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3定义命题公理与定理

定义命题公理与定理

一、一周知识概述

1、概念的定义

对于一个概念的特征性质的描述叫作这个概念的定义．

如平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．

2、命题

叙述一件事情的句子（陈述句），如果要么是真的，要么是假的，那么这个陈述句是一个命题．

如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题．如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题．

如“对顶角相等”是真命题，“相等的角是对顶角”是假命题.

3、命题的形式

命题由条件和结论两部分组成．命题常写成“如果…那么…”的形式，“如果”连接的是条件，“那么”连接的是结论．对于不具有这种形式的命题，它的条件和结论往往不明显，但可以改写命题为“如果…那么…”的形式，改写时不能改变原意，同时注意语句通顺完整，必要时可适当增加一些字词，注意条件和结论都是完整的语句．

4、命题的证明

判断一个命题是否正确，需要通过有理有据的推理才能作出正确的判断，这样的推理过程叫命题的证明.

证明一个真命题一般按以下步骤进行：

（1）审题，分清命题的条件与结论.

（2）画图，依题意画出图形，画图时应做到图形正确且具有一般性，切忌将图形特殊化.

（3）写“已知”“求证”，按照图形分析、探求解题思路，然后写出证明过程，证明的每一步都要做到叙述清楚，而且要有理有据.

判断一个命题是假命题，只需举一个满足命题条件但结论不同于命题结论的“反例”即可，也就是举出一个符合命题的题设而不符合结论的例子.

5、互逆命题

把一个命题的条件和结论交换后，就构成一个新的命题．如果原来的命题叫原命题，则这个新的命题叫做原命题的逆命题．这样的两个命题叫做互逆命题．

6、公理和定理

人们在长期的实践中总结出来的公认的真命题，作为证明的原始依据，这样的真命题叫做公理．即在长期的实践中，人们总结出来的一些基本事实.如“过两点有且只有一条直线”；“两点之间，线段最短”等等．它们可以作为判断其它命题真假的原始依据．

教材到目前为止选择的十条公理：

（1）等量加等量，和相等．

（2）等量减等量，差相等．

（3）等量代换（即：如果a＝b，且b＝c，那么a＝c）．

（4）整体大于部分．

（5）通过两点有且只有一条直线．

（6）连结两点的所有连线中，线段最短．

（7）经过一条直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

（8）平移不改变图形的形状和大小，平移不改变直线的方向．

（9）轴反射不改变图形的形状和大小．

（10）旋转不改变图形的形状和大小．

有些命题是以基本定义和公理作为推理的出发点，去判断其他命题的真假，已经判断为真命题的命题称为定理．定理也可以作为判断其他命题的真假的依据．

7、一个定理的逆命题经过证明是真命题，称它为原来的定理的逆定理．这样的两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．

二、重难点知识

1、关于定义：

（1）定义必须是严密的，在表述时，一般避免使用含糊不清的术语，比如“大约”、“大概”、“差不多”、“左右”等．

(2)正确的定义能把被定义的事物或名词与其他的事物或名词区别开来．

2、关于命题

(1)命题是句子，而且必须是能判断正确和错误的句子．

(2)错误的命题也是命题．

如对“两直线相交”这个句子，我们无法判断它是正确的还是错误的，因而它不是命题．

找出一个命题的条件和结论是难点，对那些条件和结论不明显的命题，必要时结合图形来区分．如命题，“对顶角相等”，它的条件和结论不明显，应将它改成“如果两个角为对顶角，那么这两个角相等”，再指出条件和结论．

3、定义、命题、公理和定理之间的联系与区别

这四者都是句子，都可以判断真假，即定义、公理和定理也是命题，不同的是定义、公理和定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过公理是最原始的依据．而命题不一定是真命题，因而它不一定能作为进一步判断其他命题真假的依据．

三、典型例题讲解

例1、下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?

(1)若a

(2)三角形的三条高交于一点；

(3)在ΔABC中，若AB>AC，则∠C>∠B吗?

