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课时知能训练
一、选择题
1．若f(x)是R 上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)等于( )
A ．－1
B ．1
C ．－2
D ．2
【解析】 ∵函数周期T ＝5，且为奇函数，
∴f(1)＝f(1－5)＝f(－4)＝－f(4)＝1，
∴f(4)＝－1.
又∵f(2)＝f(2－5)＝f(－3)＝－f(3)＝2，
∴f(3)＝－2，
因此f(3)－f(4)＝－2－(－1)＝－1.
【答案】 A
2．(2011·安徽高考)设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x ，则f(1)＝( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
【解析】 当x≤0时，f(x)＝2x2－x ，则f(－1)＝3，
由f(x)在R 上为奇函数，得f(1)＝－f(－1)＝－3.
【答案】 A
3．若函数f(x)满足f(x)·f(x ＋2)＝2，若f(0)＝2，则f(2 012)＝( )
A ．2
B ．－2
C ．1
D ．2 010
【解析】 由f(x ＋2)＝2f x 得f(x ＋4)＝2f x ＋2
＝f(x)， ∴f(x)的周期为4.
∴f(2 012)＝f(503×4＋0)＝f(0)＝2.
【答案】 A
4．(2012·广东六校联考)若偶函数f(x)在(－∞，0)内单调递减，则不等式f(－1)＜f(lg x)的解集是( )
A ．(0,10)
B ．(110，10)
C ．(110
，＋∞) D ．(0，110)∪(10，＋∞) 【解析】 因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，
因为f(x)在(－∞，0)内单调递减，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
故|lg x|＞1，即lg x ＞1或lg x ＜－1，
解得x ＞10或0＜x ＜110
. 【答案】 D
5．(2011·湖北高考)已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax －a －x ＋2(a ＞0，且a≠1)．若g(2)＝a ，则f(2)＝( )
A ．2 B.154 C.174 D ．a2
【解析】 ∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，
∴f(－2)＝－f(2)，g(－2)＝g(2)＝a ，
∵f(2)＋g(2)＝a2－a －2＋2， ①
2 ∴f(－2)＋g(－2)＝g(2)－f(2)＝a －2－a2＋2，
②
由①、②联立，g(2)＝a ＝2，f(2)＝a2－a －2＝154. 【答案】 B
二、填空题
6．设函数f(x)＝x(ex ＋ae －x)(x ∈R)是偶函数，则实数a 的值为________．
【解析】 ∵f(x)是偶函数，∴f(－1)＝f(1)，
∴－(1e ＋ae)＝e ＋a e ，化简变形得(1＋a)(e ＋1e
)＝0， 因此1＋a ＝0，∴a ＝－1.
【答案】 －1
7．(2011·广东高考)设函数f(x)＝x3cos x ＋1，若f(a)＝11，则f(－a)＝________.
【解析】 令g(x)＝f(x)－1＝x3cos x ，则g(x)为奇函数，
由f(a)＝g(a)＋1＝11，得g(a)＝10，g(－a)＝－10，
又g(－a)＝f(－a)－1，故f(－a)＝g(－a)＋1＝－9.
【答案】 －9
8．设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f(x ＋1)＝f(x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f(x)＝2x ，则有
①2是函数f(x)的周期；
②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；
③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.
其中所有正确命题的序号是________．
【解析】 在f(x ＋1)＝f(x －1)中，令x －1＝t ，则有f(t ＋2)＝f(t)，因此2是函数f(x)的周期，故①正确；
当x ∈[0,1]时，f(x)＝2x 是增函数，则f(x)在[－1,0]上是减函数，
根据函数的周期性知，函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；在区间
[－1,1]上，f(x)的最大值为f(1)＝f(－1)＝2，f(x)的最小值为f(0)＝1，故③错误．
【答案】 ①②
三、解答题
9．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x.试解关于a 的不等式f(2－a2)＞f(a)．
【解】 当x≥0时，f(x)＝x2＋2x 是增函数．
又f(x)是定义在R 上的奇函数．
∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a ，
解之得－2＜a ＜1.
∴不等式的解集为{a|－2＜a ＜1}．
10．定义在R 上的函数f(x)，满足对任意x1，x2∈R ，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)如果f(4)＝1，f(x －1)＜2，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，试求实数x 的取值范围．
【解】 (1)令x1＝x2＝0，得f(0)＝0；
令x1＝x ，x2＝－x ，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
即f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(2)∵f(4)＝1，∴f(8)＝f(4)＋f(4)＝2，
∴原不等式化为f(x－1)＜f(8)．
又f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
f(0)＝0且f(x)是奇函数，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
因此x－1＜8，∴x＜9.
所以实数x的取值范围是(－∞，9)．
11．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．
(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；
(2)若f(x)＝x(0＜x≤1)，求x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．
【解】(1)证明由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
有f(x＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x＋2)．
又函数f(x)是定义在R上的奇函数，
有f(－x)＝－f(x)．
故f(x＋2)＝－f(x)．
从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数．
(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)＝0.
x∈[－1,0)时，－x∈(0,1]，f(x)＝－f(－x)＝－－x.
故x∈[－1,0]时，f(x)＝－－x.
x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1,0]，
f(x)＝f(x＋4)＝－－x－4.
从而，x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－－x－4.
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