与y轴交于点C，且BO＝OC＝3AO，直线y＝－x＋1与y轴交于点D．
专题训练十解答题突破
——代数几何综合题(涉及二次函数)
1．(2016·新疆)如图1，抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，
1
3
图1
(1)求抛物线的解析式；
(2)证明：△DBO∽△EBC；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点△P，使PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．
2．如图2，图3，在每一个四边形ABCD中，均有AB∥DC，AD⊥AB，∠ABC＝30°，CD＝6，AB＝12.
图2
图3
(1)如图图2，点M是四边形ABCD边AB上的一点，求△DMC的面积；
(2)点M是四边形ABCD边AB上的任意一点，请你求出△DMC周长的最小值；
(3)如图3，如果点M在AB上，是以1个单位/秒的速度从A向点B运动，是否存在一个时刻t，使得△MCB是等腰三角形？如存在，请求出此时的t值；如不存在，请说明理由．
3．(2016·青羊区模拟)如图4所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，沿斜边AB
的中线CD把这张纸片剪成△AC
1
D
1
和△BC
2
D
2
两个三角形(如图5所示△)．将纸片AC
1
D
1
沿直线D
2
B(A→B方向)
平移(点A，D
1
，D
2
，B始终在同一直线上)，当D
1
与点B重合时，停止平移．在平移的过程中，C
1
D
1
与BC
2
交
于点E，AC
1
与C
2
D
2
，BC
2
分别交于点F，P.
(3)对于(2)中的结论是否存在这样的 ，使得重复部分面积等于原△x ABC 纸片面积的 ？若存在，请求
??9a ＋3b －3＝0，
??b ＝－2. ∴抛物线解析式为 y ＝x 2－2x －3.
∵直线 y ＝－ x ＋1 与 y 轴交于点 D ，∴D (0,1)．
OD ＝ 2， ＝ 2，BE ∴CE BD ＝
2.∴ ＝ OB OD OB BD 图 4
图 5 图 6
(1)当 △AC 1D 1 平移到如图 6 所示位置时，猜想 D 1E 与 D 2F 的数量关系，并说明理由．
(2)设平移距离 D 2D 1 为 △x ， AC 1D 1 和 △BC 2D 2 重复部分面积为 y ，请写出 y 与 x 的函数关系式，以及自变
量的取值范围．
3
8
出 x 的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．解：(1)∵抛物线 y ＝ax 2＋bx －3，∴c ＝－3.∴C (0，－3)．
∴OC ＝3.
∵BO ＝OC ＝3AO ，∴BO ＝3，AO ＝1.∴B (3,0)，A (－1,0)．
∵该抛物线与 x 轴交于 A ，B 两点，∴?
??a －b －3＝0.
??a ＝1， ∴?
(2)由(1)知，抛物线解析式为 y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，
∴E (1，－4)．
∵B (3,0)，A (－1,0)，C (0，－3)，∴BC ＝3
2，BE ＝2 5，CE ＝ 2.
1
3
∵B (3,0)，∴OD ＝1，OB ＝3，BD ＝ 10，
BC CE BC BE ＝ .
∴△BCE ∽△BOD .
(3)存在，理由：设 P (1，m )，∵B (3,0)，C (0，－3)，
∴BC ＝3
2，PB ＝ m 2＋4，PC ＝ m ＋
∵△PBC 是等腰三角形， 2
＋1，
①当 PB ＝PC 时，∴ m 2＋4＝
m ＋
2
＋1，
∴m ＝－1.∴P (1，－1)．
②当 PB ＝BC 时，∴3
2＝ m 2＋4，∴m ＝± 14.
∴P (1， 14)或 P (1，－ 14)，
③当 PC ＝BC 时，∴3
2＝ m ＋
2
＋1，∴m ＝－3± 17，
∴P (1，－3＋ 17)或 P (1，－3－ 17)，
则△S DMC CD·ME＝6 3.