(4)两点之间线段最短；

(5)解方程；

(6)1＋2≠3．

例2、指出下列命题的条件和结论

（1）同垂直于一直线的两条直线平行

（2）同角的补角相等

（3）同位角相等

（4）两直线相交只有一个交点

（5）若a2=b2，则a=b

（6）同位角相等，两直线平行

例3、下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题请举出反例．

⑴同位角相等．

⑵平行于同一直线的两条直线平行．

⑶一个数若能被2整除，则它一定能被4整除．

⑷同旁内角互补，两直线平行．

例4、下列定理是否都有逆定理？若有，请写出来．

(1)如果两个角都是直角，那么这两个角相等；

(2)内错角相等，两直线平行；

(3)等边三角形的三个角都等于60°．

一、选择题

1、下列描述不属于定义的是（）

A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形

B．正三角形是特殊的三角形

C．在同一平面内三条线段首尾相连得到的图形是三角形

D．含有未知数的等式叫做方程

2、下列语句是命题的是（）

A．在那星光灿烂的夜晚

B．小丽漂亮吗？

C．延长线段AB到C

D．对顶角不相等

3、下列命题中真命题有（）

（1）一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形．（2）一组对边平行，一个对角相等的四边形是平行四边形．

（3）正比例函数一定是一次函数．

（4）速度一定，路程和时间成正比例关系．

A．1个B．2个

C．3个D．4个

4、下列命题中，假命题是（）

A．如果|a|=a，则a≥0

B．如果，那么a=b或a=－b

C．如果ab>0，则a>0，b>0

D．若，则a是一个负数

5、若m、n、p为三个正实数，如果，那么之成立的依据是（）

A．等量加等量和相等B．等量减等量差相等

C．不等式的基本性质D．整体大于部分

6、下列定理存在逆定理的有（）

（1）等腰梯形的两条对角线相等．

（2）矩形的对角线相等．

（3）正方形的四个角都是直角．

（4）如果一个三角形的三边a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形．

A．1个B．2个

C．3个D．4个

7、下列命题：

①顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形

②等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形

③若直角三角形的两条边长为3和4，则第三边是5

④若一个数能被2整除，那么这个数也能被4整除

其中正确命题的个数是（）

A．4个B．3个

C．2个D．1个

8、下列说法正确的是（）

A．真命题的逆命题是真命题

B．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题

C．定理一定有逆定理

D．命题一定有逆命题

二、填空题

9、梯形的定义是：_________．

10、把命题“等边三角形的每一个内角都为60°”改成“如果……，那么……”的形式为________．

11、“两负数之积为正数”的条件是___________________，结论是__________________．

12、下列语句是命题的，请将序号填在横线上：___________．

①延长线段AB到C，使BC＝AB.

②若，则.

③画∠AOB的平分线OC.

④角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

⑤开发大西北.

⑥你好，小燕子！

⑦快走！不然就迟到了．

⑧“WTO”所指的是什么？

13. 写出一条平行线的性质定理：_________________________________．

二、解答题

14、下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?

(1)若a

(2)三角形的三条高交于一点；

(3)在ΔABC中，若AB>AC，则∠C>∠B吗?

(4)两点之间线段最短；

(5)解方程；

(6)1＋2≠3．

15、判断下列语句是不是命题，如果是命题，是真命题，还是假命题，对于假命题请举出反例．

（1）画线段AB＝3cm．

（2）平行于同一条直线的两条直线互相平行．

（3）两条直线相交，有几个交点？

（4）相等的角都是直角．

（5）如果a2＝b2，那么a＝b.

（6）直角都相等．

16、下列定理有逆定理吗？如果有，把它写出来；如果没有，举一个反例说明．

（1）正方形的对角线互相垂直平分且相等．

（2）对顶角相等．

（3）若正n边形的每一个外角为60°，则n＝6．

（4）平行四边形的对边相等．

17、小华在钻研数学问题时发现，12<22，22<32，32<42，…于是他得出结论：对于任意实数a、b，若a

18、A、B、C三人在一起争论一个问题时，A指责B说谎话，B指责C说谎话，C指责A 和B都说谎话．现请你推测一下，到底谁说真话？谁说谎话？

分析：

句子（1）（2）（4）（6）对事情作了判断，所以是命题，句子（3）是问句，（5）没有对事情作出判断，不是命题．

解：

（1）（2）（4）（6）是命题，（3）（5）不是命题．

小结：

理解定义、命题的含义时，要突出语句的作用．句子根据其作用分为判断、陈述、疑问、祈使四个类别．定义属于陈述句，是对一个名称或术语的意义的规定．而命题属于判断句或陈述句，且都对一件事情作出判断．与判断的正确与否没有关系．

解：

（1）条件：两条直线垂直于同一条直线；结论：这两条直线平行.

（2）条件：两个角是同一个角的补角．结论：这两个角相等．

（3）条件：两个角是同位角，结论：这两个角相等．

（4）条件：两直线相交，结论：这两条直线只有一个交点．

（5）条件：a2=b2；结论：a=b.

