,所围的面积为150m2,则此 长方形鸡场的长、宽分别为多少 3、如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃.要围成 苗圃的面积为81m：矩形的长、宽分别为多少 类型二： 1、某校为了美化校园，准备在一块长32米，宽20米的长方形场地上修筑若干条一样宽的道路，余下部分作草坪，并请全校同学参与设计，现在有四位学生各
设计了一种方案（如图），根据两种设计方案各列出方程，求图中道路
的宽分别是多少使图中的草坪面积为540米2. 【元调真题】 世博会中国国家馆模型的平面图如图所示，其外框是一个大正方形，中间四个全等的小正方形（阴影部分）是支撑展馆的核心筒，标记了字母的五个全等的正方形是展厅.已知核心筒的边长比展厅的边长的一半多1米，外框的面积刚好是四个核心筒面积和的9倍.求核心筒的边长.
【能力提升】 如图，一个矩形恰好分成六个正方形，其中最小的正方形的边长是1cm, 求这个矩形的面积。 【检测】 1.如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建 两条同样宽的道路，余下部分作为耕地.若耕地面积需要551米S则 修建的路宽应为（） A. 1米 B. 1.5 米
利用一元二次方程解决面积问题同步练习 1．能够建立一元二次方程模型解决有关面积的问题；(重点、难点) 2．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．(难点) 一、情景导入 如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m 2，道路的宽为多少？ 二、合作探究 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 如图所示，某幼儿园有一道长为16m 的墙，计划用32m 长的围栏靠墙围成一个面积为120m 2的矩形草坪ABCD ，求该矩形草坪BC 边的长． 解析：若设BC 长为x m ，则宽AB 可表示为32－x 2 m ，由矩形的面积公式“面积＝长×宽”可列方程求解． 解：设矩形草坪BC 边的长为x m ，则宽AB 为32－x 2 m. 根据题意，得x ·32－x 2 ＝120. 解得x 1＝12，x 2＝20. 又由题意知BC ≤16，∴x ＝20不符合题意，应该舍去． ∴该矩形草坪BC 边的长为12m. 方法总结：(1)结合图形分析数量关系是解决面积等几何问题时的关键；(2)注意检验一元二次方程的根是否符合题意． 将一条长20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？ (2)两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由． 解析：做成的是两个正方形，且已知两个正方形的面积之和，只需设出正方形的边长或用未知数表示出边长，列方程解答即可． 解：设一个正方形的周长为x cm ，则另一个正方形的周长为(20－x )cm. (1)由题意可列方程(x 4)2＋(20－x 4 )2＝17.解此方程，得x 1＝16，x 2＝4. 所以两段铁丝的长度分别为16cm 和4cm ； (2)由题意可列方程(x 4)2＋(20－x 4 )2＝12， 此方程化为一般形式为x 2－20x ＋104＝0. ∵b 2－4ac ＝(－20)2－4×1×104＝－16<0， ∴此方程无解． ∴两个正方形的面积之和不可能等于12cm 2. 方法总结：对于生活中的应用题，首先要全面理解题意，然后根据实际问题的要求，确定用哪些数学知识和方法解决，如本题用方程思想和一元二次方程的根的判定方法来解决． 三、板书设计 列一元二次方程解应用题的一般步骤可以归结为“审，设，列，解，检，答”六个步骤： (1)审：审题要弄清已知量和未知量，问题中的等量关系； (2)设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异； (3)列：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，列代数式表示相等关系中的各个量，即可得到方程； (4)解：求出所列方程的解； (5)检：检验方程的解是否正确，是否保证实际问题有意义； (6)答：根据题意，选择合理的答案． 经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型．通过学生创设解决问题的方案，增强学生的数学应用意识和能力. 利用一元二次方程解决面积问题教案 教学目标 1、体会通过建立方程解决实际问题的意义和方法 2、会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力 知识准备 无盖的长方体是如何制作的？教学内容： 一、情境创设 一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个正方形，制成高是5㎝，容积是500㎝3 的无盖长方体容器。求这块铁皮的长和宽。 二、探索活动 如何设未知数？如何找出表达实际问题的相等关系？这个问题中的相等关系是什么？
连云港宿迁淮安专题检测题一元二次方程的应用图形面积问题（2016年12月29日） 1．一根长为22 m的铁丝，恰好折成一个面积为30 m2的矩形，则这个矩形的长是( ) A．5 m B．6 m C．7 m D．10 m 2．一边靠6 m长的墙，其他三边用长为13 m的篱笆围成的长方形鸭舍的面积为20 m2，那么这个长方形鸭舍与墙垂直的一边的长是( ) A．4 m B．2.5 m C．2 m D．4 m或2.5 m 3．(易错题)某杂技团用68 m长的幕布围成一个面积为300 m2的矩形临时场地，并留出2 m 作为出入口，则矩形场地的长为( ) A．15 m B．20 m C．25 m D．30 m 4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm.动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1 cm/秒，点Q的速度为2 cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间中，能使△PBQ的面积为15 cm2的是( ) A．2秒钟B．3秒钟 C．4秒钟D．5秒钟 5．如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米，若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为_______________________． 6．如图是一张长9 cm、宽5 cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12 cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为x cm.则可列出关于x的方程为_______________________________. 7. 如图，某小区规划在一个长30 m、宽20 m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB 平行，另一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78 m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为x m，由题意列方程为____________________________． 8．要用一根长为24 cm的铁丝围成一个斜边为10 m的直角三角形，则两直角边的长分别为____________________.
一元二次方程的应用（面积问题） 【学习目标】 1.使学生会用代数式表示图形的面积并对所求的结果进行取舍。 2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养用数学的意识。 【学习重点】会用代数式表示图形的面积并对所求的结果进行取舍． 【学习难点】会用代数式表示图形的面积并对所求的结果进行取舍． 【自主探究】 一、探究一： 1.我班为方便学生与学生，学生与老师交流，设计若干条通道，请问你会如何设计？ 2.书本封面设计：要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm, 正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形.如果要使四 周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,上下边衬等宽, 左右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度？ 练习：1.某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图(1),(2)的草坪面积为540米2? （1）（2）
2.在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求两种方案下的道路的宽分别为多少？ 3.如图，某小区有一个等腰梯形的场地，上底长120m，下底长200m，上下底相距80m，在两腰中点连线处有一条东西方向横向大道，南门有两条纵向大道，宽度与横向大道等宽，北门有一条纵向大道，宽为横向大道的2倍。大道的所有面积占梯形面积的19%，问东西方向大道的宽应为多少米？ 南门东 西 北门 南门 南门东 西 北门