2
∴符合条件的P点坐标为P(1，－1)或P(1，14)或P(1，－14)或P(1，－3＋17)或P(1，－3－17) 2．解：(1)如图1，过C作CF⊥AB，
图1
∴四边形AFCD为矩形．
∴AF＝CD＝6，BF＝AB－AF＝6，
在△R t BCF中，∠ABC＝30°，BF＝6，
∴CF＝BF tan30°＝23，ME＝2 3.
1
＝
(2)如图2，作点D关于直线AB的对称点D′，
图2
连接D′C，交AB于点M，则点M就是所求的点．
∴△DMC周长的最小值为
DM＋MC＋CD＝D′M＋MC＋CD＝CD′＋DC.
∵AD＝CF＝23，∴DD′＝2AD＝4 3.
∵DC＝6，CD′＝CD2＋DD′2＝221，
∴△DMC周长的最小值为
221＋6.
(3)分三种情况讨论．
1)如图3，
图3
当MC＝CB时，
由(1)可知，BC＝2CF＝43，
∴MF＝FB＝6.∴MB＝12.
由 D 1C 1∥D 2C ，得△2 BC 2D ∽△2 BED 1，∴ ＝ 5 24 ∴h ＝
－x
图 4
即点 M 与点 A 重合时．
∴t ＝0.
2)当 MB ＝BC ，如图 4 时，MB ＝BC ＝4
3，
则 AM ＝12－4
3，
∴t ＝12－4
3.
3)当 MB ＝MC 时，作 MH ⊥BC ，如图 5.
图 5
∴HB ＝HC ＝2
3.
∴MH ＝2，MB ＝4.
∴AM ＝8，∴t ＝8.
综上所述，当 t 为 0 或 8 或 12－4
3时，三角形 MBC 为等腰三角形．
3．解：(1)D 1E ＝D 2F .理由如下：∵C 1D 1∥C 2D 2，∴∠C 1＝∠AFD 2. 又∵∠ACB ＝90°，CD 是斜边上的中线，
∴DC ＝DA ＝DB ，即 C 1D 1＝C 2D 2＝BD 2＝AD 1. ∴∠C 1＝∠A .∴∠AFD 2＝∠A .∴AD 2＝D 2F . 同理：BD 1＝D 1E .
又∵AD 1＝BD 2，∴AD 2＝BD 1.∴D 1E ＝D 2F .
(2)∵在 △R t ABC 中，AC ＝8，BC ＝6，∴由勾股定理，得 AB ＝10.
即 AD 1＝BD 2＝C 1D 1＝C 2D 2＝5.
又∵D 2D 1＝x ，∴D 1E ＝BD 1＝D 2F ＝AD 2＝5－x . ∴C 2F ＝C 1E ＝x .
24
在 △BC 2D 2 中，C 2 到 BD 2 的距离就是△ABC 的 AB 边上的高，为 5 .
设△BED 1 的 BD 1 边上的高为 h ，
h 5－x .
5
1 12
25 .△S BED 1＝2×BD 1×h ＝25 (5－x )2.
∴y ＝－ x 2＋ x (0≤x ≤5)．
∴该方程无解，即对于(2)中的结论不存在这样的 ，使得重复部分面积等于原△x ABC 纸片面积的 .
PC 2×PF ＝ 又∵∠C 1＋∠C 2＝90°，∴∠FPC 2＝90°.
4 3
又∵∠C 2＝∠B ，sin B ＝5，cos B ＝5.
3 4 1 6
∴PC 2＝5x ，PF ＝5x ，△S FC 2P ＝2 25x 2.
1 1
2 6
而 y ＝△S BC 2D 2－△S BED 1－△S FC 2P ＝2△S ABC －25(5－x )2－25x 2.
18 24
25 5
3 18 24
(3)不存在．当 y ＝8△S ABC 时，即－25x 2＋ 5 x ＝9，
整理得 6x 2－40x ＋75＝0.
∵Δ＝1 600－4×6×75＝－200＜0，
3
8