（6）条件：同位角相等；结论：两直线平行．

解：

⑴是假命题，如图所示，∠1与∠2是同位角，但∠1≠∠2．

⑵是真命题．

⑶是假命题，例如6能被2整除，但却不能被4整除．

⑷是真命题．

分析：先写出每个定理的逆命题，再判断其真假．

解答：

(1)的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是直角．它是一个假命题．故(1)没有逆定理．

(2)的逆命题是：两直线平行，内错角相等．它是一个真命题，故(2)的逆命题就是它的逆定理．

(3)的逆命题是：三个角都等于60°的三角形是等边三角形，它是一个真命题，故也是它的逆定理．

总结：

先写出逆命题，再判断真假，一般判断一个命题是真命题要经过证明，判断一个命题是假命题只需举一个反例即可．

第1题答案错误! 正确答案为 B

第2题答案错误! 正确答案为 D

第3题答案错误! 正确答案为 C

第4题答案错误! 正确答案为 C

第5题答案错误! 正确答案为 D

第6题答案错误! 正确答案为 A

第7题答案错误! 正确答案为 D

第8题答案错误! 正确答案为 D

提示：

1、命题的基本特征是判断，而A、B、C显然都没有判断，故只有D项才是命题．

2、正确的命题为真命题，(1)假命题．

4、ab>0，可以a<0，且b<0.

6、（4）存在逆定理即勾股定理的逆定理．

8、真命题的逆命题不一定是真命题，如“对顶角相等”，逆命题“相等的两个角是对顶角”是假命题；假命题的逆命题不一定是假命题，如“面积相等的两个三角形全等”，其逆命题“全等三角形的面积相等”是真命题；一个定理的逆命题可能是假命题，因此定理不一定有逆定理；但是命题一定有逆命题，所以A、B、C均不正确，应选D．

9、有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．

10、一个三角形是等边三角形，那么它的每一个内角都为60°．

11、两负数相乘，积是正数．

12、②，④

13、两直线平行，同位角相等

14 答案：（1）（2）（4）（6）是命题，（3）（5）不是命题。

15解：（1）、（3）不是命题，因为句子中没有作出任何判断．

（2）、（6）是真命题．

（4）、（5）是假命题．

对于（4），比如：∠A＝30°，∠B＝30°，∠A＝∠B，但∠A、∠B都不是直角．

对于（5），如：当a＝－5，b＝5时，a2＝25，b2＝25，满足a2＝b2，但a≠b，结论不成立.

16 解：（1）有逆定理：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．

（2）没有逆定理：

比如：同位角相等，但同位角不是对顶角．

（3）有逆定理：正六边形的每一个外角为60°．

（4）有逆定理：对边相等的四边形是平行四边形．

17 答案：不正确，例如：－5<1，但(－5)2>12．

18 答案：B说真话，A、C说谎话．

中考解析

例、（哈尔滨）下列各命题正确的是（）

A．是同类二次根式

B．梯形同一底上的两个角相等

C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行

D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等

解析：

②∵只有等腰梯形同一底上的两个角相等，故B不一定正确．

③∵在同一平面，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故C不一定正确．

④∵两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，故D不一定正确．

故选A．

答案：A

立体几何公理及定理

立体几何公理及定理一、空间点、线、面之间的关系 1、两条直线的位置关系有： 2、两个平面的位置关系有：公理1、如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。公理2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论1、一组平行直线确定唯一一个平面。推论2、一条直线及直线外一点确定唯一一个平面。公理3、如果有两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。公理4（平行公理）、平行于同一直线的两直线平行。二、平行关系直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。平面与平面平行的性质定理： 1、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 2、两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3、夹在两个平行平面间的平行线段相等。 4、平行于同一平面的两个平面平行。三、垂直关系直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。直线与平面垂直的性质定理： 1、垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 2、如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线垂直于平面内的所有直线。平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。三角公式汇总一、任意角的三角函数 1. ①与α终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ

定义定理公理定律的区别

定义、定理、定律和定则表面上看定义、定理和定律都是由一些文字性的叙述加上数学表达式所组成，形式上确实差别不大，而老师上课往往会注重了它们在应用方面的讲授，忽略了其内在的区别和联系，造成很多学生从初中到高中甚至大学，尽管会用其去解决问题，但对三者之间的区别依然一知半解；甚至有部分教师在课堂教学中对此也存在着模糊的认识，滥用定义；误把定律当定理或者定理当定律的事情都常有发生。下面笔者结合自己的体会，谈谈在高中物理教学中应如何讲清它们的一些特点和联系。对于每一个概念，我们不妨先从词典里对它的解释入手来看问题，然后再辨析一下与它相近的概念，便于对比和理解。 1定义：定义是对于一种事物的本质特征或一个概念的内涵和外延的确切而简要的说明。如果用通俗的说法，对某个概念的“定义”告诉我们的是：“什么是”这个量，而我们常见的“物理意义”告诉我们的是：这个量“是什么”。举个最常见的例子，如速度，定义：速度表示单位时间内通过的位移，物理意义：速度表示物体运动的快慢。在物理学中，定义是有实际用处的，定义一个量，表面上似乎有一些任意性，但如果是为了解决生产实际的问题，那就要求定义出来的量有意义，有实际用处。所以没有人随便找几个物理量来乘乘除除，起个名字，创造个新的物理量出来。假设我们定义一个质点的动能和动量分别为E k = mv和P= ,如果撇开动能定理和动量定理来说它是否正确，就没有什么意义了，因为离开了用到它的场合，就等于失去了检验它的标准，而成为没有实际意义的游戏。而动能和动量为什么是我们熟知的E k =mV和P = mv呢？原因在于我们可以通过这样的定义，寻找到某种等量关系，即动能定理和动量定理，并可以运用它来帮助我们解决实际问题。其次定义的另一个特点在于简化公式或定理，使定理的文字叙述和公式表达更易于理解和便于记忆，也使定理的物理意义更加明确。例如：定义冲量等于力乘以力所作用时间的乘积，即I = f ? t，又定义动量是物体的质量与物体速度的乘积，即P = mv,而动量定理正是I = P2 - R,这样动量定理的表述就更加简洁明了。定义某个物理量时，都有对应的表达式，或称其为定义式，在定义式中，被定义的量是不能独立地确定的，而要靠其他物理量来确定。如：真空中点电荷Q的电场强度，我们可以定义为的形式。因为F和q可以独立地确定，但E却不能，它就是由来确定的。并不是什么物理量都有定义的，例如最常见的力，“力是物体之间的相互作用”，显然不是对力的定义，充其量只是一种说明。还有我们熟悉的“能”的概念，具有做功本领的物体就具有能，这也不是对“能”的定义。 2 ?定理：定理是建立在公理和假设基础上，经过严格的推理和证明得到的，它能描述事物之间内在关系，定理具有内在的严密性，不能存在逻辑矛盾。比如：勾股定理，隐含公理是平直的欧几里得空间，假设是直角三角形。要明白定理的来源，首先我们必须了解公理，公理是不证自明的真理，是建立科学的基础，欧几里得《几何原本》就是建立在五条公理基础上严密的逻辑体系。公理和定理的区别主要在于：公理的正确性不需要用逻辑推理来证明，而定理的正确性需要逻辑推理来证明。在物理学中而定理是通过数学工具（如微积分）推理得来的，如动能定理；定律是由实验得出或

立体几何公理、定理推论汇总74915

立体几何公理、定理推论汇总一、公理及其推论公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 作用： ① 用来验证直线在平面内； ② 用来说明平面是无限延展的。公理 2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）符号语言：P l P l αβαβ∈?=∈I I 且作用：① 用来证明两个平面是相交关系； ② 用来证明多点共线，多线共点。公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号语言：,,,,A B C A B C ?不共线确定一个平面推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。符号语言：A a A a a αα??∈?有且只有一个平面，使，推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。符号语言：a b P a b ααα?=???有且只有一个平面，使，推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。符号语言：//a b a b ααα???有且只有一个平面，使，公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言：作用：用来证明线线平行。二、平行关系公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1）符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言：线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2）符号语言：////a b a a b ααα?? ? ????? 图形语言：线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（3）符号语言：////a b a a b βαβα ? ? ????=? I 图形语言：面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4）

包括定义公理定理公式方法等它们之间存在

1.什么是学生的原有知识结构？您认为学生的原有知识结构在初中数学教学中的地位、作用是什么？般人们认为：在数学中，包括定义、公理、定理、公式、方法等，它们之间存在的联系以及人们从一定角度出发，用某种观点去描述这种联系和作用，总结规律，归纳为一个系统，这就是知识结构。学生原有知识结构存在学生的大脑中目前这个系统。 2. 在“数与代数” 、“空间与图形” 、“统计与概率” 领域中，您发现中小学知识的衔接点分别是什么？您在每部分内容的教学时，遇到的主要困难是什么？您用什么具体教学方法解决的？ 3. 在“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”领域中，选取一个具体内容，谈一谈您在初中数学教学中是如何注重学生的原有知识结构的？ 4.请您谈谈学习了“学生的原有知识结构与初中数学教学”这个专题的感想与收获。初中数学教师要坚持终身学习，扩展专业知识认真研究中小学教材，正确把握新旧内容的衔接点，充分了解学生已有知识结构，确定教与学的重难点，尽可能多地利用小学已学过的旧知识，形成旧知识对新知识的正迁移，从而提高课堂教学效率。认真学习中小学生心理学，在教学中把握他们的认知基础，在教学中遵循由具体到抽象、由感性到理性的认知规律，逐步发展学生的抽象思维能力和逻辑思维能力。认真学习中小学教育学理论，把知识讲得深入浅出，准确把握教学的重难点。认真学习各种教学手段，尤其是多媒体，创设真实情境，充分揭示新旧知识的内在联系。坚持听课评课，学习新的教学理念。初中数学教学中要重视学科基础知识点的衔接所谓衔接点，不是一般的新旧知识的联系点，而是从小学到初中产生质的飞跃的关节点。从知识结构上看，初中数学是建立在小学已学知识基础之上，是小学知识的开拓和扩展，但是初中数学已失去了小学数学中那种数的直观性、可塑性，已初步进入抽象化、概念化、逻辑条理化的层次，初中教师在教学中要注意了解学生以前学过的知识，并借助已有的零碎知识引导学生构建新的知识体系，指导学生主动思维、发现、认识、了解新知识，从而激发学生兴趣，教给学生探求问题、解决问题的方法。传授知识并不是把学生所学知识全盘告诉学生，而是要设法让学生在知识产生的背景中去思考探求，去尝试理解。作为初中数学教师应当把小学与初中数学内容，作一个系统进行分析和研究，搞好新旧知识的架桥铺路工作，掌握新旧知识的衔接点，才能做到有的放矢，提高教学质量。 3 ．初中数学教学中要注意教学方法的衔接教学方法的衔接，不是倒退与迁就，而是前进与过渡。主要是顺应学生由小学的学习习惯步向中学的教法过渡。根据小学生自我意识强烈，兴奋点多，模仿力强等特点，注意把握一堂课的前五分钟的最佳时间，组织学生自学，讨论，答疑，并在每节课安排至少十分钟的时间板演或独立练习，以充分调动学生的学习积极性。这里要注意爱护学生在小学时就有的勇于发表意见的积极性，引导学生发扬敢打敢拼的精神。又要避免学生不加思考的集体齐答现象，也不要集中提问，尽量让每个学生都有发言的机会。问题要贴切学生的知识水平、认知结构，并适当的发展他。

初中数学公理和定理大全

初中数学知识内容概况公理和定理一、线与角 1．两点之间，线段最短。 2．经过两点有一条直线，并且只有一条直线。 3. 等角的补角相等，等角的余角相等。 4．对顶角相等 5. 经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 6. （1）经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。（2）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行. 7．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 8. 平行线的判定：（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行；（4）垂直于同一条直线的两条的直线互相平行. 9. 平行线的特征：（1）两直线平行，同位角相等。（2）两直线平行，内错角相等。

（3）两直线平行，同旁内角互补。 10. 角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 角平分线的判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 11. 线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等. 线段垂直平分线的判定：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．二、三角形、多边形 12. 三角形中的有关公理、定理：（1）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；③三角形的外角和等于360°. （2）三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°. （3）三角形的任何两边的和大于第三边（4）三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 13．多边形中的有关公理、定理：（1）多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（ n－2）×180°. （2）多边形的外角和定理：任意多边形的外角和都为360°. 14.（1）如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被

初中几何公理、定理

初中几何公理、定理一、线与角 1、两点之间，线段最短 2、经过两点有一条直线，并且只有一条直线 3、对顶角相等；同角的余角（或补角）相等；等角的余角（或补角）相等 4、经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 5、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短（简称“垂线段最短”） 6、平行线的判定：①同位角相等，两直线平行②内错角相等，两直线平行③同旁内角互补，两直线平行④平行于同一直线的两直线平行⑤垂直于同一直线的两直线平行 7、平行线的性质： ①经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 ②如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行 ③两直线平行，同位角相等④两直线平行，内错角相等⑤两直线平行，同旁内角互补 ⑥平行线间的距离处处相等 9、角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等角平分线的判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 10、垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等垂直平分线的判定：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上二、三角形、多边形 11、三角形中的有关公理、定理：（1）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ②三角形的外角和等于360° （2）三角形内角和定理：三角形的内角和等于180° （3）三角形的任何两边的和大于第三边、两边的差小于第三边（4）三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 12、多边形中的有关公理、定理：（1）多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（ n－2）×180° （2）多边形的外角和定理：任意多边形的外角和都为360° （3）欧拉公式：顶点数 + 面数－棱数=2 13、等腰三角形中的有关公理、定理：

平面几何定理公理总结

平面几何定理公理总结一、线与角 1.两点之间，线段最短。线段的长叫两点间的距离。 2.直线外一点到直线，垂线段最短，垂线段的长叫该点到直线的距离。 3.一组平行线中，一条直线上一点到另一条直线的距离，叫两条平行线间的距离。 4.经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线。 5.不在同一直线上的三点确定一个角。 6.两直线相交，对顶角相等。 7.同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。 8.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 9.经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 10.如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。 11.如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。 12.平行线 (1)平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 (2)平行线的判定方法： (3)①两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 (4)②两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 (5)③如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行。 (6)④如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行。 (7)平行线的性质： (8)①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 (9)②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 (10)③两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 (11)④如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么这条直线也和另一条平行。 (12)⑤如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直。 (13)⑥平行线间的距离处处相等；夹在两条平行线间的平行线段相等。 13.平行线等分线段定理： (1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。 (2)推论1：经过三角形一边的中点，且与另一边平行的直线必等分第三边。 (3)推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线必等分另一腰。 14.平行线分线段成比例定理： (1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 (2)推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）成比例。 15.线段的垂直平分线： (1)性质：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 (2)判定：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 16.角平分线： (1)性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

初中几何公里、定理、推论汇总

初中几何公里、定理、推论汇总一、公理 1、两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行; 2、两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; 3、两边和夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS） 4、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA） 5、三边对应相等的两个三角形全等; （SSS） 6、全等三角形的对应边相等,对应角相等. 7、线段公理：两点之间，线段最短。 8、直线公理：过两点有且只有一条直线。 9、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 10、垂直性质：经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直一、直线与角 1、两点之间，线段最短。 2、经过两点有一条直线，并且只有一条直线。 3、同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等。 4、对顶角相等二、平行与垂直 5、经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 6、经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 7、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 8、夹在两平行线间的平行线段相等 9、平行线的判定：（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行；（4）垂直于同一条直线的两条的直线互相平行. （5）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行 10、平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等。（2）两直线平行，内错角相等。（3）两直线平行，同旁内角互补。三、角平分线、垂直平分线、图形的变化（轴对称、平移、旋转） 11、角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 12、角平分线的判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 13、线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等. 14、线段垂直平分线的判定：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 15、轴对称的性质：（1）如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分. （2）对应线段相等、对应角相等。 16、平移：经过平移，图形上的每个点都沿着相同方向移动了相同的距离，平移后，新图形和原图形的形状和大小都没有发现改变，即它们是全等图形。即对应线段平行且相等，对应角相等，对应点所连的线段

定律,定理,定则,公理,原理的区别

定律，定理，定则，公理，原理的区别 1定律是为实践和事实所证明，反映事物在一定条件下发展变化的客观规律的论断。例如牛顿运动定律、能量守恒定律、欧姆定律等。定律是一种理论模型，它用以描述特定情况、特定尺度下的现实世界，在其它尺度下可能会失效或者不准确。没有任何一种理论可以描述宇宙当中的所有情况，也没有任何一种理论可能完全正确。 2已经证明具有正确性、可以作为原则或规律的命题或公式，如几何定理。定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过受逻辑限制的演绎推导，证明为正确的结论，即另一个真命题。例如“平行四边形的对边相等”就是平面几何中的一个定理。一般来说，在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理。证明定理是数学的中心活动。相信为真但未被证明的数学叙述为猜想，当它被证明为真后便是定理。它是定理的来源，但并非唯一来源。一个从其他定理引伸出来的数学叙述，可以不经过证明成为猜想的过程，成为定理。 3公认的一种用以表达事物间内在联系的力一法，其目的是帮助理解及记忆。如右手定则等。定理已经证明具有正确性、可作为原则或规律的命题或公式。例如：“平行四边形对边相等”就是儿何学中的一个定理。

4经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理。如传统形式逻辑三段论关于一类事物的全部是什么或不是什么，那么这类事物中的部分也是什么或不是什么，也即如果对一类事物的全部有所断定，那么对它的部分也就有所断定，便是公理。又如日常生活中人们所使用的“有生必有死”，也属于这种不证自明的判断。 5自然科学和社会科学中具有普遍意义的基本规律。是在大量观察、实践的基础上，经过归纳、概括而得出的。既能指导实践，又必须经受实践的检验。如果你要是应试教育下的产物的话我劝你还是不用明白这些区别,只要熟悉这些叫法就好了。

初中数学公理和定理大全

阳光家教网 https://www.doczj.com/doc/a811023906.html,中国最大找家教、做家教平台初中数学知识内容概况公理和定理一、线与角 1．两点之间，线段最短。 2．经过两点有一条直线，并且只有一条直线。 3. 等角的补角相等，等角的余角相等。 4．对顶角相等 5. 经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 6. （1）经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。（2）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行. 7．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 8. 平行线的判定：（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行；（4）垂直于同一条直线的两条的直线互相平行. 9. 平行线的特征：（1）两直线平行，同位角相等。（2）两直线平行，内错角相等。

九年级数学公理与定理

2.3公理和定理一、教学目标： 1、了解公理、定理的含义，初步体会公理化思想，并了解本教科书所使用的定理。 2、通过介绍欧几里得的原本，使学生感受公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值。二、教学重点、难点：公理和定理的区别和联系三、教法：引导发现法四、教具准备：投影仪五、教学过程：一．创设情景想一想如何通过推理的方法证实一个命题是真命题呢？在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题。公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得将前人积累下来的几何学成果整理在系统的逻辑体系之中。他挑选了一部分不定义的数学名词(称为原名)和一部分公认的真命题(称为公理)作为证实其他命题的起始依据，定义出其他有关的概念，并运用推理的方法，证实了数百个有关的命题，使几何学成为一门具有公理化体系的科学。二．回顾总结通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理。例如，欧几里得将“两点确定一条直线”，“直角都相等”等五条基本几何事实作为公理。通过推理得到证实的真命题叫做定理。本教科书选用如下命题作为公理：

此外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理。例如“在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替”，简称为“等量代换”。三．应用举例由上面给出的公理，可以证明如下命题的正确性：等角的补角相等。已知：∠1=∠2，∠1+∠3=180，∠2+∠4=180。求证：∠3=∠4 证明：∵∠1+∠3=180，∠2+∠4=180(已知)， ∴∠3=180-∠1，∠4=180-∠2 (等式的性质) ∵∠1=∠2 (已知)， ∴∠3=∠4 (等式的性质)。这样，我们便可以把上面这个经过证实的命题称作定理了。已经证明的定理可以作为以后推理的依据。证明一个命题的正确性，要按照“已知”、“求证”、“证明”的顺序和格式写出。其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件(已知)出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论(求证)的过程。四、巩固练习：课本随堂练习2、习题1、2

定义、公理、定理、推论、命题和引理的区别

I prepared the following handout for my Discrete Mathematics class (here’s a pdf version). Definition（定义）— a precise and unambiguous description of the meaning of a mathematical term. It characterizes the meaning of a word by giving all the properties and only those properties that must be true. Theorem（定理）— a mathematical statement that is proved using rigorous mathematical reasoning. In a mathematical paper, the term theorem is often reserved for the most important results. Lemma（引理）— a minor result whose sole purpose is to help in proving a theorem. It is a stepping stone on the path to proving a theorem. Very occasionally lemmas can take on a life of their own (Zorn’s lemma, Urysohn’s lemma,Burnside’s lemma, Sperner’s lemma). Corollary（推论）— a result in which the (usually short) proof relies heavily on a given theorem (we often say that “this is a corollary of Theorem A”). Proposition（命题）— a proved and often interesting result, but generally less important than a theorem. Conjecture（猜想）— a statement that is unproved, but is believed to be true (Collatz conjecture, Goldbach conjecture, twin prime conjecture). Claim（断言）— an assertion that is then proved. It is often used like an informal lemma. Axiom/Postulate（公理/假定）— a statement that is assumed to be true without proof. These are the basic building blocks from which all theorems are proved (Euclid’s five postulates, Zermelo-Fraenkel axioms, Peano axioms). Identity（恒等式）— a mathematical expression giving the equality of two (often variable) quantities (trigonometric identities, Euler’s identity). Paradox（悖论）— a statement that can be shown, using a given set of axioms and definitions, to be both true and false. Paradoxes are often used to show the inconsistencies in a flawed theory (Russell’s paradox). The term paradox is often used informally to describe a surprising or counterintuitive result that follows from a given set of rules (Banach-Tarski paradox, Alabama paradox,Gabriel’s horn). 首先、定义和公理是任何理论的基础，定义解决了概念的范畴，公理使得理论能够被人的理性所接受。其次、定理和命题就是在定义和公理的基础上通过理性的加工使得理论的再延伸，我认为它们的区别主要在于，定理的理论高度比命题高些，定理主要是描述各定义（范畴）间的逻辑关系，命题一般描述的是某种对应关系（非范畴性的）。而推论就是某一定理的附属品，是该定理的简单应用。最后、引理就是在证明某一定理时所必须用到的其它定理。而在一般情况下，就像前面所提到的定理的证明是依赖于定义和公理的。定义就是规定意义，相当于取名字，定理就是根据定义和公理推导演绎出来的命题。公理就是人们通过实际生活观察到的一些人们共同赞同的但又无法证明的；根本差别在于:定义不可证明,而定理一定是经过了证明的!

必修2立体几何(公理、定理)

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。线面平行判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。面面平行判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。线面平行性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。面面平行性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。线面垂直判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。面面垂直判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。必修2立体几何（公理、定理）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。线面平行判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。面面平行判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。线面平行性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。面面平行性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。线面垂直判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。面面垂直判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

定律定理定则公理公设原理

定律定律是为实践和事实所证明，反映事物在一定条件下发展变化的客观规律的论断。例如牛顿运动定律、能量守恒定律、欧姆定律等。定律是一种理论模型，它用以描述特定情况、特定尺度下的现实世界，在其它尺度下可能会失效或者不准确。没有任何一种理论可以描述宇宙当中的所有情况，也没有任何一种理论可能完全正确。定理已经证明具有正确性、可以作为原则或规律的命题或公式。例如几何定理。定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过受逻辑限制的演绎推导，证明为正确的结论，即另一个真命题。例如“平行四边形的对边相等”就是平面几何中的一个定理。一般来说，在数学中，只有重要或有趣（？）的陈述才叫定理。证明定理是数学的中心活动。相信为真但未被证明的数学叙述为猜想，当它被证明为真后便是定理。它是定理的来源，但并非唯一来源。一个从其他定理引伸出来的数学叙述，可以不经过证明成为猜想的过程，成为定理。定则

公认的一种用以表达事物间内在联系的规定或法则，其目的是帮助理解及记忆。如右手定则等。公理经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理。如传统形式逻辑三段论关于一类事物的全部是什么或不是什么，那么这类事物中的部分也是什么或不是什么，也即如果对一类事物的全部有所断定，那么对它的部分也就有所断定，便是公理。又如日常生活中人们所使用的“有生必有死”，也属于这种不证自明的判断。原理自然科学和社会科学中具有普遍意义的基本规律。是在大量观察、实践的基础上，经过归纳、概括而得出的。既能指导实践，又必须经受实践的检验。公设（公理）所谓公理或公设，指的是某门学科中不需要证明而必须加以承认的某些陈述或命题，即“不证自明”的命题。一门学科如果被表示成公理的形式，那么它的所有命题就可以由这些公理或公设逻辑地推证出

初中数学《公理和定理(冀教版)》

初中数学《公理和定理（冀教版）》一、公理(不需证明 1、两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行; 2、两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; 3、两边夹角对应相等的两个三角形全等; (SAS 4、角及其夹边对应相等的两个三角形全等; (ASA 5、边对应相等的两个三角形全等; (SSS 6、等三角形的对应边相等,对应角相等. 7、线段公理:两点之间,线段最短。 8、直线公理:过两点有且只有一条直线。 9、平行公理:过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 10、垂直性质:经过直线外或直线上一点,有且只有一条直线与已知直线垂直注:(1其中1-6要求能作为对其它定理进行证明的依据,7-10作为基本事实应了解。 (2等式和不等式的有关性质也可视为公理。以下对初中阶段所学的公理、定理进行分类: 一、直线与角 1、两点之间,线段最短。 2、经过两点有一条直线,并且只有一条直线。 3、同角或等角的补角相等,同角或等角的余角相等。 4、对顶角相等二、平行与垂直 5、经过直线外或直线上一点,有且只有一条直线与已知直线垂直。 6、经过已知直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行。 7、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。

8、夹在两平行线间的平行线段相等 9、平行线的判定: (1同位角相等,两直线平行; (2内错角相等,两直线平行; (3同旁内角互补,两直线平行; (4垂直于同一条直线的两条的直线互相平行. (5如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也平行 (6利用三角形中位线定理 10、平行线的性质: (1两直线平行,同位角相等。 (2两直线平行,内错角相等。 (3两直线平行,同旁内角互补。三、角平分线、垂直平分线、图形的变化(轴对称、平称、旋转 11、角平分线的性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 12、角平分线的判定:到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 13、线段垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等. 14、线段垂直平分线的判定:到一条线段的两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 15、轴对称的性质: (1如果图形关于某一直线对称,那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分. (2对应线段相等、对应角相等。 16、平移:经过平移,图形上的每个点都沿着相同方向移动了相同的距离,平移后,新图形和原图形的形状和大小都没有发现改变,即它们是全等图形。即对应线段平行且相等,对应角相等,对应点所连的线段平行且相等 17、旋转对称: (1图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度 (2对应点到旋转中心的距离相等;

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